Ogled vira Aritmetika

[[Slika:Tables_generales_aritmetique_MG_2108.jpg|sličica|Aritmetične tablice za otroke, Lausanne, 1835]]
'''Aritmetika''' (iz [[stara grščina|grščine]] ἀριθμός ''arithmos'', '[[število]]' in τική τέχνη, ''tiké [téchne]'', '[[umetnost]]' ali '[[obrt|spretnost]]') je veja [[matematika|matematike,]] ki je sestavljena iz proučevanja [[število|števil]], zlasti z značilnostmi tradicionalnih [[matematična operacija|operacije]] nad njimi – [[seštevanje]], [[odštevanje]], [[množenje]], [[deljenje]], [[potenciranje]] in [[korenjenje]].<ref name=":0" /><ref name=":12">{{navedi splet|title=Arithmetic|url=https://www.britannica.com/science/arithmetic|accessdate=2020-08-25|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref><ref name=":2"/> Aritmetika je elementarni del [[teorija števil|teorije števil]], šteje pa se, da je teorija števil skupaj z [[algebra|algebro]], [[geometrija|geometrijo]] in [[matematična analiza|analizo]] eden od področij sodobne matematike najvišjega nivoja. Izraza ''aritmetika'' in ''višja aritmetika'' sta se uporabljala do začetka 20. stoletja kot sopomenki za ''teorijo števil'', včasih pa ju še vedno uporabljajo za sklicevanje na širši del teorije števil.<ref>Davenport, Harold, ''The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers'' (7th ed.), Cambridge University Press, Cambridge, 1999, {{ISBN|0-521-63446-6}}.</ref>

== Zgodovina ==
Aritmetika je ena od dveh najstarejših panog matematike (druga je [[geometrija]]). Pojem števila je verjetno prvi abstraktni pojem, ki se je izoblikoval pri naših prednikih. 

Predzgodovina aritmetike je omejena na majhno število artefaktov, ki lahko kažejo na pojem seštevanja in odštevanja, najbolj znana je [[Ishango kost|Kost Ishango]] iz [[Vzhodni Kongo|osrednje Afrike]], ki sega od nekje med 20.000 in 18.000 pr.n.št., čeprav se s to razlago ne strinjajo vsi.<ref>{{Navedi knjigo|last=Rudman|first=Peter Strom|title=How Mathematics Happened: The First 50,000 Years|year=2007|publisher=Prometheus Books|isbn=978-1-59102-477-4|page=[https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64 64]|url=https://archive.org/details/howmathematicsha0000rudm/page/64}}</ref> 

Najstarejši pisni zapisi kažejo, da so [[Egipčanska matematika|Egipčani]] in [[Babilonska matematika|Babilonci]] že leta 2000 pr.n.št. uporabljali vse [[Elementarna aritmetika|elementarne aritmetične operacije]]. Ti artefakti ne razkrivajo procesa, ki se je uporabljal za reševanje problemov, ampak značilnosti določenega [[Številski sistem|številskega sistema]] močno vplivajo na kompleksnost metod. Hieroglifni sistem za [[egipčanske številke]], tako kot poznejše [[rimske številke]], izvira iz [[Števne oznake|števnih oznak]], ki so se uporabljali za štetje. V obeh primerih je ta izvor imel za rezultat vrednosti, ki so uporabljale [[Desetiški številski sistem|desetiško]] osnovo, vendar niso vključevale [[Pozicijska notacija|pozicijsko notacijo]]. Kompleksni izračuni z rimskimi številkami so za pridobitev rezultatov potrebovali pomoč [[Miza za štetje|mize za štetje]] (ali [[Rimski abak|rimskega abaka]]). 

Zgodnji številski sistemi, ki so vključevali pozicijsko notacijo, niso bili decimalni, vključno s [[Šestdesetiški številski sistem|šestdestiškim]] (osnova 60) sistemom za [[babilonske številke]] in [[Dvajsetiški številski sistem|dvajsetiškim]] (osnova 20) sistemom, ki se je uporabljal v [[majevske številke|majevskih številkah]]. Zaradi tega koncepta mestne vrednosti je zmožnost ponovne uporabe enakih številk za različne vrednosti prispevala k enostavnejšim in učinkovitejšim metodam izračuna. 

[[Rhindov papirus]], ki izvira približno iz leta 1650 pr. n. št. vendar pa je očitno prepis starejšega teksta, kaže, da so [[stari Egipt|stari Egipčani]] obvladali osnovne računske operacije s celimi števili, pa tudi z ulomki. Egipčani so zlasti radi preoblikovali necela števila v vsoto ulomkov s števcem 1.

Neprekinjen zgodovinski razvoj sodobne aritmetike se začne s [[Helenistično obdobje|Helenistično civilizacijo]] v stari Grčiji. Pred  [[Evklid|Evklidom]] okoli 300 pr.n.št., so se grške študije matematike prekrivale s filozofskimi in mističnimi prepričanji. Na primer, [[Nikomah]] je v svojem ''Uvodu v aritmetiko'' povzel stališče zgodnejšega [[Pitagorejstvo|pitagorejskega]] pristopa do števil in njihovih medsebojnih odnosov.

[[Grške številke]] so uporabljali [[Arhimed]], [[Diofant]] in drugi v [[Pozicijski zapis|pozicijskem zapisu]], ki se ne razlikuje veliko od sodobnega zapisa. Stari Grki do helenističnega obdobja niso imeli simbola za ničlo in so za [[Števka|števke]] uporabljali tri ločene nabore simbolov: en nabor za mesto enot, enega za mesto desetice in enega za stotice. Za mesto tisočice bi znova uporabili simbole za mesto enot itd. Njihov algoritem seštevanja je bil enak sodobni metodi, algoritem množenja pa se je razlikoval le malo. Algoritem pisnega deljenja je bil enak, [[Metode izračunavanja kvadratnih korenin|algoritem kvadratnega korena]], ki so ga uporabljali že v 20. stoletju, pa je bil znan Arhimedu (ki ga je morda tudi izumil). 

Stari Kitajci so imeli napredne aritmetične študije iz časov dinastije Shang in so se nadaljevale skozi dinastijo Tang, od osnovnih številk do napredne algebre. Stari Kitajci so uporabljali pozicijsko notacijo, ki je bila podobna grški. Ker tudi pri njih ni bilo simbola za [[0|nič]], so imeli en nabor simbolov za mesto enot in drugi nabor za desetice. Za stotice so nato ponovno uporabili simbole za mesto enot itd. Natančen čas, ko so Kitajci začeli računati s pozicijsko notacijo, ni znan, čeprav je znano, da se je začela pred 400 pr.n.št.<ref>Joseph Needham, ''Science and Civilization in China'', Vol. 3, p. 9, Cambridge University Press, 1959.</ref> Stari Kitajci so prvi odkrili, razumeli in uporabili negativna števila. To je razloženo v ''[[Nine Chapters on the Mathematical Art]]'' (''Jiuzhang Suanshu''), ki jih je [[Lju Hui]] napisal v 2. stoletju pred našim štetjem.

Postopen razvoj [[Indijsko arabski številski sistem|indijsko arabskega številskega sistema]] je neodvisno vpeljal koncept vrednotenja mest in pozicijske notacije, ki je združil enostavnejše metode izračuna z decimalno osnovo in uporabo števke, ki predstavlja [[0]] . To je sistemu omogočilo, da dosledno predstavlja velika in majhna cela števila - pristop, ki je sčasoma nadomestil vse druge sisteme. V začetku 6-tega stoletja n.št. je indijski matematik [[Aryabhata I.|Aryabhata]] v svoje delo vključil obstoječo različico tega sistema in eksperimentiral z različnimi zapisi. V 7. stoletju je [[Brahmagupta]] uveljavil uporabo 0 kot ločeno število in določil rezultate množenja, deljenja, seštevanja in odštevanja ničle in vseh drugih števil - razen rezultata [[Deljenje z ničlo|deljenja z ničlo]]. Njegov sodobnik, sirski škof [[Severus Sebokht]] (650 n.št.), je dejal: "Indijci poznajo metodo izračuna, ki je nobena beseda ne more dovolj pohvaliti. Njihov racionalni matematični sistem ali njihova metoda izračuna. Mislim na sistem, ki uporablja devet simbolov. "<ref>Reference: Revue de l'Orient Chretien by François Nau pp. 327–338. (1929)</ref> Tudi Arabci so se naučili te nove metode in jo poimenovali ''hesab''.
[[Slika:Leibniz_Stepped_Reckoner.png|sličica|200x200_pik|Leibnizev [[Stopničasti obračun|Stepped Reckoner]] je bil prvi kalkulator, ki je lahko izvedel vse štiri aritmetične operacije.]]
Čeprav je [[Codex Vigilanus]] opisal zgodnjo obliko arabskih številk (brez 0) do 976 n.št., je bil Leonardo iz Pize ([[Leonardo Fibonacci|Fibonacci]]) v prvi vrsti odgovoren za širjenje njihove uporabe po Evropi po izidu njegove knjige ''[[Liber Abaci]]'' leta 1202. Zapisal je: "Metoda Indijcev (latinsko ''Modus Indorum'') presega vse znane metode izračuna. To je čudovita metoda. Izračuni se izvedejo z devetimi številkami in simbolom [[0|nič]]".<ref>Reference: Sigler, L., "Fibonacci's Liber Abaci", Springer, 2003.</ref>

V srednjem veku je bila aritmetika ena od [[Sedem svobodnih umetnosti|sedmih svobodnih umetnosti]], ki jih poučujejo na univerzah.

Razcvet [[Algebra|algebre]] v [[Srednji vek|srednjeveškem]] [[Islam|islamskem]] svetu in tudi v [[Renesansa|renesančni]] [[Evropa|Evropi]] je bil posledica velike poenostavitve [[Računanje|računanja]] z [[Desetiški številski sistem|desetiškim]] zapisom.

Za pomoč pri numeričnih izračunih so bile izumljene in se pogosto uporabljajo različne vrste orodij. Pred renesanso so bile to različne vrste [[Abak|abaka]]. Novejši primeri vključujejo [[Logaritemsko računalo|logaritmska računalav]], [[Nomogram|nomograme]] in [[Računalo|mehanske kalkulatorje]], na primer [[Pascaline|Pascalov kalkulator]] . Trenutno so jih nadomestili elektronski [[Kalkulator|kalkulatorji]] in [[Računalnik|računalniki]].

== Aritmetične operacije ==
[[File:Basic_arithmetic_operators.svg|Basic_arithmetic_operators.svg|desno|sličica|Osnovne aritmetične operacije]]
Osnovne aritmetične operacije so seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje, čeprav aritmetika vključuje tudi naprednejše operacije, kot so manipulacije z [[Odstotek|odstotki]],<ref name=":2">{{Navedi splet|title=Definition of Arithmetic|url=https://www.mathsisfun.com/definitions/arithmetic.html|accessdate=2020-08-25|website=www.mathsisfun.com}}</ref> [[Kvadratni koren|kvadratne korene]], [[potenciranje]], [[Logaritem|logaritmične funkcije]] in celo [[Trigonometrična funkcija|trigonometrične funkcije]]. Aritmetične izraze je treba ovrednotiti glede na predvideno zaporedje operacij, ki edinstveno določijo vrstni red izvedbe. Vsak nabor objektov, na katerih je mogoče izvesti vse štiri aritmetične operacije (razen [[Deljenje z ničlo|deljenja z ničlo]]) in kjer te štiri operacije spoštujejo običajne zakone (vključno z distributivnostjo), se imenuje [[Polje (matematika)|polje]].<ref name="Oxford">{{Navedi knjigo|title=The Oxford Mathematics Study Dictionary|url=https://archive.org/details/oxfordmathematic0000taps_q1d1|first=Frank|last=Tapson|publisher=Oxford University Press|year=1996|isbn=0-19-914551-2}}</ref>

=== Seštevanje ===
{{glavni|seštevanje}}
[[File:Addition01.svg|right|thumb|120px|3 + 2 = 5 z [[jabolko|jabolki]]<ref>From Enderton (p. 138): "...select two sets ''K'' and ''L'' with card ''K'' = 2 and card ''L'' = 3. Sets of fingers are handy; sets of apples are preferred by textbooks."</ref>]]
Seštevanje, označeno s simbolom <math>+</math>, je najosnovnejša operacija aritmetike. V svoji preprosti obliki seštevanje združi dve številki, [[Seštevek|seštevanca ali ''sumanda'']] v eno samo število, [[Vsota|''vsoto'']] števil (na primer {{Matematična formula|2 + 2 {{=}} 4}} ali {{Matematična formula|3 + 5 {{=}} 8}} ).

Dodajanje končnega števila števil se lahko obravnava kot ponavljajoče se preprosto seštevanje; ta postopek je znan kot [[Vsota|seštevanje]], izraz, ki se uporablja tudi za "dodajanje neskončno veliko števil" v [[Vrsta (matematika)|neskončnim vrstah]]. Ponavljajoče se dodajanje števila [[1 (število)|1]] je najosnovnejša oblika [[Štetje|štetja]]; rezultat dodajanja {{Matematična formula|1}} se običajno imenuje [[Naslednik števila|naslednik]] prvotnega števila.

Seštevanje je [[Komutativnost|komutativno]] in [[Asociativnost|asociativno]], zato vrstni red, v katerem je dodano končno veliko izrazov, ni pomemben.

Otrokom se pogosto predstavi tabela parov številk od 0 do 9. Če se ga zapomnijo, lahko izvedejo kateri koli seštevanje.

[[0|Število {{Matematična formula|0}}]] ima lastnost, da dodajanje kateremu koli številu da rezultat to isto število; torej je to [[nevtralni element]] za operacijo seštevanja ali [[aditivna identiteta]].<ref name=":0" />

Za vsako število {{Mvar|x}} obstaja število, označeno z {{Matematična formula|–''x''}}, imenovano ''[[nasprotna vrednost]]'' od {{Mvar|x}}, tako da je {{Matematična formula|1=''x'' + (–''x'') = 0}} in {{Matematična formula|1=(–''x'') + ''x'' = 0}}. Torej je nasprotje od {{Mvar|x}} [[Inverzni element|inverzno]] od {{Mvar|x}} glede na seštevanje ali [[Nasprotna vrednost|aditivno inverzno]] od {{Mvar|x}}.<ref name=":0" /> Na primer, nasprotje od {{Matematična formula|7}} je {{Matematična formula|−7}}, saj je {{Matematična formula|7 + (−7) {{=}} 0}}.

Seštevanje je mogoče razlagati tudi geometrijsko, kot je prikazano v sledečem primeru. Če imamo dve palici dolžin ''2'' in ''5'', potem, če sta palici poravnani ena za drugo, postane dolžina združene palice ''7'', saj je {{Matematična formula|2 + 5 {{=}} 7}}.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
!+
! scope="column" |0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
|-
! scope="row" |0
|0
|1
|2
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|-
! scope="row" |1
|1
|2
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|-
! scope="row" |2
|2
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|-
! scope="row" |3
|3
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|-
! scope="row" |4
|4
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|-
! scope="row" |5
|5
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|-
! scope="row" |6
|6
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|-
! scope="row" |7
|7
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|16
|-
! scope="row" |8
|8
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|16
|17
|-
! scope="row" |9
|9
|10
|11
|12
|13
|14
|15
|16
|17
|18
|}

=== Odštevanje ===
{{glavni|odštevanje}}
[[File:Subtraction01.svg|right|thumb|"{{nowrap|5 − 2}} = 3" (z besedo, "pet minus dve je enako tri")]]
Odštevanje, označeno s simbolom <math>-</math> deluje obratno od seštevanja. Odštevanje ugotovi ''razliko'' (''iferencca'') med dvema številkama, s ''zmanjševanec'' (''minuend)'' minus ''odštevanec'' (''subtrahend):'' {{Matematična formula|''D'' {{=}} ''M'' − ''S''.}}

Za pozitivne argumente velja {{Mvar|M}} in {{Mvar|S}} :

: Če je minuend večji od subtrahenda, je razlika {{Mvar|D}} pozitivna.
: Če je minuend manjši od subtrahenda, je razlika {{Mvar|D}} negativna.

V vsakem primeru, če sta minuend in subtrahend enaka, je razlika {{Matematična formula|''D'' {{=}} 0.}}

Odštevanje ni ne [[Komutativnost|komutativno]] ne [[Asociativnost|asociativno]]. Zato se konstrukcija te inverzne operacije v sodobni algebri pogosto opusti v prid uvedbi koncepta inverznih elementov (kot je orisano pod {{Section link||Seštevanje}}), kjer se odštevanje obravnava kot seštevanje inverznega aditiva, subtrahenda v minuend, to je {{Matematična formula|''a'' − ''b'' {{=}} ''a'' + (−''b'')}}. 

=== Množenje ===
{{glavni|množenje}}
[[File:Multiply 4 bags 3 marbles.svg|thumb|right|Štiri vreče s tremi frnikolami v vsaki vreči dajo skupaj 12 frnikol (4 × 3 = 12).]]
Množenje, označeno s simboloma <math>\times</math> ali <math>\cdot</math><ref name=":0">{{Navedi splet|date=2020-03-17|title=List of Arithmetic and Common Math Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/common-math-symbols/|accessdate=2020-08-25|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> je druga osnovna operacija aritmetike. Množenje združi dve števili v eno število, tj. ''produkt''. Dve izvorni števili se imenujeta ''množenec'' in ''množitelj'', običajno obe preprosto imenujemo ''faktorja''.

Množenje je mogoče obravnavati kot operacijo povečevanja. Če si števila predstavljamo, da ležijo na premici, je množenje s številom večjim od 1, recimo ''x'', enako kot enakomerno raztezanje stran od 0, na tak način, da se število 1 razteza do mesta, kjer je bil ''x.''

Množenje je komutativno in asociativno; je [[Distributivnost|distributivno]] nad seštevanjem in odštevanjem. [[Nevtralni element]] za operacijo množenja je 1,<ref name=":0" /> množenje poljubnega števila z 1 pomeni isto število. 

=== Deljenje ===
{{glavni|deljenje}}
[[File:Divide20by4.svg|thumb|20 / 4 = 5, prikazano z jabolki. Z besedo: "Dvajset deljeno s štiri je enako pet."]]
Deljenje, označeno s simboloma <math>\div</math> ali <math>/</math>,<ref name=":0" /> je matematična operacija nasprotna množenju.Rezultat deljenja je ''količnik (kvocient)'' dveh števil, ''deljenca (dividend)'' deljenega z ''deliteljem (divizor).'' Vsak deljenec, ki je [[Deljenje z ničlo|deljen z nič,]] ni definiran. Za različna pozitivna števila velja, da če je deljenec večji od delitelja, je količnik večji od 1, sicer je manjši ali enak 1 (podobno pravilo velja za negativna števila). Količnik pomnožen z deliteljem, vedno za rezultat da deljenec.

Deljenje ni niti komutativno niti asociativno. Deljenje je množenje z [[Recipročna vrednost|recipročno]] vrednostjo delitelja kot faktorja, to je {{Matematična formula|''a'' ÷ ''b'' {{=}} ''a'' × {{sfrac|1|''b''}}.}}

== Osnovni izrek aritmetike ==
{{Glavni|osnovni izrek aritmetike}}

Osnovni izrek aritmetike pravi, da lahko vsako [[naravno število]], večje od [[1 (število)|1]], zapišemo kot [[Zmnožek|produkt]] [[Praštevilo|praštevil]], razen vrstnega reda množencev. Na primer, 252 ima samo en produkt praštevil:

252 = 2 {{Sup|2}} × 3 {{Sup|2}} × 7 {{Sup|1}}

[[Elementi (Evklid)|Evklidovi ''Elementi'']] ''so'' prvi predstavili ta izrek in dali delni dokaz (ki se imenuje [[Evklidova lema]]). Osnovni izrek aritmetike je prvi dokazal [[Carl Friedrich Gauss]].

Osnovni izrek aritmetike je eden od razlogov, [[Praštevilo|zakaj se 1 ne šteje za praštevilo]]. Drugi razlogi vključujejo [[Eratostenovo sito]] in sama definicija praštevila (naravno število večje od 1, ki ga ni mogoče oblikovati z množenjem dveh manjših naravnih števil).

== Desetiška aritmetika ==
{{Em|[[Decimalni zapis]]}} se v splošnem nanaša na pisan [[številski sistem]], ki se uporablja v [[Arabske številke|arabskih številih]] in vsebuje [[Števka|števke]] osnove [[Desetiški številski sistem|10 ("desetiške")]] [[Pozicijski zapis|pozicijske]] [[Pozicijska notacija|notacije]].

Sodobne metode za štiri temeljne operacije (seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje) je prvi razvil [[Brahmagupta]] iz Indije. Te so bile v srednjeveški Evropi znane kot "Modus Indoram" ali Metode Indijcev. Pozicijska notacija (znan tudi kot "mestni zapis vrednosti") se nanaša na predstavitev ali kodiranje [[Število|števil]], ki uporabljajo isti simbol za različne [[Red velikosti|rede velikosti]] (npr. "mesto enic", "mesto desetic", "mesto stotic"), in z uporabo decimalne vejice se uporabijo tudi isti simboli za predstavitev [[Ulomek|ulomkov]] (npr. "mesto desetin", "mesto stotin"). Na primer 507,36 označuje 5 stotic (10<sup>2</sup>), plus 0 desetic (10<sup>1</sup>), plus 7 enic (10<sup>0</sup>), plus 3 desetinke (10<sup>-1</sup>) plus 6 stotine (10<sup>−2</sup>).

Koncept [[0]] kot števila, ki je primerljivo z drugimi osnovnimi števkami, je bistvenega pomena za to notacijo.

[[Algorizem]] vključuje vsa pravila za izvajanje aritmetičnih izračunov za ta tip številk. Na primer, seštevanje ustvari vsoto dveh poljubnih števil. Rezultat se izračuna s ponavljajočim se seštevanjem ene števke iz vsakega števila, ki zaseda isto pozicijo, in sicer od desne proti levi. Seštevalna tabela z desetimi vrsticami in desetimi stolpci prikazuje vse možne vrednosti za vsako vsoto. Če posamezna vsota presega vrednost 9 je rezultat predstavljen z dvema števkama. Skrajna desna števka je vrednost trenutne pozicije, in rezultat za kasnejše seštevanje števk na levi pa se poveča za vrednost druge (skrajno leve) števke, ki je vedno ena (ali nič). Ta prilagoditev se imenuje ''prenos'' vrednosti 1.

Postopek množenja dveh poljubnih števil je podoben postopku seštevanja. Tabela množenja z desetimi vrsticami in desetimi stolpci vsebuje rezultate za vsak par števk. Če posamezni produkt para števk presega 9, prilagoditev ''prenosa'' poveča rezultat vsakega naknadnega množenja iz števk na levo za vrednost, ki je enaka drugi (skrajno levi) števki, ki je katera koli vrednost od {{Brez preloma|1 to 8}} ({{Matematična formula|9 × 9 {{=}} 81}}). Dodatni koraki določajo končni rezultat.

Podobne tehnike obstajajo za odštevanje in deljenje.

Pravilni postopek množenja temelji na razmerju med vrednostmi sosednjih števk. Vrednost katere koli števke je odvisna od njene pozicije. Prav tako vsak položaj na levi strani predstavlja vrednost, ki je desetkrat večja kot pozicija na desni. V matematičnem smislu se [[Potenciranje|eksponent]] z osnovo 10 poveča za 1 (na levo) ali se zmanjša za 1 (na desno). Zato se vrednost za poljubno števko pomnoži z vrednostjo 10 <sup>''n''</sup> s [[Celo število|celim številom]] ''n''. Seznam vrednosti, ki ustrezajo vsem možnim pozicijam za števko, je zapisan {{Brez preloma|kot {..., 10<sup>2</sup>, 10, 1, 10<sup>−1</sup>, 10<sup>−2</sup>, ...}.}} {{Brez preloma|kot {..., 10<sup>2</sup>, 10, 1, 10<sup>−1</sup>, 10<sup>−2</sup>, ...}.}} {{Brez preloma|kot {..., 10<sup>2</sup>, 10, 1, 10<sup>−1</sup>, 10<sup>−2</sup>, ...}.}} {{Brez preloma|kot {..., 10<sup>2</sup>, 10, 1, 10<sup>−1</sup>, 10<sup>−2</sup>, ...}.}}

Ponavljajoče množenje katerekoli vrednosti na tem seznamu z 10 ustvari drugo vrednost na seznamu. V matematični terminologiji je ta značilnost opredeljena kot [[Zaprtje (matematika)|zaprtje]], in prejšnji seznam pa je opisan kot {{Em|zaprtje za množenje}}. Je osnova za pravilno iskanje rezultatov množenja z uporabo prejšnje tehnike. Ta rezultat je primer uporabe [[Teorija števil|teorije števil]].

== Cela števila ==
{{glavni|celo število|teorija števil}}

Matematiko, ki se ukvarja s celimi števili, danes imenujemo [[teorija števil]]. Prve resne dosežke na tem področju so dosegli [[stara Grčija|stari Grki]]. Preučevali so [[deljivost]] in odkrili [[praštevilo|praštevila]] in [[popolno število|popolna števila]].

Starogrško matematiko so pozneje razvijali [[Arabci]].

V 17. stoletju je prišel do cele vrste novih odkritij na področju celih števil francoski matematik [[Pierre de Fermat]]. Po njem se imenujeta [[Fermatov mali izrek]] in [[Fermatov veliki izrek]]. 

Teorijo števil je dodatno dopolnil še [[Carl Friedrich Gauss|Gauß]], ki je preučeval številske [[kongruenca|kongruence]] (števila, ki dajo isti ostanek pri deljenju z danim številom).

== Realna števila ==
{{glavni|realno število}}

Nekatera necela števila lahko zapišemo kot razmerja celih števil ([[ulomek|ulomki]]) – imenujemo jih [[racionalna števila]]. Že [[Pitagora]] je odkril, da obstajajo tudi necela števila, ki se jih ne da zapisati v taki obliki. Ta števila imenujemo [[iracionalno število|iracionalna]].

Računanje z iracionalnimi števili je dolga stoletja ostajalo odprt problem matematike, saj takih števil ne moremo zapisati niti z ulomki niti s končnim decimalnim zapisom. Pri praktičnem računanju so matematiki taka števila vedno nadomestili s približki.

Šele ob koncu 19. stoletja je [[Richard Dedekind]] postavil trdne teoretične osnove množice realnih števil. Množica realnih števil je sestavljena iz racionalnih in iracionalnih števil in je po številu elementov enaka množici točk na premici.

Po izumu [[računalnik]]ov se je močno razvila tudi [[numerična matematika]] (imenovana tudi [[numerična analiza]]). [[Numerična metoda|Numerične metode]] reševanja matematičnih problemov so metode, ki temeljijo na računanju s približki. Med bolj znanimi je [[bisekcija (numerična metoda)|metoda bisekcije]].

== Teorija števil ==
{{Main|Teorija števil}}
Do 19. stoletja je ''bila teorija števil'' sinonim za "aritmetiko". Obravnavani problemi so bili neposredno povezani z osnovnimi operacijami in so se nanašali na [[Praštevilo|praštevila]], [[Delitelj|deljivost]] in [[Diofantska enačba|rešitev enačb v celih številih]], kot je [[Fermatov veliki izrek]]. Zdelo se je, da je večina teh problemov, čeprav zelo elementarnih, zelo težkih in jih ni mogoče rešiti brez zelo poglobljene matematike, ki vključuje koncepte in metode iz mnogih drugih vej matematike. To je privedlo do novih vej teorije števil, kot so [[analitična teorija števil]], [[algebrska teorija števil]], [[Diofantinska geometrija|diofantska geometrija]] in [[aritmetična algebrska geometrija]]. [[Wilesov dokaz Fermatove zadnje izreke|Wilesov dokaz Fermatovega velikega izreka]] je tipičen primer nujnosti sofisticiranih metod, ki presegajo klasične metode aritmetike, za reševanje problemov, ki jih lahko zastavimo v osnovni aritmetiki.

== Sklici ==
{{Sklici}}

== Viri ==
{{refbegin|2}}
* Cunnington, Susan, ''The Story of Arithmetic: A Short History of Its Origin and Development'', Swan Sonnenschein, London, 1904
* [[Leonard Eugene Dickson|Dickson, Leonard Eugene]], ''[[History of the Theory of Numbers]]'' (3 volumes), reprints: Carnegie Institute of Washington, Washington, 1932; Chelsea, New York, 1952, 1966
* [[Leonhard Euler|Euler, Leonhard]], ''[https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Elements of Algebra]'', Tarquin Press, 2007
* [[Henry Burchard Fine|Fine, Henry Burchard]] (1858–1928), ''The Number System of Algebra Treated Theoretically and Historically'', Leach, Shewell & Sanborn, Boston, 1891
* [[Louis Charles Karpinski|Karpinski, Louis Charles]] (1878–1956), ''The History of Arithmetic'', Rand McNally, Chicago, 1925; reprint: Russell & Russell, New York, 1965
* [[Øystein Ore|Ore, Øystein]], ''Number Theory and Its History'', McGraw–Hill, New York, 1948
* [[André Weil|Weil, André]], ''Number Theory: An Approach through History'', Birkhauser, Boston, 1984; reviewed: [[Mathematical Reviews]] 85c:01004
{{refend}}

== Zunanje povezave ==
{{Commons category|Arithmetic}}
* [http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic.html MathWorld article about arithmetic]
* [[:s:The New Student's Reference Work/Arithmetic|The New Student's Reference Work/Arithmetic]] (historical)
* [http://mathdl.maa.org/convergence/1/?pa=content&sa=viewDocument&nodeId=1293&bodyId=1422 The Great Calculation According to the Indians, of Maximus Planudes] – an early Western work on arithmetic at [https://web.archive.org/web/20070713083148/http://mathdl.maa.org/convergence/1/ Convergence]
* {{cite AmCyc |last=Weyde |first=P. H. Vander |wstitle=Arithmetic|short=x}}

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Aritmetika]]