Ogled vira Carl Friedrich Gauss

{{infopolje Znanstvenik
| name        = Carl Friedrich Gauss
| image       = <!-- Wikidata -->
| caption     = Carl Friedrich Gauss
| birth_date  = <!-- Wikidata -->
| birth_place = <!-- Wikidata -->
| death_date  = <!-- Wikidata -->
| death_place = <!-- Wikidata -->
| residence   = Nemčija
| nationality = {{ikonazastave|Nemčija}} [[Nemci|nemška]]
| field       = [[matematika]], [[fizika]], [[astronomija]], [[geodezija]]
| work_institution = [[Univerza v Göttingenu]]
| alma_mater  = [[Univerza v Helmstedtu]]
| doctoral_advisor  = [[Johann Friedrich Pfaff]]
| academic_advisors = [[Johann Christian Martin Bartels]]
| doctoral_students =  [[Christoph Gudermann]] <br /> [[Christian Ludwig Gerling]] <br /> [[Julius Wilhelm Richard Dedekind]] <br /> [[Johann Benedict Listing]] <br /> [[Bernhard Riemann]] <br /> [[Christian Heinrich Friedrich Peters]] <br /> [[Moritz Benedikt Cantor]]
| notable_students  = [[Johann Franz Encke]] <br /> [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet]] <br /> [[Ferdinand Gotthold Max Eisenstein]] <br /> [[Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt]] <br /> [[Ernst Eduard Kummer]] <br /> [[August Ferdinand Möbius]] <br /> [[L. C. Schnürlein]] <br /> [[Julius Weisbach]]
| known_for   = [[Gaussova gravitacijska konstanta]] <br /> [[Gaussov sistem enot]] <br /> raziskave elektromegnetizma <br /> [[Gaussova ukrivljenost]] ploskve <br /> [[Gaussova eliminacijska metoda]]
| awards      = [[Lalandova nagrada]] {{small|(1810)}} <br /> [[Copleyeva medalja]] {{small|(1838)}}
| signature   = <!-- Wikidata -->
| spouse      =
| religion    =
| footnotes   =
}}

'''Johann Carl Friedrich Gauss''' ({{jezik-de|Gauß}}), [[Nemci|nemški]] [[matematik]], [[astronom]], [[fizik]] in [[geodet]], * [[30. april]] [[1777]], [[Braunschweig]], [[Nemčija]], † [[23. februar]] [[1855]], [[Göttingen]], Nemčija.

== Življenje in delo ==
=== Mladost ===

Gaussova [[družina]] je bila [[revščina|revna]]. Starša nista imela nobene izobrazbe. Bil je edini otrok [[vrtnar]]ja, [[zidarstvo|zidarskega]] [[mojster|mojstra]] in dninarja. Oče je pozneje vodil [[računovodstvo]] nekemu trgovcu. Mati je bila iz [[kamnoseštvo|kamnoseške]] družine in je pred poroko služila kot dekla.

Že kot otrok je veljal za matematično čudo. Imel je izreden spomin in sposobnost za računanje na pamet. Ljudje s temi sposobnostmi so velikokrat umsko zgolj povprečni, toda Gauss je bil nedvomno [[genij]]. Kot [[čudežni otrok]] je že trileten popravljal očetove seštevke računov za razdelitev plač in je vse življenje držal v glavi na kupe raznih številskih podatkov. Nekateri ga prištevajo med tri največje matematike vseh časov; druga dva naj bi bila [[Arhimed]] in [[Isaac Newton|Newton]]. Sodobniki so ga imenovali »prvak matematikov« (''princeps mathematicorum'').

[[Slika:Braunschweig Brunswick Geburtshaus CF Gauss (1914).jpg|thumb|right|200px|Gaussova rojstna hiša na Wilhelmstrasse 30, v celoti porušena med [[druga svetovna vojna|2. svetovno vojno]] ]]

Imel je srečo, da je nanj postal pozoren učitelj v šoli in zanj celo preskrbel posebno računico, ker je običajno snov Gauss takoj obvladal. Njegova nadarjenost ni bila skrita in deželni knez, braunšvinški vojvoda Ferdinand, mu je omogočil šolanje. To za čas prosvetljenega absolutizma ni bilo tako nenavadno. Zanimivo pa je, da je Gauss dobival iz tega vira podporo vse do svojega 30. leta, in to tudi v časih, ko je bila deželna blagajna skoraj prazna.

Znana zgodba pravi, da je v [[osnovna šola|osnovni šoli]] njegov učitelj [[J.G. Büttner|Büttner]] hotel zamotiti učence in jim dal nalogo naj seštejejo [[celo število|cela števila]] od 1 do 100. Mladi Gauss je prišel do rešitve v trenutku v začudenje učitelju in njegovemu pomočniku [[Johann Christian Martin Bartels|Bartelsu]]. Gauss je uvidel, da so vsote paroma členov z nasprotnega konca [[zaporedje|zaporedja]] enake vmesnim vsotam: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, kar da končno vsoto 50 · 101 = 5050. J. Rotman v svoji knjigi ''A first course in Abstract Algebra'' navaja, da tej zgodbi ne verjame. Vsoto prvih sto [[naravno število|naravnih števil]] je poznal že [[Ibn al-Haitam|al-Haitam]].

Leta 1792 je kot 15-leten zapisal:

: <math> p \; \hbox{pod} \;\; \xi \, (= \infty) \frac{\xi}{\hbox{l} \, \xi} \!\, .  </math>

Če »[[praštevilo|''p'']] pod ξ« nadomestimo z enakovredno vrednostjo π (ξ), znak lξ z ln ξ in <math>(= \infty)</math> z besedilom '' za velike'' ξ, dobimo njegovo mladostno oceno za aritmetično funkcijo π (ξ), [[število praštevil]]:

: <math> \pi(\xi) \cong \frac{\xi}{\ln \xi} \quad \hbox{za velike} \;\; \xi \!\, , </math>

z deljenjem s ξ pa obliko [[praštevilski izrek|praštevilskega izreka]]. Očitno je mladi Gauss že razumel to lastnost praštevil, zakaj pa je ni razvil, najverjetneje ne bomo nikoli izvedeli. Pozneje je domneval, da velja:

: <math> \pi(\xi) \cong \int_{2}^{\xi} \frac{\mathrm{d} t}{\log t} \!\, . </math>

Te ocene so pozneje dali tudi [[Pafnuti Lvovič Čebišov|Čebišov]] in drugi.

=== Študij ===

Po končanem kolegiju na Karolinški višji šoli je Gauss 18-leten odšel na univerzo v bližnji Göttingen. V treh letih njegovega šolanja na tej šoli so profesorji morali priznati, da jih je pustil v znanju daleč zadaj. Nekaj časa je nihal med študijem matematike in filologije, saj je bil zelo nadarjen tudi za jezike. V tem času je očitno začel z intenzivnim matematičnim raziskovanjem in kmalu prišel do zelo globokih rezultatov. Leta 1795 je neodvisno od [[Leonhard Euler|Eulerja]] odkril [[kvadratni recipročnostni zakon]] v teoriji števil:

: <math> x^{2} \; \hbox{mod} \; p = q \!\, . </math>

=== Raziskovanje v matematiki ===
[[slika:Disqvisitiones-800.jpg|thumb|right|200px|Naslovnica prve izdaje Gaussovega dela ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'' iz leta 1801]]

Po več letih študija v Göttingenu se je leta 1798 vrnil v rodni Braunschweig. Po želji svojega pokrovitelja je poslal [[Univerza v Helmstadtu|Univerzi v Helmstadtu]] disertacijo in v odsotnosti dobil [[doktorat|doktorski]] naslov. V disertaciji je podal dokaz osnovnega izreka algebre, ki pravi, da ima vsak nekonstanten [[polinom]] s kompleksnimi [[koeficient]]i vsaj eno kompleksno [[ničla funkcije|ničlo]]. Pozneje je izdelal še več dokazov tega izreka. Korenine samega izreka segajo do Alberta Girarda, založnika [[Simon Stevin|Stevinovih]] del ''Invention nouvelle en algebre'' iz leta 1626, leta 1746 pa ga je [[Jean le Rond d'Alembert|d'Alembert]] skušal dokazati. Gaussu je bil ta izrek všeč in je pozneje podal še dva dokaza, a leta 1846 se je vrnil na svoj prvi dokaz. Pri tretjem dokazu leta 1816 je uporabil kompleksne [[integral]]e. Iz njega je razvidno, kako zgodaj je Gauss obvladal teorijo [[kompleksno število|kompleksnih števil]].

V Braunschweigu se je poročil in dobil hčerko in sina. Pisati je začel svojo prvo knjigo, ''[[Disquisitiones arithmeticae]]'', svoj [[magnum opus]], in jo dokončal leta 1798, vendar je izšla leta 1801. Pisana je bila v latinščini in jo še danes ponatiskujejo. Vsebovala je izredno pomembne rezultate iz [[teorija števil|teorije števil]] in [[algebra|algebre]]. V ''Disquisitiones arithmeticae'' je Gauss zbral vsa mojstrska dela svojih predhodnikov iz teorije števil in ga tako obogatil, da imajo nekateri izdajo te knjige za začetek sodobne teorije števil. [[Gaussovo praštevilo|Gaussova praštevila]] so števila oblike <math>2^n + 1</math> pri celem ''n''. Osrednje mesto v knjigi zavzema teorija kvadratnih kongruenc, form in ostankov, višek pa doseže z zakonom o kvadratnih ostankih, to je z izrekom, imenovanim ''theorema aureum'', ki ga je Gauss prvi v celoti dokazal. Gaussa je ta izrek prav tako navdušil kot osnovni izrek algebre in je pozneje objavil še pet dokazov, enega pa so našli med njegovimi papirji po smrti.

Knjiga obsega tudi Gaussova proučevanja krožne delitve ali z drugimi besedami proučevanja [[Korenjenje|korenov]] [[enačba|enačbe]] <math>x^n = 1</math>. Tako je leta 1796 prišel do znamenitega izreka, ki trdi, da se dajo stranice pravilnega [[mnogokotnik]]a s 17 [[stranica]]mi konstruirati samo s [[šestilo]]m in [[ravnilo]]m, kar je presenetljiva razširitev grškega tipa geometrije. Do tedaj so mislili, da pravilnih mnogokotnikov z ''n'' = 7, 9, 11, 13, 19, 21 in večkratnikov tako ni mogoče narisati, niso pa znali tega dokazati. Gauss je tako odkril, da se dajo z ravnilom in šestilom narisati samo vsi tisti mnogokotniki s številom stranic <math>n=2^k</math> ali pa <math>n=2^k F_1 F_2 ... F_r</math>, kjer so <math>F_r=2^{2^r}</math> med sabo različna [[Fermatovo praštevilo|Fermatova praštevila]]. Še ne 19-leten je tako našel rešitev znanega problema iz elementarne geometrije. Objavil ga je v 7., zadnjem delu svoje knjige. Prvih vseh nekaj pravilnih mnogokotnikov po Gaussu podaja razpredelnica:
{| class="wikitable"
! ''n'' || 3 || 4 || 5 || 6 || 8 || 10 || 12 || 15 || 16 || 17 || 20 || 24 || 30 || 32 || 34 || 40 || 48 || 51 || 60
|-
| &nbsp; 
| <math>2^0 F_0      \!\, </math> 
| <math>2^2          \!\, </math>
| <math>2^0 F_1      \!\, </math>
| <math>2^1 F_0      \!\, </math>
| <math>2^3          \!\, </math>
| <math>2^1 F_1      \!\, </math>
| <math>2^2 F_0      \!\, </math>
| <math>2^0 F_0 F_1  \!\, </math>
| <math>2^4          \!\, </math>
| <math>2^0 F_2      \!\, </math>
| <math>2^2 F_1      \!\, </math>
| <math>2^3 F_0      \!\, </math>
| <math>2^1 F_0 F_1  \!\, </math>
| <math>2^5          \!\, </math>
| <math>2^1 F_2      \!\, </math>
| <math>2^3 F_1      \!\, </math>
| <math>2^4 F_0      \!\, </math>
| <math>2^0 F_0 F_2  \!\, </math>
| <math>2^2 F_0 F_1  \!\, </math>
|}
[[Slika:Heptadecagon.svg|thumb|right|200px|Pravilni [[sedemnajstkotnik]] ]]
Obdobje med 1798 in 1807 je bilo, kot je razvidno iz njegovih pisem prijateljem, med najplodnejšimi in najsrečnejšimi v njegovem življenju. Že zelo mlad je užival mednarodno slavo. Dobil je vabilo, naj pride na dobro plačano mesto v [[Rusija|Rusijo]], ki je takrat velikopotezno najemala tuje strokovnjake. Vendar se je leta 1807, 30-leten raje odločil za mesto predstojnika astronomskega [[observatorij]]a in profesorja na [[Univerza v Göttingenu|Univerzi v Göttingenu]].

Pri vsem uspehu je imel tudi svoj delež [[nesreča|nesreče]]. Kmalu po prihodu v Göttingen mu je po tretjem [[porod]]u umrla [[žena]]. Znova se je oženil in v drugem zakonu imel štiri otroke. V osebnem življenju pa še vedno ni imel sreče. Obe ženi sta mu umrli še mladi, od njegovih šestih otrok ga je preživel samo eden.

Precej časa je posvetil [[astronomija|astronomiji]]. Že v mladosti pri 24. letih je leta 1801 postal slaven po določitvi tira [[asteroid]]a [[Ceres]]a. Po njegovi metodi so lahko določili krivuljo gibanja iz treh bližnjih leg na tedaj pravkar odkritem asteroidu Ceres. Ta dobra metoda je tako omogočila, da ga je v naslednjem položaju 1. januarja 1801 v ozvezdju Bika in leta 1802 G. Piazzi v [[Palermo|Palermu]] spet zasledil, saj ga je lahko opazoval le kratek čas, ko se je spet dovolj oddaljil od Sonca. Gauss je ta problem v celoti rešil. Pri tem je uporabil nekatere računske postopke, ki so bili prezahtevni za večino tedanjih astronomov. Dobil je enačbo osme stopnje. Ko so leta 1802 odkrili drugi asteroid, [[2 Palas|Palas]], se je Gauss začel zanimati za sekularne motnje [[planet]]ov. Leta 1809 je v delu ''Theoria motus corporum coelestium'' objavil svojo klasično metodo za izračun gibanja planetov. Iz tega področja je objavil še leta 1813 članek o privlačnosti splošnih [[elipsoid]]ov, leta 1814 delo o mehanski kvadraturi in leta 1818 študijo o sekularnih motnjah. Iz tega časa je tudi njegov članek o [[hipergeometrična vrsta|hipergeometričnih vrstah]] iz leta 1812, ki je omogočil proučevanje mnogih funkcij z enega samega stališča. To je bilo prvo sistematično proučevanje [[konvergenca|konvergence]] vrst. [[hipergeometrična funkcija|Hipergeometrične funkcije]] so delne rešitve [[linearna funkcija|linearne]] [[navadna diferencialna enačba|navadne]] [[diferencialna enačba|diferencialne enačbe]] 2. reda, [[hipergeometrična diferencialna enačba|hipergeometrične enačbe]]:

: <math> x(1 - x) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} + (\gamma - (\alpha + \beta + 1) x) \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} - \alpha \beta y = 0 \!\, , </math>

če je γ od nič različen in ni celo negativno število. Enačba vsebuje večje število posebnih primerov. Na primer, za <math>\alpha = n+1</math>, <math>\beta= -n</math>, <math>\gamma = 1</math> in <math>x = (1-z)/2</math>, da enačba Legendreovo enačbo 1. reda:

: <math> (1 - x^{2}) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{d} x^{2}} -2 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} + n (n+1)y = 0 \!\, . </math>

Hipergeometrične funkcije so definirane s hipergeometričnimi vrstami, ki so:

: <math> \;_{0}F_{1} (\alpha,x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^{i}}{(\alpha)_{i} i !} \!\, , </math>

zapisane s [[Pochhammerjev simbol|Pochhammerjevimi simboli]]:

: <math> (\alpha)_{n} = \frac{\Gamma (\alpha + n)}{\Gamma (\alpha)} \!\, , </math>

Kummerjeva konfluentna hipergeometrična funkcija:

: <math> \;_{1}F_{1} (\alpha,\beta ,x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{i} x^{i}}{(\beta)_{i} i !} \; , </math>
: <math> \;_{2}F_{1} (\alpha, \beta, \gamma, x) = \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(\alpha)_{i}
 (\beta)_{i} x^{i}}{(\gamma)_{i} i !} \; \hbox{ali} </math>
: <math> \;_{2}F_{1} (\alpha, \beta, \gamma, x) = a_{o} \left( 1 + \frac{\alpha\beta}{
     1 ! \, \gamma} x + \frac{\alpha (\alpha + 1) \beta (\beta + 1)}{ 2 ! \, \gamma
     (\gamma + 1) } x^{2} + \frac{\alpha (\alpha + 1) (\alpha + 2) \beta (\beta + 1)
     (\beta + 2)}{3 ! \, \gamma (\gamma + 1) (\gamma + 2) } x^{3} + \cdots
     \right) \!\, . </math>

Vrsta [[absolutna konvergenca|konvergira absolutno]] za <math>\| x \| < 1</math>. Konvergenca za <math>x=1</math> in <math>x=-1</math> je odvisna od števila <math>\delta = \gamma - \alpha - \beta</math>. V prvem primeru za <math>x=1</math> vrsta absolutno konvergira, če je <math>\delta > 0</math>, in [[divergenca|divergira]], če je <math>\delta \le 0</math>. Pri <math>x=-1</math> vrsta absolutno konvergira, če je <math>\delta > 0</math>, pogojno divergira, če je <math>-1 < \delta \le 0</math>, in nazadnje divergira, če je <math>\delta \le -1</math>. Če je <math>2 - \gamma</math> različen od nič in od celega negativnega števila, je delna rešitev hipergeometrične enačbe:

: <math> y = {x^{1-y}} _{2}F_{1}(\alpha + 1 - \gamma, \beta + 1 - \gamma,
     2 - \gamma, x) \!\, . </math>

Če dobro izberemo ''a'', ''b'' in ''g'', hipergeometrična vrsta postane kakšna znana [[elementarna funkcija]], na primer:

: <math> {}_{2}F_{1}(1,\beta,\beta, x) = {}_{2}F_{1}(\alpha, 1, \alpha, x) =
  \frac{1}{1 -x} \!\, , </math>
: <math> {}_{2}F_{1}(n,\beta,\beta, -x) = \left( 1 + x\right) ^{n} \!\, , </math>
: <math> {}_{2}F_{1}(1, 1, 2, -x) = \frac{\ln{(1+x)}}{x} \!\, , </math>
: <math> {}_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{3}{2}, x\right) = \frac{\arcsin x}{x} \!\, . </math>

Poseben primer je tudi [[konfluentna hipergeometrična funkcija]], določena z integralom:

: <math> U(\alpha, \beta, x) \equiv {}_{1}F_{1}(\alpha, \beta, x) = \frac{1}{\Gamma (\alpha)} \int_{0}^{\infty} e^{-xt} t^{\alpha - 1} \left(1 + t\right)^{\beta - \alpha - 1} \mathrm{d} t \!\, . </math>

Po letu 1820 se je začel dejavno zanimati za [[geodezija|geodezijo]]. Več poletij zapovrstjo je preživel ob geodetskem merjenju dela severne Nemčije. Praktična uporaba trigonometrije, [[triangulacija]] je zahtevala pokritje celotnega območja z mrežo trikotnikov, tako da so bila oglišča vsakega od teh trikotnikov medsebojno vidna. Neposredno je bilo treba izmeriti le stranico enega od trikotnikov, nato pa meriti kote danih trikotnikov in računati. Pri tem je Gauss med drugim leta 1821, 1823 odkril tudi [[metoda najmanjših kvadratov|metodo najmanjših kvadratov]], s katero izenačujemo podatke, ki smo jih nabrali z opazovanjem. Metoda pri ponovljenih merjenjih omogoča kar najbolj zmanjšati vpliv slučajnih napak. Bil je eden od odkriteljev in utemeljiteljev te metode, ki je v zvezi z verjetnostnim računom. Metodo najmanjših kvadratov sta proučevala že [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]] leta 1806 in [[Pierre-Simon Laplace|Laplace]]. Znana je [[Gaussova normalna krivulja]] ali krivulja normalnega zakona porazdelitve napak, ki podaja [[gostota verjetnosti|gostoto verjetnosti]] pri [[normalna porazdelitev|normalni porazdelitvi]] verjetnosti:

: <math> y = \varphi (x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}
     e^{-\frac{x^{2}}{2 \sigma^{2}}} \!\, . </math>

Gaussova porazdelitev verjetnosti ali normalna porazdelitev verjetnosti pri kateri je gostota verjetnosti zvezne slučajne spremenljivke ''x'' podana s funkcijo gostote:

: <math> f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^{2}}{2 \sigma^{2}}} \!\, . </math>

kjer je ''a'' [[matematično upanje]] in <math>\sigma</math> [[standardna deviacija]] slučajne spremenljivke. Gaussov integral napak:

: <math> \varphi (x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}
     e^{-\frac{t^{2}}{2 \sigma^{2}}} \mathrm{d} t \!\, </math>

je porazdelitvena funkcija pri normalni porazdelitvi napak. Gaussov verjetnostni integral pa je funkcija določena kot:

: <math> \Phi (x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{d} t \!\, , </math>

ki ga včasih pišemo tudi kot:

: <math> \operatorname{erf} x = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{d} t
     = \Phi (x \sqrt{2}) \!\, . </math>

Posplošen Gaussov verjetnostni integral je integral oblike:

: <math> \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} x}{e^{x^{2}}} = \sqrt{\pi} \!\, . </math>

Gauss je sploh rad računal. Ob tem je nastal marsikateri teoretični rezultat. Mnogo je pripomogel k [[teorija analitičnih funkcij|teoriji analitičnih funkcij]] in [[diferencialna geometrija|diferencialni geometriji]], kakor tudi na vseh področjih uporabnih matematičnih disciplin, zlasti v teoretični in praktični geodeziji, s tem, da je meril dolžino poldnevniškega loka med [[Altona, Hamburg|Altono]] in Göttingenom ter odkril [[heliotrop]] (napravo, ki močno oddaljene predmete s pomočjo odbite Sončeve svetlobe napravi vidne). Geodetska merjenja so zahtevala mnogo več časa, kot so predvidevali. Pokrajina je bila marsikje ravna, nenaseljena (brez zvonikov, stolpov in podobnih daleč vidnih točk) in porasla z gozdom. Prijatelji so ga svarili, da izgublja preveč dragoceni čas, ki bi ga lahko porabil za teoretično delo. Vendar je ob delu na terenu tudi razmišljal. Svoje teoretične in praktične prispevke h geodeziji je strnil v dve knjižici, ki sta imeli izreden vpliv na razvoj te vede. Obenem je na podlagi te izkušnje leta 1827 nastalo pomembno delo o ploskvah (o ukrivljenosti, o razdalji na ploskvi) ''Disquisitiones generales circa superficies curvas'', pristop, ki je popolnoma različen od [[Gaspard Monge|Mongeovega]]. Tu so spet praktična razmišljanja, to pot s področja višje geodezije, tesno povezana s prefinjeno teoretično analizo. V tem delu se pojavi notranja geometrija ploskev, pri kateri je ločni element ''ds'' krivulje na ploskvi izražen s kvadratno [[diferencialna forma|diferencialno formo]]:

: <math> \mathrm{d} s^{2} = E \, \mathrm{d} u^{2} + 2 F \, \mathrm{d} u \, \mathrm{d} v + G \, \mathrm{d} v^{2} \!\, , </math>

kjer sta <math>\mathrm{d} u</math> in <math>\mathrm{d} v</math> [[diferencial]]a [[krivočrtne koordinate|krivočrtnih koordninat]], koeficienti ''E'', ''F'' in ''G'' pa:

: <math> E = \left( \frac{\partial x}{\partial u} \right)^{2} +
         \left( \frac{\partial y}{\partial u} \right)^{2} +
         \left( \frac{\partial z}{\partial u} \right)^{2} \!\, , \;\; </math>
: <math> F = 
         \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial x}{\partial v} +
         \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} +
         \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial z}{\partial v} \!\, , \;\; </math>
: <math> G = \left( \frac{\partial x}{\partial v} \right)^{2} +
         \left( \frac{\partial y}{\partial v} \right)^{2} +
         \left( \frac{\partial z}{\partial v} \right)^{2} \!\, . </math>

Višek je dosegel v izreku, imenovanem ''[[izrek egregium|theorema egregium]]'', ki trdi, da je celotna ukrivljenost ploskve odvisna samo od koeficientov ''E'', ''F'', in ''G'' in njihovih odvodov in je zato invarianta pri upogibanju. [[Gaussova ukrivljenost]] ploskve je:

: <math> K = \frac{1}{R_{1} R_{2}} \!\, , </math>

kjer sta <math>R_{1}</math> in <math>R_{2}</math> glavna krivinska polmera krivulje na ploskvi in ju dobimo kot korena [[kvadratna enačba|kvadratne enačbe]]:

: <math> (D D'' - D'^{2}) R^{2} - (E D'' - 2 F D' + G D) R + (E G - F^{2}) = 0 \!\, , </math>

kjer so ''D'', <math>D'</math> in <math>D''</math> koeficienti druge kvadratne forme ploskve, določeni z:

: <math> D = \frac{d}{\sqrt{EG - F^{2}}} \; , D' = \frac{d'}{\sqrt{EG - F^{2}}} \!\, ,
     D'' = \frac{d''}{\sqrt{EG - F^{2}}} </math>

in ''d'', <math>d'</math> in <math>d''</math> pa z:

: <math> 
d =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^{2} x}{\partial u^{2}} & 
\frac{\partial^{2} y}{\partial u^{2}} &
\frac{\partial^{2} z}{\partial u^{2}} \\
\frac{\partial x}{\partial u} & 
\frac{\partial y}{\partial u} &
\frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial x}{\partial v} & 
\frac{\partial y}{\partial v} &
\frac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix} \; , \;\;

d'=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^{2} x}{\partial u \partial v} & 
\frac{\partial^{2} y}{\partial u \partial v} &
\frac{\partial^{2} z}{\partial u \partial v} \\
\frac{\partial x}{\partial u} & 
\frac{\partial y}{\partial u} &
\frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial x}{\partial v} & 
\frac{\partial y}{\partial v} &
\frac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix}\; , \;\;

d''=
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^{2} x}{\partial v^{2}} & 
\frac{\partial^{2} y}{\partial v^{2}} &
\frac{\partial^{2} z}{\partial v^{2}} \\
\frac{\partial x}{\partial u} & 
\frac{\partial y}{\partial u} &
\frac{\partial z}{\partial u} \\
\frac{\partial x}{\partial v} & 
\frac{\partial y}{\partial v} &
\frac{\partial z}{\partial v} \end{bmatrix} \; . </math>

Toda celo v tem času, ko je Gauss vso svojo dejavnost osredotočil na probleme iz geodezije, ni zanemaril svoje prve ljubezni, »kraljice matematike«, kajti v letih 1825 in 1831 je izšlo njegovo delo o [[bikvadratni ostanek|bikvadratnih ostankih]]. To je bilo nadaljevanje njegove teorije o [[kvadratni ostanek|kvadratnih ostankih]] iz njegovega dela ''Disquisitiones arithmeticae'', toda nadaljevanje z novo metodo, s teorijo [[kompleksno število|kompleksnih števil]]. V razpravi iz 1831 ni podal samo [[algebra|algebre]], ampak tudi [[aritmetika|aritmetiko]] kompleksnih števil. Pojavila se je nova teorija praštevil, pri kateri je 3 še vedno praštevilo, <math>5=(1+2i)(1-2i)</math> pa nič več. Nova teorija kompleksnih števil je razjasnila več nejasnosti v aritmetiki, tako da je [[kvadratni recipročnostni zakon]] postal preprostejši kot pri realnih številih. V tem članku je Gauss za vedno odstranil misterij, ki je obdajal kompleksna števila, tako da jih je ponazoril s točkami v ravnini. Imel je zamisli o [[kvaternion]]ih, ki jih je kasneje razvil [[William Rowan Hamilton|Hamilton]].

V numeričnem računanju je znana njegova [[Gaussova eliminacijska metoda]]. To je metoda za reševanje ''n'' [[linearna enačba|linearnih enačb]] z ''n'' neznankami. Pri tej metodi prevedemo z eliminacijo ene neznanke [[sistem enačb]] v nov sistem ''n''-1 enačb z ''n''-1 neznanko. S postopno uporabo te metode dobimo na koncu eno linearno enačbo z eno neznanko, ki jo rešimo neposredno. Jasno je, da dobimo po tej metodi rešitev samo pri pogoju, da ta obstaja. Gauss je razvil nov postopek za izračun decimalk [[pi|Ludolfovega števila π]], po katerem so risali mreže kvadratov s stranicami dolžine 1 in na njih od nekega središča v oglišču enega kvadrata kroge z različno dolgimi polmeri. Pri tem so šteli kvadrate, ki so vsaj z enim ogliščem padli v načrtane kroge. Pri tem je opazil da z naraščanjem polmera krogov razmerje površine teh vseh kvadratov v notranjosti krogov in kvadratom polmerov krogov teži k vrednosti π. Kot rezultat tega postopka izhaja razpredelnica:
{| class="wikitable"
! ''n'' || ''P'' || <math>P(r)^{2}</math>
|-
|  10 ||     317 || <math>   3,17   </math>
|-
|  20 ||    1257 || <math> 3,1425   </math>
|-
|  30 ||    2821 || <math> 3,1344   </math>
|-
| 100 ||   31417 || <math> 3,1417   </math>
|-
| 200 || 1256290 || <math> 3,140725 </math>
|-
| 300 || 2826963 || <math> 3,14107  </math>
|}
kjer je ''P''(''r'') površina kvadratov v danem [[krog]]u z enim ogliščem in ''r'' polmer kroga. V limiti, ko ''r'' pobegne čez vse meje, vrednost <math>P(r)^{2}</math> teži k π. S to metodo so se ognili Arhimedovi mnogokotniški metodi, konvergence pa s tem niso pospešili. Leta 1844 je [[Zacharias Dase|Dase]] dosegel 200 pravilnih decimalk π-ja in izboljšal [[Jurij Vega|Vegov]] rekord pod Gaussovim nadzorstvom z enačbo:

: <math> \pi = 4 \left(\operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \operatorname{arctg} \frac{1}{5} + \operatorname{arctg} \frac{1}{8}\right) \!\, . </math>

Znan je [[izrek Gaussa in Ostrogradskega]] (izrek o divergenci), s katerim prevedemo [[trojni integral]] v [[zaklopni ploskovni integral]] in obratno:

: <math> \int\!\!\int\!\!\int_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x}  + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d} V = \int\!\!\int_{S} P \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} z + Q \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x + R \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y \!\, , </math>

če je ''S'' sklenjena usmerjena ploskev (pozitivna stran je zunanja), ki omejuje prostornino ''V'', in ''P'', ''Q'', ''R'' funkcije treh spremenljivk, podane na enostavnem sovisnem območju, ki vključuje to ploskev. V vektorski analizi se izrek glasi:

: <math> \oint_{\Sigma} \mathbf{V} \mathrm{d} \mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{V} \mathrm{d} v \!\, </math>

ali:

: <math> \oint\!\!\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{V} \mathrm{d} \mathbf{S} =
     \int\!\!\int\!\!\int_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{V} \mathrm{d} v \!\, . </math>

Gauss nikakor ni bil prepričan, da je [[evklidska geometrija]] zmeraj in povsod edino primerna za opisovanje okolja, v katerem živimo. Po njegovem bi bilo to treba šele preveriti. Je eden od utemeljiteljev [[neevklidska geometrija|neevklidske geometrije]] hkrati z [[János Bolyai|Bolyaijem]] in [[Nikolaj Ivanovič Lobačevski|Lobačevskim]]. Ker Gauss svojih odkritij na tem področju ni objavil, je prišlo do nekaterih neprijetnih zapletov v zvezi s prvenstvom. Vendar pa je pripomogel k priznanju dela Lobačevskega.

Do konca svojega življenja je ostal v Göttingenu. Predaval, po lastnih izjavah, ni posebno rad. To v času, ko je bil za mnoge študij precej neresna zadeva, niti ni bilo čudno. Kot pravijo, je postal proti koncu življenja skoraj nedostopna veličina, morda tudi iz zagrenjenosti zaradi nesreč in nesporazumov v družini. Zanimivo je, da se je kasneje izkazalo, da je očitno odkril in uporabljal nekatere zelo važne izreke iz kompleksne analize, pa tega ni nikoli objavil. Morda zato, ker je zmeraj poskušal svoje rezultate dati v javnost v dokončni, povsem zlikani obliki, pa ni imel časa za to.

=== Raziskovanje v fiziki ===

Izkazal se je tudi v [[fizika|fiziki]] in [[matematična fizika|matematični fiziki]], zlasti v [[elektromagnetizem|elektromagnetizmu]] z odkritjem [[magnetometer|magnetometra]] in električnega [[telegraf]]a 1833 do 1834, ko ga je začela privlačevati fizika. V tem času je opravil veliko eksperimentalnega dela s področja zemeljskega magnetizma. Sodeloval je pri prvem širšem prikazu [[zemeljsko magnetno polje|zemeljskega magnetnega polja]]. Toda čas je našel tudi za izredno pomemben teoretičen dosežek, za teorijo [[sila|sil]], ki so obratno sorazmerne s kvadratom razdalje (''Allgemeine Lehrätze'', 1839, 1840). To je bil začetek potencialne teorije kot posebne veje matematike ([[George Green|Greenova]] razprava iz leta 1828 je bila v tem času praktično neznana). V tem delu je Gauss podal tudi strogi dokaz za mase s spremenljivo gostoto, ki vodi od [[Laplaceova enačba|Laplaceove enačbe]] <math>\nabla^2 \phi = 0</math> do [[Poissonova enačba|Poissonove enačbe]] <math>\nabla^2 \phi = - 4 \pi\rho</math>. Iz tega so sledila določena minimalna načela o prostorskih integralih, med katerimi prepoznamo [[Dirichletovo načelo]]. Za Gaussa je bil obstoj minimuma očiten. O tem so pozneje mnogo razpravljali, končno pa je to vprašanje rešil [[David Hilbert|Hilbert]].

[[Gaussova gravitacijska konstanta]] ''k'' je številčna vrednost [[gravitacijska konstanta|gravitacijske konstante]] ''κ'' v [[Osončje|Osončju]].

V fiziki je znan tudi njegov [[Gaussov sistem enot|Gaussov merski sestav]]. To je sestav enot, ki temelji na osnovnih enotah za [[dolžina|dolžino]], [[masa|maso]] in [[čas]]: centimeter, gram, [[sekunda]] ([[CGS sistem enot|sistem cgs]]).

[[Slika:Braunschweig Brunswick Gauss-Denkmal komplett (2006).JPG|thumb|right|200px|Spomenik Gaussu v [[Braunschweig]]u ]]

Vse življenje so ga spremljale osebne nesreče in čeprav je bil bogat je umrl zagrenjen. Vsekakor pa bi težko našli človeka, ki bi bolj kot Gauss zaslužil vzdevek velikan [[znanost]]i. Delal je vse do svoje smrti. V poznejših letih se je vse več in več ukvarjal z [[uporabna matematika|uporabno matematiko]]. Toda njegove publikacije ne dajo prave slike o vsej njegovi veličini. Iz njegovih [[dnevnik (književnost)|dnevnikov]] in nekaterih [[pismo|pisem]] vidimo, da je nekatere najgloblje misli zadržal zase. Zdaj vemo, da je Gauss že leta 1800 odkril [[eliptične funkcije]] in okoli leta 1816 obvladal [[neevklidska geometrija|neevklidsko geometrijo]]. O teh predmetih ni nikoli ničesar objavil, samo v nekaterih pismih prijateljem je izrazil svoje kritično stališče do poskusov, da bi dokazali [[Evklidov 5. postulat]] ([[aksiom o vzporednici]]). Kaže, da Gauss ni hotel javno razpravljati o spornih vprašanjih. V pismih je pisal o [[osa]]h, ki bi mu tedaj letele okoli ušes, in o »vpitju Beočanov«, ki bi se slišalo, če bi razkril svoje skrivnosti.

Sam Gauss je dvomil o veljavnosti sprejete [[Immanuel Kant|Kantove]] doktrine, po kateri je naša predstava o prostoru a priori evklidska. Zanj je bila realna geometrija prostora fizikalno dejstvo, ki ga je treba odkriti s poskusi. Na univerzi ga je za štiri leta do 1859 nasledil njegov učenec [[Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet|Dirichlet]].

Gauss je pokopan na pokopališču Albanifriedhof. Od leta 1989 do konca 2001 je bil njegov portret in njegova krivulja normalne porazdelitve prikazan na bankovcu za 10 [[nemška marka|nemških mark]].

G. Waldo Dunnington je bil dolgoletni Gaussov študent. O njem je napisal mnogo člankov in [[življenjepis]] ''Carl Friedrich Gauss: Velikan znanosti'' (''Carl Frederick Gauss: Titan of Science'').

== Priznanja ==

=== Nagrade ===

[[Francoska akademija znanosti]] mu je leta 1910 podelila [[Lalandova nagrada|Lalandovo nagrado]] za njegove dosežke na področju astronomije.

Leta 1838 je za svoje [[znanost|znanstvene]] dosežke prejel [[Copleyjeva medalja|Copleyjevo medaljo]] [[Kraljeva družba|Kraljeve družbe]] iz [[London]]a.

=== Poimenovanja ===

[[gavs|Gauss]] (gavs) so njemu na čast poimenovali [[merska enota|enoto]] za [[gostota magnetnega polja|gostoto magnetnega polja]] v absolutnem elektromagnetnem sestavu.

Po njem se imenujejo:

* [[udarni krater|udarni]] [[Lunini kraterji|krater]] [[Gauss (krater)|Gauss]] na [[Luna|Luni]]
* [[asteroid]] [[1001 Gaussia]]
* raziskovalni ladji ''[[Gaus (ladji)|Gauss]]
** iz leta 1909 za raziskovanje [[Antarktika|antarktičnih]] področij v [[Gaussova odprava|Gaussovi odpravi]]
** iz leta 1980 nemškega [[Zvezni urad za pomorstvo in hidrografijo|Zveznega urada za pomorstvo in hidrografijo]] (BSH) iz Hamburga

== Glej tudi ==

* [[Gauss-Kuzminova porazdelitev]]
* [[Gaussov gravitacijski zakon]]
* [[Gaussov problem o krogu]]
* [[Gaussov oklepaj]]
* [[Gaussov snop]]
* [[Gaussova konstanta]]
* [[Gaussova ploskev]]
* [[Gaussovo leto]]
* [[gaussovski jarek]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Zunanje povezave ==

<!-- {{Wikinavedek}} -->
{{Zbirka|Johann Carl Friedrich Gauß}}
{{Wikivir-avtor|Carl Friedrich Gauss}}
{{wikinavedek}}
* [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html Stran o Carlu Friedrichu Gaussu Univerze svetega Andreja] {{ikona en}}
* {{Projekt Matematična genealogija|id=18231}}
* [http://planetmath.org/gausscarlfriedrich Carl Friedrich Gauss] na [[PlanetMath]] {{ikona en}}
* [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235957348 Izbrana dela] {{ikona la}} {{ikona de}}
* [http://www.gausschildren.org Gauss and his children] {{ikona en}}
* [http://www.corrosion-doctors.org/Biographies/GaussBio.htm Gaussov življenjepis] {{ikona en}}
* [http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2005/06/carl-friedrich-gauss.html Carl Friedrich Gauss] – Življenjepis na blogu Fermatovega velikega izreka {{ikona en}}
* [http://www.idsia.ch/~juergen/gauss.html Gauss: mathematician of the millennium], by [[Jürgen Schmidhuber]] {{ikona en}}
* [http://books.google.com/books?id=yh0PAAAAIAAJ Angleški prevod Waltershausenovega življenjepisa, 1862] {{ikona en}}
* [http://www.gauss.info Gauss] splošna spletna stran o Gaussu {{ikona en}}
* [http://adsabs.harvard.edu//full/seri/MNRAS/0016//0000080.000.html MNRAS '''16''' (1856) 80] Osmrtnica {{ikona en}}
* [http://www-personal.umich.edu/~jbourj/money1.htm Carl Friedrich Gauss na bankovcu za 10 nemških mark] {{ikona en}}
* [http://www.bbc.co.uk/programmes/b00ss0lf "Carl Friedrich Gauss"] v seriji ''A Brief History of Mathematics'' na BBC 4 {{ikona en}}

{{-}}

{{Copleyjeva medalja}}

{{portal|Astronomija}}

{{normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:Gauss, Carl Friedrich}}
[[Kategorija:Nemški astronomi]]
[[Kategorija:Nemški fiziki]]
[[Kategorija:Nemški geodeti]]
[[Kategorija:Nemški matematiki]]
[[Kategorija:Čudežni otroci]]
[[Kategorija:Diplomiranci Univerze v Göttingenu]]
[[Kategorija:Nemški univerzitetni učitelji]]
[[Kategorija:Predavatelji na Univerzi v Göttingenu]]
[[Kategorija:Nemški akademiki]]
[[Kategorija:Nosilci Pour le Mérite (civilni razred)]]
[[Kategorija:Člani Kraljeve švedske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Člani Madžarske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Prejemniki Lalandove nagrade]]
[[Kategorija:Prejemniki Copleyjeve medalje]]
[[Kategorija:Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni]]
[[Kategorija:Carl Friedrich Gauss| ]]