Ogled vira Arhimed

{{infopolje Znanstvenik
| name             = Arhimed <br /> Ἀρχιμήδης
| native_name      = {{jezik-el2|Αρχιμήδης}}
| native_name_lang =
| image            = <!-- Wikidata -->
| caption          = Portret Arhimeda, [[Domenico Fetti]], 1620
| other_names      = Arhimedes
| fields           = [[matematika]] <br /> [[fizika]] <br /> [[statika]] <br /> [[tehnika]] <br /> [[astronomija]] <br /> [[izum]]i
| known_for   = [[Arhimedov aksiom]] <br /> [[Arhimedov dvojček]] <br /> [[Arhimedov krempelj]] <br /> ''[[Arhimedov palimpsest]]'' <br /> [[Arhimedov problem goveda]] <br /> [[Arhimedov vijak]] <br / > [[Arhimedov zakon]] <br /> [[Arhimedova spirala]] <br /> [[Arhimedova točka]] <br /> [[Arhimedovo število]] <br /> [[arhimedska krožnica]] <br /> [[arhimedska spirala]] <br /> približek za [[pi|''π'']]
}}
'''Arhimed''' (tudi '''Arhimedes''') [arhiméd/arhimédes] ({{jezik-grc|Αρχιμήδης|Arhimḗdēs}}), [[stari Grki|starogrški]] [[matematik]], [[fizik]], [[mehanik]], [[izumitelj]], [[inženir]] in [[astronom]],<ref>''Archimedes (c.287 - c.212 BC)''. BBC History. Pridobljeno 7. junija 2012.</ref> * [[287 pr. n. št.]], [[Sirakuze]], [[Sicilija]], † [[212 pr. n. št.]], Sirakuze.

Čeprav je o njegovem življenju znanih samo nekaj podrobnosti, velja za največjega matematika [[Antika|antike]] in enega od največjih vseh časov.<ref>{{sktxt|Calinger|1999|pp=150}}.</ref><ref>''Archimedes of Syracuse''. The MacTutor History of Mathematics archive. Januar 1999. Pridobljeno 9. junija 2008.</ref> Arhimed je s konceptom [[infinitezimala|neskončno majhne količine]] in [[metoda izčrpavanja|metodo izčrpavanja]] izpeljal in strogo dokazal vrsto geometrijskih izrekov, vključno s ploščino [[krog]]a, površino in prostornino [[krogla|krogle]] ter ploščino pod [[parabola|parabolo]],<ref>O'Connor J.J., Robertson E.F. (februar 1996). ''A history of calculus''. University of St Andrews. Pridobljeno 7. avgusta 2007.</ref> s čimer je že nakazal sodobni [[infinitezimalni račun]] in [[matematična analiza|matematično analizo]].

Med druge matematične dosežke spadajo točen približek števila [[pi|''π'']], ki ga je določil z analizo [[Arhimedova spirala|Arhimedove spirale]], in eksponentno izražanje zelo [[veliko število|velikih števil]]. Bil je tudi eden prvih, ki je uporabil matematiko za razlago fizikalnih pojavov, postavil temelje [[hidrostatika|hidrostatike]] in [[statika|statike]], vključno z razlago delovanja [[vzvod]]a. Izumil je tudi več naprav, med njimi vijačno črpalko, [[škripčevje]] in vojaške stroje za obrambo Sirakuz.

Umrl je med obleganjem Sirakuz. Ubil ga je rimski vojak, čeprav je imel ukaz, da se mu ne sme nič zgoditi. Rimski govornik [[Mark Tulij Cicero|Cicero]] piše, da so mu na njegovo zahtevo na grob postavili kroglo in valj, ki sta simbolizirala njegova matematična odkritja.

Za razliko od njegovih [[izum]]ov so bili njegovi matematični spisi v antiki bolj malo znani. Prebirali in navajali so jih matematiki iz [[Aleksandrija|Aleksandrije]], prvi obširen zbornik njegovih del pa je nastal šele okoli leta 530. V [[Konstantinopel|Konstantinoplu]] ga je objavil bizantinski matematik, astronom in arhitekt [[Izidor iz Mileta]]. Komentarje Arhimedovih del, primerne tudi za širše bralstvo, je prvi napisal in objavil [[Evtokij]] v 6. stoletju. [[Srednji vek]] je preživelo razmeroma malo kopij Arhimedovih spisov, ki so kasneje postali pomemben vir zamisli za [[renesansa|renesančne]] učenjake.<ref>Bursill-Hall, Piers. ''Galileo, Archimedes, and Renaissance engineers''. Sciencelive with the University of Cambridge. Pridobljeno 7. avgusta 2007.</ref> Leta 1906 so odkrili do tedaj neznan ''[[Arhimedov palimpsest]]'', grški prepis Arhimedovih del iz 10. stoletja, ki je dal nove vpoglede v Arhimedove matematične metode.<ref>''Archimedes – The Palimpsest''. Walters Art Museum. Pridobljeno 14. oktobra 2007.</ref>

== Življenje ==

Arhimed je bil rojen okoli leta 287 pr. n. št. v sicilskem pristaniškem mestu Sirakuze, ki je bilo tedaj samoupravna kolonija [[Magna Graecia|Magnae Graeciae]] ob obali južne [[Italija|Italije]]. Datum njegovega rojstva temelji na trditvi bizantinskega grškega zgodovinarja Ivana Ceca, da je živel 75 let.<ref name="heath_1897">{{sktxt|Heath|1897}}.</ref> Arhimed v ''Psamitu'' (''O številu peščenih zrn'') omenja, da je bil njegov oče astronom Fidij, o katerem ni nič znanega. [[Plutarh]] v svojih ''Vzporednih življenjih'' piše, da je bil Arhimed v sorodu s kraljem [[Hieron II.|Hieronom II.]] Sirakuškim.<ref>Plutarch. ''Parallel Lives''. Complete e-text from Gutenberg.org. Project Gutenberg. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref> Arhimedov življenjepis, ki ga je napisal njegov prijatelj Herakleid, se je izgubil, zato so podrobnosti iz njegovega življenja nejasne.<ref>O'Connor, J.J., Robertson, E.F.. ''Archimedes of Syracuse''. University of St Andrews. Pridobljeno 2. januarja 2007.</ref> Nič ni znanega na primer o tem, ali je bil poročen in imel otroke. V mladosti je morda študiral v Aleksandriji, kjer sta tedaj študirala tudi [[Konon]] s [[Samos]]a in [[Eratosten]] iz Kirene. Arhimed omenja, da je bil Konon njegov prijatelj, Eratostenu pa je posvetil uvoda v svoji ''[[Metoda mehanskih izrekov|Metodi mehanskih izrekov]]'' in ''Problemu goveda''.

[[Slika:Cicero Discovering the Tomb of Archimedes by Benjamin West.jpeg|thumb|250px|right|''[[Mark Tulij Cicero|Cicero]]vo odkritje Arhimedovega groba'', [[Benjamin West]], 1805]]

Umrl je  med [[druga punska vojna|2. punsko vojno]] okoli leta 212 pr. n. št., ko je rimska vojska pod poveljstvom generala Marka Klavdija Marcela po dveh letih obleganja osvojila Sirakuze. Njegovo smrt ob zavzetju Sirakuz so opisali različno. [[Plutarh]] je o njej poročal takole:

:''»Usoda je hotela, da je bil pogreznjen v delo na nekem problemu in je osredotočil ves svoj razum in svoje oči na diagram, ki ga je raziskoval, in ni opazil, da so vdrli Rimljani in je mesto padlo. Ko se mu je približal rimski vojak in ga pozval, naj mu sledi k Marcelu, je to odklonil, dokler ne reši matematičnega problema. Vojaka je odgovor tako razjezil, da je potegnil meč in ga zaklal.«''

Arhimedove zadnje besede naj bi bile ''»Ne dotikaj se mojih krogov!«'' (latinsko ''Noli turbare circulos meos!'', grško ''μὴ μου τοὺς κύκλους τάραττε!'' [Mē mou tous kuklous taratte!]),<ref name=Rores11>Rorres, Chris. [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Death/Histories.html ''Death of Archimedes: Sources'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 2. januarja 2007.</ref> se pravi matematičnega grafa, ki ga je ravno preučeval. Za to trditev ni nobenega trdnega dokaza, ker ni omenjena v nobenem Plutarhovem zapisu.

Plutarh ponuja tudi drug, manj znan opis njegove smrti. V njem pravi,  da so ga ubili med poskusom predaje. V tej zgodbi je Arhimed nosil matematični instrument, vojak pa je mislil, da nosi dragocenost in ga je ubil. General Marcel naj bi bil zaradi njegove smrti ogorčen, saj ga je imel za uglednega učenjaka in je ukazal, da mu ne smejo storiti nič žalega.<ref name=Rores11/>

V ''Nepozabnih dejanjih in izrekih'' Valerija Maksima iz 1. stoletja n. št. so Arhimedove zadnje besede malo drugačne:

:''»... sed protecto manibus puluere 'noli' inquit, 'obsecro, istum disturbare'«'' 
:''»... z rokama je pokril prah in rekel 'prosim te, da jih pustiš pri miru'«.''

Arhimedov grob sta na njegovo željo krasila krogla in valj, ki sta simbolizirala njegovo najslavnejše matematično odkritje. Dokazal je namreč, da sta prostornina in površina krogle enaka dvema tretjinama prostornine in površine enakostraničnega valja z višino, enako premeru krogle. Leta 75 pr. n. št., se pravi 137 let po Arhimedovi smrti, je njegov grob iskal Cicero, ki je služil na Siciliji kot [[kvestor]]. Zgodbo o Arhimedovem grobu so domačini poznali, nihče pa ni vedel, kje je. Grob je odkril pri Agrigentskih vratih v Sirakuzah. Bil je povsem zanemarjen in zaraščen, zato ga je očistil in nato prebral nekaj napisov na nagrobniku.<ref>Rorres, Chris. [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/Cicero.html ''Tomb of Archimedes: Sources'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 2. januarja 2007.</ref> Potem je sled ponovno izginila, dokler niso leta 1965 o najdbi njegovega groba na dvorišču Hotela Panorama v Sirakuzah poročali italijanski arheologi. Za to, da je grob res njegov, ni nobenega trdnega dokaza.<ref>Rorres, Chris. [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Tomb/TombIllus.html ''Tomb of Archimedes – Illustrations'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 15. marca 2011.</ref>

== Odkritja in iznajdbe ==
=== [[Arhimedov zakon]] ===
[[Slika:Archimedes water balance.gif|thumb|250px|Arhimedova rešitev problema zlate krone]]

Najbolj znana zgodba o Arhimedu pripoveduje, kako je odkril metodo za določane prostornine teles nepravilnih oblik. Arhimedu so prinesli krono, ki naj bi bila izdelana iz čistega [[zlato|zlata]], in ga vprašali, ali so goljufivi zlatarji k zlatu primešali tudi nekaj [[srebro|srebra]].<ref>Vitruvius. [http://penelope.uchicago.edu/Thayer/E/Roman/Texts/Vitruvius/9*.html ''De Architectura'', IX, 9–12 (v angleščini in latinščini). University of Chicago. Pridobljeno 30. avgusta  2007.]</ref> Arhimed krone ni smel poškodovati, zato jo je potopil v vodo in iz dviga nivoja vode izračunal njeno prostornino. Meritev je mogoča zaradi dejstva, da je voda pri teh pogojih praktično [[stisljivost|nestisljiva]].<ref>[http://scictr.fas.harvard.edu/ ''Incompressibility of Water'']. Harvard University. Pridobljeno 27. februarja 2008.</ref> Ugotovil je, da je [[gostota]] krone manjša od gostote čistega zlata in s tem dokazal, da je k zlatu primešanega nekaj cenejšega srebra. Po tem odkritju je menda gol tekal po sirakuških ulicah in vpil ''»Eureka!«'' (grško εὕρηκα  [heúrēka]), se pravi ''»Odkril sem!«''.<ref>HyperPhysics. [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/Hbase/pbuoy.html ''Buoyancy'']. Georgia State University. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref> Zgodba o zlati kroni v Arhimedovih znanih delih ni omenjena, v praksi pa pomeni, da je izračun mogoč zaradi možnosti zelo točnega tehtanja mase izpodrinjene tekočine.<ref>Rorres, Chris. [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Crown/CrownIntro.html  ''The Golden Crown'']. Drexel University. Pridobljeno 24. marca 2009.</ref> 
  
[[Hidrostatični tlak]] in [[Arhimedov zakon|Arhimedovo načelo]] je opisal v razpravi ''O plavanju teles''. Zakon pravi, da na plavajoče telo deluje [[sila]] [[vzgon]]a ''F'', ki je enaka teži izpodrinjene tekočine:<ref>Carroll, Bradley W. [http://www.physics.weber.edu/carroll/Archimedes/principle.htm ''Archimedes' Principle'']. Weber State University. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref>

: <math> F = mg = \rho V g \!\, , </math>

kjer je: 
* <math> m\!\, </math> – [[masa]] izpodrinjene [[tekočina|tekočine]]
* <math> g\!\, </math> – [[težni pospešek]]
* <math> \rho\!\, </math> – [[gostota]] tekočine
* <math> V\!\, </math> – [[prostornina]] izpodrinjene tekočine

Sila vzgona deluje proti sili teže. Njeno prijemališče je [[težišče]] telesa. Arhimedova metoda se še danes uporablja za določanje gostote snovi in  preučevanje plovnosti teles.

=== Arhimedov vijak ===
{{glavni|Arhimedov vijak}} 
[[Slika:Archimedes screw.JPG|thumb|250px|Tipičen Arhimedov vijak]]

Velik del Arhimedovega inženirskega dela je nastal med izpolnjevanjem potreb domačih Sirakuz. Grški pisatelj [[Atenej]] piše, da je sirakuški kralj Hieron II. pri Arhimedu naročil načrte za veliko ladjo ''Sirakuzijo'', ki bi bila uporabna za luksuzno potovanje in kot vojna ladja. ''Sirakuzija'' naj bi bila  naj bi bila največja ladja, zgrajena v antiki.<ref>{{sktxt|Casson|1971}}.</ref> Po Atenejevem pisanju je lahko nosila 600 ljudi, imela okrasne vrtove, [[gimnazija (Antična Grčija)|gimnazijo]] in tempelj, posvečen boginji [[Afrodita|Afroditi]]. Ker je ladja puščala in je vanjo vdiralo veliko vode, ja Arhimed domnevno razvil vijak, s katerim je izčrpaval kalužo. Arhimedov stroj je imel vijačnico, vgrajeno v notranjosti valja. Poganjal se je z rokami. Kasneje se je izkazalo, da je uporaben tudi za črpanje vode iz nižje ležečih namakalnih kanalov. Arhimedov vijak se še vedno uporablja za črpanje tekočin iz suhih zrnatih trdnih snovi, na primer [[premog]]a in [[žito|žita]]. Arhimedov vijak, ki ga je v rimskih časih opisal Mark Vitruvij, bi lahko bil izboljšana različica vijačne črpalke,  ki so jo uporabljali za namakanje [[Babilonski viseči vrtovi|Babilonskih visečih vrtov]].<ref>{{sktxt|Dalley|Oleson|2003}}.</ref><ref>Rorres, Chris. [https://www.cs.drexel.edu/~crorres/Archimedes/Screw/optimal/optimal.html ''Archimedes' screw – Optimal Design'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija  2007.</ref>

Prvi [[parnik]] s pogonom na Arhimedov vijak, zgrajen leta 1838, so njegovemu izumitelju v čast imenovali SS Archimedes.<ref>[http://www.wrecksite.eu/wreck.aspx?636 SS &#91;Archimedes&#93;]. wrecksite.eu. Pridobljeno 22. januarja 2011.</ref>

=== Arhimedov krempelj ===
[[Slika:Parigi griffe.jpg|thumb|250px|Giulio Parigi: [[Arhimedov krempelj]], znan tudi kot železna roka]]

[[Arhimedov krempelj]] je bil eden od strojev, ki jih je med [[druga punska vojna|2. punsko vojno]] skonstruiral Arhimed za obrambo Sirakuz pred vojsko [[Rimska republika|Rimske republike]] pod poveljstvom generala Marka Klavdija Marcela. Videz in delovanje stroja sta še vedno predmet razprav. Antični viri trdijo, da je stal na morskem obzidju za obrambo pred napadom z morja. Skopi opisi pravijo, da je bil  nekakšen [[Žerjav (stroj)|žerjav]] oziroma ogromno dvigalo, s katerega je visela kljuka. To se je lahko zagozdilo za sovražno ladjo, jo z dvigalom dvignilo in tako potopilo.

V zadnjem času so večkrat poskusili rekonstruirati in preskusiti Arhimedovo orožje. Leta 2005 je ekipa, ki jo je zbral Discovery Channel, v televizijski oddaji ''Super orožja antičnega sveta'' zgradila svojo inačico orožja in dokazala, da deluje.<ref>Rorres, Chris.  [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Claw/illustrations.html ''Archimedes' Claw – Illustrations and Animations – a range of possible designs for the claw'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref><ref>Carroll, Bradley W. [http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/claw.htm Archimedes' ''Claw – watch an animation'']. Weber State University. Pridobljeno 12. avgusta 2007.</ref>

=== Toplotni žarek ===

Arhimed je kot orožje morda uporabil tudi več [[zrcalo|zrcal]], ki so kot celota delovala kot parabolično zrcalo in bi lahko vžgala rimske oblegovalne ladje. V 2. stoletju n. št. je grški retorik Lucijan zapisal, da je Arhimed med obleganjem Sirakuz uničili sovražne ladje z ognjem. Nekaj stoletij kasneje je grški arhitekt in matematik [[Antemij]] kot Arhimedovo orožje omenil konkavne [[leča (optika)|leče]].<ref>Anthemius of Tralles. ''On miraculous engines''. 153 [Westerman].</ref>

Tudi to domnevno orožje je že od [[renesansa|renesanse]] predmet razprav. [[René Descartes|Descartes]] ga je zavrnil kot nemogoče, medtem ko so sodobni raziskovalci poskušali poustvariti njegov učinek samo s sredstvi, ki jih je imel na razpolago Arhimed.<ref>{{sktxt|Wesley|1810}}.</ref> Mednje so spadali polirani [[bron]]asti ali [[baker|bakreni]] ščiti, ki bi delovali kot sistem paraboličnih zrcal in usmerili svetlobo na sovražno ladjo. Enako načelo uporabljajo sodobne sončne peči.
[[Slika:Archimedes-Mirror_by_Giulio_Parigi.jpg|thumb|left|300px|Umetnikova predstava uporabe paraboličnih zrcal proti rimskih ladjam.]]
Preskus Arhimedovega toplotnega žarka je leta 1973 opravil grški znanstvenik Ioannis Sakkas v vojaški pomorski bazi Skaramagas pri Atenah. 70 pobakrenih zrcal velikosti 1,5 × 1,0 m je usmeril na maketo rimske bojne ladje iz vezanega lesa, oddaljene približno 50 m. Ko so bila zrcala točno usmerjena, se je ladja po nekaj sekundah vžgala. K temu je verjetno veliko pripomogel premaz iz [[bitumen|bitumna]],<ref>[http://content.time.com/time/magazine/article/0,9171,908175,00.html?promoid=googlep ''Time Magazine'']. 26. november 1973. Pridobljeno 12. avgusta 2007.</ref> s katerim so premazovali ladje tudi v klasičnem obdobju.

Oktobra 2005 je preskus izvedla skupina študentov s [[Tehnološki inštitut Massachusettsa|Tehnološkega inštituta Massachusettsa]]. Uporabila je 127 kvadratnih zrcal s stranico 30&nbsp;cm, usmerjenih na maketo lesene ladje, oddaljeno 30 m. Maketa se je vžgala samo ob povsem jasnem vremenu in ko je bila pri miru najmanj deset minut. Zaključek preskusa je bil, da so pri teh pogoji zrcala uporabno orožje. Ekipa z istega inštituta je preskus ponovila v [[San Francisco|San Franciscu]] za televizijsko oddajo ''[[MythBusters]]''. Za tarčo je izbrala leseno ribiško barko. Med preskusom je les pooglenel in se samo rahlo vnel, ker 
[[Slika:Archimedes_Heat_Ray_conceptual_diagram-sl.svg|sličica|Diagram Arhimedovega toplotnega žarka.]]
je za njegov vžig potrebna temperatura približno 300&nbsp;°C.<ref>Bonsor, Kevin. [http://science.howstuffworks.com/nature/natural-disasters/wildfire.htm ''How Wildfires Work'']. HowStuffWorks. Pridobljeno 23. septembra 2007.</ref><ref>[http://www.engineeringtoolbox.com/fuels-ignition-temperatures-d_171.html ''Fuels and Chemicals – Auto Ignition Temperatures''].</ref>

Ekipa ''MythBusters'' je preskus uvrstila med nepotrjene oziroma spodletele, ker so za njegov uspeh potrebne idealne vremenske razmere in dovolj velik čas. Poudarili so, da se Sirakuze odpirajo proti vzhodu, zato bi bila obramba uspešna samo dopoldne, ko je učinek sončne svetlobe ob taki legi največji, in da so imeli branilci za uničevanje ladij na majhne razdalje na razpolago mnogo bolj enostavna in dostopna orožja, na primer goreče [[Puščica (izstrelek)|puščice]] in [[katapult (orožje)|katapulte]].<ref>[http://web.mit.edu/2.009/www/experiments/deathray/10_Mythbusters.html ''Archimedes Death Ray: Testing with MythBusters''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160108000449/http://web.mit.edu/2.009/www///experiments/deathray/10_Mythbusters.html |date=2016-01-08 }}. MIT. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref>
 
Ekipa ''MythBusters'' je preskuse ponovila decembra 2010 in jih ponovno uvrstila v kategorijo nepotrjeno, ker temperatura jader na ladji nikoli ni dosegla temperature 210&nbsp;°C, potrebne za njihov vžig. Eden od zaključkov je bil, da bi zrcala bolj motila oziroma slepila ladijsko posadko kot resno ogrozila njihovo ladjo.<ref>[http://fandomania.com/tv-review-mythbusters-8-27-presidents-challenge/ ''TV Review: MythBusters 8.27 – President's Challenge'']. Pridobljeno 18. decembra 2010.</ref>

=== Druga odkritja in iznajdbe ===
[[Slika:Palanca-ejemplo.jpg|thumb|250px|Uravnotežen vzvod]]

Arhimed ni izumil [[vzvod]]a, ampak je v delu ''Ravnotežje geometrijskih likov'' pojasnil načelo njegovega delovanja in s tem postavil temelje sodobne [[statika|statike]]. Vzvod je tog, v neki točki podprt drog. Dela vzvoda levo in desno od podpore sta ročici ali kraka. Vzvod je v ravnotežju kadar sta produkta bremen in ročic enaka:

: <math> F_{1} x_{1} = F_{2} x_{2} \!\, , </math>

kjer sta: 
* <math>F_{1}, F_{2}\, </math> – [[sila|sili]]
* <math>x_{1}, x_{2}\, </math> – ročici

To pomeni, da je za dvig bremena na kratki ročici na daljši ročici potrebna manjša sila.<ref>{{sktxt|Clagett|2001}}.</ref>

Po [[Papos Aleksandrijski|Paposu Aleksandrijskem]] je Arhimed po svojem odkritju izjavil: ''»Dajte mi mesto, kamor  ga bom lahko oprl, pa bom premaknil Zemljo«'' (grško {{jezik-el2|δῶς μοι πᾶ στῶ καὶ τὰν γᾶν κινάσω}}).<ref>Pappus of Alexandria. ''Synagoge'', VIII. knjiga.</ref> Svojo trditev je na kraljev poziv menda dokazal tako, da je ladjo, polno Sirakužanov, s sistemom vzvodov in škripcev dvignil iz morja in jo odložil na obalo. Kralj je potem izjavil, da je treba Arhimedu odslej verjeti brez ugovora.

Načelo so pred njim opisali [[Aristotel]]ovi učenci [[peripatetiki]], njegovo odkritje pa se včasih pripisuje Arhitu.<ref>Rorres, Chris.  [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Lever/LeverLaw.html The Law of the ''Lever According to Archimedes'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 20. marca 2010.</ref>

[[Slika:Antikythera_mechanism.svg|right|thumb|200px|Shematski prikaz [[Mehanizem z Antikitere|mehanizma z Antikitere]]]]

Plutarh piše, da je Arhimed zasnoval [[škripčevje]], ki je delovalo po načelu vzvoda in je mornarjem omogočalo dvigovanje sicer pretežkih bremen.<ref>Dougherty, F. C.; Macari, J.; Okamoto, C.. ''Pulleys''. Society of Women Engineers. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref> Zaslužen je tudi za izboljšanje moči in točnosti [[katapult (orožje)|katapulta]] in izum [[odometer|odometra]]. Odometer je opisan kot voziček z zobniškim mehanizmom, ki je po vsaki prepotovani milji v posodo spustil kroglico.<ref>''Ancient Greek Scientists: Hero of Alexandria''. Technology Museum of Thessaloniki. Pridobljeno 14. septembra 2007.</ref>

Cicero na kratko omenja Arhimeda v svojem delu ''De re publica'', izmišljenem pogovoru, ki naj bi potekal leta 129 pred n. št. General Mark Klavdij Marcel je po zavzetju Sirakuz okoli leta 212 pred n. št. dejal, da bo v Rim odnesel dva Arhimedova mehanizma, ki sta kazala gibanje [[Sonce|Sonca]], [[Luna|Lune]] in petih [[planet]]ov in sta bila uporabna v [[astronomija|astronomiji]]. Cicero omenja tudi, da sta podoben  mehanizem zasnovala [[Tales]] iz Mileta in [[Evdoks]]. Marcel naj bi enega od mehanizmov obdržal zase kot vojni plen, drugega pa poklonil  templju Vrlin v Rimu. Napravi sta bila nekakšna [[planetarij]]a ali modela planetnega sistema.<ref>Cicero. [http://www.thelatinlibrary.com/cicero/repub1.shtml#21 ''De re publica 1.xiv §21'']. thelatinlibrary.com. Pridobljeno 23. julija 2007</ref><ref>Cicero. ''De re publica''. Celoten e-text v angleščini z Gutenberg.org. Project Gutenberg. Pridobljeno 18. septembra 2007.</ref>

Papos trdi, da je Arhimed opisal konstrukcijo mehanizma v rokopisu ''O izdelavi nebesnega svoda'', ki se je izgubil. Sodobne raziskave na tem področju so se osredotočile na podoben [[mehanizem z Antikitere]], izdelan okoli leta 100 pred n. št.<ref>{{sktxt|Noble Wilford|2008}}.</ref> Za izdelavo mehanizma je bilo potrebno prefinjeno poznavanje diferencialnih reduktorjev,<ref>[http://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/column/antikytheraII-0500/diff4.html ''The Antikythera Mechanism II''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130606062459/http://www.math.stonybrook.edu/~tony/whatsnew/column/antikytheraII-0500/diff4.html |date=2013-06-06 }}. Stony Brook University. 25. decembra 2013.</ref> za katerega se je dolgo časa domnevalo, da presega domet antične tehnologije. Odkritje mehanizma z Antikitere leta 1902 je dokazalo, da so tovrstne naprave poznali že stari Grki.<ref>Rorres, Chris. [http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Sphere/SphereIntro.html ''Spheres and Planetaria'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref>

== Matematika ==
[[Slika:PiArchimede4.svg|thumb|right|250px|Arhimed je rabil [[Pitagorov izrek]] za računanje stranice [[dvanajstkotnik]]a iz [[šestkotnik]]a in za vsako naslednjo podvojitev stranic [[pravilni mnogokotnik|pravilnega]] [[mnogokotnik]]a.]]

Arhimed se ni ukvarjal samo z izumljanjem mehanskih naprav, temveč tudi s [[fizika|fiziko]], [[astronomija|astronomijo]] in zlasti z [[matematika|matematiko]]. Obvladoval je [[infinitezimala|infinitezimale]], števila z zelo majhnimi absolutnimi vrednostmi, vendar večja od 0, in jih uporabljal na način, podoben sedanjemu [[integral|integriranju]].

Skušal je načrtati [[pravilni mnogokotnik|pravilni]] [[sedemkotnik]].

=== ''Merjenje kroga'' ===

Z [[dokaz s protislovjem|drobljenjem do absurda]] (''[[reductio ad absurdum]]'') je lahko rešil probleme s poljubno točnostjo ali določil meje, znotraj katerih je ležal odgovor. S tehniko, znano kot [[metoda izčrpavanja]], je izračunal približno vrednost števila ''π''. V ''[[Merjenje kroga|Merjenju kroga]]'' ({{jezik-el2|Κύκλου μέτρησις}}) je to opravil tako, da je krogu orisal in vrisal pravilna [[šestkotnik]]a in nato postopoma podvajal število stranic obeh mnogokotnikov. Predpostavil je, da se bo z naraščanjem števila stranic vsota njihovih dolžin približevala obsegu kroga. Po vsakem koraku je zato izračunal vsoti stranic obeh likov in ju primerjal. Po štirih korakih se je njihovo število povečalo na ''n'' = 96 = 2<sup>5</sup> · 3, izračunani približek števila ''π'' pa je dobil vrednost:

: <math>  3 \frac{10}{71} = [3;7,10] < 3 \frac{1137}{8069} = [3;7,10,2,1,36] < \pi < 3 \frac{1335}{9347} = [3;7,667,2] < 3 \frac{1}{7} \!\, </math>

ali približno:

: <math>  3,1408450 < 3,1409100 < \pi < 3,1428266 < 3,1428571 \!\, , </math>

oziroma srednja vrednost spodnje in zgornje meje <math> \pi = 3,14185110664 \!\, . </math> Arhimedova izračunana vrednost je skladna z njegovo dejansko vrednostjo približno 3,1416.<ref>Heath, T. L. [http://www.math.ubc.ca/~cass/archimedes/circle.html ''Archimedes on measuring the circle'']. math.ubc.ca. Pridobljeno 30. oktobra 2012.</ref>

Pred njim so tudi drugi starogrški matematiki poskušali uporabljati ploščino včrtanih mnogokotnikov za izračun približkov ''π'', vendar je Arhimed prvi uporabil obseg kroga.<ref>{{citat|last1= Han|first1= Kyutae Paul|title= Pi and Archimedes polygon method|url= https://math.dartmouth.edu/~m56s13/Han_proj.pdf|accessdate= 2015-01-14|language= en}}</ref> Dokazal je tudi, da je ploščina kroga enaka zmnožku ''π'' in kvadrata polmera (''π''r<sup>2</sup>).

Če se [[razmerje]] med obsegom kroga ''o'' = 2''π'' ''r'' in njegovim premerom  2''r'' označi s ''π''<sub>o</sub> in razmerje med ploščino kroga ''p'' = ''π'' ''r''<sup>2</sup> in ploščino njemu očrtanega kvadrata (2''r'')<sup>2</sup> s ''π''<sub>p</sub>, se vidi, da razmerje ''π''<sub>o</sub>/''π''<sub>p</sub> ni odvisno od velikosti kroga. To so vedeli že [[Sumerci]] in [[stari Egipčani|Egipčani]], niso pa vedeli, da sta števili ''π''<sub>o</sub> in ''π''<sub>p</sub> v ozki medsebojni zvezi. Tega nista vedela niti [[Pitagora]] niti [[Evklid]] in vsa grška matematična šola pred Arhimedom. Da razmerje ''π''<sub>o</sub> = 4''π''<sub>p</sub> ni odvisno od premera kroga, so grški matematiki odkrili malo pred Arhimedom na začetku 4. stoletja pr. n. št. Arhimed je dokazal tudi, da v enačbah za izračun obsega in ploščine kroga nastopa ista [[matematična konstanta|konstanta]], kar ni bilo samo po sebi razumljivo. Pred njim so uporabljali različni vrednosti ''π''.<ref name="richeson_2013">{{sktxt|Richeson|2013}}.</ref> Konstanta obsega je enaka konstanti ploščine <math>o/2r = p/r^{2}\, </math>. Evklid je v svojih ''[[Elementi (Evklid)|Elementih]]'' dokazal konstanto ploščine za kroge (<math>p/r^{2}\, </math>, 12. knjiga, trditev 2). Ni pa nikjer omenjal razmerja <math>o/2r\, </math> ali karkoli podobnega. Arhimed je v ''Merjenju kroga'' dokazal, da velja (trditev 1):

: <math> p = \frac{or}{2} \!\, , </math>

nikjer pa sicer ni eksplicitno navedel, da je razmerje <math>o/2r\, </math> konstanta. Vendar to dejstvo posredno izhaja iz njegovega dela in poleg prvi trditvi iz ''Merjenja kroga'' je treba Evklidovim izrekom dodati dva njegova aksioma iz  dela ''O krogli in valju'':

: <math> \frac{o}{2r} = \left( \frac{2p}{r} \right) \frac{1}{2r} = \frac{p}{r^{2}} = \pi \!\, . </math>

=== Kvadratni koren števila 3 ===

V ''Merjenju kroga'' je izračunal tudi vrednost [[kvadratni koren števila 3|kvadratnega korena števila 3]]:<ref name="knorr_1976">{{sktxt|Knorr|1976}}.</ref><ref name="brown_2015">{{sktxt|Brown|2015}}.</ref><ref name="whitford_1912">{{sktxt|Whitford|1912}}.</ref><ref>{{sktxt|Heath|1897|pp=Lxxvii, 50}}.</ref>

: <math>  \frac{265}{153} < \sqrt{3} <  \frac{1351}{780} \!\, </math>

ali približno:

: <math> 1,7320261 < \sqrt{3} < 1,7320512 \!\, . </math>

Ahimedova spodnja in zgornja meja sta točni na {{sfrac|2|23409}} (4 desetiška mesta) in {{sfrac|1|608400}} (6 desetiških mest). Pri tem ni navedel točnega postopka,<ref name=EB>{{navedi splet|url= http://www.britannica.com/biography/Archimedes|title=Archimedes|work= Encyclopædia Britannica|date= 2008|accessdate= 30. junija 2008|language= en}}</ref> verjetno pa je uporabil iteracijo,<ref>{{sktxt|McKeeman|2010}}.</ref> neko vrsto intepolacijske metode ali kombinacijo več metod.<ref name="davies_2011">{{sktxt|Davies|2011}}.</ref> Dejanska vrednost je približno 1,7320508. Na ta način je sicer najboljša spodnja meja enaka:

: <math> \frac{989}{571} < \sqrt{3} \!\, , </math>

ni pa jasno zakaj je Arhimed ni navedel. Mogoče je potreboval boljšo zgornjo mejo in je računal naprej, spodnje meje pa ni navajal. Čeprav svojih metod ni pojasnil, se lahko približka dobita na enak način kot rešitev [[Pellova enačba|Pellove enačbe]] za ''n''&nbsp;=&nbsp;3:

: <math> x^{2} - 3y^{2}=1 \!\, . </math><ref name="knorr_1976" />

=== ''Krogla in valj'' ===
[[Slika:Esfera Arquímedes.svg|right|200px|thumb|Krogla ima 2/3 prostornine očrtanega valja, vključno z njegovima osnovnima ploskvama. Obe geometrijski telesi so na njegovo željo postavili na njegov grob.]]
 
V razpravi ''[[O krogli in valju]]'', naslovljeni na Dositeja, je Arhimed dobil rezultate, na katere je bil najbolj ponosen: izračunal je razmerje med kroglo in njej očrtanim valjem enako višino in premerom. Prostornini krogle in valja merita:

: <math> {V_{\rm k}} = \frac {{4}}{{3}}  \pi\ r^{3}  </math>
: <math> {V_{\rm v}} = 2  \pi\ r^{3}, </math>

njuni površini pa:

: <math> {P_{\rm k}} = 4 \pi\ r^{2} </math>
: <math> {P_{\rm v}} = 6  \pi\ r^{2}, </math>

kjer je:

* <math>r\, </math> – polmer valja in krogle in polovica višine valja.

Prostornina in površina krogle sta torej enaka dvem tretjinam prostornine in površine očrtanega valja. Prostornina valja je trikratnik prostornine temu valju vrčtanega stožca.

V isti razpravi je domneval, da vsaka veličina, ki je dovolj krat dodana sama sebi, preseže katero koli dano veličino ([[Arhimedov aksiom]] realnih števil).<ref>Kaye, R. W. [http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/seqser/archfields ''Archimedean ordered fields''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090316065753/http://web.mat.bham.ac.uk/R.W.Kaye/seqser/archfields |date=2009-03-16 }}. web.mat.bham.ac.uk. Pridobljeno 7. novembra 2009.</ref>

=== ''Kvadratura parabole'' ===
[[Slika:Parabolic segment and inscribed triangle.svg|right|200px|thumb|Odsek parabole z ustreznim včrtanim trikotnikom]]

Izračunal je najstarejši znani primer [[geometrična vrsta|geometrične]] [[vrsta (matematika)|vrste]] s [[količnik]]om <math>k=1/4 \,</math>:

: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^{k}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \cdots  \!\, , </math>

V ''[[Kvadratura parabole|Kvadraturi parabole]]'' je dokazal, da je ploščina lika med [[Parabola|parabolo]] in sekanto {{sfrac|4|3}} krat večja od ploščine včrtanega trikotnika, ki ustreza pogojem na desnem grafu. Če je prvi člen vrste površina trikotnika, je drugi člen vsota površin dveh trikotnikov, katerih osnovnici sta manjši sekanti. Rešitev problema je izrazil z vsoto zgornje neskončne geometrične vrste:

: <math> s = \sum_{m=0}^\infty ak^{m} = \frac{a}{1-k} = \frac{1}{1-\frac{1}{4}} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \!\, . </math>

Vsoto te vrste je izračunal z neposrednim računom, ki ga je zamislil prav za to vrsto. Ta dokaz uporablja različico vrste:

: <math> \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4^{k}} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{4^{4}}  + \cdots \!\, , </math>

katere vsota je enaka ⅓.

Pri njem se najde primerjave v preprosti obliki, da so členi [[aritmetično zaporedje|aritmetičnega]] [[zaporedje|zaporedja]] [[logaritem|logaritmi]] členov [[geometrično zaporedje|geometričnega zaporedja]].

=== ''Izračun peščenih zrn'' ===

V ''Izračunu peščenih zrn'' (''Psammites'') je izračunal največje število peščenih zrn, potrebnih za napolnitev [[Vesolje|Vesolja]], pri čemer je predpostavil velikost Vesolja. K temu ga je spodbudila pripomba, da je število zrn preveliko, da bi se ga dalo izračunati, in hotel je dokazati, da je mogoče vse kar v resnici obstaja tudi [[meritev|izmeriti]]. Arhimed je k temu zapisal:

:''»Kralj Gelo (Gelo II., sin Hieorna II.) trdi, da je število zrn neskončno, jaz pa trdim, da pesek ni samo v Sirakuzah in drugod po Siciliji, ampak tudi v vseh drugih naseljenih in nenaseljenih pokrajinah.«''
 
Za reševanje problema in za izražanje [[veliko število|velikih števil]] je uporabljal poseben številski sistem, ki je temeljil na miriadi miriad (100 milijonov ali 10<sup>8</sup>). Izraz miriada izhaja iz grškega izraza {{jezik-el2|μυριάς}}: myrias in pomeni število 10.000. Njegov sistem je bil že skoraj tak kot sodobna [[Potenciranje|potenčna]] (eksponenta) oblika. Z Evklidovim pravilom o [[deljenje|deljenju]] potenc je odkril pravilo za njihovo [[množenje]].

Ker se razdalje od [[Zemlja|Zemlje]] do [[zvezda|zvezd]] s tedanjimi instrumenti ni dalo izmeriti, je Arhimed na osnovi [[Aristarh]]ovih domnev predpostavil, da je Zemljin [[tir]] [[krožnica]], da ima Vesolje obliko krogle in da je razmerje med premerom Vesolja in premerom Zemljinega tira enako razmerju med premerom Zemljinega tira in Zemljinim premerom. Povedano drugače to pomeni, da je [[zvezdna paralaksa|zvezdna]] [[paralaksa]], ki jo povzroči gibanje Zemlje okrog [[Sonce|Sonca]], enaka solarni paralaksi, ki jo povzroči gibanje okrog Zemlje.

Za izračun zgornje meje števila zrn je predpostavil tudi to, da obseg Zemlje ni večji od 10 miriad [[stadij]]ev (5,5 {{e|5}} km), da [[Luna]] ni večja od Zemlje in Sonce ni več kot trideset krat večje od Lune, da je kotni premer Sonca, gledan z Zemlje, večji od 1/200 [[pravi kot|pravega kota]] (π/400 [[radian]]ov = 0,45°) in izračunal, da premer Vesolja ne presega 10<sup>14</sup> stadijev, kar v sodobnih enotah znese približno 2 [[svetlobno leto|svetlobni leti]]. Za njegovo napolnitev bi potrebovali največ 8 vigintilijonov ali 8{{e|63}} zrn peska.<ref>Carroll, Bradley W. [http://physics.weber.edu/carroll/Archimedes/sand.htm ''The Sand Reckoner'']. Weber State University. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref>

== Spisi ==
[[File:Archimedous Panta Sozomena.tif|thumb|''Archimēdous Panta sōzomena'', 1615]]

Zdi se, da Arhimed ni bil posebno ponosen na svoje mehanske izume. Zanje je mislil, da ne predstavljajo pravega filozofskega dela, zato je objavljal samo svoje matematične razprave. Pisal je v [[Dorci|dorski]] [[grščina|grščini]], narečju antičnih Sirakuz.<ref>Nigel Guy Wilson (2006). ''Encyclopedia of ancient Greece'', str. 77. ISBN 0-7945-0225-3.</ref> Njegovi spisi se niso tako dobro ohranili kot Evklidovi, zato je sedem njegovih razprav znanih samo iz omemb drugih avtorjev. [[Papos Aleksandrijski]] omenja razpravo ''O izdelavi krogle'' in druga dela s področja [[mnogokotnik]]ov, medtem ko [[Teon II.|Teon Aleksandrijski]] citira odlomek o [[lom svetlobe|lomu svetlobe]] iz izgubljene razprave ''Catoptrica''. Arhimed je svoja odkritja objavljal v korespondenci z aleksandrijskimi matematiki. Njegova dela je prvi zbral [[Bizantinsko cesarstvo|bizantinski]] grški arhitekt [[Izidor iz Mileta]] okoli leta 530. Komentarje njegovih del je v 6. stoletju napisal [[Evtokij]] iz Aškalona, s čimer je njihovo poznavanje razširil na večji krog ljudi. [[Tabit ibn Kora]] (836–901) je Arhimedova dela prevedel v [[arabščina|arabščino]], [[Gerard da Cremona|Gerard iz Cremone]] (okoli 1114–1187) pa v [[latinščina|latinščino]]. Med [[renesansa|renesanso]] je Johann Herwagen leta 1544 v [[Basel|Baslu]] objavil ''Editio Princeps'' (''Prva izdaja'') Arhimedovih del v grškem in latinskem jeziku.<ref>''Editions of Archimedes' Work''. Brown University Library. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref> Okoli leta 1586 je  [[Galileo Galilei]] iznašel hidrostatsko tehtnico za tehtanje  kovin v zraku in vodi, za katero je domnevno dobil navdih v Arhimedovih delih.<ref>Van Helden, Al. [http://galileo.rice.edu/sci/instruments/balance.html ''The Galileo Project: Hydrostatic Balance'']. Rice University. Pridobljeno 14. septembra 2007.</ref>

=== Ohranjena dela ===

* '''''[[O ravnovesju ravnin]] ({{jezik-el2|Περὶ ἐπιπέδων ἱσορροπιῶν}})''''' 
: Knjiga ima dva dela. Prvi vsebuje petnajst trditev  in sedem aksiomov, drugi pa deset trditev. Obravnava zakon [[vzvod]]a, ki pravi, da je vzvod v ravnovesju, kadar so razdalje od opore (ročice) obratno sorazmerne velikostim bremen. Svoja spoznanja iz statike je uporabil za izračun [[težišče|težišč]] različnih [[geometrijski lik|geometrijskih likov]], vključno s [[trikotnik]]om, [[paralelogram]]i in [[parabola]]mi.<ref name="heath_1897" /><ref>John Lennart Berggren (1976). ''Spurious Theorems in Archimedes' Equilibrium of Planes''. Book I. Archive for History of Exact Sciences '''16''' (2): 87-103. ISSN 1432-0657.</ref>

*  '''''[[Merjenje kroga]] ({{jezik-el2|Κύκλου μέτρησις}})'''''
: je kratka razprava, ki obravnava tri Arhimedove trditve. Napisana je kot korespondenca z Dositejem iz Pelezija, učencem [[Konon]]a s Samosa. V tretji trditvi pravi, da je vrednost ''π'' večja od <math>3\tfrac{10}{71}</math> in manjša od <math>3\tfrac{1}{7}</math>.

* '''''[[O spiralah]] ({{jezik-el2|Περὶ ἑλίκων}})'''''
[[Slika:Archimedean spiral polar.svg|right|thumb|200px|[[Arhimedova spirala]], prikazana v [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]]]]
: Tudi to delo, ki vsebuje 28 trditev, je naslovljeno na Dositeja in obravnava aritmetično ali [[Arhimedova spirala|Arhimedovo spiralo]]. Arhimedova spirala je [[geometrijsko mesto točk]], ki nastane takrat, ko se [[točka (geometrija)|točka]] giblje od dane negibne točke s konstantno hitrostjo vzdolž [[Premica|premice]], ki se vrti s konstantno [[Kotna hitrost|kotno hitrostjo]]. V [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] je definirana z enačbo

:: <math> r=a+b\theta \!\, , </math>

: kjer je:

:* <math>a\, </math> – [[parameter (konstanta)|parameter]], ki obrača spiralo,
:* <math>b\, </math> – parameter, ki določa razdaljo med zaporednimi obrati.

: Arhimedova spirala je eden od prvih primerov mehanske krivulje (krivulje, ki sledi premikajoči se točki), ki so jo preučevali grški matematiki.

* '''''[[O krogli in valju]]  ({{jezik-el2|Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου}}) ''''' (dve knjigi)
: V tej razpravi, naslovljeni na Dositeja, je Arhimed opisal izračune prostornin in površin krogle in valja, na katere je bil najbolj ponosen. Kipa obeh geometrijskih teles so na njegovo zahtevo postavili na njegov grob.

* '''''O konoidih in sferoidih ({{jezik-el2|Περί κωνοειδέων και σφαιροειδέων}})'''''
:V tem delu, naslovljenem na Dositeja, je  Arhimed  izračunal površine in prostornine odsekov [[Stožec|stožca]], krogle in [[paraboloid]]ov.

* '''''[[O plavajočih telesih]] ({{jezik-el2|Περί των επιπλεόντων σωμάτων}})''''' (dve knjigi)
:V prvem delu razprave govori o zakonu [[Hidrostatika|ravnotežja tekočin]] in dokaže, da bi voda okoli središča težnosti dobila obliko krogle. Razprava bi lahko bila poskus razlage teorije tedanjih [[astronom]]ov, tudi [[Eratosten]]a, da je [[Zemlja]] okrogla. Tekočine, ki jih je opisal Arhimed, niso samogravitirajoče, ker je Arhimed domneval, da obstaja točka, proti kateri padajo vsa telesa, da bi dobila okroglo obliko.   
  
: V drugem delu je izračunal ravnotežne položaje odsekov paraboloidov, ki so bili verjetno idealizirana oblika ladijskih trupov. Del trupa je potopljen, del pa nad vodno gladino in plava podobno kot ledena gora. Arhimed je svoj zakon o vzgonu zapisal takole:

:: ''Na vsako telo, ki je v celoti ali delno potopljeno v tekočino, deluje proti njegovi teži sila, ki je enaka teži izpodrinjene tekočine.''

: Njeno prijemališče je težišče izpodrinjene tekočine.

* '''''[[Kvadratura parabole]] ({{jezik-el2|Τετραγωνισμὸς παραβολῆς}})'''''
[[Slika:Parabolic Segment Dissection.svg|thumb|200px|Arhimed je za izračun ploščine odsek parabole razdelil na neskončno mnogo trikotnikov.]]

: V tem delu, naslovljenem na Dositeja, je 24 trditev. Arhimed je z dvema metodama dokazal, da je ploščina odseka parabole enaka 4/3 ploščine odseku včrtanega trikotnika, ki ustreza že omenjenim pogojem. Odsek je razdelil na neskončno mnogo trikotnikov in vsoto njihovih ploščin izračunal iz vsote neskončne geometrične vrste s kvocientom ¼:

:: <math>1 \,+\, \frac{1}{4} \,+\, \frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{64} \,+\, \cdots\;=\; \frac{4}{3}.</math>

* '''''[[Ostomachion]] ({{jezik-el2|Οστομάχιον}})'''''
[[Slika:Stomachion.JPG|thumb|200px|Arhimedov ostomahion]]

: Ostomachion (ali stomachion) je sestavljanka, podobna [[tangram]]u, in razprava z njenim podrobnim opisom, objavljena v ''[[Arhimedov palimpsest|Arhimedovem palimpsestu]]''. Arhimed je izračunal ploščine 14 trikotnikov, ki jih je mogoče sestaviti v [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]]. Raziskave, ki jih je opravil Reviel Netz s Stanford University, objavljene leta 2003, kažejo,  da je Arhimed poskušal ugotoviti, na koliko načinov je mogoče njene dele sestaviti v obliko kvadrata. Netz je izračunal, da je to mogoče izvesti na 17.152 načinov.<ref>Kolata, Gina (14. december 2003). [http://www.nytimes.com/2003/12/14/us/in-archimedes-puzzle-a-new-eureka-moment.html ''Archimedes' Puzzle, a New Eureka Moment'']. ''[[The New York Times]]''. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref> Če se iz tega števila izključijo rešitve zaradi sukanja in [[Zrcaljenje|zrcaljenja]], ostane 536 rešitev.<ref>Ed Pegg mlajši. (17. november 2003). ''The Loculus of Archimedes, Solved''. Mathematical Association of America.  Pridobljeno 18. maja 2008.</ref> Sestavljanka je eden od prvih primerov reševanja problemov v [[Kombinatorika|kombinatoriki]].

: Izvor njenega imena je nejasen. Domneva se, da izvira iz starogrške besede ''stomachos'' ({{jezik-el2|στόμαχος}}), ki pomeni [[grlo]] ali [[požiralnik]].<ref>Rorres, Chris. [http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stomachion/intro.html ''Archimedes' Stomachion'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 14. septembra 2007.</ref> [[Avsonij]] trdi, da je beseda v obliki  ''ostomachion'' sestavljena iz besed ''osteon'' ({{jezik-el2|ὀστέον}} – [[kost]]) in machē ({{jezik-el2|μάχη}} – spopad ali boj). Sestavljanka je znana tudi kot ''loculus Archimedius'' – ''Arhimedova škatla''.<ref>Gianni A. Sarcone, Marie J. Waeber. [http://www.archimedes-lab.org/latin.html#archimede ''Graeco Roman Puzzles'']. Pridobljeno 9. maja 2008.</ref>

* '''''[[Arhimedov problem goveda]]'''''
:Problem se v nemških prevodih, ki sta jih objavila Georg Nesselmann (1842) in Krumbiegel (1880), glasi:

::''Izračunaj, o, prijatelj, število govedi, ki se je nekoč na soncu pasla na ravnicah Sicilije, razdeljene po barvah v štiri črede, eno mlečno belo, eno črno, eno lisasto in eno rumeno. Število bikov je večje od števila krav, razmerja med njimi pa so naslednja:''

::* beli biki <math>=\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\right)</math> črnih bikov  + rumenih bikov,

::* črni biki <math>=\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)</math> lisastih bikov  + rumenih bikov,

::* lisasti biki <math>=\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right)</math> belih bikov  + rumenih bikov,

::* bele krave <math>=\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)</math> črne črede,

::* črne krave <math>=\left(\frac{1}{4} + \frac{1}{5}\right)</math> lisaste črede,

::* lisaste krave <math>=\left(\frac{1}{5} + \frac{1}{6}\right)</math> rumene črede,

::* rumene krave <math>=\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{7}\right)</math> bele črede.

: Problem je leta 1773 odkril Gotthold Ephraim Lessing v knjižnici Herzoga Augusta v Nemčiji v grškem rokopisu, napisanem kot pesnitev v 44 verzih. Naslovljen je na [[Eratosten]]a in aleksandrijske matematike. Arhimed jih je izzval, da število govedi izračunajo s sistemom sedmih [[Diofantska enačba|diofantskih enačb]] z osmimi neznankami in zato neskončnim številom rešitev. Vprašanje spada med težje različice problema, ker morajo biti rešitve [[Celo število|cela števila]], nekatera celo [[Kvadratno število|kvadratna]]. Problem je prvi rešil A. Amthor<ref>B. Krumbiegel, A. Amthor. ''Das Problema Bovinum des Archimedes''.  Historisch-literarische Abteilung der Zeitschrift Für Mathematik und Physik '''25''' (1880): 121–136, 153–171.</ref> leta 1880. Rezultat je zelo veliko število, približno 7,760271{{e|206544}}.<ref>K.G. Calkins. [https://web.archive.org/web/20071012171254/http:/andrews.edu/~calkins/profess/cattle.htm ''Archimedes' Problema Bovinum'']. Andrews University. Pridobljeno 14. septembra 2007.</ref>

* '''''[[Psammites|Število peščenih zrn]] ({{jezik-el2|Ψαμμίτης}})'''''
: V tej razpravi je Arhimed izračunal število peščenih zrn, s katerimi bi napolnili [[Vesolje]]. V knjigi omenja [[heliocentrični model|heliocentrično]] teorijo [[Osončje|Osončja]], ki jo je predlagal [[Aristarh]] s [[Samos]]a, in tedanje zamisli o velikosti Zemlje in razdaljah med različnimi nebesnimi telesi. Arhimed si je za izračun izmislil nov [[številski sistem]] z osnovo miriada miriad, se pravi 10<sup>8</sup>. Izračunal je, da je za to potrebno  8{{e|63}} zrn (sodobni zapis).

: V uvodu v razpravo je zapisal, da je bil njegov oče astronom Fidij. ''Psammites'' je edino ohranjeno Arhimedovo delo, v katerem piše o svojih pogledih na [[astronomija|astronomijo]].<ref>[http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/reckoner.shtml ''Angleški prevod Psammitesa''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070811235335/http://www.math.uwaterloo.ca/navigation/ideas/reckoner.shtml |date=2007-08-11 }}. University of Waterloo. Pridobljeno  23. julija 2007.</ref>

* '''''[[Metoda mehanskih izrekov]] ({{jezik-el2|Περὶ μηχανικῶν θεωρημάτων πρὸς Ἐρατοσθένη ἔφοδος}})'''''
: Razpravo se je dolgo prištevalo med Arhimedova izgubljena dela, dokler niso leta 1906 odkrili ''[[Arhimedov palimpsest|Arhimedovega palimpsesta]]''. Arhimed v tem delu uporablja [[infinitezimala|infinitezimale]] in pokaže, kako se z drobljenjem lika na neskončno število neskončno majhnih delov lahko izračuna njegovo površino ali prostornino. Svojo razpravo je v obliki pisma naslovil na aleksandrijskega učenjaka [[Eratosten]]a.

=== Izgubljena dela ===

Med izgubljena Arhimedova dela spadajo razprave o tehtnicah, [[težišče|težišču]], [[Lom svetlobe|lomu svetlobe]], izdelavi krogel in dolžini [[leto|leta]].

=== Arhimedu pripisana dela ===

''[[Knjiga lem]]'' (latinsko ''Liber Assumptorum'') je razprava s petnajstimi [[izrek]]i o značilnostih kroga. Najstarejša znana kopija je napisana v [[arabščina|arabščini]]. Bagdadski učenjak [[Tabit ibn Kora]], ki je živel v 9. stoletju, jo pripisuje Arhimedu, čeprav je njeno avtorstvo vprašljivo.<ref>{{sktxt|Heath|1897|pp=xxxii, 301–318}}</ref><ref>[http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/BookOfLemmas/index.shtml ''Archimedes' Book of Lemmas'']. cut-the-knot. Pridobljeno 7. avgusta 2007.</ref>

Arhimedu se pripisuje tudi [[Heronova formula]] za izračun ploščine trikotnika iz dolžine njegovih stranic. Prva zanesljiva omemba formule je omemba [[Heron|Herona Aleksandrijskega]] v 1. stoletju n. št.<ref>O'Connor J.J., Robertson E.F. (april 1999). [http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Heron.html &#91;Heron of Alexandria&#93;]. University of St Andrews. pridobljeno 17. februarja 2010.</ref>

== ''Arhimedov palimpsest'' ==
[[Slika:ArPalimTypPage.jpg|thumb|right|200px|right|Značilna stran ''[[Arhimedov palimpsest|Arhimedovega palimpsesta]]''. Versko besedilo se bere od gornjega desnega kota proti spodnjemu levemu kotu. Izvirno Arhimedovo besedilo je napisano pod njim in se bere od leve proti desni.]]

Najpomembnejši dokument z njegovimi razpravami je ''[[Arhimedov palimpsest]]'', ki ga je leta 1906 v [[Istanbul]]u odkril danski profesor Johan Ludvig Heiberg. Heiberg je ob pregledovanju 174 strani dolgega [[pergament]]a z molitvami odkril, da je besedilo iz 13. stoletja napisano preko zbrisanega starejšega besedila. [[Palimpsest]]i so bili v [[srednji vek|srednjem veku]] zaradi visokih cen pergamenta ustaljena praksa. Prvotni zapis na palimpsestu, napisan v 10. stoletju, so strokovnjaki prepoznali kot prepis do tedaj neznanih Arhimedovih razprav.<ref>M. K. Miller (marec  2007). [http://www.smithsonianmag.com/ist/?next=/science-nature/archimedes.html  ''Reading Between the Lines''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304132253/http://www.smithsonianmag.com/ist/?next=%2Fscience-nature%2Farchimedes.html |date=2016-03-04 }}. Smithsonian Magazine. Pridobljeno 24. januarja 2007.</ref>
 
''Palimpsest'' vsebuje sedem razprav:  ''O ravnovesju ravnin'', ''O spiralah'', ''Merjenje kroga'', ''O krogli in valju'', ''O plavajočih telesih'', ''Metoda mehanskih izrekov'' in ''Stomachion''. Shranjen je v Walters Art Museum v Baltimoru, Maryland, kjer je bil predmet številnih sodobnih analiz, vključno z [[ultravijolično valovanje|ultravijolično]] svetlobo in [[rentgenski žarki|rentgenskimi žarki]].<ref>http://news.bbc.co.uk/2/hi/science/nature/5235894.stm X-rays reveal Archimedes' secrets. BBC News, 2. avgust 2006. Pridobljeno 23. julija 2007.</ref>

Prepis razprave ''O plavajočih telesih'' je njen edini ohranjeni prepis. ''Palimpsest'' je tudi edini znani vir ''Metode mehanskih izrekov'', omenjene v [[Bizantinsko cesarstvo|bizantinski]] [[enciklopedija|enciklopediji]] ''[[Suda]]'' iz 10. stoletja, ki so jo imeli za izgubljeno. Stomachion vsebuje bolj popolno analizo zloženke od tistih v do tedaj znanih prepisih.

== Zapuščina ==
[[Slika:Archimedes crater 4115 h1.jpg|thumb|right|200px|[[Luna|Lunin]] [[udarni krater|udarni]] [[Lunini kraterji|krater]] [[Arhimed (krater)|Arhimed]], posnet s plovila [[Lunar Orbiter 4]] leta 1967]]

* [[Galileo Galilei|Galileo]] je večkrat hvalil Arhimeda in ga imel za nadčloveka.<ref>Michael Matthews. ''Time for Science Education: How Teaching the History and Philosophy of Pendulum Motion Can Contribute to Science Literacy'', str. 96.</ref> [[Leibnitz]] je zanj dejal: ''»Tisti, ki razume Arhimeda in [[Apolonij]]a, bo manj občudoval dosežke najodličnejših mož kasnejših časov«.<ref>Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. ''A History of Mathematics'', 7. Poglavje.</ref>
* Po njem se imenujeta [[udarni krater|udarni]] [[Lunini kraterji|krater]] [[Arhimed (krater)|Arhimed]] (29,7° S, 4,0°Z)  in gorovje [[Montes Archimedes]] na [[Luna|Luni]] (25,3° S, 4,6° Z).<ref>J. Friedlander, D. Williams. [http://nssdc.gsfc.nasa.gov/imgcat/html/object_page/a15_m_1541.html ''Oblique view of Archimedes crater on the Moon'']. NASA. Pridobljeno 13. septembra 2007.</ref> 
* Po njem se imenuje tudi [[asteroid]] [[asteroidni pas|glavnega pasu]] [[3600 Arhimed]].<ref>''Planetary Data System''. NASA. Pridobljeno 13. septembra 2007.</ref>
* Arhimed je upodobljen na  [[Fieldsova medalja|Fieldsovi medalji]], ki se podeljuje za izjemne dosežke v matematiki. Podobo obkroža latinski napis, ki ga pripisujejo prav njemu: ''»Transire suum pectus mundoque potiri«''.<ref>''Fields Medal''. International Mathematical Union. Pridobljeno 23. septembra 2007.</ref> Na hrbtni stani medalje sta upodobljena  krogla in valj.  
* Arhimedova podoba je na [[Poštna znamka|poštnih znamkah]] [[Vzhodna Nemčija|Vzhodne Nemčije]] (1973), [[Grčija|Grčije]] (1983), [[Italija]] (1983), [[Nikaragva|Nikaragve]] (1971), [[San Marino|San Marina]] (1982) in [[Španija|Španije]] (1963).<ref>Rorres, Chris. [http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stamps/stamps.html ''Stamps of Archimedes'']. Courant Institute of Mathematical Sciences. Pridobljeno 25. avgusta 2007.</ref>
* ''Eureka!''  Vzklik, ki ga pripisujejo Arhimedu, je moto ameriške zvezne države [[Kalifornija|Kalifornije]]. Nanaša se na odkritje zlata v Sutter's Millu leta 1848, ki je sprožilo kalifornijsko zlato mrzlico.<ref>''California Symbols''. California State Capitol Museum. Pridobljeno 14. septembra 2007.</ref>

== Glej tudi ==

* [[Arhimedov aksiom]]
* [[Arhimedov dvojček]]
* ''[[Arhimedov palimpsest]]''
* [[Arhimedov problem goveda]]
* [[Arhimedov vijak]]
* [[Arhimedova točka]]
* [[Arhimedovo število]]
* [[arhimedska krožnica]]
* [[arhimedski graf]]

== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Brown|first1= Kevin|url= http://www.mathpages.com/home/kmath038/kmath038.htm|title= Archimedes and the Square Root of 3|date= 2015|accessdate= 2016-02-16|language= en}}
* {{citat|last1= Calinger|first1= Ronald|date= 1999|title= A Contextual History of Mathematics|publisher= Prentice-Hall|isbn= 0-02-318285-7}}
* {{citat|last1= Casson|first1= Lionel|date= 1971|title= Ships and Seamanship in the Ancient World|publisher= Princeton University Press|isbn= 0-691-03536-9}}
*  {{citat|last1= Clagett|first1= Marshall|date= 2001|url= http://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Lever/LeverLaw.html|title= Greek Science in Antiquity|publisher= Dover Publications|isbn= 978-0-486-41973-2|accessdate= 2010-03-20}}
* {{citat|last1= Dalley|first1= Stephanie|last2= Oleson|first2= John Peter|url= http://muse.jhu.edu/journals/technology_and_culture/toc/tech44.1.html|title= Sennacherib, Archimedes, and the Water Screw: The Context of Invention in the Ancient World|journal= [[Technology and Culture]]|date= 2003-01-01|volume= 44|issue= |format= PDF|accessdate= 2007-07-23}}
* {{citat|last1= Heath|first1= Thomas Little|authorlink1= Thomas Little Heath|title= The Works of Archimedes|date= 1897|publisher= University Press|location= [[Univerza v Cambridgeu]]|url= http://www.archive.org/details/worksofarchimede029517mbp|accessdate= 2008-06-15}}
* {{citat|last1= Knorr|first1= Wilbur Richard|authorlink= Wilbur Knorr|issue= 2|journal= Archive for History of Exact Sciences|jstor= 41133444|mr= 0497462|pages= 115–140|title= Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation|volume= 15|date= 1976|doi= 10.1007/bf00348496 |issn=0003-9519}}
* {{citat|last1= McKeeman|first1= Bill|url= http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37|title= The Computation of Pi by Archimedes|work= Matlab Central|date= 2010-11-23|accessdate= 30. oktobra 2012|language= en|archive-date= 2013-02-25|archive-url= https://web.archive.org/web/20130225181030/http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Noble Wilford|first1= John|date= 2008-07-31|url= http://www.nytimes.com/2008/07/31/science/31computer.html?_r=2|title= Discovering How Greeks Computed in 100 B.C.|publisher= The New York Times|accessdate= 25. decembra 2013}}
* {{citat|last1= Richeson|first1= David|title= Circular reasoning: who first proved that <math>C/d\, </math> is a constant?|date= 2013|arxiv= 1303.0904}}
* {{citat|last1= Wesley|first1= John|url= http://wesley.nnu.edu/john_wesley/wesley_natural_philosophy/duten12.htm|title= Compendium of Natural Philosophy|date= 1810|chapter= Chapter XII, Burning Glasses|accessdate= 2007-09-14|archive-date= 2007-10-12|archive-url= https://web.archive.org/web/20071012154432/http://wesley.nnu.edu/john_wesley/wesley_natural_philosophy/duten12.htm|url-status= bot: unknown}}
* {{citat|last1= Whitford|first1= Edward Everett|date= 1912|url= http://name.umdl.umich.edu/ABV2773.0001.001|title= The Pell equation|series= doktorska disertacija|publisher= [[Univerza Columbia]]}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==
{{kategorija v Zbirki|Archimedes|Arhimed}}
* [https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stamps/stamps.html Arhimed na poštnih znamkah] {{ikona en}}

{{-}}

{{grška matematika}}
{{grška astronomija}}

{{portal|Astronomija}}

{{normativna kontrola}}

{{zvezdica}}

[[Kategorija:Starogrški izumitelji]]
[[Kategorija:Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni]]
[[Kategorija:Arhimed| ]]
[[Kategorija:Umorjeni znanstveniki]]
[[Kategorija:Grki v 3. stoletju pr. n. št.]]