Ogled vira Bumerang

'''Búmerang''' je danes [[šport]]na [[naprava]] iz [[les]]a ali [[umetna masa|umetne mase]], ki se, če je pravilno vržen, vrne k metalcu.
[[Slika:Australia Cairns Boomerang.jpg|thumb|right|250px|Bumerangi]]
Klasičen bumerang za [[boj]] in [[lov]] se (kljub splošnemu zmotnemu mnenju) ni vračal k metalcu. Njegov namen je bil, da leti dlje, v bolj ravni črti in da zanesljiveje zadene cilj kot ravna palica. Iz tega razloga je imela [[Avstralija|avstralska]] [[vojska]] med [[prva svetovna vojna|I. svetovno vojno]] tudi [[ročna granata|ročne granate]] v [[oblika|obliki]] bumeranga.

V klasični obliki ima bumerang obliko [[črka|črke]] [[L]] z dvema enako dolgima [[krak]]oma. Kraki so lahko tudi trije in so različno dolgi. Kraki imajo vedno [[presek]] podoben [[presek krila|preseku kril]] [[letalo|letala]].

Najstarejši znani bumerang so odkrili v [[Poljska|poljskih]] [[Karpati]]h. Z metodo radiaktivnega [[ogljik]]a so določili njegovo starost na približno 20.000 let.

Bumerange so odkrili tudi na [[Nizozemska|Nizozemskem]], v [[Amerika|Ameriki]] in [[Indija|Indiji]]. Tako se danes domneva, da je bil v [[kamena doba|kameni dobi]] bumerang razširjen po vsem svetu. Danes so po uporabi bumeranga znani predvsem [[Aborigini]], prvotni prebivalci Avstralije. Toda tudi nekatera indijanska [[pleme]]na v severni Ameriki še danes uporabljajo bumerang za lov.

Bumerang je bil razvit za lov in boj. Klasični bumerang je lahko dolg do 1,3 [[meter|metra]] in težak do 2 [[kilogram]]a. Izurjen metalec lahko tak bumerang vrže do 200 metrov daleč.

[[James Cook]] je leta [[1770]] prinesel iz Avstralije prvi bumerang v [[Evropa|Evropo]].

Po letu [[1930]] so odkrili bumerang kot športno [[orodje]]. Danes obstaja po svetu mnogo [[klub]]ov, ki gojijo ta šport. Vsaki dve leti je tudi [[svetovno prvenstvo]].

== Analiza leta ==
=== Hitrosti ===
Za lažjo predstavo in potek razlage si bomo dali opravka s simetričnim bumerangom s štirimi krili. Ko bumerang vržemo, se začne njegovo težišče premikati v horizontalni smeri s hitrostjo V, krila [[kroženje|krožijo]] okoli težišča s [[kotna hitrost|kotno hitrostjo]] ω. Hitrost gibanja posamezne točke na krilu opišemo z enačbo

<math>v' = \omega r</math>

kjer je r oddaljenost od težišča. Zaradi hkratnega gibanja težišča v horizontalni smeri ter kroženja kril okoli težišča se krilo v zgornjem položaju giblje v isti smeri kot težišče, v spodnjem položaju pa v nasprotni smeri, tako da je relativna hitrost krila glede na okoliški zrak odvisna tudi od lege. Tako lahko zapišemo absolutno hitrost kot

<math>v_t = v' + V'</math>

<math>v_t = \omega r + V \sin \left (\omega t \right)</math>

Zapišimo, kako se s časom spreminjajo koordinate posamezne točke na bumerangu v premikajočem sistemu s hitrostjo V

<math>\vec r = r \left [ \vec e_y \sin \left (\omega t \right) + \vec e_z \cos \left (\omega t \right) \right ]</math>

=== Aerodinamična sila ===
Spoznajmo, kolikšna je aerodinamična [[sila]]. Med hitrostjo in silo predpostavimo kvadratno odvisnost in zapišemo

<math> d \vec F_i = c \vec e_x v_t^2 dr </math>

kjer c koeficient [[vzgon]]a. Kot pa smo že ugotovili, se hitrost krila glede na oddaljenost in kot spreminja.

<math>
d \vec F_i = c \vec e_x \left [ \omega r + V \sin \left (\omega t \right) \right]^2 dr
</math>
	
<math>
d \vec F_i = c \vec e_x \left[ \omega^2 r^2 + 2 \omega r V \sin \left(\omega t \right) + V^2 \sin^2 \left(\omega t \right) \right] dr
</math>

Ugotovimo lahko, da se <math>d \vec F</math> spreminja velikost glede na položaj v katerem je krilo. Ne smemo pa tudi pozabiti na preostala tri krilca, ki prispevajo svoj delež k skupni sili. Izračunamo jih podobno, le namesto <math>\omega t</math> uporabimo <math>\omega t + \frac{\pi}{2} </math>, <math>\omega t + \pi </math> oziroma <math>\omega t + \frac{3 \pi}{2} </math>.

<math>	d \vec F_1 = c  \vec e_x \left [ \omega^2r^2 + 2\omega rV \sin \left (\omega t \right) + V^2 \sin^2 \left (\omega t \right) \right] dr </math>

<math>	d \vec F_2 = c  \vec e_x \left [ \omega^2r^2 + 2 \omega r V \sin \left(\omega t + \frac{\pi}{2} \right) + V^2 \sin^2 \left(\omega t + \frac{\pi}{2} \right) \right] dr </math>

<math>	d \vec F_3 = c  \vec e_x \left [ \omega^2 r^2 + 2 \omega r V \sin \left (\omega t + \pi \right) + V^2 \sin^2 \left(\omega t + \pi \right) \right] dr	</math>

<math>	d \vec F_4 = c  \vec e_x \left [ \omega^2 r^2 + 2 \omega r V \sin \left (\omega t + \frac{3\pi}{2} \right) + V^2 \sin^2 \left(\omega t + \frac{3\pi}{2} \right) \right ] dr	</math>

Prispevke med seboj seštejemo

<math>d \vec F = d \vec F_1 + d \vec F_2 + d \vec F_3 + d \vec F_4</math>

Z uporabo lastnosti [[kotne funkcije|kotnih funkcij]] dobimo

<math>d \vec F = 4c  \vec e_x \left( \omega^2r^2 + \frac{1}{2}V \right) dr </math>

Za [[rezultanta|rezultanto]] sil, ki deluje na težišče, izraz integriramo po r od 0 do l

<math> 	\vec F = 4cl \vec e_x \left[  \left (\frac{1}{3} \omega^2 l^2 \right) + \frac{1}{2} V^2 \right ] </math>

kjer je <math>l</math> dolžina krila bumeranga. Dobimo skupno silo <math>\vec F</math>, ki je pravokotna na ravnino gibanja bumeranga, torej tudi na smer gibanja bumeranga <math>\vec V</math>. Ta sila je vzrok, da se pravokotno na vektor hitrosti <math>\vec V</math> pojavi radialni [[pospešek]] <math>\vec a_r</math>, ki hitrosti spreminja smer.

=== Navor ===
Ker sila prijemlje po celotni dolžini krila in je njena velikost odvisna od kraja prijemališča; pada od zgornjega roba (kjer je največja) do spodnjega roba bumeranga (kjer je najmanjša). Posledica tako razporejene sile je [[navor]]. Zapišemo ga kot

<math>d \vec N =  \vec r \times d \vec F</math>

Po uporabi zgornjih enačb dobimo

<math>	d \vec N = r \left [ \vec e_y sin \left(\omega t \right) + \vec e_z cos \left (\omega t \right) \right ] \times c \vec e_x vt^2 dr
</math>

in iz tega

<math> d \vec N = cr \left[ \omega^2 r^2 + 2 \omega r V \sin \left( \omega t \right) + V^2 \sin^2 \left( \omega t \right ) \right ] \left[ \vec e_y \sin \left(\omega t \right) +  \vec e_z \cos \left(\omega t \right) \right ] dr,
</math>,

ki je navor na eno izmed kril. Podobno kot pri izračunu sile, upoštevamo, da navor deluje na vsa štiri krila bumeranga ter prispevke seštejemo, pri čemer se večina členov izniči, nakar dobimo

<math>d \vec N = 4cr^2 V \omega \vec e_y dr
</math>

<math>	 \vec N = \frac{4}{3} cl^3 V \omega \vec e_y </math>

kjer je l že omenjena dolžina krila bumeranga.
 
=== Kotna hitrost ===
Ugotovimo smer navora <math>\vec N</math>. Ta kaže v nasprotni smeri hitrosti <math>\vec V</math>. Podobno kot pri [[precesija|precesijski]] vrtavki tudi pri bumerangu navor spreminja smer kotne hitrosti vrtenja okoli težišča. Kotno hitrost vrtenja bumeranga okoli težišča smo označili z <math>\vec \omega (\vec \omega = \omega \vec e_x)</math>, ta pa se povezuje po enačbi

<math>\vec \Gamma = J \vec \omega</math>

pri čemer je J [[vztrajnostni moment]] in <math>\Gamma</math> [[vrtilna količina]] in kaže v smeri kotne hitrosti ω. Eno krilo lahko obravnavamo kot palico, ki se vrti okoli enega izmed krajišč ter zapišemo

<math>J = \frac{1}{3} ml^2
</math>

<math>	\vec \Gamma = \frac{1}{3} ml^2 \vec \omega
</math>

Navor N je pravokoten na vrtilno količilno <math>\Gamma</math>. Pojavi se precesija. Zapišemo, od česa je odvisna:

<math>
\omega_p = \frac{N}{\Gamma} = \frac{ \frac{4}{3}cl^3 V \omega }{ \frac{1}{3}ml^2 \omega} = \frac{4cl\omega}{m}
</math>

Ugotovimo, da je precesijska kotna hitrost <math>\omega_p</math> odvisna od koeficienta vzgona c, dolžine krila l, hitrosti letenja V ter mase bumeranga m.

=== Povezave in pogoji ===
Če pa naj bo opisana pot bumeranga krožnica, mora veljati

<math>\omega_0 = \frac{V}{R}</math>

kjer je <math>\omega_0</math> kotna hitrost kroženja bumeranga, ter

<math>\omega_p = \omega_0</math>

Sledi

<math>\frac{4clV}{m} = \frac{V}{R}</math>

in izrazimo radij kroženja

<math>	R = \frac{m}{4lc}</math>

Spoznamo, da je radij kroženja bumeranga odvisen le od mase m, dolžine krila l ter koeficienta upora c, ki sta vsi parametri izdelave bumeranga. Metalec bumeranga tako v teoriji na radij kroženja nima vpliva, kot pa bomo spoznali v nadaljevanju, mora met izpolniti še nekaj pogojev.

Spoznajmo povezavo med centripetalno silo <math> \vec F</math> in radialnim pospeškom <math>\vec a_r</math>.

<math> a_r = \frac{V^2}{R}</math>

<math>a_r</math> in <math>F</math> sta po II. Newtonovem zakonu v povezavi
<math>	F = ma_r	</math>
sledi

<math> 	F = \frac{mV^2}{R}</math>

nakar izrazimo hitrost.

<math>4cl \left( \frac{1}{3} \omega^2 l^2 + \frac{1}{2} V^2 \right) = \frac{mV^2}{R}</math>

<math> 	V = \sqrt{\frac{2}{3}} \omega l</math>

ter ugotovimo v kakšni povezavi morata biti kotna hitrost ω in hitrost bumeranga V, če naj bumerang v svojem letu opiše krožnico.

=== V razmislek ===

Ob relativno zahtevnih povezavah je tako neutemeljeno pričakovati, da bi zgolj z lastno intuicijo stari narodi (npr. [[Aborigini]] v [[Avstralija|Avstraliji]]) uporabljali bumerang kot orodje, ki se vrača k izviru. Morda je kateremu posamezniku po naključju uspelo izdelati bumerang, ki je imel primerna razmerja, ni pa verjeti, da bi dovolj obvladovali potrebno zgoraj opisano znanstveno razlago za množično izdelavo takorekoč »športnih« bumerangov.

Vsaka napaka pri izdelavi bumeranga povzroči, da tir ni krožnica. Če je aerodinamična sila prevelika, je sprememba smeri hitrosti hitrejša od spremembe smeri vrtilne količine in bumerang se giblje prečno na ravnino vrtenja, kar zmanjša aerodinamično silo, poveča [[Upor sredstva|upor]] (ki smo ga v izpeljavi sicer zanemarili) in [[gravitacija]] (katere vpliv je tudi zanemarjen) bi bumerang prisilila k tlom. Če je bumerang prevelik, je večji tudi [[navor]]. V tem primeru se smer vrtilne količine suče hitreje kot smer hitrosti ravnina kril bumeranga se zasuka prečno na hitrost težišča, to pa bi povečalo upor in zmanjšalo aerodinamično silo – tak bumerang bi zelo hitro padel na tla. Seveda sta to čista mejna primera, medtem ko bi se v realnosti bumerang še vedno pokoraval vsem enačbam, ki opisujejo njegovo gibanje, le tir njegovega leta ne bi bil krožnica, temveč (glede na natančnost) poljuben približek le-te.

== Literatura ==
* V. D. Barger, M. G. Olsson, ''Classical Mechanics, A modern perspective'' McGraw-Hill International Editions, New York, 1995, str. 193 – 202. {{COBISS|ID=4901896}}

== Zunanje povezave ==
{{Zbirka|Category:Boomerangs}}
{{portal|Vojaštvo}}
{{Wikislovar|bumerang|Bumerang}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Klasično orožje in bojne naprave]]
[[Kategorija:Lovsko orožje]]
[[Kategorija:Ročno metalno orožje]]
[[Kategorija:Športno orožje]]