Ogled vira Babilonska matematika

[[slika:Ybc7289-bw.jpg|thumb|right|250px|Babilonska glinasta tablica YBC 7289: na diagonali je zapisana približna vrednost [[kvadratni koren števila 2|kvadratnega korena števila 2]] (<math>\sqrt{2}</math>), točna na štiri šestdesetiške digite 1 24 51 10 (1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1,41421296... ) oziroma sedem desetiških digitov. Na tablici je izračun [[dolžina|dolžine]] [[diagonala|diagonale]] [[kvadrat (geometrija)|kvadrata]] s stranico 30. Rezultat je 42 25 35  oziroma 42,4263888...]] 

'''Babilonska matematika''', znana tudi kot '''asirsko-babilonska matematika''',<ref>H. Lewy (1949). ''Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology''. Orientalia (NS) '''18''': 40–67, 137–170.</ref><ref>H. Lewy, H. (1951). ''Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology''. Orientalia (NS) '''20''': 1–12.</ref><ref> E.M. Bruins  (1953).  ''La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes''. Revue d'Assyriologie '''47''': 185–188.</ref><ref>Cazalas (1932). ''Le calcul de la table mathématique AO 6456''. Revue d'Assyriologie '''29''': 183–188.</ref><ref>S. Langdon  (1918). ''Assyriological notes: Mathematical observations on the Scheil-Esagila tablet''. Revue d'Assyriologie '''15''':  110–112.</ref><ref>E. Robson (2002). ''Guaranteed genuine originals: The Plimpton Collection and the early history of mathematical Assyriology''. IISLET, Dresden, str. 245–292.</ref> je bila [[matematika]], ki so jo od zgodnje [[Sumerija|Sumerije]] do padca [[Babilon]]a leta 539 pr. n. št. razvila ali prakticirala ljudstva v [[Mezopotamija|Mezopotamiji]]. Babilonska matematična besedila so obsežna in lepo urejena.<ref name=Aboe>A. Aaboe. ''The culture of Babylonia: Babylonian mathematics, astrology, and astronomy''. The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Cambridge University Press, 1991.</ref> Po času se lahko razdeli na dve različni obdobji: starobabilonsko obdobje (1830-1531 pr. n. št.) in (predvsem) [[Selevkidsko cesarstvo|selevkidsko]] obdobje v zadnjih treh ali štirih stoletjih pr. n. št.. Po vsebini med njima ni bilo skoraj nobenih razlik. Babilonska matematika je tako po značaju kot po vsebini ostala nespremenjena skoraj dve tisočletji.<ref name=Aboe/>
V nasprotju z [[egipčanska matematika|egipčansko matematiko]], za katero je zelo malo pisnih virov, je babilonska matematika bogato dokumentirana na približno 400 glinastih tablicah, ki so jih izkopali od 1860. let. Besedila so pisana v [[klinopis]]u na tablice iz vlažne gline in nato zapečene ali posušene na soncu. Večina odkritih tablic je iz obdobja 1800 do 1600 pr. n. št. in obravnava [[ulomek|ulomke]], [[algebra|algebro]], [[kvadratna enačba|kvadratne]] in [[kubična enačba|kubične]] enačbe in [[Pitagorov izrek]]. Na tablici  YBC 7289 je aproksimacija [[kvadratni koren števila 2|kvadratnega korena števila 2]] (<math>\sqrt{2}</math>), točna na tri [[šestdesetiški številski sistem|šestdesetiška]] oziroma sedem [[desetiški številski sistem|desetiških]] decimalnih mest.

== Začetki ==

Babilonska matematika je niz numeričnih in bolj zahtevnih matematičnih operacij, ki so se razvile na antičnem [[Bližnji vzhod|Bližnjem vzhodu]], zapisanih v klinopisu na glinastih tablicah, predvsem v [[sumerščina|sumerskem]] in [[akadščina|akadskem]] jeziku. Zaradi obilja podatkov iz starobabilonskega obdobja v zgodnjem 2. tisočletju pr. n. št. je njihovo preučevanje osredotočeno ravno na to obdobje.  O tem, kdaj je najzgodnejša babilonska matematika nastala, je bilo v preteklosti veliko razprav. Zgodovinarji so predlagali datume od 5. do 3. tisočletja pr. n. št.. 

Naziv babilonska verjetno ni najbolj primeren, ker so se že v 5. tisočletju pr. n. št. uporabljali pripomočki za računanje, na primer popisani koščki gline (''bullae'') in žetoni.

== Babilonske številke ==
{{glavni|babilonske številke}} 
[[Slika:Babylonian_numerals.svg|thumb|right|250px|[[Babilonske številke]]]]

Babilonci so uporabljali [[šestdesetiški številski sistem]] z osnovo [[60 (število)|60]]. Sistem se še danes uporablja na primer za [[merjenje]] [[čas]]a ([[ura]] ima 60 minut in [[minuta]] 60 [[sekunda|sekund]]) in [[kot]]a ([[polni kot]] ima 360°). Babilonci so v matematiko vnesli velik napredek, predvsem zaradi dveh dejstev. Število 60 je [[izredno zelo sestavljeno število|izredno]] [[zelo sestavljeno število]], ki je deljivo z 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 in s samim seboj, kar omogoča enostavno računanje z ulomki. Poleg tega so, za razliko od [[Egipčani|Egipčanov]] in [[rimske številke|Rimljanov]], uvedli sistem mestnih vrednosti, v katerem vrednost številke ni odvisna samo od nje same, ampak tudi od njene lege v zapisu števila. Sistem je bil precej podoben sodobnemu [[desetiški številski sistem|desetiškemu sistemu]]. Vrednosti mest so padale od leve proti desni, tako da se je na primer število 734 zapisalo s 7·100 + 3·10 + 4.

== Sumerska matematika ==

Sumerci so po letu 3000 pr. n. št. razvili zapleten sistem merskih enot. Po letu 2600 pr. n. št. so na glinaste tablice že zapisovali tabele za množenje in se ukvarjali z [[geometrija|geometrijskimi]] nalogami  in problemi z [[deljenje]]m. Iz tega obdobja so tudi najstarejši sledovi babilonskih številk.<ref>D.J. Melville (2003). ''Third Millennium Chronology, Third Millennium Mathematics''. St. Lawrence University.</ref>

== Starobabilonska matematika (2000–1600 pr. n. št.) ==

Večina glinastih tablic z matematično vsebino je iz starobabilonskega obdobja, zato se matematika običajno imenuje babilonska. Prva skupina tablic vsebuje matematične sezname in tabele, druga pa matematične probleme in izdelane rešitve.

=== Aritmetika ===

Babilonci so si pri [[aritmetika|aritmetiki]] pomagali z že izračunanimi tabelami. Na dveh tablicah iz leta 2000 pr. n. št., ki so jih leta 1854 odkrili v [[Larsa|Sankari]] ob [[Evfrat]]u, so zapisani [[kvadratno število|kvadrati]] števil do 59 in [[kub]]i števil do 32. Za poenostavitev množenja so uporabljali tabele kvadratov in naslednji enačbi:

: <math> ab = \frac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2} \!\, , </math>
: <math> ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4} \!\, . </math>

Babilonci niso imeli algoritma za dolgo deljenje. Namesto tega so uporabljali enačbo:

: <math> \frac{a}{b} = a \cdot \frac{1}{b} \!\, </math>

in tabelo obratnih vrednosti. Števila, katerih prafaktorji so bili samo 2, 3 in 5, so imela v šestdesetiškem zapisu končne [[obratna vrednost|obratne vrednosti]]. Arheologi so odkrili veliko tablic z obsežnimi seznami obratnih vrednosti.
 
Obratne vrednosti, na primer 1/7, 1/11, 1/13, v šestdesetiškem zapisu nimajo končnih vrednosti. Za izračun 1/13 ali deljenje s 13 so Babilonci uporabljali približke, na primer:

: <math> \frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \cdot \frac {1}{91} \approx 7 \cdot \frac{1}{90}=7 \cdot \frac{40}{3600} = \frac{280}{3600} = \frac{4}{60} + \frac{40}{3600} \!\, . </math>

=== Algebra ===

Babilonci so poleg aritmetičnih izračunov razvili tudi [[algebra|algebrske]] metode za reševanje [[enačba|enačb]]. Tudi pri njih so si pomagali s tabelami že izračunanih vrednosti.
 
Za reševanje kvadratnih enačb so uporabljali standardno kvadratno enačbo v obliki:

: <math>\ x^{2} + bx = c \!\, , </math>

v kateri <math>a\, </math> in <math>b\, </math> nista nujno bila [[celo število|celi števili]], <math>c\, </math> pa je bil vedno pozitiven. Vedeli so, da je rešitev takšne enačbe:

: <math> x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c} \!\, . </math>

Iz tabel kvadratov so nato poiskali njihove kvadratne korene. Vedno so uporabljali samo pozitivne korene, ker so bili edini smiselni za reševanje realnih problemov. Na ta način so  znali izračunati na primer stranice [[pravokotnik]]a, za katerega so vedeli ploščino in razliko med [[dolžina|dolžino]] in [[širina|širino]].

Za reševanje nekaterih kubičnih enačb so porabljali preglednice vrednosti n<sup>3</sup> + n<sup>2</sup>. Za zgled se predpostavi enačbo:

: <math>\ ax^{3} + bx^{2} = c \!\, . </math>

Z množenjem enačbe z <math>a^{2}\, </math> in deljenjem z <math>b^{3}\, </math> se dobi:

: <math> \left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3} \!\, . </math>

S substitucijo <math>y = ax/b\, </math> se dobi enačbo:

: <math> y^{3} + y^{2} = \frac {ca^{2}}{b^{3}} \!\, , </math>

ki je rešljiva tako, da se v tabeli <math>n^{3} + n^{2}\, </math> poišče vrednost, ki je najbližja vrednosti desne strani enačbe. Babilonci so to dosegli brez algebrskih zapisov, kar kaže na njihovo globoko razumevanje problema. Splošne metode za reševanje kubičnih enačb niso poznali.

=== Računanje rasti ===

Babilonci so modelirali [[eksponentna funkcija|eksponentno]] rast, nenaravno rast (z eno od [[sigmoida|sigmoidnih]] funkcij) in čas podvojitve. Slednjega so uporabljali za računanje [[obresti]].

Na glinasti tablici iz obdobja okoli leta 2000 pr. n. št. je naslednja naloga: »Izračunaj čas podvojitve (kapitala) za (navadno) mesečno obrestno mero 1/60«. Izračun pokaže, da znaša letna obrestna mera 12/60, se pravi 20 %, torej se kapital podvoji v 5-ih letih.<ref>M. Hudson. ''Why the Miracle of Compound Interest leads to Financial Crises''.</ref><ref>J.H. Webb. Have we caught your interest?</ref>

=== Plimpton 322 ===

Tablica [[Plimpton 322]] vsebuje seznam [[pitagorejska trojica|pitagorejskih trojic]], se pravi takšnih celih števil <math>a\, </math>, <math>b\, </math> in <math>c\, </math>, za katere je <math>a^{2} + b^{2} = c^{2}\, </math>. Število trojic na tablici je preveliko in števila so prevelika, da so jih dobili na silo.

O tem je bilo napisano veliko razprav, vključno z nekaterimi špekulacijami, glede tega, ali je tabela služila kot zgodnja [[trigonometrija|trigonometrična]] tablica. Vprašanje, kako je bila izračunana, nima istega odgovora kot vprašanje, čemu je služila. Na prvo vprašanje se najbolj zadovoljivo odgovori, da z recipročnimi pari, kar so prvič predlagali pred približno sto leti. Odgovor na drugo vprašanje je, da so z njimi reševali probleme z nekaterimi vrstami [[pravokotni trikotnik|pravokotnih trikotnikov]].<ref>E. Robson. ''Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322''. Historia Math. '''28''' (3):  202.</ref>

=== Geometrija ===

Babilonci so poznali pravila za računanje [[prostornina|prostornin]] in [[ploščina|ploščin]]. [[Obseg]] [[krog]]a so računali kot tri njegove [[premer]]e, njegovo ploščino pa kot 1/12 kvadrata premera, kar bi bilo res, če bi bilo število [[pi|''π'']] enako 3. Prostornino [[valj]]a so računali kot zmnožek osnovne ploskve in višine, prostornino [[prisekani stožec|prisekanega stožca]] in [[prisekana kvadratna piramida|prisekane kvadratne piramide]] pa so napačno računali kot zmnožek višine in polovice vsot obeh osnovnih ploskev. Poznali so tudi [[Pitagorov izrek]].

V babilonskih besedilih je ''π''&nbsp;≈&nbsp;3, kar je dovolj točno za arhitekturne projekte tistega časa. To vrednost se omenja tudi pri opisu Salomonovega templja v Hebrejski bibliji.<ref>P.  Beckmann. ''A History of Pi''.  St. Martin's (1971).</ref> Babilonci so se zavedali, da je vrednost samo približna. Na eni od babilonskih matematičnih tablic iz 19.-17. stoletja pr. n. št., ki so jih leta 1936 izkopali v bližini Suse, so odkrili izračun ''π'' = 25/8 (= 3,125). Vrednost je samo približno 0,5 % manjša od njegove točne vrednosti.<ref>D.G. Romano.  ''Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion''.  American Philosophical Society, 1993, str. 78.</ref><ref>E. M. Bruins. ''Quelques textes mathématiques de la Mission de Suse, 1950''.</ref><ref>E. M. Bruins, M. Rutten. ''Textes mathématiques de Suse''. Mémoires de la Mission archéologique en Iran vol. XXXIV, 1961,</ref> 

Enota za merjenje razdalje je bila babilonska milja, ki je merila približno 11,3 km. Enoto za razdaljo so kasneje pretvorili v časovno miljo, ki so jo uporabljali za računanje potovanja Sonca, se pravi časa.<ref>Eves, 2. poglavje.</ref>

Babilonci so poznali izreke o razmerjih stranic podobnih trikotnikov. Zaradi pomanjkljive  predstave  o merjenju kota, so namesto tega preučevali stranice trikotnikov.<ref>Boyer (1991). ''Greek Trigonometry and Mensuration''. str. 158–159. </ref>

Babilonski astronomi so točno zapisovali vzhode in zahode zvezd, gibanje planetov ter [[Sončev mrk|Sončeve]] in [[Lunin mrk|Lunine mrke]], ki so zahtevali poznavanje kotnih razdalj, merjenih na nebesnem svodu.<ref>E. Maor (1998). ''Trigonometric Delights''. Princeton University Press. str. 20. ISBN 0-691-09541-8.</ref>
  
[[Otto Eduard Neugebauer]] je v 1950. letih odkril, da so za računanje [[Efemeride|efemeride]] (tabel astronomskih leg) uporabljali tudi nekakšno [[Fourierova analiza|Fourierovo analizo]].<ref>E. Prestini (2004). ''The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world''. Birkhäuser, str. 62. ISBN G-C. Rota, F. Palombi (1997). Indiscrete thoughts, str. 11. Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3866-5.</ref><ref>O. Neugebauer (1969) [1957]. ''The Exact Sciences in Antiquity''. 2. izdaja. Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.</ref><ref>L. Brack-Bernsen, M. Brack. ''Analyzing shell structure from Babylonian and modern times''. arXiv:physics/0310126.</ref>

== Vpliv na druge civilizacije ==

Ob ponovnem odkritju babilonske civilizacije je postalo jasno, da so si grški in helenistični matematiki in astronomi, še posebej [[Hiparh]], večino znanja sposodili pri Babiloncih. 

Nemški asiriolog Franz Xaver Kugler je v svoji knjigi ''Babilonsko lunarno računanje'' (''Die Babylonische Mondrechnung'')<ref>F.X. Kugler. ''Die Babylonische Mondrechnung''. Freiburg im Breisgau, 1900.</ref> objavil, da [[Ptolemaj]] v svojem ''Almagestu IV.2'' trdi, da je Hiparh izračunal bolj točne čase Luninih men od tistih, ki so mu bile znane ''»od še starejših astronomov«'', tako da je primerjal kaldejska in svoja opazovanja Luninih mrkov. Kugler je odkril, da so periode, ki jih je Ptolemaj pripisoval Hiparhu, uporabljali že stari Babilonci. Hiparh je torej s svojimi opazovanji samo potrdil vrednosti period, odkritih v kaldejskem obdobju.

Jasno je, da sta imela Hiparh in za njim Ptolemaj skoraj popoln seznam več stoletij trajajočih opazovanj mrkov. Podatki so bili najverjetneje povzeti iz tabel kaldejskih rutinskih dnevnih opazovanj, v katerih so bili zapisani vsi pomembni dogodki. Ohranjeni zapisi so iz obdobja 652 pr. n. št do 130 n. št., dogodki pa so se verjetno dokumentirali že od vladavine babilonskega kralja [[Nabonasar]]ja. Ptolemaj je začel svojo kronologijo s prvim dnem egipčanskega koledarja prvega leta vladanja Nabonasarja, se pravi 26. februarja 747 pr. n. št..

Neobdelani podatki v dnevnih zapisih so bili zelo nepregledni in težko uporabni, zato so nedvomno že Kaldejci pripravili izvlečke, na primer pregled vseh opaženih mrkov, ki so jim omogočili izračun periodičnosti pojavov. Babilonci so podatke uporabili tudi v sistemu B:

* 223 [[sinodski mesec|sinodskih mesecev]] = 239 vrnitev v anomalijo ([[anomalistični mesec]]) = 242 vrnitev v zemljepisno širino ([[drakonski mesec]]). Obdobje je zdaj znano kot [[saroški cikel]], ki je uporaben za napovedovanje Sončevih in Luninih mrkov.
* 251 (sinodskih) mesecev = 269 vrnitev v anomalijo 
* 5458 (sinodskih) mesecev = 5923 vrnitev v zemljepisno širino

1 sinodski mesec  = 29;31:50:08:20 dni v šestdesetiškem, oziroma 29,53059413... dni v decimalnem zapisu, oziroma 29 dni 12 ur 44 minut 3⅓ sekund. Babilonci so vse periode računali v sinodskih mesecih, morda zato, ker so uporabljali [[babilonski koledar|lunisolarni koledar]]. Zaradi povezav z različnimi letnimi dogodki so bila leta različno dolga.

Poznali so tudi različne povezave med periodami [[planet]]ov. Izračune, ki jih Ptolemaj v ''Almagestu IX.3'' pripisuje Hiparhu, so uporabljali že Babilonci, kar dokazujejo zapisi na glinastih tablicah.

Vse znanje se je preneslo na [[stari Grki|stare Grke]] verjetno kmalu po [[Aleksander Veliki|Aleksandrovi]] osvojitvi Mezopotamije leta 331 pr. n. št.. Kasnejši klasični filozof [[Simplikij]] (začetek 6. stoletja n. št.) je trdil, da je Aleksander Veliki ukazal, naj se vsi zgodovinski astronomski zapisi pod nadzorom letopisca [[Kalisten]]a iz Olinta prevedejo v grščino in pošljejo njegovemu stricu [[Aristotel]]u. Simplikij je kljub temu, da je zelo pozen vir, dokaj zanesljiv. Nekaj časa je preživel v izgnanstvu na [[Sasanidsko cesarstvo|sasanidskem]] (perzijskem) dvoru, kjer bi lahko imel dostop do virov, ki so se na Zahodu izgubili.

Aristotelov učenec [[Kalip]] iz Kizika je uvedel 76 letni cikel, s katerim je izboljšal 19 letni [[Metonov cikel]]. Prvo leto njegovega prvega cikla se je začelo 28. junija 330 pr. n. št., kasneje pa je lunarne mesece verjetno štel od prvega meseca po Aleksandrovi odločilni zmagi v bitki pri Gavgameli leta 331 pr. n. št.. Tudi Kalip je dobil podatke morda iz babilonskih virov. Znano je tudi, da je babilonski svečenik Beros okoli leta 281 pr. n. št. za novega vladarja [[Antioh I. Soter|Antioha I.]] napisal knjigo o (precej mitološki) zgodovini Babilonije z naslovom ''Babyloniaca''. Antioh je na grškem otoku Kosu kasneje ustanovil šolo [[astrologija|astrologije]]. Drugi kandidat, ki bi Grke lahko učil babilonske astronomije/astrologije, je bil [[Sudin]], ki je v poznem 3. stoletju pr. n. št. živel na dvoru [[Atal I. Soter|Atala I. Soterja]].

Prevod astronomskih zapisov je vsekakor zahteva poglobljeno znanje klinopisa, jezika in postopkov, zato se zdi verjetno, da je to opravilo nekaj neznanih Kaldejcev.

Babilonski zapisi so bili datirani v mesecih, ki so imeli 29 ali 30 dni in letih, ki so imela 12 ali 13 mesecev. V tistem času niso uporabljali koledarja, ki bi temeljil na primer na metonskem ciklu, ampak so vsak mesec začeli s pojavom mlade Lune. Računanje časovnih intervalov med astronomskimi dogodki je zato zelo zapleteno in utrudljivo.

Hiparh je to morda opravil s prenosom zapisov v [[egipčanski koledar]], ki je imel vedno 365 dni, razdeljenih na 12 mesecev po 30 dni in 5 dodatnih dni. Računanje intervalov je s tem postalo mnogo lažje. Ptolemaj je vse dogodke datiral po tem koledarju in celo pripomnil, da je ''»vse, kar ja naredil Hiparh, samo pretvorba opazovanj planetov v bolj uporabno obliko«'' (''Almagest IX.2''). [[Plinij starejši]] je  v svoji ''Naturalis Historia'' II.IX(53) o napovedovanju mrkov napisal: ''»Po njihovem času (je [[Tales]]) poti obeh zvezd (Sonca in Lune) 600 let napovedal po Hiparhu...''«. To bi lahko pomenilo, da je Hiparh napovedal mrke za obdobje 600 let, kar je zaradi izjemno obsežnega računanja zelo malo verjetno. Hiparh je namesto tega verjetno naredil seznam vseh mrkov od Nabonaserjevega do svojega časa.

Drugi sledovi babilonskega znanja v Hiparhovih delih so:

* prvo znano grško deljenje kroga na 360 stopinj po 60 ločnih minut,
* prva skladna raba šestdesetiškega številskega sistema,
* raba enote ''pehus'' (vatel), ki je merila 2° ali 2½° in
* uporaba kratke periode 248 dni = 9 anomalističnih mesecev.

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|3}}
* A. E. Berriman (1956). ''The Babylonian quadratic equation''.
* C. B. Boyer. ''A History of Mathematics'', 2. dopolnjena izdaja. New York: Wiley (1989) ISBN 0-471-09763-2, (1991) ISBN 0-471-54397-7.
* G. G. Joseph. ''The Crest of the Peacock''. Princeton University Press (15. oktober 2000), ISBN 0-691-00659-8.
*  D. E. Joyce (1995). ''Plimpton 322''.
*  O. Neugebauer (1969) [1957]. ''The Exact Sciences in Antiquity'', 2. izdaja. Dover Publications. ISBN 978-0-486-22332-2.
* J. J. O'Connor, E.F. Robertson. ''An overview of Babylonian mathematics''. MacTutor History of Mathematics, december 2000.
* E. Robson (2001). ''Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322''. Historia Math. '''28''' (3): 167–206. doi: 10.1006/hmat.2001.2317. MR 1849797.
* E. Robson. ''Words and pictures: New light on Plimpton 322''. The American Mathematical Monthly '''109''' (2): 105.
* E. Robson. ''Mathematics in Ancient Iraq: A Social History''. Princeton University Press (2008).
* G. J. Toomer (1981). ''Hipparchus and Babylonian Astronomy''.
{{refend}}

[[Kategorija:Zgodovina matematike]]
[[Kategorija:Mezopotamija]]
[[Kategorija:Babilonska matematika]]