Ogled vira Celi del

[[Slika:Floor function.svg|sličica|desno|250px|Graf funkcije celi del]]

'''Céli dél''' ali '''spódnji céli dél''' je v [[matematika|matematiki]] [[matematična funkcija|funkcija]], ki vsakemu [[realno število|realnemu številu]] ''x'' priredi največje [[celo število]] manjše ali enako ''x''. Na primer [2,9] = 2, [−2] = −2 in [−2,3] = −3. Pri označevanju funkcije se po navadi uporablja oglate [[oklepaj]]e [''x''], ali v obliki <math>\lfloor x \rfloor</math>. Funkcijo v tuji literaturi označujejo tudi kot floor(''x''). Funkcija se imenuje tudi '''[[Gaussov oklepaj]]'''. [[angleščina|Angleško]] [[ime]] »floor« in znak je skoval kanadski matematik in računalnikar [[Kenneth Eugene Iverson]]. Funkcija ''x''−[''x''], ki se jo zapiše tudi kot ''x''&nbsp;[[modularna aritmetika|mod]]&nbsp;1 ali kot (''x''), se imenuje '''[[decimalni del]]''' ali '''[[ulomljeni del]]''' ''x''. Vsak [[ulomek]] ''x'' ≥ 0 se lahko zapiše kot [[pravi ulomek]], kot [[vsota|vsoto]] celega števila in pravega ulomka. Celi del in decimalni del v tem smislu veljata za vse realne vrednosti.

[[graf funkcije|Graf]] celega dela je zgled [[stopničasta funkcija|stopničaste funkcije]].

== Značilnosti celega dela ==

Vedno velja:

: <math> \lfloor x\rfloor \le x < \lfloor x \rfloor + 1 \!\, , </math>

kjer enakost na levi velja le, če je ''x'' celo [[število]]. Za celo število ''k'' in realno število ''x'' velja:

: <math> \lfloor k+x \rfloor = k + \lfloor x\rfloor \!\, . </math>

Običajno zaokrožitev števila ''x'' k najbližjemu celemu številu se lahko zapiše kot [''x'' + 0,5].

[[Funkcija]] celi del ni [[zveznost|zvezna]], vendar je zgoraj polzvezna.

Če je ''x'' realno in ''n'' celo število, je ''n'' ≤ ''x'', [[če in samo če]] je ''n'' ≤ [''x'']. Ali drugače rečeno, funkcija celi del je del [[Galoisova povezava|Galoisove povezave]]. Je zgornja povezava za funkcijo, ki vloži cela števila v realna.

Z uporabo celega dela se lahko skonstruira več nedvoumnih, sicer nepraktičnih, enačb za [[praštevilo|praštevila]].

== Zgornji celi del ==

Sorodna matematična funkcija je '''[[zgornji celi del]]''', ki vsakemu realnemu številu ''x'' priredi najmanjše celo število večje ali enako ''x''. Funkcijo v tuji literaturi označujejo kot ceiling(''x''). Na primer zgornji celi del(2,3) = 3, zgornji celi del(2) = 2 in zgornji celi del(−2,3) = −2. Zgornji celi del se označi tudi kot <math>\lceil x \rceil</math>. Veljata naslednji preprosti zvezi:

: <math>\lceil x \rceil = - \lfloor - x \rfloor \!\, </math>

in:

: <math>x \leq \lceil x \rceil < x + 1 \!\, .</math>

Za celo število ''k'' velja enakost:

: <math> \lfloor k / 2 \rfloor + \lceil k / 2 \rceil = k \!\, .</math>

Če sta ''m'' in ''n'' [[tuje število|tuji]] [[pozitivno število|pozitivni]] celi števili, velja:

: <math> \sum_{i=1}^{n-1} \lfloor im / n \rfloor = (m - 1) (n - 1) / 2 \!\, . </math>

[[Beattyjev izrek]] iz leta 1926 pove, kako se lahko vsako pozitivno [[iracionalno število]] razdeli z [[naravno število|naravnimi števili]] v dve [[zaporedje|zaporedji]] s pomočjo celega dela.

== Operator <code>(int)</code> v C ==

[[programski jezik C|C]] in sorodni [[programski jezik]]i lahko s [[pretvorba podatkovnega tipa|pretvorbo tipov]] spreminjajo vrednost s tekočo vejico v celoštevilsko s predpono <code>(int)</code>. Ta operacija je mešanica celega in spodnjega celega dela: za pozitivni ''x'' ali 0 vrne celi del [''x''], in za negativni ''x'' vrne spodnji celi del(''x'').

Kakor celi in spodnji celi del tudi ta operacija ni zvezna. Zaradi tega lahko poveča napake pri zaokroževanju s tragičnimi posledicami. Na primer <code>(int)(0.6/0.2)</code> vrne 2 v večini izvedb C-ja, četudi je 0,6/0,2 = 3. Razlog je v tem, ker računalnik deluje znotraj v [[dvojiški številski sistem|dvojiškem sistemu]], in je nemogoče predstaviti števili 0,6 in 0,2 s končnim dvojiškim znakovnim nizom. Zaradi tega se pojavljajo napake pri zaokroževanju in končna vrednost se izračuna kot 2,999999999999999555910790149937, in kar bo operator <code>(int)</code> veselo pretvoril v 2. [[POSIX|Posixova]] funkcija <code>floor(x)</code> ima sorodne probleme. Zaradi teh težav večina sodobnih [[računalo|računal]] notranje uporablja desetiški sistem.

== Glej tudi ==

* [[Iversonov oklepaj]]
* [[neceli del]]

{{math-stub}}

[[Kategorija:Elementarne funkcije]]