Ogled vira Algebrska geometrija

{{short description|veja matematike}}
[[slika:Togliatti surface.png|thumb|Ta [[Togliattijeva ploskev]] je [[vozliščna ploskev|vozliščna]] [[algebrska ploskev]] pete stopnje. Slika prikazuje del njenega [[realno število|realnega]] [[geometrijsko mesto točk|geometrijskega mesta točk]].]]
{{splošna geometrija|veje}}

'''Algébrska geometríja''' je veja [[matematika|matematike]], ki klasično raziskuje [[ničla funkcije|ničle]] [[polinom]]ov z več [[spremenljivka|spremeljivkami]]. Moderna algebrska geometrija temelji na rabi tehnik [[abstraktna algebra|abstraktne algebre]], največ iz [[komutativna algebra|komutativne algebre]], za reševanje  [[geometrija|geometrijskih]] problemov o teh [[množica]]h ničel.

Temeljni predmeti proučevanja algebrske geometrije so [[algebrska varieteta|algebrske varietete]], ki so geometrijske manifestacije [[rešitev enačbe|rešitev]] [[sistem polinomskih enačb|sistemov polinomskih enačb]]. Zgledi najbolj raziskanih razredov algebrskih varietet so: [[ravninska algebrska krivulja|ravninske algebrske krivulje]], ki vključujejo [[premica|premice]], [[stožnica|stožnice]] ([[krožnica|krožnice]], [[parabola|parabole]], [[elipsa|elipse]], [[hiperbola|hiperbole]]), [[krivulja tretje stopnje|kubične krivulje]], kot na primer [[eliptična krivulja|eliptične krivulje]], in [[krivulja četrte stopnje|kvartične krivulje]], kot so [[Bernoullijeva lemniskata|Bernoullijeve lemniskate]] in [[Cassinijeva jajčnica|Cassinijevi ovali]]. Točka na ravnini pripada algebrski krivulji, če njene [[koordinatni sistem|koordinate]] zadoščajo dani [[polinomska enačba|polinomski enačbi]]. Osnovna vprašanja vključujejo raziskovanje [[točka (geometrija)|točk]] posebnega pomena, kot so [[singularna točka krivulje|singularne točke]], [[prevoj]]ne točke in [[točka v neskončnosti|točke v neskončnosti]]. Naprednejša vprašanja vključujejo [[topologija|topologijo]] [[krivulja|krivulje]] in razmerja med krivuljami, podanimi z različnimi enačbami.

Algebrska geometrija zavzema osrednje mesto v moderni matematiki in ima številne konceptualne povezave s tako različnimi področji, kot so [[kompleksna analiza]], topologija in [[teorija števil]]. Sprva kot študij sistemov polinomskih enačb več spremenljivk, se predmet algebrske geometrije začne tam, kjer se konča [[reševanje enačb]], in postane še pomembnejši kot razumevanje vrojenih značilnosti celote rešitev sistema enačb kot najti specifično rešitev – to vodi v nekatera najgloblja področja v vsej matematiki, tako konceptualno kot v smislu tehnike.
<!-- this paragraph is misplaced in the lead. May be in the history section?
[[Descartes]]'s idea of [[coordinates]] is central to algebraic geometry, because a '''point''' of an algebraic variety is a point whose coordinates are a solution of the equations defining the variety. However it has undergone a series of remarkable transformations beginning in the early 19th century. Before then, the coordinates were assumed to be [[tuple]]s of [[real number]]s, but this changed when first [[complex number]]s, and then elements of an arbitrary [[field (mathematics)|field]] became acceptable. [[Homogeneous coordinates]] of [[projective geometry]] offered an extension of the notion of coordinate system in a different direction, and enriched the scope of algebraic geometry. -->

V 20. stoletju se je algebrska geometrija razcepila na več podpodročij:
* glavni tok algebrske geometrije je posvečen študiju kompleksnih točk algebrskih varietet in na splošno točkam s koordinatami v [[algebrsko zaprto polje|algebrsko zaprtem polju]].
* [[realna algebrska geometrija]] je raziskovanje [[realno število|realnih]] točk algebrskih varietet.
* [[diofantska geometrija]] in splošneje [[aritmetična geometrija]] je raziskovanje točk algebrske varietete s koordinatami v [[obseg (algebra)|poljih]], ki niso algebrsko zaprti, in se pojavljajo v [[algebrska teorija števil|algebrski teoriji števil]], kot so [[polje (matematika)|polja]] [[racionalno število|racionalnih števil]], [[obseg algebrskih števil|številska polja]], [[končni obseg|končna polja]], [[polje algebrskih funkcij|funkcijska polja]] in [[p-adično število|''p''-adična polja]].
* velik del [[teorija singularnosti|teorije singularnosti]] je posvečen [[matematična singularnost|singularnostim]] algebrskih varietet.
* [[računalniška algebrska geometrija]] je področje, ki se je pojavilo na stičišču algebrske geometrije in [[računalniška algebra|računalniške algebre]] z vzponom [[računalnik]]ov. Sestoji se predvsem iz načrtovanja [[algoritem|algoritmov]] in razvoja [[programska oprema|programske opreme]] za raziskovanje značilnosti eksplicitno danih algebrskih varietet.

Velik del razvoja glavnega toka algebrske geometrije v 20. stoletju se je zgodil znotraj okvira abstraktne algebre, pri čemer je bil vedno večji poudarek na »vrojenih« značilnostih algebrskih varietet, ki niso odvisne od nobenega posebnega načina vgrajevanja varietete v okoljski koordinatni prostor – to je vzporedno z razvojem topologije, [[diferencialna geometrija|diferencialne]] in [[kompleksna geometrija|kompleksne geometrije]]. Eden ključnih dosežkov te abstraktne algebrske geometrije je [[Alexander Grothendieck|Grothendieckova]] [[shema (matematika)|teorija shem]], ki omogoča uporabo [[snop (matematika)|teorije snopov]] za raziskovanje algebrskih varietet na način, ki je zelo podoben njeni rabi pri raziskovanju [[diferenciabilna mnogoterost|diferencialnih]] in [[analitična mnogoterost|analitičnih mnogoterosti]]. To se pridobi z razširitvijo pojma točke – v klasični algebrski geometriji se lahko točko [[afina varieteta|afine varietete]] po [[Hilbertov izrek o ničlah|Hilbertovem izreku o ničlah]] identificira z [[maksimalni ideal|maksimalnim idealom]] [[koordinatni kolobar|koordinatnega kolobarja]], medtem ko so točke ustrezne afine sheme vse [[praideal]]i tega [[kolobar (algebra)|kolobarja]]. To pomeni, da je točka takšne sheme lahko bodisi običajna točka bodisi podvarieteta. Ta pristop omogoča tudi poenotenje jezika in orodij klasične algebrske geometrije, ki se v glavnem ukvarja s kompleksnimi točkami, in algebrske teorije števil. [[Wilesov dokaz Fermatovega velikega izreka|Wilesov dokaz]] dolgotrajne domneve, imenovane [[Fermatov veliki izrek]], je zgled moči takšnega pristopa.

== Osnovni pojmi ==

{{glej|algebrska varieteta}}

=== Ničle simultanih polinomov ===

[[slika: Unit circle.svg|thumb|right|[[Enotska krožnica]]]]
[[slika:Slanted circle.png|thumb|right|[[Enotska sfera]] in poševna [[krožnica]]]]

V klasični algebrski geometriji so glavni predmeti zanimanja izginjajoče množice zbirk [[polinom]]ov, kar pomeni množico vseh točk, za katere hkrati velja ena ali več [[sistem polinomskih enačb|polinomskih enačb]]. [[Enotska krožnica]] v [[dvorazsežni prostor|dvorazsežnem]] [[evklidski prostor|evklidskem prostoru]] <math> \R^{2} \!\, </math> se lahko na primer definira kot množica vseh točk <math> (x, y) \!\, </math> s polinomsko enačbo:{{r|garr_2013}}

: <math> x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \!\, , </math>

Podobno se lahko definira [[enotska sfera]] – [[n-sfera|dvorazsežna]] [[sfera]] s [[polmer]]om [[1 (število)|1]] v [[trirazsežni prostor|trirazsežnem]] evklidskem prostoru <math> \R^{3} \!\, </math> kot množica vseh točk <math> (x, y, z) \!\, </math> s polinomsko enačbo:

: <math> x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 \!\, . </math>

»Poševna« [[krožnica]] v <math> \R^{3} \!\, </math> se lahko definira kot množica vseh točk <math> (x, y, z) \!\, </math>, za ketere veljata polinomski enačbi:

: <math> x^{2} + y^{2} + z^{2} - 1 = 0 \!\, , </math>
: <math> x + y + z = 0 \!\, . </math>

=== Afine varietete ===

{{glavni|afina varieteta}}

Najprej se obravnava [[polje (matematika)|polje]] ([[komutativni obseg]]) <math> k \!\, </math>. V klasični algebrski geometriji je bilo to polje vedno polje [[kompleksno število|kompleksnih števil]] <math> \C \!\, </math>, vendar je veliko istih rezultatov resničnih, če se predpostavi le, da je <math> k \!\, </math> [[algebrsko zaprto polje|algebrsko zaprt]]. Upošteva se [[afini prostor]] [[razsežnost (vektorski prostor)|razsežnosti]] <math> n \!\, </math> nad <math> k \!\, </math>, označen z <math> \mathbf{A}^{n}(k) \!\, </math> (ali preprosteje <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, ko je pomen <math> k \!\, </math>  jasen iz konteksta). Ko se določi koordinatni sistem, se lahko <math> \mathbf{A}^{n}(k) \!\, </math> identificira s <math> k^{n} \!\, </math>. Namen nedelovanja s <math> k^{n} \!\, </math> je poudariti, da se »pozablja« struktura [[vektorski prostor|vektorskega prostora]], ki jo nosi <math> k^{n} \!\, </math>.

Funkcija <math> f : \mathbf{A}^{n} \to \mathbf{A}^{1} \!\, </math> je polinomska (ali ''regularna''), če se jo lahko zapiše kot polinom, to je, če obstaja polinom <math> p \!\, </matH> v <math> k \left[ x_{1}, \cdots , x_{n} \right] \!\, </math>, tako da velja <math> f(M ) = p(t_{1}, \cdots , t_{n} \!\, </math>) za vsako točko <math> M \!\, </math> s koordinatami <math> (t_{1}, \cdots , t_{n} \!\, </math>) v <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>. Značilnost funkcije, da je polinomska (ali regularna), ni odvisna od izbire koordinatnega sistema v <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>.

Ko je koordinatni sistem izbran, se lahko regularne funkcije na afinem ''n''-prostoru identificira s kolobarjem [[polinomska funkcija|polinomskih funkcij]] <math> n \!\, </math> spremenljivk nad <math> k \!\, </math>. Zato je množica regularnih funkcij na <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math> kolobar, ki se ga označi s <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math>.

Polinom ''izgine'' v točki, če njegovo vrednotenje v tej točki da nič. Naj bo <math> S \!\, </math> množica polinomov v <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math>. Izginjajoča množica <math> S \!\, </math> (ali izginjajoče geometrijsko mesto točk ali ničelna množica) je množica <math> V(S) \!\, </math> vseh točk v <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, kjer vsak polinom iz <math> S \!\, </math> izgine. Ali simbolično:

: <math> V(S) = \{(t_{1}, \cdots, t_{n}) \mid p(t_{1}, \cdots, t_{n}) = 0 \text{ za vse } p \in S\} \!\, . </math>

[[Podmnožica]] <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, ki je <math> V(S) \!\, </math>, za neko množico <math> S \!\, </math>, se imenuje ''algebrska množica.'' <math> V \!\, </math> pomeni varieteto (posebno vrsto algebrske množice, ki bo definirana spodaj).

Ali se lahko glede na dano podmnožico <math> U \!\, </math> množice <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math> obnovi množico polinomov, ki jo generirajo? Če je <math> U \!\, </math> ''poljubna'' podmnožica <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, se definira <math> I(U) \!\, </math> kot množico vseh polinomov, katerih izginjajoča množica vsebuje <math> U \!\, </math>. <math> I \!\, </math> pomeni [[ideal (teorija kolobarjev)|ideal]] – če dva polinoma <math> f \!\, </math> in <math> g \!\, </math> oba izgineta na <math> U \!\, </math>, potem <math> f + g \!\, </math> izgine na <math> U \!\, </math>, in če je <math> h \!\, </math> poljubni polinom, potem <math> hf \!\, </math> izgine na <math> U \!\, </math>, tako da je <math> I(U) \!\, </math> vedno ideal polinomskega kolobarja <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math>.

Postavita se lahko dve naravni vprašanji:
* kdaj za dano podmožico <math> U \!\, </math> množice <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math> velja <math> U = V(I(U)) \!\, </math>?
* kdaj za dano množico polinomov <math> S \!\, </math> velja <math> S = I(V(S)) \!\, </math>?

Odgovor na prvo vprašanje daje uvedba [[topologija Zariskega|topologije Zariskega]], topologije na <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, katere [[zaprta množica|zaprte množice]] so algebrske množice in ki neposredno odraža [[algebrska struktura|algebrsko strukturo]] <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math>. Potem je <math> U = V(I(U)) \!\, </math>, [[če in samo če]] je <math> U \!\, </math> algebrska množica ali enakovredno zaprta množica po Zariskem. Odgovor na drugo vprašanje daje [[Hilbertov izrek o ničlah]]. V eni od svojih oblik pravi, da je <math> I(V(S)) \!\, </math> [[radikal ideala]], ki ga generira <math> S \!\, </math>. V bolj abstraktnem jeziku obstaja [[Galoisova povezava]], ki povzroči dva [[operator zaprtja|operatorja zaprtja]] – mogoče ju je identificirati in imata seveda osnovno vlogo v teoriji. Zgled je razdelan pri Galoisovi povezavi.

Zaradi različnih razlogov se morda ne želi vedno delati s celotnim idealom, ki ustreza algebrski množici <math> U \!\, </math>. [[Hilbertov izrek o bazi]] implicira, da so ideali v <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math> vedno končno generirani.

Algebrska množica se imenuje ''[[ireducibilna komponenta|ireducibilna]]'', če je ni mogoče zapisati kot [[unija množic|unijo]] dveh manjših algebrskih množic. Vsaka algebrska množica je končna unija ireducibilnih algebrskih množic in ta dekompozicija je edinstvena. Zato se njeni elementi imenujejo ''ireducibilne komponente'' algebrske množice. Ireducibilna algebrska množica se imenuje tudi ''[[algebrska varieteta|varieteta]]''. Izkaže se, da je algebrska množica varieteta, če in samo če se jo lahko definira kot izginjajočo množico [[praideal]]a polinomskega kolobarja.

Nekateri avtorji ne razlikujejo jasno med algebrskimi množicami in varietetami in za razlikovanje uporabljajo ''ireducibilno varieteto'', kadar je to potrebno.

=== Regularne funkcije ===

{{glavni|morfizem algebrskih varietet}}

Tako kot so [[zvezna funkcija|zvezne funkcije]] naravne [[preslikava|preslikave]] na [[topološki prostor|topoloških prostorih]] in [[gladka funkcija|gladke funkcije]] naravne preslikave na [[diferenciabilna mnogoterost|diferenciabilnih mnogoterostih]], obstaja naravni razred funkcij na algebrski množici, ki se imenuje ''regularne funkcije'' ali ''polinomske funkcije''. Regularna funkcija na algebrski množici <math> V \!\, </math>, ki jo vsebuje <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, je omejitev na <math> V \!\, </math> regularne funkcije na <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>. Za algebrsko množico, definirano na polju kompleksnih števil, so regularne funkcije gladke in celo [[analitična funkcija|analitične]].

Morda se zdi nenaravno omejujoče zahtevati, da se regularna funkcija vedno razširi na okoljski prostor, vendar je zelo podobno stanju v [[normalni prostor|normalnem]] topološkem prostoru, kjer [[Tietzejev razširitveni izrek]] zagotavlja, da se zvezna funkcija na zaprti podmnožici vedno razširi na okoljski topološki prostor.

Tako kot regularne funkcije na afinem prostoru tudi regularne funkcije na <math> V \!\, </math> tvorijo kolobar, ki se ga označi s <math> k \left[ V \right] \!\, </math>. Ta kolobar se imenuje [[koordinatni kolobar]] <math> V \!\, </math>.

Ker regularne funkcije na <math> V \!\, </math> izvirajo iz regularnih funkcij na <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>, obstaja razmerje med koordinatnimi kolobarji. Še posebej, če je regularna funkcija na <math> V \!\, </math> omejitev dveh funkcij <math> f \!\, </math> in <math> g \!\, </math> v <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] \!\, </math>, potem je <math> f - g \!\, </math> polinomska funkcija, ki je enaka nič na <math> V \!\, </math> in tako pripada <math> I(V) \!\, </math>. Tako se lahko <math> k \left[ V \right] \!\, </math> identificira s <math> k \left[ \mathbf{A}^{n} \right] / I(V) \!\, </math>.

=== Morfizem afinih varietet ===

Z uporabo regularnih funkcij iz afine varietete v <math> \mathbf{A}^{1} \!\, </math> se lahko definira [[regularna preslikava|regularne preslikave]] iz ene afine varietete v drugo. Najprej se definira regularno preslikavo iz varietete v afini prostor. Naj bo <math> V \!\, </math> varieteta, ki jo vsebuje <math> \mathbf{A}^{n} \!\, </math>. Izbere se <math> m \!\, </matH> regularnih funkcij na <math> V \!\, </math> in se jih poimenuje <math> f_{1}, \cdots , f_{m} \!\, </math>. ''Regularna preslikava'' <math> f \!\, </math> iz <math> V \!\, </math> v <math> \mathbf{A}^{m} \!\, </math> se definira tako, da velja <math> f = (f_{1}, \cdots , f_{m}) \!\, </math>. Ali z drugimi besedami, vsaka <math> f_{i} \!\, </math> določa eno koordinato [[slika (matematika)|območja]] <math> f \!\, </math>.

Če je <math> V' \!\, </math> varieteta, ki jo vsebuje <math> \mathbf{A}^{m} \!\, </math>, je <math> f \!\, </math> regularna preslikava iz <math> V \!\, </math> v <math> V' \!\, </math>, če <math> V' \!\, </math> vsebuje območje <math> f \!\, </math>.

Definicija regularnih preslikav velja tudi za algebrske množice. Regularne preslikave se imenujejo tudi ''morfizmi'', saj tvorijo zbirko vseh afinih algebrskih množic v [[teorija kategorij|kategorijo]], kjer so objekti afine algebrske množice, [[morfizem|morfizmi]] pa so regularne preslikave. Afine varietete so podkategorija [[kategorija (matematika)|kategorije]] algebrskih množic.

Glede na dano regularno preslikavo <math> g \!\, </math> iz <math> V \!\, </math> v <math> V' \!\, </math> in regularno funkcijo <math> f \!\, </math> od <math> k \left[ V' \right] \!\, </math> velja <math> f \circ g \in k \left[ V \right] \!\, </math>. Preslikava <math> f \to f \circ g \!\, </math> je [[homomorfizem kolobarjev]] iz <math> k \left[ V' \right] \!\, </math> v <math> k \left[ V \right] \!\, </math>. Nasprotno pa vsak homomorfizem kolobarjev iz <math> k \left[ V' \right] \!\, </math> v <math> k \left[ V \right] \!\, </math> definira regularno preslikavo iz <math> V \!\, </math> v <math> V' \!\, </math>. To definira [[ekvivalenca kategorij|ekvivalenco kategorij]] med kategorijo algebrskih množic in [[dual (teorija kategorij)|nasprotno kategorijo]] končno generiranih [[reducirani kolobar|reduciranih]] ''k''-algeber. Ta ekvivalenca je eno od izhodišč [[teorija shem|teorije shem]].

=== Racionalna funkcija in biracionalna ekvivalenca ===

{{glavni|racionalna preslikava}}

V nasprotju s prejšnjimi razdelki se ta razdelek nanaša le na varietete in ne na algebrske množice. Po drugi strani pa se definicije naravno razširijo na projektivne varietete ([[#Projektivna varieteta|naslednji razdelek]]), saj imata afina varieteta in njena projektivna [[zapolnitev]] isto polje funkcij.

Če je <math> V \!\, </math> afina varieteta, je njen koordinatni kolobar [[celostna domena]] in ima torej [[polje ulomkov]], ki se ga označi s <math> k(V) \!\, </math> in se imenuje ''polje racionalnih funkcij'' na <math> V \!\, </math> ali, na kratko, ''[[funkcijsko polje algebrske varietete|funkcijsko polje]]'' <math> V \!\, </math>. Njegovi elementi so omejitve na <math> V \!\, </math> [[racionalna funkcija|racionalnih funkcij]] nad afinim prostorom, ki vsebuje <math> V \!\, </math>. [[domena funkcije|Domena]] racionalne funkcije <math> f \!\, </math> ni <math> V \!\, </math>, ampak [[komplement množice|komplement]] [[podvarieteta (matematika)|podvarietete]] ([[hiperploskev|hiperploskve]]), kjer imenovalec <math> f \!\, </math> izgine.

Kot pri regularnih preslikavah se lahko definira ''racionalno preslikavo'' iz varietete <math> V \!\, </math> v varieteto <math> V' \!\, </math>. Kot pri regularnih preslikavah se lahko racionalne preslikave iz <math> V \!\, </math> v <math> V' \!\, </math> identificira s [[homomorfizem kolobarjev|homomorfizmi polj]] iz <math> k(V') \!\, </math> v <math> k(V) \!\, </math>.

Dve afini varieteti sta ''biracionalno ekvivalentni'', če sta med njimi dve racionalni funkciji, ki sta [[inverzna funkcija|inverzni]] druga drugi v območjih, kjer sta obe definirani. Enakovredno sta [[biracionalna geometrija|biracionalno]] ekvivalentni, če sta njuni funkcijski polji izomorfni.

Afina varieteta je ''[[racionalna varieteta]]'', če je biracionalno ekvivalentna afinemu prostoru. To pomeni, da varieteta dopušča ''racionalno parametrizacijo'', to je [[parametrizacija (geometrija)|parametrizacijo]] z racionalnimi funkcijami. Na primer [[krožnica]] enačbe <math> x^{2} + y^{2} - 1 = 0 \!\, </math> je [[racionalna krivulja]], saj ima [[parametrična enačba|parametrično enačbo]]:

: <math> x = \frac{2 \, t}{1 + t^{2}} \!\, </math>
: <math> y = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} \!\, , </math>

na katero se lahko gleda kot na racionalno preslikavo iz [[premica|premice]] na krožnico.

Problem [[razrešitev singularnosti|razrešitve singularnosti]] je vedeti, ali je vsaka algebrska varieteta biracionalno ekvivalentna varieteti, katere projektivna zapolnitev je nesingularna (glej tudi [[gladka zapolnitev]]). [[Heisuke Hironaka]] ga je leta 1964 rešil pritrdilno v [[karakteristika (algebra)|karakteristiki]] 0, v končni karakteristiki <math> p \!\, </math> pa je še [[nerešeni matematični problemi|nerešen]] v [[razsežnost]]ih vsaj 4.{{r|hiro_1964}}{{r|haus_2010}}

=== Projektivna varieteta ===

{{glavni|algebrska geometrija projektivnih prostorov}}

[[slika:Parabola & cubic curve in projective space.png|thumb|right|[[Parabola]] (<math> y = x^{2} \!\, </math>, rdeče) in [[kubična krivulja]] (<math> y = x^{3} \!\, </math>, modro) v [[projektivni prostor|projektivnem prostoru]]]]

Tako kot formule za [[ničla polinoma|ničle polinomov]] druge, tretje in četrte stopnje kažejo razširitev realnih števil na bolj algebrsko popolno ozadje kompleksnih števil, številne značilnosti algebrskih varietet kažejo razširitev afinega prostora na geometrično popolnejši projektivni prostor. Medtem ko se kompleksna števila dobi z dodajanjem [[imaginarna enota|števila ''i'']], ničle polinoma druge stopnje <math> x^{2} + 1 \!\, </math>, se projektivni prostor dobi z dodajanjem ustreznih [[točka v neskončnosti|točk »v neskončnosti«]], točk, kjer se vzporedne premice lahko srečajo.

Če se želi videti, kako bi lahko prišlo do tega, je treba razmisliti o varieteti <math> V(y - x^{2}) \!\, </math>. Če se jo nariše, se dobi [[parabola|parabolo]]. Ko gre <math> x \!\, </math> v pozitivno [[neskončnost]], gre tudi naklon premice od izhodišča do točke <math> (x, x^{2}) \!\, </math> v pozitivno neskončnost. Ko gre <math> x \!\, </math> v negativno neskončnost, gre naklon iste premice v negativno neskončnost.

Če se primerja to z varieteto <math> V(y - x^{3}) \!\, </math>, je to [[kubična krivulja]]. Ko gre <math> x \!\, </math> v pozitivno neskončnost, gre naklon premice od izhodišča do točke <math> (x, x^{3}) \!\, </math> v pozitivno neskončnost tako kot prej. Toda za razliko od prej gre <math> x \!\, </math>, ko gre v negativno neskončnost, tudi naklon iste premice v pozitivno neskončnost – pravo nasprotje parabole. Torej se obnašanje »v neskončnosti« varietete <math> V(y - x^{3}) \!\, </math> razlikuje od obnašanja »v neskončnosti« variete <math> V(y - x^{2}) \!\, </math>.

Upoštevanje ''projektivne zapolnitve'' obeh krivulj, ki je njuno podaljšanje »v neskončnost« v [[projektivna ravnina|projektivni ravnini]], omogoča kvantificiranje te razlike: točka v neskončnosti parabole je [[singularna točka algebrske varietete|regularna točka]], katere [[tangenta]] je [[premica v neskončnosti]], medtem ko je točka v neskončnosti kubične krivulje njena [[točka obrata]]. Prav tako sta obe krivulji racionalni, saj sta parametrizirani z <math> x \!\, </math>, [[Riemann-Rochov izrek za algebrske krivulje|Riemann-Rochov izrek]] pa implicira, da mora imeti kubična krivulja [[matematična singularnost|singularnost]], ki mora biti v neskončnosti, saj so vse njene točke v afinem prostoru regularne.

Tako je veliko značilnosti algebrskih varietet, vključno z biracionalno ekvivalenco in vsemi topološkimi značilnostmi, odvisnih od obnašanja »v neskončnosti«, zato je naravno preučevanje varietet v projektivnem prostoru. Poleg tega je uvedba projektivnih tehnik naredila številne izreke v algebrski geometriji preprostejše in ostrejše. [[Bézoutov izrek]] o številu [[presečišče|presečišč]] med dvema varietetama je na primer mogoče navesti v najostrejši obliki samo v projektivnem prostoru. Zaradi teh razlogov ima projektivni prostor osnovno vlogo v algebrski geometriji.

Sedaj je ''[[projektivni prostor]]'' <math> P^{n} \!\, </math> razsežnosti <math> n \!\, </math> običajno definiran kot množica premic skozi točko, ki velja za izhodišče, v afinem prostoru razsežnosti <math> n + 1 \!\, </math>, ali enakovredno množici vektorskih premic v [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]] razsežnosti <math> n + 1 \!\, </math>. Ko je koordinatni sistem v prostoru razsežnosti <math> n + 1 \!\, </math> izbran, imajo vse točke premice enako množico koordinat do množenja z elementom <math> k \!\, </math>. To definira [[homogene koordinate]] točke prostora <math> P^{n} \!\, </math> kot zaporedje <math> n + 1 \!\, </math> elementov osnovnega polja <math> k \!\, </math>, definiranega do množenja z [[neničelno število|neničelnim]] elementom <math> k \!\, </math> (enako za celotno zaporedje).

Polinom <math> n + 1 \!\, </math> spremenljivk izgine v vseh točkah premice, ki poteka skozi izhodišče, če in samo če je [[homogeni polinom|homogen]]. V tem primeru polinom ''izgine'' v ustrezni točki prostora <math> \mathbf{P}^{n} \!\, </math>. To omogoča definicijo ''projektivne algebrske množice'' v <math> \mathbf{P}^{n} \!\, </math> kot množico <math> V(f_{1}, \cdots , f_{k}) \!\, </math>, kjer končna množica homogenih polinomov <math> \{ f_{1}, \cdots , f_{k} \} \!\, </math> izgine. Tako kot pri afinih algebrskih množicah obstaja [[bijektivna preslikava|bijekcija]] med projektivnimi algebrskimi množicami in reduciranimi [[homogeni ideal|homogenimi ideali]], ki jih definirajo. ''Projektivne varietete'' so projektivne algebrske množice, katerih definirajoči ideal je praideal. Z drugimi besedami, projektivna varieteta je projektivna algebrska množica, katere [[homogeni koordinatni kolobar]] je [[celostna domena]], pri čemer je ''projektivni koordinatni kolobar'' definiran kot kvocient [[graduirani kolobar|graduiranega kolobarja]] ali polinomov <math> n + 1 \!\, </math> spremenljivk s homogenim (reduciranim) idealom, ki definira varieteto. Vsako projektivno algebrsko množico je mogoče enolično razstaviti v končno unijo projektivnih varietet.

Edine regularne funkcije, ki jih je mogoče pravilno definirati na projektivni varieteti, so [[konstantna funkcija|konstantne funkcije]]. Tako se ta pojem ne uporablja v projektivnih razmerah. Po drugi strani pa je uporaben pojem ''polja racionalnih funkcij'' oziroma ''funkcijskega polja'', ki se ga podobno kot afini primer definira kot množico kvocientov dveh homogenih elementov enake stopnje v homogenem koordinatnem kolobarju.

== Realna algebrska geometrija ==

{{glavni|realna algebrska geometrija}}

Realna algebrska geometrija je preučevanje realnih točk algebrskih varietet.

Pri takšnem raziskovanju ni mogoče prezreti dejstva, da je polje realnih števil [[urejeno polje]]. Na primer, krivulja enačbe <math> x^{2} + y^{2} - a = 0 \!\, </math> je krožnica, če je <math> a > 0 \!\, </math>, vendar nima realne točke, če je <math> a < 0 \!\, </math>. Iz tega sledi, da realna algebrska geometrija ni le preučevanje realnih algebrskih varietet, ampak so jo posplošili na preučevanje ''polalgebrskih množic'', ki so rešitve sistemov polinomskih enačb in polinomskih neenačb. Veja [[hiperbola|hiperbole]] z enačbo <math>x y - 1 = 0 \!\, </math> na primer ni algebrska varieteta, ampak je polalgebrska množica, definirana z <math> x y - 1 = 0 \!\, </math> in <math> x > 0 </math> ali z <math> x y - 1 = 0 \!\, </math> in <math> x + y > 0 \!\, </math>.

Eden od zahtevnih problemov realne algebrske geometrije je nerešen [[Hilbertov šestnajsti problem]]: odločitev katere posamezne lege so možne za [[oval]]e nesingularne [[ravninska krivulja|ravninske krivulje]] stopnje 8.

== Računalniška algebrska geometrija ==

Izvor računalniške algebrske geometrije se lahko datira na srečanje EUROSAM'79 (Mednarodni simpozij o simbolični in algebrski manipulaciji), ki je potekal v [[Marseille|Marseillu]] v Franciji junija 1979. Na tem srečanju je:

* [[Dennis Soulé Arnon]] pokazal, da [[valjna algebrska dekompozicija]] (CAD) [[George Edwin Collins|Georgea Edwina Collinsa]] omogoča izračunavanje topologije polagebrskih množic,
* [[Bruno Buchberger]] predstavil [[Gröbnerjeva baza|Gröbnerjeve baze]] in svoj algoritem za njihovo izračunavanje,
* [[Daniel Lazard]] predstavil novi algoritem za reševanje sistemov homogenih polinomskih enačb z [[računska zahtevnost|računsko zahtevnostjo]], ki je v bistvu polinomska v pričakovanem številu rešitev in tako preprosto [[eksponentna funkcija|eksponentna]] glede števila neznank. Ta algoritem je močno povezan z [[rezultanta|rezultanto]] z več spremenljivkami [[Francis Sowerby Macaulay|Francisa Sowerbyja Macaulaya]].

Od tedaj je večina rezultatov na tem področju povezana z eno ali več od teh postavk bodisi z uporabo ali izboljšanjem enega od teh algoritmov ali z iskanjem algoritmov, katerih zahtevnost je preprosto eksponentna glede na število spremenljivk.

V zadnjih nekaj desetletjih so razvili sklop matematične teorije, ki dopolnjuje simbolične metode, imenovane [[numerična algebrska geometrija]]. Glavna računska metoda je [[homotopsko nadaljevanje]]. To podpira na primer model izračunavanja s [[plavajoča vejica|plavajočo vejico]] za reševanje problemov algebrske geometrije.

=== Gröbnerjeva baza ===

{{glavni|Gröbnerjeva baza}}

[[Gröbnerjeva baza]] je sistem [[ideal (teorija kolobarjev)|generatorjev]] polinomskega ideala, katerega izračunavanje omogoča dedukcijo mnogih značilnosti afine algebrske varietete, ki jo ideal definira.

Če je dani ideal <math> I \!\, </math>, ki definira algebrsko množico <math> V \!\, </math>:
* je <math> V \!\, </math> [[prazna množica|prazna]] (čez algebrsko zaprto razširitev baznega polja), če in samo če je Gröbnerjeva baza za katero koli [[monomska urejenost|monomsko urejanje]] reducirana na {1}.
* je s pomočjo [[Hilbertova vrsta in Hilberov polinom|Hilbertove vrste]] mogoče izračunati [[razsežnost algebrske varietete|razsežnost]] in [[stopnja algebrske varietete|stopnjo]] množice <math> V \!\, </math> iz katere koli Gröbnerjeve baze ideala <math> I \!\, </math> za monomsko urejanje, ki izboljša celotno stopnjo.
* in, če je razsežnost <math> V \!\, </math> enaka 0, se lahko izračuna (končno število) točk <math> V \!\, </math> iz katere koli Gröbnerjeve baze ideala <math> I \!\, </math> (glej [[sistem polinomskih enačb]]).
* izračunavanje z Gröbnerjevo bazo omogoča, da se iz <math> V \!\, </math> odstrani vse nereducibilne komponente, ki jih vsebuje dana [[hiperploskev]].
* izračunavanje z Gröbnerjevo bazo omogoča izračun [[zaprtje Zariskega|zaprtja Zariskega]] slike množice <math> V \!\, </math> s projekcijo na <math> k \!\, </math> prvih koordinat in podmnožice slike, kjer projekcija ni prava.
* izračunavanja z Gröbnerjevo bazo bolj splošno omogočajo izračun zaprtja Zariskega slike in [[kritična točka (matematika)|kritičnih točk]] racionalne funkcije množice <math> V \!\, </math> v drugo afino varieteto..

Izračunavanja z Gröbnerjevo bazo ne omogočajo neposrednega izračuna primarne dekompozicije ideala <math> I \!\, </math> niti praidealov, ki definirajo ireducibilne komponente <math> V \!\, </math>, vendar večina algoritmov za to vključuje izračunavanje Gröbnerjeve baze. Algoritmi, ki ne temeljijo na Gröbnerjevih bazah, uporabljajo [[regularna veriga|regularne verige]], vendar lahko v nekaterih izjemnih primerih potrebujejo Gröbnerjeve baze.

Gröbnerjeve baze veljajo za težko izračunljive. Pravzaprav lahko v najslabšem primeru vsebujejo polinome, katerih stopnja je dvojno eksponentna glede na število spremenljivk, in število polinomov, ki je prav tako dvojno eksponentno. Vendar je to le zahtevnost v najslabšem primeru in pogosto se lahko uporablja zahtevnostna meja Lazardovega algoritma iz leta 1979. [[Faugèrova algoritma F4 in F5|Faugèrov algoritem F5]] uresničuje to zahtevnost, saj se ga lahko razume kot izboljšavo Lazardovega algoritma iz leta 1979. Iz tega sledi, da najboljše izvedbe omogočajo skoraj rutinsko izračunavanje z algebrskimi množicami stopnje več kot 100. To pomeni, da je trenutno težava pri izračunavanju Gröbnerjeve baze močno povezana z vrojeno težavnostjo problema.

=== Valjna algebrska dekompozicija  (CAD)===

[[Valjna algebrska dekompozicija]] (CAD, ''cylindrical algebraic decomposition'') je [[algoritem]], ki ga je leta 1973 uvedel Collins za izvedbo s sprejemljivo zahtevnostjo [[izrek Tarskega in Seidenberga|izreka Tarskega in Seidenberga]] o [[eliminacija kvantifikatorja|eliminaciji kvantifikatorja]] nad realnimi števili.

Ta izrek se nanaša na formule [[logika prvega reda|logike prvega reda]], katerih [[atomarna formula|atomarne formule]] so polinomske enakosti ali neenakosti med polinomi z realnimi koeficienti. Te formule so torej formule, ki jih je mogoče sestaviti iz atomarnih formul z [[logični operator|logičnimi operatorji]] ''in'' (∧), ''ali'' (∨), ''ne'' (¬), ''za vse'' (∀) in ''obstaja'' (∃). Izrek Tarskega in Seidenberga trdi, da je mogoče iz takšne formule izračunati enakovredno formulo brez kvantifikatorja (∀, ∃).

Zahtevnost CAD je dvojno eksponentna glede na število spremenljivk. To pomeni, da CAD v teoriji omogoča rešitev vsakega problema realne algebrske geometrije, ki ga je mogoče izraziti s takšno formulo, to je skoraj vsak problem, ki zadeva eksplicitno dane varietete in polalgebrske množice.

Medtem ko ima izračunavanje Gröbnerjeve baze dvojno eksponentno zahtevnost le v redkih primerih, ima CAD skoraj vedno tako visoko zahtevnost. To pomeni, da morda ne bo rešila problemov z več kot štirimi spremenljivkami, razen če je večina polinomov, ki se pojavljajo na vhodu, linearnih.

Od leta 1973 je večina raziskav na to temo posvečena bodisi izboljšanju CAD bodisi iskanju alternativnih algoritmov v posebnih primerih splošnega pomena.

Kot zgled najvišje ravni razvoja obstajajo učinkoviti algoritmi za iskanje vsaj točke v vsaki povezani komponenti polalgebrske množice in s tem za preverjanje, ali je polalgebrska množica prazna. Po drugi strani pa je CAD v praksi še vedno najboljši algoritem za štetje števila povezanih komponent.

=== Asimptotična zahtevnost proti praktični učinkovitosti ===

Osnovni splošni algoritmi računalniške geometrije imajo dvojno eksponentno [[teorija računske zahtevnosti|zahtevnost]] v najslabšem primeru. Točneje, če je <math> d \!\, </math> največja stopnja vhodnih polinomov in <math> n \!\, </math> število spremenljivk, je njihova zahtevnost največ <math> d^{2^{c n}} \!\, </math> za poljubno konstanto <math> c \!\, </math> in za nekatere vnose je zahtevnost vsaj <math> d^{2^{c' n}} \!\, </math> za drugo konstanto <math> c' \!\, </math>.

V zadnjih 20 letih 20. stoletja so uvedli različne algoritme za reševanje specifičnih podproblemov z boljšo zahtevnostjo. Večina teh algoritmov ima zahtevnost <math> d^{O(n^{2})} \!\, </math>.{{r|bake_2013}}

Med temi algoritmi, ki rešujejo podproblem problema, rešenega z Gröbnerjevo bazo, se lahko navede: ''testiranje ali je afina varieteta prazna'', in ''reševanje nehomogenih polinomskih sistemov s končnim številom rešitev''. Takšni algoritmi se redko izvajajo, ker imata pri večini vnosov [[Faugèrova algoritma F4 in F5]] boljšo praktično učinkovitost in verjetno podobno ali boljšo zahtevnost (''verjetno'' zato, ker je vrednotenje zahtevnosti algoritmov na osnovi Gröbnerjeve baze na določenem razredu vnosov težka naloga, ki so jo naredili le v nekaj posebnih primerih).

Glavni algoritmi realne algebrske geometrije, ki rešujejo problem, rešenega s CAD, so povezani s topologijo polalgebrskih množic. Kot zglede se lahko navede: ''štetje števila povezanih komponent'', ''testiranje, ali sta dve točki v istih komponentah'', ali ''izračun [[Whitneyjeva stratifikacija|Whitneyjeve stratifikacije]] realne algebrske množice''. Imajo zahtevnost <math> d^{O(n^2)} \!\, </math>, vendar je vrednost konstante, ki jo vključuje [[O notacija|zapis O]], tako visoka, da je njihova uporaba za reševanje katerega koli netrivialnega problema, ki ga učinkovito rešuje CAD, nemogoča, tudi če bi se lahko uporabila vsa obstoječa računalniška moč na svetu. Zato te algoritme niso nikoli izvedli in to je dejavno raziskovalno področje iskanja algoritmov, ki imajo skupaj dobro asimptotično zahtevnost in dobro praktično učinkovitost.

== Abstraktni moderni vidik ==

Moderni pristopi k algebrski geometriji ponovno definirajo in učinkovito razširijo obseg osnovnih objektov na različnih ravneh splošnosti na sheme, [[formalna shema|formalne sheme]], [[ind-shema|ind-sheme]], [[algebrski prostor|algebrske prostore]], [[algebrski sklad|algebrske sklade]] in tako naprej. Potreba po tem izhaja že iz uporabnih zamisli znotraj teorije varietet, npr. formalne funkcije Zariskega je mogoče prilagoditi z uvedbo nilpotentnih elementov v strukturne kolobarje; upoštevanje prostorov zank in lokov, konstruiranje kvocientov z grupnimi akcijami in razvijanje formalnih podlag za naravno [[teorija presekov|teorijo presekov]] in [[teorija deformacij|teorijo deformacij]] vodijo do nekaterih nadaljnjih razširitev.

Najbolj presenetljivo je, da so bile v poznih 1950-ih algebrske varietete vključene v Grothendieckov koncept [[shema (matematika)|shem]]. Njihovi krajevni objekti so afine sheme ali praspektri, krajevno [[okolobarjeni prostor]]i, ki tvorijo kategorijo, antiekvivalentni kategoriji komutativnih [[unitalni kolobar|unitalnih kolobarjev]], kar razširja dualnost med kategorijo afinih algebrskih varietet nad poljem <math> k \!\, </math> in kategorijo končno generiranih reduciranih ''k''-algeber. Lepljenje poteka po topologiji Zariskega. Lahko se zlepi znotraj kategorije krajevno okolobarjenih prostorov, pa tudi, z uporabo [[Jonedovo vgrajevanje|Jonedovega vgrajevanja]], znotraj bolj abstraktne kategorije [[predsnop]]ov množic nad kategorijo afinih shem. Topologijo Zariskega v smislu [[teorija množic|teorije množic]] nato nadomesti [[Grothendieckova topologija]]. Grothendieck je uvedel Grothendieckove topologije, pri čemer je imel v mislih bolj eksotične, a geometrično točnejše in občutljivejše primere kot surova topologija Zariskega, namreč [[topologija étale|topologijo étale]] in dve ploski Grothendieckovi topologiji: fppf in fpqc. Sedaj so nekateri drugi primeri postali pomembni, vključno s [[Nisnevičeva topologija|Nisnevičevo topologijo]]. Snope je mogoče nadalje posplošiti na sklade v smislu Grothendiecka, običajno z nekaterimi dodatnimi pogoji predstavljivosti, ki vodijo do [[Artinov sklad|Artinovih skladov]] in, še finejših, [[Deligne-Mumfordov sklad|Deligne-Mumfordovih skladov]], ki se pogosto imenujejo algebrski skladi.

Včasih druga algebrska mesta nadomestijo kategorijo afinih shem. [[Nikolaj Valerjevič Durov]] je na primer uvedel komutativne algebrske [[monada (teorija kategorij)|monade]] kot posplošitev krajevnih objektov v posplošeni algebrski geometriji. V tej postavitvi so bile realizirane različice [[tropska geometrija|tropske geometrije]], [[absolutna geometrija|absolutne geometrije]] nad poljem enega elementa in algebrskega analoga [[geometrija Arakelova|geometrije Arakelova]].

Druga formalna posplošitev je možna za [[univerzalna algebrska geometrija|univerzalno algebrsko geometrijo]], v kateri ima vsaka [[varieteta (univerzalna algebra)|varieteta algeber]] svojo lastno algebrsko geometrijo. Izraza ''varieteta algeber'' se ne sme zamenjevati z ''algebrsko varieteto''.

Jezik shem, skladov in posplošitev se je izkazal za dragocen način obravnave geometrijskih konceptov in je postal temelj sodobne algebrske geometrije.

Algebrske sklade je mogoče nadalje posplošiti in za mnoga praktična vprašanja, kot sta teorija deformacij in teorija presekov, je to pogosto najbolj naraven pristop. [[Grothendieckovo mesto]] afinih shem se lahko razširi na [[teorija višjih kategorij|višje kategorično]] mesto [[izpeljana shema|izpeljanih afinih shem]] z zamenjavo komutativnih kolobarjev z neskončno kategorijo [[diferencialna graduirana algebra|diferencialno graduiranih komutativnih algeber]] ali [[simplicialni komutativni kolobar|simplicialnih komutativnih kolobarjev]] ali podobno kategorijo z ustrezno različico Grothendieckove topologije. Lahko se tudi zamenja predsnope množic s predsnopi [[simplicialna množica|simplicialnih množic]] (ali neskončnih [[grupoid (teorija kategorij)|grupoidov]]). Nato se lahko ob prisotnosti ustreznega homotopskega stroja razvije pojem izpeljanega sklada kot takega predsnopa na neskončni kategoriji izpeljanih afinih shem, ki zadošča določeni neskončni kategorični različici aksioma snopa (in da je algebrsko, induktivno zaporedje pogojev zastopljivosti). [[Daniel Gray Quillen|Quillenove]] [[kategorija modelov|kategorije modelov]], Segalove kategorije in [[kvazikategorija|kvazikategorije]] so nekatera od najpogosteje uporabljenih orodij za formalizacijo tega, ki dajejo ''[[izpeljana algebrska geometrija|izpeljano algebrsko geometrijo]]''. Uvedla jo je šola [[Carlos Simpson|Carlosa Simpsona]], vključno z Andreom Hirschowitzem, [[Bertrand Toën|Bertrandom Toënom]], [[Gabrielle Vezzosi|Gabrielleom Vezzosijem]], Michelom Vaquiéjem in drugimi. Nadalje so jo razvili [[Jacob Lurie]], Toën in Vezzosi. Drugo (nekomutativno) različico izpeljane algebrske geometrije, ki uporablja kategorije A-neskončnosti, so v zgodnjih 1990-ih razvili [[Maksim Lvovič Koncevič]] in njegovi privrženci.

== Zgodovina ==

=== Pred 16. stoletjem ===

Nekatere korenine algebrske geometrije segajo v delo [[stari Grki|starih Grkov]] iz 5. stoletja pr. n. št. [[Delski problem]] je bil na primer [[geometrijska konstrukcija|skonstruirati]] takšno [[dolžina|dolžino]] <math> x \!\, </math> tako bo imela [[kocka]] s stranico <math> x \!\, </math> enako [[prostornina|prostornino]] kot pravokotna škatla <math> a^{2} b \!\, </math> za dani stranici <math> a \!\, </math> in <math> b \!\, </math>. [[Menehmo]] (okoli 350 pr. n. št.) je problem obravnaval geometrično s presekom para ravninskih [[stožnica|stožnic]] <math> ay = x^{2} \!\, </math> in <math> xy = ab \!\, </math>.{{r|dieu_1972}}

V 3. stoletju pr. n. št. sta [[Arhimed]] in [[Apolonij]] sistematično preučevala dodatne probleme na stožnicah z uporabo koordinat.{{r|dieu_1972}}{{r|klin_1972}}{{rp|108, 90}} Apolonij je v delu ''O stožnicah'' nadalje razvil metodo, ki je tako podobna [[analitična geometrija|analitični geometriji]], da včasih domnevajo, da je njegovo delo napovedovalo delo [[René Descartes|Renéja Descartesa]] za približno 1800 let.{{r|moll_1976}} Njegova uporaba referenčnih premic, [[premer]]a in [[tangenta|tangente]] se v bistvu ne razlikuje od moderne uporabe koordinatnega okvira, kjer so [[razdalja|razdalje]], izmerjene vzdolž premera od [[dotikališče|dotikališča]], [[abscisa|abscise]], [[daljica|daljice]], vzporedne s tangento in potekajoče med osjo in krivuljo, pa so [[ordinata|ordinate]]. Naprej je razvil zveze med abscisami in ustreznimi koordinatami z uporabo geometrijskih metod, kot je uporaba parabol in [[krivulja|krivulj]].{{r|ocon_1999a}}{{r|m_1896}}{{r|ungu_1976}} 

Srednjeveški matematiki, vključno z [[Omar Hajam|Omarjem Hajamom]], [[Leonardo Fibonacci|Leonardom Fibonaccijem]], [[Levi ben Gershon|Levijem ben Geršomom]] in [[Nicole Oresme|Nicolom Oresmom]] v [[srednji vek|srednjeveškem]] obdobju, so nekatere kubične in kvadratne enačbe reševali s čisto algebrskimi sredstvi in rezultate nato interpretirali geometrijsko.{{r|klin_1972}}{{rp|193}} Hajam (rojen leta 1048) je verjel, da obstaja povezava med [[aritmetika|aritmetiko]], [[algebra|algebro]] in [[geometrija|geometrijo]].{{r|klin_1972}}{{rp|193–195}}{{r|ocon_1999b}}{{r|rash_1994}} To je kritiziral [[Jeffrey Alan Oaks]], profesor matematike na [[Univerza v Indianapolisu|Univerzi v Indianapolisu]], ki trdi, da preučevanje krivulj s pomočjo enačb izvira od Descartesa v 17. stoletju.{{r|oaks_2016}}

=== Renesansa ===

Takšne tehnike uporabe geometrijskih konstrukcij pri algebrskih problemih so sprejeli tudi številni [[renesansa|renesančni]] matematiki, kot sta [[Gerolamo Cardano]] in [[Niccolo Fontana Tartaglia]], pri svojih raziskovanjih [[kubična enačba|kubične enačbe]]. Večina matematikov iz 16. in 17. stoletja je bila naklonjena geometrijskemu pristopu h konstrukcijskim problemom namesto algebrskega, zlasti [[Blaise Pascal]], ki je nasprotoval uporabi algebrskih in analitičnih metod v geometriji.{{sfn|Kline|1972|p=279}} Francoski matematiki [[François Viète]] in kasneje Descartes ter [[Pierre de Fermat]] so z uvedbo [[koordinatna geometrija|koordinatne geometrije]] revolucionirali običajen način razmišljanja o konstrukcijskih problemih. Zanimale so jih predvsem značilnosti ''algebrskih krivulj'', kot so tiste, ki jih definirajo [[diofantska enačba|diofantske enačbe]] (v primeru Fermata), in algebrska reformulacija klasičnih grških del o stožnicah in [[kubična krivulja|kubik]]ih (v primeru Descartesa).

V istem obdobju sta Pascal in [[Gérard Desargues]] pristopila h geometriji z drugačne perspektive in razvila [[sintetična geometrija|sintetične]] pojme [[projektivna geometrija|projektivne geometrije]]. Prav tako sta preučevala krivulje, vendar s čisto geometrijskega vidika kot analog starogrške ''[[konstrukcije z ravnilom in šestilom]]''. Končno je zmagala Descartesova in Fermatova analitična geometrija, saj je matematike iz 18. stoletja oskrbela s konkretnimi kvantitativnimi orodji, potrebnimi za preučevanje [[fizikalni problem|fizikalnih problemov]] z uporabo novega računa [[Isaac Newton|Isaaca Newtona]] in [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Gottfrieda Wilhelma Leibniza]]. Vendar pa je do konca 18. stoletja večino algebrskega značaja koordinatne geometrije prevzel ''[[infinitezimalni račun]]'' [[Joseph-Louis Lagrange|Joseph-Louisa Lagrangea]] in [[Leonhard Euler|Leonharda Eulerja]].

=== 19. in zgodnje 20. stoletje ===

Potreben je bil hkratni razvoj [[neevklidska geometrija|neevklidske geometrije]] in [[Abelov integral|Abelovih integralov]] v 19. stoletju, da so se stare algebrske zamisli vrnile nazaj v geometrijsko krilo. Prvega od teh novih razvojev sta izkoristila [[Edmond Nicolas Laguerre]] in [[Arthur Cayley]], ki sta poskušala ugotoviti splošne metrične značilnosti projektivnega prostora. Cayley je uvedel zamisel o ''homogenih polinomskih formah'', in še posebej o [[kvadratna forma|kvadratnih formah]], na projektivnem prostoru. Pozneje je [[Felix Christian Klein]] preučeval projektivno geometrijo (skupaj z drugimi vrstami geometrije) z vidika, da je geometrija na prostoru kodirana v določenem razredu [[transformacijska grupa|transformacij]] na prostoru. Do konca 19. stoletja so projektivni geometri proučevali bolj splošne vrste transformacij na figurah v projektivnem prostoru. Namesto projektivnih linearnih transformacij, za katere se je običajno štelo, da dajejo fundamentalno [[Kleinova geometrija|Kleinovo geometrijo]] na projektivnem prostoru, so se ukvarjali tudi z [[biracionalna transformacija|biracionalnimi transformacijami]] višje stopnje. Ta šibkejši pojem kongruence je člane [[italijanska šola algebrske geometrije|italijanske šole algebrske geometrije]] 20. stoletja pozneje vodil h klasifikaciji [[algebrska ploskev|algebrskih ploskev]] do [[biracionalni izomorfizem|biracionalnega izomorfizma]].

Drugi razvoj zgodnjega 19. stoletja, razvoj Abelovih integralov, je pripeljal [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]] do razvoja [[Riemannova ploskev|Riemannovih ploskev]].

V tem času je bila algebrska geometrija bolj ali manj sopomenka za raziskovanje [[teorija invariant|invariant]]. [[invarianta|Invariante]] v tem pomenu so bile količine, ki se ostajale nespremenjene pri linearnih transformacijah koordinat – kolineacij v starejši terminologiji. Zgled so [[diskriminanta|diskriminante]], kot je diskriminanta [[kvadratna funkcija|kvadratne funkcije]] <math> b^{2} - ac \!\, </math>. [[David Hilbert]] je rešil večino problemov klasične teorije invariant v nizu člankov v zgodnjih 1890-ih. V njih je uvedel več novih algebrskih metod.{{r|seli_2005}}{{rp|4}}

V istem obdobju se je začela algebraizacija algebrske geometrije s pomočjo [[komutativna algebra|komutativne algebre]]. Izstopajoči rezultati v tej smeri so [[Hilbertov izrek o bazi]] in [[Hilbertov izrek o ničlah]], ki sta osnova povezave med algebrsko geometrijo in komutativno algebro, ter Macaulayeva rezultanta z več spremenljivkami, ki je osnova [[eliminacijska teorija|eliminacijske teorije]]. Verjetno zaradi velikosti izračunavanja, ki ga implicirajo rezultante z več spremenljivkami, so sredi 20. stoletja na eliminacijsko teorijo pozabili, dokler je nista obnovili [[teorija singularnosti]] in računalniška algebrska geometrija.{{efn|Priča te pozabe je dejstvo, da je [[Bartel Leendert van der Waerden|van der Waerden]] črtal poglavje o eliminacijski teoriji iz tretje izdaje (in vseh naslednjih) svoje razprave ''Moderne Algebra'' (v nemščini).{{navedi vir|datum=januar 2020}}}}

=== 20. stoletje ===

[[Bartel Leendert van der Waerden]], [[Oscar Zariski]] in [[André Weil]] so razvili osnovo za algebrsko geometrijo, ki temelji na sodobni komutativni algebri, vključno s [[teorija vrednotenja|teorijo vrednotenja]] in [[teorija idealov|teorijo idealov]]. Eden od ciljev je bil podati strog okvir za [[matematični dokaz|dokazovanje]] rezultatov italijanske šole algebrske geometrije. Predvsem je ta šola sistematično uporabljala pojem [[generična točka|generične točke]] brez kakršne koli točne definicije, ki so ga ti avtorji prvi podali v 1930-ih.

V 1950-ih in 1960-ih sta [[Jean-Pierre Serre]] in Grothendieck prenovila temelje z uporabo [[teorija snopov|teorije snopov]]. Kasneje, približno od leta 1960, in v veliki meri pod vodstvom Grothendiecka, se je razvila zamisel o [[shema (matematika)|shemah]] v povezavi z zelo izpopolnjenim aparatom [[homologna algebra|homolognih tehnik]]. Po desetletju hitrega razvoja se je področje v 1970-ih stabiliziralo in pojavile so se nove aplikacije, tako za teorijo števil kot tudi za bolj klasična geometrijska vprašanja o algebrskih varietetah, singularnostih, [[modulski prostor|modulih]] in [[formalni moduli|formalnih modulih]].

Pomemben razred varietet, ki jih ni enostavno razumeti neposredno iz njihovih definirajočih enačb, so [[abelovska varieteta|abelovske varietete]], ki so projektivne varietete, katerih točke tvorijo [[Abelova grupa|Abelovo grupo]]. Prototipski primeri so [[eliptična krivulja|eliptične krivulje]], ki imajo bogato teorijo. Bile so ključnega pomena pri dokazu [[fermatov veliki izrek|Fermatovega velikega izreka]] in se uporabljajo tudi v [[kriptografija z eliptičnimi krivuljami|kriptografiji z eliptičnimi krivuljami]].

Vzporedno z abstraktnim trendom algebrske geometrije, ki se ukvarja s splošnimi izjavami o varietetah, so se razvile tudi metode za učinkovito izračunavanje s konkretno danimi varietetami, ki vodijo v novo področje računalniške algebrske geometrije. Ena izmed temeljnih metod tega področja je teorija [[Gröbnerjeva baza|Gröbnerjevih baz]], ki jo je uvedel Bruno Buchberger leta 1965. Druga temeljna metoda, ki je bolj posvečena realni algebrski geometriji, je [[valjna algebrska dekompozicija]] (CAD), ki jo je leta 1973 uvedel George Edwin Collins.

Glej tudi: [[izpeljana algebrska geometrija]].<!-- related to this, we really should mention more recent stuff like moduli of curves, connection to theoretical physics, etc.-->

== Analitična geometrija ==

[[analitična varieteta|(Kompleksna) analitična varieteta]] je definirana krajevno kot množica skupnih rešitev več enačb, ki vključujejo [[analitična funkcija|analitične funkcije]]. Je analogna vključenemu konceptu realne ali kompleksne [[algebrska varieteta|algebrske varietete]]. Vsaka [[kompleksna mnogoterost]] je analitična varieteta. Ker imajo lahko analitične varietete [[singularna točka|singularne točke]], niso vse analitične varietete [[mnogoterost]]i.

Moderna analitična geometrija je v bistvu enakovredna realni in kompleksni algebrski geometriji, kot je pokazal Serre leta 1956 v svojem članku ''[[GAGA]]'', katerega ime je francosko za ''[[algebrska geometrija in analitična geometrija|algebrsko geometrijo in analitično geometrijo]]''.{{r|serr_1956}} Kljub temu obe področji ostajata različni, saj so dokazovalne metode precej različne in algebrska geometrija vključuje tudi geometrijo v končni [[karakteristika (algebra)|karakteristiki]].

== Uporabe ==

Algebrska geometrija se zdaj uporablja v [[algebrska statistika|algebrski statistiki]],{{r|drto_2009}} [[teorija kontrole|teoriji nadzora]],{{r|falb_1999}}{{r|tann_1981}} [[robotika|robotiki]],{{r|seli_2005}} [[algebrskogeometrijska koda|kodah za popravljanje napak]] ([[Goppova koda|Goppovih kodah]]),{{r|tsfa_1990}} [[računalniška filogenetika|računalniški filogenetiki]]{{r|cipr_2007}} in [[geometrijsko modeliranje|geometrijskem modeliranju]].{{r|juet_2008}} Obstajajo tudi povezave s [[homologna zrcalna simetrija|homologno]] [[zrcalna simetrija (teorija strun)|zrcalno simetrijo]] v [[teorija strun|teoriji strun]],{{r|cox__1999}} [[teorija iger|teorijo iger]],{{r|blum_1994}} [[ujemanje (teorija grafov)|ujemanji]] v [[teorija grafov|teoriji grafov]],{{r|keny_2003}} [[soliton]]i{{r|ford_1990}} in [[celoštevilsko programiranje|celoštevilskim programiranjem]].{{r|cox__1998}}

== Glej tudi ==

{{div col |colwidth=27em}}
* [[glosar klasične algebrske geometrije]]
* [[seznam pomembnih publikacij iz matematike|pomembne publikacije v algebrski geometriji]]
* [[seznam kompleksnih in algebrskih ploskev]]
* [[nekomutativna algebrska geometrija]]
* [[enumerativna geometrija]]
{{div col end}}

== Opombe ==

{{notelist}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="bake_2013">{{sktxt|Baker|2013}}.</ref>
<ref name="blum_1994">{{sktxt|Blume|Zame|1994}}.</ref>
<ref name="cipr_2007">{{sktxt|Cipra|2007}}.</ref>
<ref name="cox__1998">{{sktxt|Cox|Sturmfels|1998}}.</ref>
<ref name="cox__1999">{{sktxt|Cox|Katz|1999}}.</ref>
<ref name="dieu_1972">{{sktxt|Dieudonné|1972}}.</ref>
<ref name="drto_2009">{{sktxt|Drton|Sturmfels|Sullivant|2009}}.</ref> 
<ref name="falb_1999">{{sktxt|Falb|1999}}.</ref>
<ref name="ford_1990">{{sktxt|Fordy|1990}}.</ref>
<ref name="garr_2013">{{sktxt|Garrity|Belshoff|Boos|Brown|2013|pp=xiii–xiv}}.</ref>
<ref name="haus_2010">{{sktxt|Hauser|2010}}.</ref>
<ref name="hiro_1964">{{sktxt|Hironaka|1964}}.</ref>
<ref name="juet_2008">{{sktxt|Jüttler|Piene|2008}}.</ref>
<ref name="keny_2003">{{sktxt|Kenyon|Okounkov|Sheffield|2003}}.</ref>
<ref name="klin_1972">{{sktxt|Kline|1972}}.</ref>
<ref name="m_1896">{{sktxt|M.|1896}}.</ref>
<ref name="moll_1976">{{sktxt|Molland|1976}}.</ref>
<ref name="oaks_2016">{{sktxt|Oaks|2016}}.</ref>
<ref name="ocon_1999a">{{sktxt|O'Connor|Robertson|1999a}}.</ref>
<ref name="ocon_1999b">{{sktxt|O'Connor|Robertson|1999b}}.</ref>
<ref name="rash_1994">{{sktxt|Rashed|1994|pp=102–103}}.</ref>
<ref name="seli_2005">{{sktxt|Selig|2005}}.</ref>
<ref name="serr_1956">{{sktxt|Serre|1956}}.</ref>
<ref name="tann_1981">{{sktxt|Tannenbaum|1981}}.</ref> 
<ref name="tsfa_1990">{{sktxt|Tsfasman|Vlăduț|Nogin|1990}}.</ref>
<ref name="ungu_1976">{{sktxt|Unguru|1976}}.</ref>
}}
{{refend}}

=== Viri ===

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Baker|first1= Greg|title= Complexity of Algorithms|date= 2013|publisher= [[Univerza Simona Fraserja]]|website= www.cs.sfu.ca|lang= en|url= https://www.cs.sfu.ca/~ggbaker/zju/math/complexity.html|accessdate= 12. julija 2022}}
* {{citat|last1= Blume|first1= Lawrence Edward|authorlink1= Lawrence Edward Blume|last2= Zame|first2= William Robin|authorlink2= William Robin Zame|title= The algebraic geometry of perfect and sequential equilibrium|journal= [[Econometrica]]|date= julij 1994|volume= 62|issue= 4|pages= 783–794|doi= 10.2307/2951732|jstor= 2951732}}
* {{citat|last1= Cipra|first1= Barry Arthur|authorlink1= Barry Arthur Cipra|title= Algebraic Geometers See Ideal Approach to Biology|journal= [[SIAM News]]|date= 2007|volume= 40|issue= 6|url= http://siam.org/pdf/news/1146.pdf|archive-url= https://web.archive.org/web/20160303230428/http://siam.org/pdf/news/1146.pdf|archive-date= 3. marca 2016}}
* {{citat|last1= Cox|first1= David Archibald|authorlink1= David Archibald Cox|last2= Sturmfels|first2= Bernd|authorlink2= Bernd Sturmfels|editor-last1= Manocha|editor-first1= Dinesh N.|title= Applications of Computational Algebraic Geometry|date= 1998|publisher= Ameriško matematično društvo|url= https://books.google.com/books?id=fe0MJEPDwzAC|isbn= 978-0-8218-6758-7}}
* {{citat|last1= Cox|first1= David Archibald|last2= Katz|first2= Sheldon H.|authorlink2= Sheldon H. Katz|title= Mirror Symmetry and Algebraic Geometry|date= 1999|publisher= Ameriško matematično društvo|url= https://books.google.com/books?id=Z8u3ngEACAAJ|isbn= 978-0-8218-2127-5|oclc= 880847689}}
* {{navedi Q|author1= Dieudonné, Jean|authorlink1= Jean Dieudonné|Q55886951}}
* {{citat|last1= Drton|first1= Mathias|authorlink1= Mathias Drton|last2= Sturmfels|first2= Bernd|last3= Sullivant|first3= Seth|authorlink3= Seth Sullivant|title= Lectures on Algebraic Statistics|date= 2009|series= (Oberwolfach seminars)|volume= 39|issn= 1661-237X|publisher= [[Birkäuser|Birkäuser Verlag]]|location= Basel ; Boston ; Berlin|url= https://books.google.com/books?id=TytYUTy5V_IC|isbn= 978-3-7643-8904-8|cobiss= 15723865|oclc= 15723865}}
* {{citat|last1= Falb|first1= Peter Lawrence|authorlink1= Peter Lawrence Falb|title= Methods of Algebraic Geometry in Control Theory : Part II : Multivariable Linear Systems and Projective Algebraic Geometry|date= 1999|publisher= Birkhäuser|location= Boston|url= https://books.google.com/books?id=V--84aGmWh4C|isbn= 978-0-8176-4113-9|oclc= 21160575}}
* {{citat|editor-last1= Fordy|editor-first1= Allan P.|editor-link1= Allan P. Fordy|title= Soliton Theory: A Survey of Results|date= 1990|publisher= Manchester University Press|url= https://books.google.com/books?id=eO_PAAAAIAAJ|isbn= 978-0-7190-1491-8|oclc= 20296833}}
* {{citat|last1= Hauser|first1= Herwig|authorlink1= Herwig Hauser|title= On the problem of resolution of singularities in positive characteristic (Or: a proof we are still waiting for)|journal= [[Bulletin of the American Mathematical Society]]|date= 2010|series= New Series|volume= 47|issue= 1|pages= 1–30|doi= 10.1090/S0273-0979-09-01274-9|mr= 2566444|doi-access=free}}
* {{citat|last1= Hironaka|first1= Heisuke|authorlink1= Heisuke Hironaka|title= Resolution of Singularities of an Algebraic Variety Over a Field of Characteristic Zero: I|journal= [[Annals of Mathematics]]|date= 1964|series= 2|volume= 79|issue= 1|pages= 109–203|doi= 10.2307/1970486|jstor= 1970486|mr= 0199184}} in {{citat|title= II. del|pages= 205–326|jstor= 1970547}}
* {{citat|last1= Jüttler|first1= Bert|authorlink1= Bert Jüttler|last2= Piene|first2= Ragni|authorlink2= Ragni Piene|title= Geometric Modeling and Algebraic Geometry|date= 2008|publisher= Springer-Verlag|location= Berlin ; Heidelberg|url= https://books.google.com/books?id=1wNGq87gWykC|isbn= 978-3-540-72185-7|cobiss= 1540182751|oclc= 255726249}}
* {{navedi arXiv|last1= Kenyon|first1= Richard|last2= Okounkov|first2= Andrei|last3= Sheffield|first3= Scott|title= Dimers and Amoebae|date= 2003|eprint= math-ph/0311005}}
* {{citat|last1= Kline|first1= Morris|authorlink1= Morris Kline|title= Mathematical Thought from Ancient to Modern Times|date= 1972|volume= 1|publisher= [[Oxford University Press]]|isbn= 0-19-506135-7|cobiss= 5758728|oclc= 827616096}}
* {{citat|last1= M.|first1= G. B.|title= Apollonius of Perga: Treatise on Conic Sections|journal= [[Nature]]|date= 6. avgust 1896|volume= 54|issue= 1397|pages= 314–315|lang= en|doi= 10.1038/054314a0|bibcode= 1896Natur..54..314G|s2cid= 4059946|issn= 1476-4687}}
* {{citat|last1= Molland|first1= Andrew George|authorlink1= Andrew George Molland|title= Shifting the foundations: Descartes's transformation of ancient geometry|date= 1. februar 1976|journal= [[Historia Mathematica]]|volume= 3|issue= 1|pages= 21–49|lang= en|doi= 10.1016/0315-0860(76)90004-5|issn= 0315-0860|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Oaks|first1= Jeffrey Alan|authorlink1= Jeffrey Alan Oaks|chapter= Excavating the errors in the "Mathematics" : Chapter of 1001 Inventions|pages= 151–171|title= 1001 Distortions: How (Not) to Narrate History of Science, Medicine, and Technology in Non-Western Cultures|date= januar 2016|editor-last1= Brentjes|editor-first1= Sonja|editor-last2= Edis|editor-first2= Taner|editor-last3= Richter-Bernburd|editor-first3= Lutz|publisher= [[Ergon-Verlag]]|location= Würzburg|chapter-url= https://www.academia.edu/39325220|url-status= live|archive-url= https://web.archive.org/web/20210227182759/https://www.academia.edu/39325220/Excavating_the_errors_in_the_Mathematics_chapter_of_1001_Inventions|archive-date= 27. februarja 2021|isbn= 978-3-95650-169-2|oclc= 960886495}}
* {{citat|last1= O'Connor|first1= John Joseph|authorlink1= John Joseph O'Connor (matematik)|last2= Robertson|first2= Edmund Frederick|authorlink2= Edmund Frederick Robertson|contribution= Apollonius of Perga|date= julij 1999|title= [[Arhiv zgodovine matematike MacTutor]]|publisher= Šola za matematiko in statistiko, [[Univerza v St Andrewsu]]|lang= en|contribution-url= https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius/|accessdate= 11. novembra 2022}}
* {{citat|last1= O'Connor|first1= John Joseph|last2= Robertson|first2= Edmund Frederick|contribution= Omar Khayyam|date= julij 1999|title= Arhiv zgodovine matematike MacTutor|publisher= Šola za matematiko in statistiko, Univerza v St Andrewsu|lang= en|contribution-url= http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html|archive-url= https://web.archive.org/web/20171112123436/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html|archive-date= 12. novembra 2017|quote= Zdi se, da je Hajam sam prvi zasnoval splošno teorijo kubičnih enačb.}}
* {{citat|last1= Rashed|first1= Roshdi|title= The Development Of Arabic Mathematics : Between Arithmetic And Algebra|date= 1994|pages= 102–103|series= (Boston Studies in the Philosophy and History of Science)|volume= 156|publisher= [[Springer Science+Business Media]]|location= Dordrecht|translator-last1= Armstrong|translator-first1= Angela F. W.|url= https://archive.org/stream/RoshdiRashedauth.TheDevelopmentOfArabicMathematicsBetweenArithmeticAndAlgebraSpringerNetherlands1994/Roshdi%20Rashed%20%28auth.%29-The%20Development%20of%20Arabic%20Mathematics_%20Between%20Arithmetic%20and%20Algebra-Springer%20Netherlands%20%281994%29#page/n111/mode/1up|isbn= 978-90-481-4338-2|doi= 10.1007/978-94-017-3274-1|oclc= 851372484}}
* {{citat|last1= Selig|first= Jonathan M.|title= Geometric Fundamentals of Robotics|date= 2005|edition= 2.|series= (Monographs in Computer Science)|url= https://books.google.com/books?id=9FljXoISr8AC|publisher= Springer-Verlag|location= New York|issn= 0172-603X|isbn= 978-0-387-20874-9|doi= 10.1007/b138859|oclc= 262679866}}
* {{citat|last1= Serre|first1= Jean-Pierre|authorlink1= Jean-Pierre Serre|title= Géométrie algébrique et géométrie analytique|journal= [[Annales de l'Institut Fourier]]|date= 1956|volume= 6|pages= 1–42|lang= fr|url= http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=AIF_1956__6__1_0|issn= 0373-0956|doi= 10.5802/aif.59|mr= 0082175|zbl= 0075.30401|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Unguru|first1= Sabetai|authorlink1= Sabetai Unguru|title= A Very Early Acquaintance with Apollonius of Perga's Treatise on Conic Sections in the Latin West|journal= [[Centaurus (revija)|Centaurus]]|date= junij 1976|volume= 20|issue= 2|pages= 112–128|lang= en|url= https://cris.tau.ac.il/en/publications/a-very-early-acquaintance-with-apollonius-of-pergas-treatise-on-c |doi= 10.1111/j.1600-0498.1976.tb00924.x|bibcode= 1976Cent...20..112U|issn= 0008-8994}}
* {{citat|last1= Tannenbaum|first1= Allen Robert|authorlink1= Allen Robert Tannenbaum|title= Invariance and Systems Theory: Algebraic and Geometric Aspects|date= 1981|series= (Lecture Notes in Mathematics)|volume= 845|publisher= Springer-Verlag|location= Berlin ; Heidelberg ; New York|isbn= 978-3-540-10565-7|cobiss= 3628121|oclc= 7274480}}
* {{citat|last1= Tsfasman|first1= Michael Anatol'evich|authorlink1= Mihail Anatoljevič Cfasman|last2= Vlăduț|first2= Serge G.|authorlink2= Serge G. Vlăduț<!-- Sergej Georgijevič Vleduc -->|last3= Nogin|first3= Dmitry|authorlink3= Dimitrij Jurjevič Nogin|title= Algebraic Geometric Codes Basic Notions|date= 1990|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|url= https://books.google.com/books?id=o2sA-wzDBLkC|isbn= 978-0-8218-7520-9}}
{{refend}}

== Nadaljnje branje ==

; Nekateri klasični učbeniki, starejši od shem:

* {{citat|last1= van der Waerden|first1= Bartel Leendert|authorlink1= Bartel Leendert van der Waerden|title= Einfuehrung in die algebraische Geometrie|date= 1945|publisher= [[Dover Publications|Dover]]}}
* {{citat|last1= Hodge|first1= William Vallance Douglas|authorlink1= William Vallance Douglas Hodge|last2= Pedoe|first2= Daniel|authorlink2= Daniel Pedoe |title= Methods of Algebraic Geometry Volume 1|date= 1994|publisher= [[Cambridge University Press]]|isbn= 978-0-521-46900-5|zbl= 0796.14001}}
* {{citat|last1= Hodge|first1= William Vallance Douglas|last2= Pedoe|first2= Daniel|title= Methods of Algebraic Geometry Volume 2|date= 1994|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-46901-2|zbl= 0796.14002}}
* {{citat|last1= Hodge|first1= William Vallance Douglas|last2= Pedoe|first2= Daniel|title= Methods of Algebraic Geometry Volume 3|date= 1994|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-46775-9|zbl = 0796.14003}}

; Moderni učbeniki, ki ne uporabljajo jezika shem:

* {{citat|last1= Garrity|first1= Thomas Anthony|last2= Belshoff|first2= Richard|last3= Boos|first3= Lynette|last4= Brown|first4= J. Ryan|last5= Lienert|first5= Carl|last6= Murphy|first6= David|last7= Navarra-Madsen|first7= Junalyn|last8= Poitevin|first8= Pedro|last9= Robinson|first9= Shawn
|last10= Snyder|first10= Brian|last11= Werner|first11= Caryn|title= Algebraic Geometry A Problem Solving Approach|date= 2013|publisher= Ameriško matematično društvo|location= Providence|series= (Student mathematical library ; volume 66. IAS/Park City mathematical subseries)|url= https://books.google.com/books?id=0bwxAAAAQBAJ|isbn= 978-0-821-89396-8|cobiss= 17279065|oclc= 815043206}}
* {{citat|last1= Griffiths|first1= Phillip|authorlink1= Phillip Griffiths|last2= Harris|first2= Joe|title= Principles of Algebraic Geometry|date= 1994 |publisher= [[Wiley-Interscience]]|isbn= 978-0-471-05059-9|zbl= 0836.14001}}
* {{citat|last1= Harris|first1= Joe|authorlink1= Joe Harris (matematik)|title= Algebraic Geometry A First Course|date= 1995|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-0-387-97716-4|zbl= 0779.14001}}
* {{citat|last1= Mumford|first1= David|authorlink1= David Mumford|title= Algebraic Geometry I Complex Projective Varieties|edition= 2.|date= 1995|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-58657-9|zbl= 0821.14001}}
* {{citat|last1= Reid|first1= Miles|authorlink1= Miles Reid|title= Undergraduate Algebraic Geometry|date= 1988|url= https://archive.org/details/undergraduatealg0000reid|url-access= registration|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-35662-6|zbl= 0701.14001}}
* {{citat|last1= Šafarevič|first1= Igor Rostislavovič|authorlink1= Igor Rostislavovič Šafarevič|title= Basic Algebraic Geometry I Varieties in Projective Space|edition= 2.|date= 1995|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-0-387-54812-8|zbl= 0797.14001|url-access= registration|url= https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}

; Učbeniki iz računalniške algebrske geometrije

* {{citat|last1= Cox|first1= David Archibald|last2= Little|first2= John|last3= O'Shea|first3= Donal|title= Ideals, Varieties, and Algorithms|edition= 2.|date= 1997|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-0-387-94680-1|zbl=0861.13012}}
* {{citat|last1= Schenck|first1= Hal|authorlink1= Hal Schenck|title= Computational Algebraic Geometry|date= 2003|publisher= Cambridge University Press|url= https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/computational-algebraic-geometry?format=HB&isbn=9780521829649}}
* {{citat|last1= Basu|first1= Saugata|last2= Pollack|first2= Richard|last3= Roy|first3= Marie-Françoise|title= Algorithms in real algebraic geometry|date= 2006|publisher= Springer-Verlag|url= http://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted1.html}}
* {{citat|last1= González-Vega|first1= Laureano|last2= Recio|first2= Tómas|title= Algorithms in algebraic geometry and applications|date= 1996|publisher= Birkhaüser}}
* {{citat|editor1-last= Elkadi|editor1-first= Mohamed|editor2-last= Mourrain|editor2-first= Bernard|editor3-last= Piene|editor3-first= Ragni|title= Algebraic geometry and geometric modeling|date= 2006|publisher= Springer-Verlag}}
* {{citat|editor1-last= Dickenstein|editor1-first= Alicia|editor1-link= Alicia Dickenstein|editor2-last= Schreyer|editor2-first= Frank-Olaf|editor3-last= Sommese|editor3-first= Andrew J.|title= Algorithms in Algebraic Geometry|date= 2008|volume= 146|series= (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications)|publisher= Springer|isbn= 9780387751559|lccn= 2007938208}}
* {{citat|last1= Cox|first1= David Archibald|last2= Little|first2= John B.|last3= O'Shea|first3= Donal|title= Using algebraic geometry|date= 1998|publisher= Springer-Verlag|url= https://archive.org/details/springer_10.1007-978-1-4757-6911-1}}
* {{citat|last1= Caviness|first1= Bob F.|last2= Johnson|first2= Jeremy R.|title= Quantifier elimination and cylindrical algebraic decomposition|date= 1998|publisher= Springer-Verlag}}

; Učbeniki in reference za sheme:

* {{citat|last1= Eisenbud|first1= David|authorlink1= David Eisenbud|last2= Harris|first2= Joe|title= The Geometry of Schemes|date= 1998|publisher= Springer-Verlag|url= https://archive.org/details/springer_10.1007-978-0-387-22639-2|isbn= 978-0-387-98637-1|zbl= 0960.14002}}
* {{citat|last1= Grothendieck|first1= Alexander|authorlink1= Alexander Grothendieck|title = Éléments de géométrie algébrique|date= 1960|publisher= [[Publications Mathématiques de l'IHÉS]]|zbl= 0118.36206|title-link= Éléments de géométrie algébrique}}
* {{citat|last1= Grothendieck|first1= Alexander|last2= Dieudonné|first2= Jean Alexandre|authorlink2= Jean Dieudonné|title= Éléments de géométrie algébrique|edition= 2.|volume= 1|date= 1971|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-05113-8|zbl= 0203.23301}}
* {{citat|last1= Hartshorne|first1= Robin|authorlink1= Robin Hartshorne|title= Algebraic Geometry|date= 1977|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-0-387-90244-9|zbl= 0367.14001|title-link= Algebraic Geometry (knjiga)}}
* {{citat|last1= Mumford|first1= David|title= The Red Book of Varieties and Schemes Includes the Michigan Lectures on Curves and Their Jacobians|edition= 2.|date= 1999|publisher= Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-63293-1|zbl= 0945.14001}}
* {{citat|last1= Šafarevič|first1= Igor Rostislavovič|title= Basic Algebraic Geometry II Schemes and complex manifolds|edition= 2.|date= 1995|publisher=  Springer-Verlag|isbn= 978-3-540-57554-2|zbl= 0797.14002|url-access= registration|url= https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}

== Zunanje povezave ==

{{Wikiquote}}
* [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGnov1817public.pdf ''Foundations of Algebraic Geometry'' by Ravi Vakil, 808 pp.]
* [https://web.archive.org/web/20040415021548/http://planetmath.org/encyclopedia/AlgebraicGeometry.html ''Algebraic geometry''] entry on [http://planetmath.org/ PlanetMath]
* [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/van_der_waerden_-_algebraic_geometry.pdf English translation of the van der Waerden textbook]
* {{navedi splet|last1= Dieudonné|first1= Jean|date= 3. marec 1972|title= The History of Algebraic Geometry|url= https://www.youtube.com/watch?v=Jzx-0poj3Eo|archive-url= https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211122/Jzx-0poj3Eo|archive-date= 22. novembra 2021|url-status= live|publisher= Pogovor na Oddelku za matematiko [[Univerza Wisconsina-Milwaukee|Univerze Wisconsina-Milwaukee]]|via= [[YouTube]]|lang= en}}{{cbignore}} 
* [http://stacks.math.columbia.edu/ The Stacks Project], an open source textbook and reference work on algebraic stacks and algebraic geometry

{{matematika|state=collapsed}}

{{normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:algebrska geometrija}}

[[Kategorija:Algebrska geometrija| ]]
[[Kategorija:Področja matematike]]