Ogled vira Število

[[slika:NumberSetinC.svg|sličica|[[podmnožica|Podmnožice]] [[kompleksno število|kompleksnih števil]]]]
'''Števílo''' je poleg [[množica|množice]] in [[funkcija|funkcije]] eden najpomembnejših [[matematika|matematičnih]] pojmov, s katerim se opisuje množino.

V vsakdanji rabi so najbolj znana [[naravno število|naravna števila]] {[[1 (število)|1]], [[2 (število)|2]], [[3 (število)|3]], [[4 (število)|4]], [[5 (število)|5]], [[5 (število)|6]], [[7 (število)|7]], [[8 (število)|8]], [[9 (število)|9]], [[10 (število)|10]], ...}, s katerimi štejemo. Skupnost vseh naravnih števil določa množico, ki se jo običajno označuje z '''N'''. Če se k tej množici pridruži še [[negativno število|negativna števila]] in število [[0]], se dobi množico [[celo število|celih števil]] '''Z'''. [[Količnik]]i celih števil so [[racionalno število|racionalna števila]] ali [[ulomek|ulomki]], katerih množico se označi s '''Q'''. Če se vključi še vse neskončne in neponavljajoče decimalne zapise števil, se dobimo [[realno število|realna števila]] '''R'''. Tista realna števila, ki niso racionalna, so [[iracionalno število|iracionalna]]. Realna števila se lahko naprej razširijo še na [[kompleksno število|kompleksna števila]] '''C''', s katerimi se lahko reši vse [[algebrska enačba|algebrske enačbe]]. Vse rešitve algebrskih enačb, katerih [[koeficient]]i so kompleksna števila, so spet kompleksna števila. Vsaka omenjena množica je [[podmnožica]] naslednje:

: <math> \mathbb{N} \sub \mathbb{Z} \sub \mathbb{Q} \sub \mathbb{R} \sub \mathbb{C} \sub \mathbb{H} \!\, . </math>

Števila je treba od ''[[številka|številk]]'', ki so posebni znaki za predstavitev števil. Zapis števil kot niz [[števka|števk]] obravnavajo [[številski sistem]]i.

== Zgodovina ==

=== Številke ===

{{glavni|številski sistem}}

Števila je treba razlikovati od '''številk''', simbolov, ki predstavljajo števila. Egipčani so izumili prvi šifrirani številski sistem, Grki pa so svoje številčenje preslikali na jonsko in dorsko abecedo.<ref>{{navedi časopis|last=Chrisomalis|first=Stephen|date=2003-09-01|title=The Egyptian origin of the Greek alphabetic numerals|url=https://archive.org/details/sim_antiquity_2003-09_77_297/page/485|journal=Antiquity|volume=77|issue=297|pages=485–96|doi=10.1017/S0003598X00092541|issn=0003-598X}}</ref> Rimske številke, sistem, ki je uporabljal kombinacije črk iz rimske abecede, so ostale prevladujoče v Evropi do razširitve [[indijsko-arabski številski sistem|indijsko-arabskega številskega sistema]] okoli poznega 14. stoletja. Indijsko-arabski številski sistem ostaja najpogosteje uporabljeni sistem za predstavitev številke v današnjem svetu.<ref name="Cengage Learning2">{{Navedi knjigo|url=https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192|isbn=978-1-4390-8474-8|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170128072424/https://books.google.com/books?id=dOxl71w-jHEC&pg=PA192|accessdate=2017-05-16|last=Bulliet|first=Richard|quote=Indian mathematicians invented the concept of zero and developed the "Arabic" numerals and system of place-value notation used in most parts of the world today|page=192|year=2010|title=The Earth and Its Peoples: A Global History, Volume 1|publisher=Cengage Learning|first4=Steven|last4=Hirsch|first3=Daniel|last3=Headrick|first2=Pamela|last2=Crossley|archivedate=2017-01-28}}</ref> Ključ do učinkovitosti sistema je bil simbol za [[0|nič]], ki so ga razvili starodavni indijski matematiki okoli leta 500 n.št.<ref name="Cengage Learning2" />

=== Prva uporaba števil ===

Na kosteh in drugih artefaktih so odkrili izrezane oznake, za katere mnogi verjamejo, da naj pomenile neke vrste štetja.<ref>Marshak, A., ''The Roots of Civilisation; Cognitive Beginnings of Man’s First Art, Symbol and Notation'', (Weidenfeld & Nicolson, London: 1972), 81ff.</ref> Ti številski znaki so bili morda uporabljeni za štetje pretečenega časa, na primer število dni, lunarnih ciklov ali vodenje evidenc o količinah, na primer živali.

Ti znaki ne poznajo pojma vrednosti pozicije (kot v sodobnem [[Desetiški številski sistem|desetiškem]] zapisu), kar omejuje njegovo predstavitev velikih števil. Kljub temu takšni sistemi štetja veljajo za prvo vrsto abstraktnega številskega sistema.

Prvi znani sistem z vrednostjo pozicije je bil [[antične mezopotamske merske enote|mezopotamski šestdesetiški sistem]] ({{Circa|3400}} pr. n. št). Najstarejši znani desetiški sistem pa sega v leto 3100 pr. n. št v [[Egipt]]u.<ref>{{Navedi splet|url=http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin|title=Egyptian Mathematical Papyri – Mathematicians of the African Diaspora|publisher=Math.buffalo.edu|accessdate=2012-01-30|archiveurl=https://web.archive.org/web/20150407231917/http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html#berlin|archivedate=2015-04-07}}</ref>

=== Nič ===

Prva znana dokumentirana uporaba števila [[0|nič]] sega v 628 n.št. Pojavila se je v ''[[Brāhmasphuṭasiddhānta|Brāhmasphuṭasiddhānti]]'', glavnem delu indijskega matematika [[Brahmagupta|Brahmagupte]]. 0 je obravnaval kot število in opisal operacije, ki ničlo vključujejo, vključno z [[deljenje z ničlo|deljenjem]]. Do tedaj (7. stoletje) je koncept očitno dosegel Kambodžo kot [[kmerske številke]], dokumentacija pa kaže, da se je zamisel kasneje razširila na Kitajsko in v [[islamski svet]].
[[slika:Khmer_Numerals_-_605_from_the_Sambor_inscriptions.jpg|sličica|Številka 605 s [[Kmerske številke|kmerskimi številkami]] iz napisa iz leta 683 našega štetja. Zgodnja uporaba ničle kot decimalne številke.]]
Brahmaguptova ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' je prva knjiga, ki omenja nič kot število, zato se ga običajno šteje za prvega, ki je oblikoval pojem nič. Podal je pravila uporabe ničle z negativnimi in pozitivnimi števili, na primer »nič plus pozitivno število je pozitivno število, negativno število plus nič pa negativno število.« ''Brāhmasphuṭasiddhānta'' je najstarejše znano besedilo, ki nič obravnava kot samostojno število. 

Uporabo 0 kot števila je treba razlikovati od njegove uporabe pomožnega znaka v [[mestni zapis števil|mestnem zapisu števil]] (vrednost vsake števke v številu je odvisna od mesta te števke v številu). Veliko starodavnih besedil je uporabljalo 0. [[Babilonci]] so 0 uporabljali le kot pomožni znak (3. stoletje), prav tako [[Maji]] (1. stoletje).

Pred Brahmagupto so ničlo uporabljali tudi drugi, toda dokumentacija ni tako popolna, kot je v ''Brāhmasphuṭasiddhānti.''

Zapisi kažejo, da [[antična Grčija|stari Grki]] niso bili prepričani o statusu 0 kot številu: spraševali so se »kako je lahko 'nič' nekaj?«. To je vodilo do zanimivih [[filozofija|filozofskih]] in, do srednjeveškega obdobja, verskih argumentov o naravi in obstoju 0 in [[vakuum]]u. Paradoksi [[Zenon|Zenona iz Eleje]] so deloma odvisni od nezanesljive interpretacije 0. (Stari Grki so se celo spraševali, če je 1 število.)

Izumrli [[Olmeki]] v južno-osrednji Mehiki so v Novem svetu začeli uporabljati simbol za ničlo (simbol školjke) verjetno v {{brez preloma|4. stoletju pr. n. št.}}, vsekakor pa do leta 40. pr. n. št., ko je postal sestavni del [[majevska števila|majevskih števil]] in [[majevski koledar|njihovega koledarja]]. Aritmetika Majev uporablja osnovo&nbsp;4 in osnovo&nbsp;5, majevski sistem je bil [[dvajsetiški številski sistem|dvajsetiški]] ali vigezimalni; uporabljali so namreč dvajset števk (od 0 do 19), mestne vrednosti števil pa so bile potence števila 20, naraščajoče od spodaj navzgor, kajti Maji so običajno pisali v kolonah, od zgoraj navzdol in od leve proti desni.<ref>{{navedi splet|title=Koledar in astronomija Majev|url=https://kvarkadabra.net/1993/11/astronomija-majev/|website=Kvarkadabra|date=1993-11-21|accessdate=2021-09-10|language=sl-SI|last=Kvarkadabra}}</ref> To jim je omogočalo zapisati zelo velika števila, kar je prišlo prav pri obvladovanju astronomije in koledarja. [[George I. Sánchez]] je leta 1961 poročal o osnovi 4 in 5.<ref>{{navedi knjigo|last=Sánchez|first=George I.|authorlink=George I. Sánchez|title=Arithmetic in Maya|publisher=self published|year=1961|location=Austin, Texas}}</ref> 

Do leta 130 je [[Ptolemaj|Ptolomaj]], pod vplivom [[Hiparh]]a in Babiloncev, uporabljal simbol za 0 (majhen krog z nadpisano črto) v [[šestdesetiški številski sistem|šesdesetiškem številskem sistemu]], ki je sicer uporabljal abecedne [[grške številke]]. V poznejših [[Bizantinsko cesarstvo|bizantinskih]] rokopisih njegove ''Syntaxis Mathematica'' (''[[Almagest]]'') se je helenistična ničla prelevila v [[grška abeceda|grško črko]] [[omikron]] (drugače ta črka pomeni&nbsp;70).

Prava ničla je bila uporabljena tudi v tabelah skupaj z [[rimske številke|rimskimi številkami]] do leta 525 (prva znana uporaba [[Dionizij Mali|Dionizija Exiguusa]]), vendar kot beseda, ''nulla'' pomeni ''nič'', in ne kot le simbol. Ko pri deljenju pride do ostanka 0, so uporabili ''nihil'', kar prav tako pomeni ''nič''. 

=== Negativna števila ===

Abstraktni koncept [[negativno število|negativnih števil]] je bil na Kitajskem poznan že v letih 100–50 pr. n. št.

=== Racionalna števila ===

Verjetno je, da koncept delnih števil izvira iz [[Prazgodovina|prazgodovine]]. [[Stari Egipt|Stari Egipčani]] so za racionalna števila v matematičnih besedilih uporabljali svoj [[egipčanski ulomek]], kot sta [[Rhindov matematični papirus]] in [[Kahunov papirus]]. Klasični grški in indijski matematiki so preučevali teorijo racionalnih števil v okviru študije [[Teorija števil|teorije števil]].&nbsp;Najbolj znan med njimi so [[Elementi (Evklid)|Evklidovi ''Elementi'']], stari približno 300 let&nbsp;pr. n. št. Od indijskih besedil je najpomembnejša [[Sthananga Sutra]], ki zajema tudi teorijo števil kot del splošne študije matematike.

=== Iracionalna števila ===

Najstarejša znana uporaba iracionalnih števil je bila v [[indijska matematika|indijskih]] [[Sulba Sutre|Sulba sultrah,]] napisanihmed 800 in 500&nbsp;pr. n. št.<ref>{{navedi knjigo|editor-last=Selin|editor-first=Helaine|editor-link=Helaine Selin|title=Mathematics across cultures: the history of non-Western mathematics|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=2000|page=451|isbn=0-7923-6481-3}}</ref> Prvi dokazi o obstoju iracionalnih števil se običajno pripisujejo [[Pitagora|Pitagori]], natančneje [[Pitagorejstvo|pitagorejcu]] [[Hipas]]u, ki je dokazal (najverjetneje geometrične) iracionalnost [[kvadratni koren števila 2|kvadratnega korena števila 2]]. 

== Osnovna razvrstitev ==

{{glej tudi|seznam vrst števil}}

Števila se lahko razvrsti v [[množica|množice]], imenovane '''številski sistemi''', kot so [[naravno število|naravna]] in [[realno število|realna števila]].<ref>"Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens – welche Elemente der Menge genannt werden – zu einem Ganzen." [http://www.brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110610133240/http://brinkmann-du.de/mathe/fos/fos01_03.htm |date=2011-06-10 }}</ref> Glavne kategorije števil so:

{|class="wikitable" style="text-align: center; width: 400px; height: 200px; margin: 1em auto;"
|+ Glavni številski sistemi
|-
!<math>\mathbb{N}</math>
![[naravno število|naravno]]
| 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... ali 1, 2, 3, 4, 5, ...<br />
Uporablja se lahko <math>\mathbb{N}_0</math> ali <math>\mathbb{N}_1</math>.
|-
!<math>\mathbb{Z}</math>
![[celo število|celo]]
|..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
|-
!<math>\mathbb{Q}</math>
![[racionalno število|racionalno]]
|{{sfrac|''a''|''b''}} kjer sta ''a'' in ''b'' celi števili in ''b'' ni enak 0
|-
!<math>\mathbb{R}</math>
![[realno število|realno]]
|Meja konvergentnega zaporedja racionalnih števil
|-
!<math>\mathbb{C}</math>
![[kompleksno število|kompleksno]]
|''a'' + ''bi'' kjer sta ''a'' in ''b'' realni števili, ''i'' je kvadratni koren od&nbsp;−1
|}

=== Naravna števila ===

{{glavni|naravno število}}
[[slika:Nat_num.svg|sličica|Naravna števila, začenši z 1]]

Najbolj običajna števila so [[naravno število|naravna števila]]: 1, 2, 3 itd. Tradicionalno se je zaporedje naravnih števil začelo z 1 (0 pri [[stari Grki|starih Grkih]] sploh ni veljalo za število). Vendar pa so v 19. stoletju [[teorija množic|teoretiki množic]] in drugi matematik začeli vključevati 0 ([[kardinalnost]] [[prazna množica|prazne množice]], tj. 0 elementov, kjer je 0 torej najmanjše [[kardinalno število]]) v množici naravnih števil.<ref>{{MathWorld}}</ref><ref>{{Citat|url=http://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number|title=natural number|journal=Merriam-Webster.com|publisher=[[Merriam-Webster]]|access-date=4 October 2014|archiveurl=https://web.archive.org/web/20191213133201/https://www.merriam-webster.com/dictionary/natural%20number|archivedate=13 December 2019}}</ref> Sedaj matematiki uporabljajo ta izraz za opis obeh množic, z 0 ali brez. [[seznam matematičnih simbolov|Matematični simbol]] za množico vseh naravnih števil je '''N''', zapisan tudi z <math>\mathbb{N}</math>, včasih <math>\mathbb{N}_0</math> ali <math>\mathbb{N}_1</math> ko je treba navesti, ali naj se množica začne z 0 oziroma 1.

V [[desetiški številski sistem|desetiškem številskem sistemu]], ki je sedaj skoraj univerzalen za matematične operacije, so simboli za naravna števila zapisani z desetimi [[števka]]mi : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9. [[radiks|Osnova]] je število unikatnih števk, vključno z ničlo, ki jih številski sistem uporablja za predstavitev števil (za desetiški sistem je osnova 10). V tej osnovi 10, ima skrajna desna števka naravnega števila [[pozicijska notacija|mesto vrednosti]] 1, vsaka naslednja števka pa ima vrednost desetkrat večjo od mesta vrednosti števke na desni.

V [[teorija množic|teoriji množic]], ki lahko deluje kot aksiomatski temelj sodobne matematike,<ref>{{navedi knjigo|last=Suppes|first=Patrick|authorlink=Patrick_Suppes|title=Axiomatic Set Theory|publisher=Courier Dover Publications|year=1972|page=[https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0/page/1 1]|isbn=0-486-61630-4|url=https://archive.org/details/axiomaticsettheo00supp_0/page/1}}</ref> se naravna števila lahko predstavijo z razredi enakovrednih množic. Na primer število 3 se lahko predstavi kot razred vseh množic, ki imajo natanko tri elemente. V [[Peanova aritmetika|Peanovi aritmetiki]] je število 3 predstavljeno kot sss0, kjer je s operacija »naslednik« (tj. 3 je tretji naslednik od 0).

=== Cela števila ===

{{glavni|celo število}}

[[Negativno število]] je opredeljeno kot število, ki se sešteje v 0, ko se mu prišteje [[nasprotna vrednost|nasprotno]] pozitivno število. Negativna števila so običajno napisana z negativnim predznakom ([[minus|znak minus]]). Npr. negativno od 7 je napisano −7 in {{brez preloma|7 + (−7) {{=}} 0}}. Ko je [[množica]] negativnih števil kombinirana z množico naravnih števil (vključno z 0), je rezultat definiran kot množica [[celo število|celih števil]], '''Z''' zapisano tudi kot [[črna tabla krepko|<math>\mathbb{Z}</math> .]] Črka Z prihaja iz [[Nemščina|nemške]] ''Zahl'' 'številka'. Množica celih števil tvori [[kolobar (algebra)|kolobar]] z [[matematična operacija|operacijami]] [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]].<ref>{{MathWorld|Integer|Integer}}</ref>

Naravna števila tvorijo [[podmnožica|podmnožico]] celih števil. Ker ne obstaja skupni standard za vključitev ali nevključitev ničle med naravna števila, se naravna števila brez ničle običajno imenujejo '''pozitivna cela števila''', naravna števila z ničlo pa '''nenegativna cela števila'''.

=== Racionalna števila ===

{{glavni|racionalno število}}
[[slika:Number-systems.svg|sličica|Racionalna števila (ℚ) so vključena v [[realno število|realna števila]] (ℝ), sama pa vključujejo [[celo število|cela števila]] (ℤ), ki posledično vključujejo tudi [[naravno število|naravna števila]] (ℕ)]]

Racionalno število je število, ki se ga lahko izrazi kot [[ulomek]] s celoštevilskim števcem in pozitivnim celoštevilskim imenovalcem. Negativni imenovalci so dovoljeni, vendar se jih običajno izogiba. Ulomki so zapisani kot dve celi števili, števec in imenovalec, z ločilno črto med njima. Ulomek {{Sfrac|''m''|''n''}} se zapiše v obliki količnika (kvocienta): ''m'' določa število delov celote, ''n'' pove na koliko delov je razdeljena celota. Dva različna ulomka lahko ustrezata istemu racionalnemu številu; na primer {{Sfrac|1|2}} {{Sfrac|2|4}} sta enaka, tako da je:

: <math> \frac{1}{2} = \frac{2}{4} \!\, . </math>

Na splošno,

: <math> \frac{a}{b} = \frac{c}{d} </math> le tedaj, ko je <math> { a \times d} = {c \times b} \!\, . </math>

Če je [[absolutna vrednost]] ''m'' večja od ''n'' (ta naj bi bila pozitivna), je absolutna vrednost ulomka večja od 1. Ulomki so lahko večji, manjši ali enaki 1 in so lahko pozitivni, negativni ali 0. Množica vseh racionalnih števil vključuje cela števila, saj je vsako celo število lahko zapisano kot ulomek z imenovanikom 1. Na primer −7 se lahko zapiše {{Sfrac|−7|1}} . Simbol za racionalna števila je '''Q''' (''quotient''), zapisano tudi kot <math> \mathbb{Q} \!\, </math>.

=== Realna števila ===

{{glavni|realno število}}
[[slika:Real_number_line.svg|desno|sličica|[[realno število|Realna števila]] se lahko razumejo kot [[točka (geometrija)|točke]] na neskončno dolgi [[številska premica|številski premici]]]]

Simbol za realna števila je '''R''', zapisan tudi kot <math> \mathbb{R} \!\, </math>. Množica realnih števil je množica vseh neskončnih decimalnih števil.<ref>{{navedi splet|title=Realna števila :: OpenProf.com|url=https://si.openprof.com/wb/realna_%C5%A1tevila?ch=28|website=si.openprof.com|accessdate=2021-09-05|date=2021}}</ref> Vsako realno število ustreza [[točka (geometrija)|točki]] na [[številska premica|številski premici]]. Naslednji odstavek se bo osredotočal predvsem na pozitivna realna števila. Obravnava negativnih realnih števil je glede na splošna aritmetična pravila preprosto predpona ustrezne pozitivne številke z [[minus|znakom minus]], npr. −123.456.

Večino realnih števil je mogoče izraziti le s ''približki'' [[desetiški številski sistem|decimalnega]] števila, pri katerih je [[decimalno ločilo|decimalna vejica]] postavljena desno od števke z vrednostjo mesta 1. Vsaka števka desno od decimalne vejice ima vrednost, ki je ena desetina vrednosti števke na njeni levi. Na primer, 123,456 predstavlja {{Sfrac|123456|1000}} ali z besedami, ena stotica, dve desetici, tri enice, štiri desetinke, pet stotink, in šest tisočink. Realno število je lahko izraženo s končnim številom decimalk le, če je racionalno in je njegov imenovalec deljiv z 2 ali 5 ali obema, ker sta to praštevili od 10, osnove desetiškega sistema. Tako je na primer ena polovica 0,5, ena petina 0,2, ena desetina 0,1 in ena petdesetina 0,02. Za predstavitev drugih realnih števil kot decimalk bi bilo potrebno neskončno zaporedje števk desno od decimalne vejice. Če to neskončno zaporedje števk sledi vzorcu, se ga lahko zapiše s tremi pikami ali drugim zapisom, ki označuje ponavljajoči se vzorec. Taka decimalka se imenuje [[desetiški ulomek|ponavljajoča se decimalka]]. Tako se lahko {{Sfrac|3}} zapiše kot 0,333..., s tremi pikami, ki označujejo, da se vzorec nadaljuje. Za vedno ponavljajoče se 3 (trojke) so zapisane tudi kot 0,{{Overline|3}}.<ref>{{navedi splet|last1= Weisstein|first1= Eric W.|title= Repeating Decimal|url= https://mathworld.wolfram.com/RepeatingDecimal.html|accessdate=2020-07-23|website= mathworld.wolfram.com|lang= en}}</ref>

Izkazalo se je, da te ponavljajoče se decimalke (vključno s ponavljanjem ničel) natančno označujejo racionalna števila, torej so vsa racionalna števila tudi realna števila, ni pa res, da je vsako realno število racionalno. Realno število, ki ni racionalno, se imenuje [[iracionalno število|iracionalno]]. Znano iracionalno realno število je število [[pi]], razmerje med [[obseg]]om [[krog]]a in njegovim [[premer]]om. Ko je <math> \pi \!\, </math> zapisan kot:

: <math> \pi = 3,14159265358979 \dots \!\, , </math>

tri pike ne pomenijo, da se decimalke ponavljajo, ampak da jim ni konca. Dokazano je, da je <math> \pi \!\, </math> iracionalno število. Drugo dobro znano število, ki se je izkazalo za iracionalno realno število, je

: <math> \sqrt{2} = 1,41421356237 \dots \!\, , </math>

[[kvadratni koren števila 2]], to je edinstveno pozitivno realno število, ki [[množenje|pomnoženo]] samo s seboj, da [[naravno število]] [[2 (število)|2]]. Obema številoma so računalniško izračunali približek z bilijonom {{brez preloma|(1 bilijon {{=}} 10<sup>12</sup> {{=}} 1.000.000.000.000)}} števk.

Ne samo ta dva vidnejša primera, ampak skoraj vsa realna števila so iracionalna in zato nimajo ponavljajočih se vzorcev in posledično nimajo ustreznih decimalnih števk. Uporaba natančnih vrednosti iracionalnih števil je v praksi nemogoča, zato namesto njih uporabljamo približke, iracionalno število se zaokroži na določeno število decimalk. Vse meritve so po svoji naravi približki in kadar se iracionalno število zamenja z njegovim približkom, se naredi napako.<ref>{{navedi splet|title=Približki in napake|url=https://eucbeniki.sio.si/vega1/44/index.html|website=eucbeniki.sio.si|accessdate=2021-09-05|archive-date=2021-09-05|archive-url=https://web.archive.org/web/20210905182159/https://eucbeniki.sio.si/vega1/44/index.html|url-status=dead}}</ref> Tako 123,456 velja za približek katerega koli realnega števila, ki je večje ali enako {{Sfrac|1234555|10000}} in manjše kot {{Sfrac|1234565|10000}} ([[zaokrožanje|zaokroženo]] na 3 decimalke) ali poljubno realno število, večje ali enako {{Sfrac|123456|1000}} in manjše kot {{Sfrac|123457|1000}} ([[krajšanje]] po 3. decimalki). 

=== Kompleksna števila ===

{{glavni|kompleksno število}}
[[slika:A_plus_bi.svg|desno|sličica|Kompleksno število se lahko vizualno predstavi kot par števil {{math|(''a'', ''b'')}}, ki oblikujeta [[Vektor (matematika)|vektor]] v [[Argandov diagram|Argandovem diagramu]] in tako ponazarjata [[kompleksna ravnina|kompleksno ravnino]]. »Re« je realna os, »Im« je imaginarna os in {{math|''i''}} je [[imaginarna enota]] za katero velja {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]

Če se preide na višjo stopnjo abstrakcije, se lahko realna števila razširi na [[kompleksno število|kompleksna števila]]. Ta množica števil je zgodovinsko nastala zaradi poskusov iskanja korenov [[polinom]]ov tretje in [[kvadratna funkcija|četrte]] stopnje. To je privedlo do izrazov, ki vključujejo kvadratne korene negativnih števil, in sčasoma do definicije novega števila: [[kvadratni koren|kvadratnega korena]] števila −1, označenega z ''[[imaginarna enota|i]]'', simbolom, ki ga je dodelil [[Leonhard Euler]] in se imenuje [[imaginarna enota]]. Kompleksna števila so sestavljena iz vseh števil formule:

: <math> \,a + b i \!\, , </math>

kjer sta ''a'' in ''b'' realni števili. Zaradi tega se lahko kompleksna števila predstavi kot točke v [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]], [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]] dveh realnih [[razsežnost|razsežnosti]]. V izrazu {{brez preloma|''a'' + ''bi''}} se realno število ''a'' imenuje [[kompleksno število|realna komponenta,]] ''b'' pa [[kompleksno število|imaginarna komponenta]] kompleksnega števila. Če sta realna in imaginarna komponenta kompleksnega števila celi števili, se to število imenuje [[Gaussovo celo število]]. Simbol za kompleksna števila je '''C''' ali <math> \mathbb{C} \!\, </math>.

== Podrazredi celih števil ==

=== Soda in liha števila ===

{{glavni|soda in liha števila}}

'''Sodo število''' je celo število, ki je "deljivo" s številom 2 brez ostanka; '''liho število''' je celo število, ki ni sodo. Soda števila imenujemo tudi '''parna''' števila, liha pa '''neparna''' števila.<ref>{{Navedi splet|title=Sodo in liho|url=https://eucbeniki.sio.si/mat5/713/index1.html|website=eucbeniki.sio.si|accessdate=2021-09-07|archive-date=2021-09-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20210907105810/https://eucbeniki.sio.si/mat5/713/index1.html|url-status=dead}}</ref> Vsako liho število ''n'' je mogoče sestaviti s formulo {{Brez preloma|''n'' {{=}} 2''k'' + 1,}} kjer je ''k'' celo število. Začenši s {{Brez preloma|''k'' {{=}} 0,}} so prva nenegativna liha števila {1, 3, 5, 7,. . . }. Vsako sodo število ''m'' ima obliko {{Brez preloma|''m'' {{=}} 2''k''}}, kjer je ''k'' zopet [[celo število]]. Podobno so prva nenegativna soda števila {0, 2, 4, 6,. . . }.

=== Praštevila ===

{{glavni|praštevilo}}

'''Praštevilo''' je celo število večje od 1, ki ni produkt dveh manjših pozitivnih celih števil. Prvih nekaj osnovnih praštevil je 2, 3, 5, 7 in 11. Ne obstaja preprosta formula, tako kot obstaja za liha in soda števila, ki bi zgenerirala praštevila. Praštevila preučujejo že več kot 2000 let in so privedla do številnih vprašanj na nekatera je bilo nekaj odgovorjenih. Proučevanje teh vprašanj spada v [[Teorija števil|teorijo števil]]. [[Goldbachova domneva]] je zgled še vedno neodgovorjenega vprašanja: "Ali se vsako sodo število zapiše kot vsota dveh praštevil?"

=== Drugi razredi celih števil ===

Mnoge podmnožice naravnih števil so bile predmet posebnih študij in so bile poimenovane, pogosto po prvem matematiku, ki jih je preučeval. Primer takšnih množic celih števil so [[Fibonaccijevo število|Fibonaccijeva števila]] in [[popolno število|popolna števila]]. Za več primerov glej [[celoštevilsko zaporedje]].

== Podrazredi kompleksnih števil ==

=== Algebrska, iracionalna in transcendentalna števila ===

[[algebrsko število|Algebrska števila]] so tista, ki so rešitev polinomske enačbe s celoštevilskimi koeficienti. Realna števila, ki niso racionalna števila, se imenujejo [[iracionalno število|iracionalna števila]]. Kompleksna števila, ki niso algebrska, se imenujejo [[transcendentno število|transcendentalna števila]]. 

=== Konstruktibilna števila ===

[[Konstruktibilna števila]] so števila, ki se jih lahko nariše le z ravnilom in šestilom. So tista kompleksna števila, katerih realne in imaginarne komponente je mogoče sestaviti z ravnilom in šestilom, začenši z dano enote dolžine, v končnem številu korakov.

=== Izračunljivo število ===

[[Izračunljivo število]], znano tudi kot ''rekurzivno število'', je [[realno število]]. Obstaja [[algoritem]], ki ob danem pozitivnem vhodnem številu ''n'' ustvari prvih ''n'' števk decimalk izračunljivega števila. Ekvivalentne definicije se lahko podajo z uporabo [[Μ-rekurzivne funkcije|μ-rekurzivnih funkcij]], [[Turingov stroj|Turingovih strojev]] ali [[Lambda analiza|λ-analize]] kot formalne predstavitve algoritmov.

== Razširitve ==

Nov razvoj je prinesel [[hiperrealno število|hiperrealna števila]] in [[surrealno število|surrealna števila]], ki razširijo realna števila z dodajanjem neskončno majhnih in neskončno velikih števil.

Namesto poljubno neskončno dolgih decimalnih zapisov desno za [[decimalna vejica|decimalno vejico]], ki vodijo od racionalnih do realnih števil, se lahko dopusti neskončne decimalne zapise levo od decimalne vejice, kar pripelje do [[p-adično število|p-adičnih števil]].

[[ordinalno število|Ordinalna števila]] in [[kardinalno število|kardinalna števila]] so posplošitev naravnih števil za merjenje velikosti neskončnih množic.

[[aritmetična operacija|Aritmetične operacije]], kot sta [[dvočlena operacija|dvočleni operaciji]] [[seštevanje|seštevanja]] in [[množenje|množenja]], se posploši v [[matematika|matematični]] veji [[abstraktna algebra|abstraktne algebre]]. S tem se dobi [[algebrska struktura|algebrske strukture]] [[grupa|grupo]], [[kolobar (algebra)|kolobar]] in [[obseg (algebra)|obseg]].

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[seznam števil]]
* [[imena števil]]
* [[tabela prafaktorjev števil]]
* [[slovnično število]]
* [[števnik]]
{{div col end}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

{{Commons|Numbers}}
{{Wikislovar|število|Število}}

{{-}}

{{števila}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematika]]
[[Kategorija:Števila| ]]