Ogled vira Aditivna konstanta

'''Aditívna konstánta''', '''konstánta integrácije''' ali '''integracíjska konstánta''' (običajna oznaka ''[[C]]'', tudi ''c'' in v [[fizika|fiziki]] pri [[integral|integraciji]] včasih tudi <math>\mathrm{konst.}</math>) je v [[infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]] in [[matematična analiza|matematični analizi]] poljubno [[število]], ki se pojavlja pri [[nedoločeni integral|nedoločenem integralu]] dane (izvorne) [[funkcija|funkcije]] (množici vseh [[primitivna funkcija|primitivnih funkcij]], oziroma [[prvotna funkcija|prvotnih funkcij]]). Ta [[konstanta]] izraža nejasnost, ki je svojstvena konstrukciji primitivnih funkcij. Če je funkcija <math>f(x)</math> definirana na [[interval]]u in je <math>F(x)</math> primitivna funkcija funkcije <math>f(x)</math>, je [[množica]] vseh primitivnih funkcij funkcije <math>f(x)</math> dana s funkcijami <math>F(x) + C</math>, kjer je ''C'' poljubna konstanta.

== Izvor konstante ==
[[slika:Constant of integration 001.png|thumb|right|200px|Različne [[primitivna funkcija|primitivne funkcije]] <math>F_{i}(x)</math> dane (izvorne) funkcije <math>f(x)</math>. V tem primeru je <math>f(x) = 3x^{2}-2</math>]]

[[Odvod]] poljubne [[konstantna funkcija|konstantne funkcije]] je enak [[0]]. Ko se najde primitivno funkcijo <math>F(x)</math>, prištevanje ali odštevanje konstante ''C'' da drugo primitivno funkcijo, ker je:

: <math> (F(x) + C)' = F\,'(x) + C\,' = F\,'(x) \!\, . </math>

Konstanta je način izražave, da ima vsaka funkcija [[neskončnost|neskončno]] mnogo različnih primitivnih funkcij. Primitivna funkcija ali nedoločeni integral je tako množica vseh funkcij <math>F(x)</math>, katerih odvodi so enaki <math>f(x)</math>, oziroma:

: <math> F'(x) = f(x) \!\, , </math>

ali tudi, katerih [[diferencial]]i so enaki:

: <math> \mathrm{d}F(x) = f(x) \mathrm{d}x \!\, . </math>

Razlika dveh primitivnih funkcij <math>F_{1}</math> in <math>F_{2}</math> funkcije <math>f(x)</math> je konstanta;

: <math> F_{1} - F_{2} = C \!\, </math>

in nedoločeni integral kot množico po navadi zapišemo kot:

: <math> \int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C \!\, . </math>

Želi se na primer najti primitivne funkcije <math>\cos x</math>. Ena je <math>\sin x</math>. Druga je <math>\sin x+1</math>. Tretja je <math>\sin x-\pi</math>. Odvod vsake od teh je enak <math>\cos x</math>, in so tako vse primitivne funkcije <math>\cos x</math>. 

Izkaže se, da je [[seštevanje|prištevanje]] ali [[odštevanje]] konstant edina možnost, ki je na razpolago pri iskanju različnih primitivnih funkcij iste funkcije. Vse primitivne funkcije so enake do konstante. To dejstvo za <math>\cos x </math> se zapiše kot:

: <math>\int \cos x \,\mathrm{d}x = \sin x + C \!\, .</math>

Če se zamenja ''C'' s številom, se dobi primitivno funkcijo. Če se zgoraj namesto števila zapiše ''C'', se dobi v zgoščeni obliki vse možne primitivne funkcije <math>\cos x</math>. ''C'' je aditivna konstanta. Preprosto se lahko prepriča, da so vse te funkcije res primitivne funkcije <math>\cos x</math>:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [\sin x + C] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [\sin x] + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [C] = \cos x + 0 = \cos x  \!\, . </math>

== Nujnost konstante ==

Na prvi pogled se zdi, da konstanta ni potrebna, ker lahko zavzame tudi vrednost 0. Pri računanju [[določeni integral|določenega integrala]] se po [[osnovni izrek infinitezimalnega računa|osnovnem izreku matematične analize]] konstanta vedno izniči.

Vedno enačiti konstanto z 0 pa ni smiselno. Funkcijo <math> 2\sin x \cos x  \!\, </math> se lahko integrira na dva načina:

: <math> \begin{align}
\int 2\sin x \cos x \,\mathrm{d}x &=&  \sin^{2} x  + C &=& -\cos^{2} x + 1 + C \\
\int 2\sin x \cos x \,\mathrm{d}x &=& -\cos^{2} x + C &=&  \sin^{2} x  - 1 + C \!\, . 
\end{align} </math>

Če se enači ''C'' z 0, konstanta še vedno ostaja. To pomeni, da za dano funkcijo ne obstaja »najpreprostejša primitivna funkcija«. Če se aditivno konstanto zanemari, se lahko skonstruira [[napačni dokaz]], da velja 1 = 0, kar mora biti očitno napačno.

Drug problem pri vrednosti ''C'' = 0 je, da se včasih želi poiskati primitivno funkcijo, ki ima dano vrednost v dani [[Točka (geometrija)|točki]], kot na primer v problemu začetne vrednosti. Če se želi najti primitivno funkcijo za <math>\cos(x)</math>, ki ima vrednost 100 v točki ''x'' = ''π'', je edina vrednost za ''C'' enaka ''C'' = 100.

To omejitev se lahko drugače izrazi z jezikom [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]]. Iskanje nedoločenega integrala funkcije <math>f(x)</math> je isto kot reševanje diferencialne enačbe <math>\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = f(x)</math>. Vsaka diferencialna enačba bo imela mnogo rešitev in vsaka konstanta predstavlja enolično rešitev dobro zastavljenega problema začetnih vrednosti. Če se za pogoj privzame, da zavzame obravnavana primitivna funkcija vrednost 100 v točki ''x'' = π, se dobi začetni pogoj. Vsak začetni pogoj odgovarja samo eni vrednosti ''C'', tako da se brez konstante ''C'' ne bi dačo rešiti problema.

Iz [[abstraktna algebra|abstraktne algebre]] prihaja še druga stvar. Prostor vseh (primernih) realnih funkcij na [[realno število|realnih številih]] je [[vektorski prostor]] in [[diferencialni operator]] <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math> je [[linearni operator]]. Operator <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math> [[preslikava|preslika]] funkcijo v 0, samo če je ta funkcija konstanta. Zaradi tega je [[jedro (algebra)|jedro]] <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}</math> prostor vseh konstantnih funkcij. Proces iskanja nedoločenega integrala je iskanje praslike dane funkcije. Ne obstaja kanonična praslika dane funkcije, množica vse takšnih praslik tvori [[somnožica|somnožico]]. Izbira konstante je enaka izbiri elementa somnožice. V tem smislu je reševanje problema začetnih vrednosti predstavljeno kot lega v [[hiperravnina|hiperravnini]], ki je dana z začetnimi pogoji.

== Razlika primitivnih funkcij ==

Naj sta <math>F_{1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> in <math>F_{2}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math> dve povsod odvedljivi funkciji. Naj pri tem velja <math>F_{1}\,'(x) = F_{2}\,'(x)</math> za vsak realni ''x''. Potem obstaja takšno realno število ''C'', da bo razlika <math>F_{1}(x) - F_{2}(x) = C</math> za vsak realni ''x''.

Opazi se, da velja <math>[F_{1}(x) - F_{2}(x)]' = 0</math>. Tako lahko <math>F_{1}</math> zamenjamo z <math>F_{1} - F_{2}</math> in <math>F_{2}</math> s konstantno funkcijo 0, kar vodi do [[matematični dokaz|dokaza]], da mora biti povsod odvedljiva funkcija, katere primitivna funkcija je vedno 0, konstanta:

Izbere se realno število ''a'' in naj velja <math>C = F(a)</math>. Za vsak ''x'' je po osnovnem izreku analize:

: <math> \int_a^x 0\,\mathrm{d}t = F(x)-F(a) = F(x)-C \!\, , </math>

kar pomeni, da je <math>F(x)=C</math>, in ''F'' je konstantna funkcija.

Dve dejstvi sta pomembni pri tem dokazu. [[številska premica|Realna premica]] je [[povezanost|povezana]]. Če ne bi bila, se ne bi dalo zmeraj integrirati v mejah od dane vrednosti ''a'' do poljubne vrednosti ''x''. Če je treba na primer iskati funkciji, definirani na uniji intervalov [0,1] in [2,3], pri čemer je ''a'' enak 0, potem se ne bi dalo najti integrala v mejah od 0 do 3, saj funkcija med 1 in 2 ni definirana. Tako bi obstajali dve konstanti, vsaka za posamezno povezano komponento [[definicijsko območje|domene]]. V splošnem se lahko razširi ta izrek na nepovezane domene z zamenjavo konstant z [[lokalno konstantna funkcija|lokalno konstantnimi funkcijami]].

Predpostavilo se je, da sta <math>F_{1}</math> in <math>F_{2}</math> povsod odvedljivi. Če nista odvedljivi vsaj v eni točki, izrek ne velja. Naj je primitivna funkcija <math>F_{1}(x)</math> [[Heavisidova skočna funkcija]], enaka 0 za [[negativno število|negativne]] vrednosti ''x'' in 1 za [[nenegativno število|nenegativna]] vrednosti ''x''. Naj je še <math>F_{2}(x)=0</math>. Potem je odvod <math>F_{1}</math> enak 0, kjer je definirana, in odvod od <math>F_{2}</math> je vedno enak 0. Jasno je, da se <math>F_{1}</math> in <math>F_{2}</math> ne razlikujeta za konstanto.

Tudi, če se predpostavi, da sta <math>F_{1}</math> in <math>F_{2}</math> povsod zvezni in skoraj povsod odvedljivi, izrek še vedno ne velja. Naj je sedaj <math>F_{1}</math> [[Cantorjeva funkcija]] in naj je spet <math>F_{2} = 0</math>.

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Integralni račun]]