Ogled vira Celoštevilski trikotnik

[[slika:Triangle-heronian.svg|thumb|right|[[Heronski trikotnik]] z [[dolžina]]mi [[stranica|stranic]] <math> c \!\, </math>, <math> e \!\, </math> in <math> b + d \!\, </math>, ter dolžino [[višina trikotnika|višine]] <math> a \!\, </math>, ki so vse [[celo število|cela števila]].]]

'''Céloštevílski trikótnik''' je [[trikotnik]] s [[celo število|celoštevilskimi]] [[dolžina]]mi [[stranica|stranic]]. '''Racionálni trikótnik''' se lahko definira kot trikotnik z [[racionalno število|racionalnimi]] dolžinami stranic. Vsak tak trikotnik se lahko reskalira na cele vrednosti dolžin stranic – vse njegove stranice se lahko pomnožijo z istim celim številom – s skupnim [[najmanjši skupni imenovalec|mnogokratnikom njihovih imenovalcev]]), da se dobi celoštevilski trikotnik. Zaradi tega v tem smislu ni pomembnejše razlike med celoštevilskimi in racionalnimi trikotniki.

Obstajajo tudi druge definicije izraza »racionalni trikotnik« – leta 1914 je [[Robert Daniel Carmichael|Carmichael]]<ref name="carm_1914" /> uporabil izraz v smislu, ki se sedaj rabi za [[heronski trikotnik]]. [[Michael Somos|Somos]]<ref name="somo_2019" /> ga rabi za trikotnike, katerih dolžine stranic so racionalne. [[John Horton Conway|Conway]] in [[Richard Kenneth Guy|Guy]]<ref name="conw_1996" /> sta definirala racionalni trikotnik kot trikotnik z racionalnimi dolžinami stranic in racionalnimi koti, merjenimi v stopinjah. V tem primeru je edini racionalni trikotnik [[enakostranični trikotnik]] z racionalnimi dolžinami stranic.

Obstaja mnogo splošnih značilnosti za celoštevilski trikotnik. Obstajajo razredi celoštevilskih trikotnikov s posebnimi značilnostmi.

== Splošne značilnosti ==

=== Z danim obsegom ===

Vsaka trojica pozitivnih celih števil lahko vedno služi kot dolžine stranic celoštevilskega trikotnika, dokler zanjo velika [[trikotniška neenakost]]: najkrajša dolžina stranice je krajša od vsote drugih dveh dolžin stranic:

: <math> a \le b + c \!\, . </math>

Vsaka takšna trojica določa celoštevilski trikotnik, ki je do kongruence edini. Tako je število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z [[obseg]]om <math> o \!\, </math> enako številu [[particija (teorija števil)|particij]] števila <math> o \!\, </math> v tri pozitivne dele, za katere velja trikotniška neenakost. To je celo število najbližje <math> o^{2} / 48 \!\, </math>, kadar je <math> o \!\, </math> [[sodo število|sod]], in <math> (o + 3)^{2} / 78 \!\, </math>, kadar je [[liho število|lih]].<ref name="jenk_2000" /><ref name="hons_1985" /> To pomeni tudi, da je število celoštevilskih trikotnikov s sodimi obsegi <math> o = 2n \!\, </math> enako številu celoštevilskih trikotnikov z lihimi obsegi <math> o = 2n - 3 \!\, </math>. Zato ne obstajajo celoštevilski trikotniki z obsegi 1, 2 ali 4, obstaja en z obsegi 3, 5, 6 ali 8, dva z obsegomoma 7 ali 10, trije z obsegomoma 9 ali 12, štirje z obsegoma 11 ali 14, pet z obsegoma 13 ali 16, sedem z obsegoma 15 ali 18, osem z obsegoma 17 ali 20, deset z obsegoma 19 ali 22, itd. Prvi členi zaporedja števila celoštevilskih trikotnikov z obsegom <math> o \!\, </math> pri <math> o = 1 \!\, </math> so:

: 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, ... {{OEIS|id=A005044}}

To zaporedje se imenuje [[Alkuinovo zaporedje]] in je enako členom koeficientov razvoja [[potenčna vrsta|potenčne vrste]]: 

: <math> \frac{x^{3}}{(1-x^{2})(1-x^{3})(1-x^{4})} = x^{3} + x^{5} + x^{6} + 2x^{7} + x^{8} + 3x^{9} + \cdots \!\, . </math>

Štirje celoštevilski trikotniki z obsegom 11 imajo na primer dolžine stranic {1, 5, 5}, {2, 4, 5}, {3, 3, 5} ali {3, 4, 4}.

=== Z dano največjo dolžino stranice ===

Število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math> in celoštevilsko trojico <math> (a, b , c) \!\, </math> je takšno število celoštevilskih trojic, da velja <math> a + b  > c \!\, </math> in <math> a \le b \le c \!\, </math>. To je celo število oblike:

: <math> \left\lceil \frac{c + 1}{2} \right\rceil \left\lfloor \frac{c + 1}{2} \right\rfloor \!\, . </math><ref name="jenk_2000" />

Alternativno ima za sodi <math> c \!\, </math> obliko dvojnega [[trikotniško število|trikotniškega števila]] <math> (c / 2) (c/2 + 1) \!\, </math> in za lihi <math> c \!\, </math> obliko [[kvadratno število|kvadrata]] <math> (c + 1)^{2} / 4 \!\, </math>. To pomeni tudi, da število celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math> presega število celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice <math> c - 2 \!\, </math> za <math> c \!\, </math>. Prvi členi zaporedja števila nekongruentnih celoštevilskih trikotnikov z največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math> za <math> c = 1 \!\, </math> so:

: 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, ... {{OEIS|id=A002620}}:

Število celoštevilskih trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math> in celoštevilsko trojico <math> (a, b, c) \!\, </math>, ki ležijo na ali znotraj [[polkrožnica|polkrožnice]] s premerom <math> c \!\, </math>, je enako številu celoštevilskih trojic, da velja <math> a + b > c \!\, </math>, <math> a^{2} + b^{2} \le c^{2} \!\, </math> in <math> a \le b \le c \!\, </math>. To je tudi število celoštevilskih [[topi kot|topokotnih]] ali pravokotnih (neostrokotnih) trikotnikov z največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math>. Prvi členi tega zaporedja za <math> c = 1 \!\, </math> so:

: 0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48, ... {{OEIS|id=A236384}}

Posledično da razlika med zgornjima zaporedjema število celoštevilskih [[ostri kot|ostrokotnih]] trikotnikov (do kongruence) z dano največjo dolžino stranice <math> c \!\, </math>. Prvi členi tega zaporedja za <math> c = 1 \!\, </math> so:

: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52, ... {{OEIS|id=A247588}}

=== Ploščina  ===

Po [[Heronova formula|Heronovi formuli]], če je <math> p \!\, </math> [[ploščina]] trikotnika z dolžinami stranic <math> a \!\, </math>, <math> b \!\, </math> in <math> c \!\, </math>, je:

: <math> 4p = \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)} \!\, . </math>

Ker so vsi členi pod [[kvadratni koren|radikalom]] na desni strani formule cela števila, sledi, da morajo vsi celoštevilski trikotniki imeti celoštevilske vrednosti <math> 16 p^{2} \!\, </math>, <math> p^{2} \!\, </math> pa bo racionalen.

=== Koti ===

Po [[kosinusni izrek|kosinusnem izreku]] ima vsak [[kot]] v celoštevilskem trikotniku racionalni [[kosinus]].

Če koti poljubnega trikotnika tvorijo [[aritmetično zaporedje]], potem mora biti eden od njih enak 60°.<ref name="zela_2008" /> V celoštevilskem trikotniku morajo preostali koti imeti racionalne kosinuse, metoda za tvorjenje takšnih trikotnikov je podana spodaj. Vendar razen trivialnega primera [[enakostranični trikotnik|enakostraničnega trikotnika]] ne obstajajo celoštevilski trikotniki, katerih koti tvorijo [[geometrijsko zaporedje|geometrijsko]] ali [[harmonično zaporedje]]. To je zaradi tega, ker morajo takšni koti biti racionalni oblike <math> \pi p / q \!\, </math> z racionalnim razmerjem <math> 0 < p / q < 1 \!\, </math> Vsi koti celoštevilskega trikotnika pa morajo imeti racionalne kosinuse, to pa se zgodi le kadar je razmerje enako <math> p / q = 1 / 3 \!\, </math>, to je kadar je trikotnik enakostranični.<ref name="jahn_2010" />

Kvadrat vsake notranje [[simetrala kota|simetrale kota]] celoštevilskega trikotnika je racionalen, ker je splošna trikotniška formula za notranjo simetralo kota <math> A \!\, </math> enaka <math> \tfrac{2\sqrt{bcs(s-a)}}{b+c} \!\, </math>, kjer je <math> s \!\, </math> [[polobseg]] (in podobno za drugi dve simetrali kotov).

=== Stranica, razdeljena z višino ===

Vsaka [[višina trikotnika|višina]] iz [[oglišče|oglišča]] na nasprotno stranico ali njena podaljšana nosilka bo razdelila to stranico ali njeno nosilko v racionalni [[daljica|daljici]].

=== Težiščnice ===

Kvadrat dvakratnika vsake [[težiščnica|težiščnice]] celoštevilskega trikotnika je celo število, ker je splošna formula za kvadrirano težiščnico <math> m_{a}^{2} \!\, </math> na stranico <math> a \!\, </math> enaka <math> \tfrac{(2b^{2}+2c^{2}-a^{2})}{4} \!\, </math>, kar da <math> ( 2m_{a} )^{2} = 2b^{2} + 2c^{2} - a^{2} \!\, </math> (in podobno za težiščnici drugih dveh stranic).

=== Polmer očrtane in včrtane krožnice ===

Ker je kvadrat ploščine celoštevilskega trikotnika racionalen, sta racionalna tudi kvadrata njegovega polmera [[očrtana krožnice|očrtane]] in polmera [[včrtana krožnica|včrtane krožnice]].

Razmerje med polmerom včrtane in polmerom očrtane krožnice celoštevilskega trikotnika je racionalno in je enako:

: <math> \frac{r}{R} = \frac{4p^{2}}{sabc} \!\, </math>

za polobseg <math> s \!\, </math> in ploščino <math> p \!\, </math>.

Produkt polmera včrtane in polmera očrtane krožnice celoštevilskega trikotnika je racionalen in je enak:

: <math> rR = \frac{abc}{2(a+b+c)} \!\, . </math>

Zato je kvadrat [[razdalja|razdalje]] med [[središče včrtane krožnice|središčem včrtane]] in [[središče očrtane krožnice|središčem očrtane krožnice]] celoštevilskega trikotnika, ki je po [[Eulerjev izrek (geometrija)|Eulerjevemu izreku]] enak <math> d^{2} = R^{2} - 2rR \!\, </math>, racionalen.

== Heronski trikotniki ==
{{glavni|heronski trikotnik}}

Vse heronske trikotnike se lahko postavi na mrežo z vsakim ogliščem na mrežno točko.<ref name="yiu__2001" />

=== Splošna formula ===

Heronski trikotnik je trikotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic in celoštevilsko ploščino. Vsak heronski trikotnik ima dolžine stranic sorazmerne z:<ref name="carm_1952" />

: <math> a=n(m^{2}+k^{2}) \!\, , </math>
: <math> b=m(n^{2}+k^{2}) \!\, , </math>
: <math> c=(m+n)(mn-k^{2}) \!\, , </math>
: <math> s = mn(m+n) \!\, , </math>
: <math> p = mnk(m+n)(mn-k^{2}) \!\, , </math>

za cela števila <math> m \!\, </math>, <math> n \!\, </math> in <math> k \!\, </math>, za katera veljajo zveze:

: <math> D(m,n,k) = 1 \!\, </math> – [[največji skupni delitelj]] števil <math> m \!\, </math>, <math> n \!\, </math> in <math> k \!\, , </math>
: <math> mn > k^{2} \ge m^{2}n / (2m+n) \!\, , </math>
: <math> m \ge n \ge 1 \!\, . </math>

Sorazmernostni faktor je v splošnem racionalen <math> p / q \!\, </math>, kjer <math> q = D(a,b,c) \!\, </math> pretvori tvorjeni heronski trikotnik v njegovo primitivno obliko, <math> p \!\, </math> pa skalira to primitivno obliko na zahtevano velikost.

=== Pitagorejski trikotniki ===
{{glavni|pitagorejska trojica}}

Pitagorejski trikotnik je pravokoten in heronski. Njegove tri celoštevilske dolžine stranic so znane kot [[pitagorejska trojica]].<ref name="sier_2003" /> Vse pitagorejske trojice <math> (a, b, c) \!\, </math> z dolžino hipotenuze <math> c \!\, </math>, ki so primitivne (dolžine stranic [[tuje število|nimajo skupnega faktorja]]) se lahko tvorijo z naslednjimi zvezami:

: <math> a = m^{2} - n^{2} \!\, , </math>
: <math> b = 2mn \!\, , </math>
: <math> c = m^{2} + n^{2} \!\, , </math>
: <math> s = m(m+n) \!\, , </math>
: <math> p = mn(m^{2} - n^{2}) \!\, , </math>

kjer sta <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> tuji celi števili, en člen pa je sod pri <math> m > n \!\, </math>.

Vsako sodo število večje od 2 je lahko kateta pitagorjeskega trikotnika (ne nujno primitivnega), ker, če je dolžina ene katete podana kot <math> a=2m \!\, </math> in se za dolžino druge katete izbere <math> b=(a/2)^{2}-1=m^{2}-1 \!\, </math>, je dolžina hipotenuze enaka <math> c=m^{2}+1 \!\, </math>.<ref name="pyth_tr_area">{{OEIS2C|A009111}}: List of ordered areas of Pythagorean triangles, pridobljeno dne 3. marca 2017.</ref> To je ravno zgornja rodovna formula, kjer je <math> n = 1 \!\,</math>, območje za <math> m \!\, </math> pa je lahko od 2 do neskončnosti.

==== Pitagorejski trikotniki s celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo ====

Ne obstajajo primitivni pitagorejski trikotniki s celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo. To je zaradi tega, ker je dvakratnik ploščine enak produktu dolžine katerekoli katete in dolžine odgovarjajoče višine – dvakratnik ploščine je tako enak <math> ab \!\, </math> ali <math> cd \!\, </math>, kjer je <math> d \!\, </math> višina na hipotenuzo <math> c \!\, </math>. Tri dolžine stranic primitivnega trikotnika so si med seboj tuje, tako da je <math> d =ab / c \!\, </math> v popolnoma reducirani obliki – ker za poljubni primitivni pitagorejski trikotnik ne more biti <math> c = 1 \!\, </math>, <math> d \!\, </math> ne more biti celo število.

Z vsakim pitagorejskim trikotnikom s katetama <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in hipotenuzo <math> z \!\, </math> pa se lahko tvori pitagorejski trikotnik s celoštevilsko dolžino višine s skaliranjem stranic z dolžino hipotenuze <math> z \!\, </math>. Če je <math> d \!\, </math> višina, je dobljeni pitagorejski trikotnik s celoštevilsko dolžino višine dan z:<ref name="rich_2008" />

: <math> (a,b,c,d)=(xz, yz, z^{2}, xy) \!\, . </math>

Posledično so vsi pitagorejski trikotniki s katetama <math> a \!\, </math> , <math> b \!\, </math>, hipotenuzo <math> c \!\, </math> in celoštevilsko dolžino višine na hipotenuzo <math> d \!\, </math> z <math> D(a, b, c, d) = 1 \!\, </math>, kjer nujno velja <math> a^{2} + b^{2} = c^{2} \!\, </math> in <math> 1 / a^{2} + 1 / b^{2} = 1 / c^{2} \!\, </math>, tvorjeni z naslednjimi zvezami:<ref name="vole_1999" /><ref name="rich_2008" />

: <math> a=(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2}) \!\, , </math>
: <math> b=2mn(m^{2}+n^{2})  \!\, , </math>
: <math> c=(m^{2}+n^{2})^{2} \!\, , </math>
: <math> d=2mn(m^{2}-n^{2}) \!\, , </math>
: <math> s=m(m+n)(m^{2}+n^{2}) \!\, , </math>
: <math> p=mn(m^{2}-n^{2})(m^{2}+n^{2})^{2} \!\, , </math>

za tuji celi števili <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> m > n \!\, </math>.

=== Heronski trikotniki z dolžinami stranic iz aritmetičnega zaporedja ===

V trikotniku s celoštevilskimi dolžinami stranic in celoštevilsko ploščino so dolžine stranic v aritmetičnem zaporedju, če in samo če so dolžine stranic enake <math> (b - d, b, b + d) \!\, </math>, kjer je:<ref name="buch_1999" />

: <math> b=2(m^{2}+3n^{2})/g \!\, , </math>
: <math> d=(m^{2}-3n^{2})/g \!\, , </math>

<math> g \!\, </math> pa je največji skupni delitelj <math> m^{2}-3n^{2} \!\, </math>, <math> 2mn \!\, </math> in <math> m^{2}+3n^{2} \!\, </math>.

=== Heronski trikotniki s kotom, enakim dvakratniku drugega ===

Za vse heronske trikotnike z <math> \beta = 2\alpha \!\, </math> veljajo naslednje zveze:<ref name="mitc_2007" />

: <math> a=\tfrac{k^{2}(s^{2}+r^{2})^{2}}{4} \!\, , </math>
: <math> b=\tfrac{k^{2}(s^{4}-r^{4})}{2} \!\, , </math>
: <math> c=\tfrac{k^{2}(3s^{4}-10s^{2} r^{2}+3r^{4})}{4} \!\, , </math>
: <math> p=\tfrac{k^{2} csr(s^{2}-r^{2})}{2} \!\, , </math>

s takšnimi celimi števili <math> k \!\, </math>, <math> s \!\, </math> in <math> r \!\, </math>, da velja <math> s^{2} > 3r^{2} \!\, </math>, ali naslednje:

: <math> a=\tfrac{q^{2}(u^{2}+v^{2})^{2}}{4} \!\, , </math>
: <math> b=q^{2}uv(u^{2}+v^{2}) \!\, , </math>
: <math> c=\tfrac{q^{2}(14u^{2}v^{2}-u^{4}-v^{4})}{4} \!\, , </math>
: <math> p=\tfrac{q^{2}cuv(v^{2}-u^{2})}{2} \!\, , </math>

s celimi števili <math> q \!\, </math>, <math> u \!\, </math> in <math> v \!\, </math> pri <math> v > u \!\, </math> in <math> v^{2} < (7 + 4 \sqrt{3}) u^{2} \!\, </math>.

Noben od heronskih trikotnikov z <math> \beta = 2\alpha \!\, </math> ni enakokraki ali pravokotni trikotnik, ker vse nastale kombinacije kotov dajo kote z neracionalnimi sinusi, kar da neracionalno ploščino ali dolžino stranice.

=== Enakokraki heronski trikotniki ===

Vsi [[enakokraki trikotnik|enakokraki]] heronski trikotniki so razstavljivi. Tvorijo se z združevanjem dveh skladnih pitagorejskih trikotnikov vzdolž njune skupne katete, tako da so enake stranice enakokrakega trikotnika hipotenuze pitagorejskega trikotnika, kateta enakostraničnega trikotnika pa je dvakratnik druge katete pitagorejskega trikotnika. Zato je vsak pitagorejski trikotnik gradnik dveh enakokrakih heronskih trikotnikov, saj se ju lahko združi po katerikoli kateti. Vsi pari enakokrakih heronskih trikotnikov so dani z racionalnimi mnogokratniki naslednjih zvez:<ref name="sast_2005" />

: <math> a=2(u^{2}-v^{2}) \!\, , </math>
: <math> b=u^{2}+v^{2} \!\, , </math>
: <math> c=u^{2}+v^{2} \!\, , </math>

in:

: <math> a=4uv \!\, , </math>
: <math> b=u^{2}+v^{2} \!\, , </math>
: <math> c=u^{2}+v^{2} \!\, , </math>

za tuji celi števili <math> u \!\, </math> in <math> v \!\, </math> pri <math> u > v \!\, </math> in lihem <math> u + v \!\, </math>.

=== Heronski trikotniki z obsegom, enakim štirikratniku praštevila ===

Pokazalo se je, da je heronski trikotnik, katerega obseg je štirikratnik [[praštevilo|praštevila]], izključno povezan s praštevilom in, da ima praštevilo obliko <math>1\text{ ali }3\text{ mod }8</math>.<ref name="yiu__1998" /><ref name="yiu__1999" />

Dobro je znano, da se lahko takšno praštevilo <math> r \!\, </math> razdeli izključno na takšni celi števili <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math>, da velja <math> r=m^{2}+2n^{2} \!\, </math> (glej [[primerno število|Eulerjeva primerna števila]]). Pokazalo se je tudi, da so takšni heronski trikotniki primitivni, ker mora najmanjša dolžina stranice trikotnika biti enaka praštevilo, ki je ena četrtina njegovega obsega.

Zaradi tega za vse primitivne heronske trikotnike, katerih obseg je štirikratnik praštevila, veljajo naslednje zveze:

: <math> a=m^{2}+2n^{2} \!\, , </math>
: <math> b=m^{2}+4n^{2} \!\, , </math>
: <math> c=2(m^{2}+n^{2}) \!\, , </math>
: <math> s=2a=2(m^{2}+2n^{2}) \!\, , </math>
: <math> p=2mn(m^{2}+2n^{2}) \!\, , </math>

za celi števili <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri praštevilskem <math> m^{2}+2n^{2} \!\, </math>.

Faktorizacija ploščine je naprej enaka <math> 2mnr </math>, kjer je <math> r=m^{2}+2n^{2} </math> praštevilo. Ploščina heronskega trikotnika pa je vedno deljiva s <math> 6 \!\, </math>. To da rezultat, da poleg tega, kadar je <math> m=1 \!\, </math> in <math> n=1 \!\, </math>, kar da <math> r=3 \!\, </math>,  morajo vse druge delitve <math> m  \!\, </math> in <math> n \!\, </math> imeti lihi <math> m \!\, </math>, od katerih je le en deljiv s <math> 3 \!\, </math>.

=== Heronski trikotniki s celoštevilskimi polmeri včrtanih in očrtanih krožnic ===

Obstaja neskončno mnogo razstavljivih in neskončno mnogo nerazstavljivih primitivnih heronskih (nepitagorejskih) trikotnikov s celim polmerom [[včrtana krožnica|vrčtane]] in vsake [[očrtana krožnica|očrtane krožnice]].<ref name="zhou_2018" />{{rp|§ 3 in 4}} Družina razstavljivh je dana z:

: <math> a= 4n^{2}, \quad \quad b=(2n+1)(2n^2 -2n+1),\quad \quad c=(2n-1)(2n^{2} +2n+1) \!\, , </math>
:: <math> r=2n-1, \quad \quad r_{a}=2n+1, \quad \quad r_{b}=2n^{2}, \quad \quad r_{c}=p=2n^{2}(2n-1)(2n+1) \!\, , </math>

družina nerazstavljivih pa je dana z:

: <math> a=5(5n^{2} +n-1), \quad \quad b= (5n+3)(5n^2-4n+1), \quad \quad c= (5n-2)(5n^2 +6n+2) \!\, , </math>
:: <math> r=5n-2, \quad \quad r_{a}=5n+3,\quad \quad r_{b}=5n^{2}+n-1, \quad\quad r_{c}=p=(5n-2)(5n+3)(5n^{2} +n-1) \!\, . </math>

=== Heronski trikotniki kot stranske ploskve tetraedra ===

Obstajajo [[tetraeder|tetraedri]] s celoštevilsko [[prostornina|prostornino]] in heronskimi trikotniki za [[stranska ploskev|stranske ploskve]]. En zgled ima na primer dolžino enega robu enako 896, dolžino nasprotnega robu enako 190 in dolžine preostalih štirih robov enake 1073 – dve ploskvi imata ploščini enaki 436800, druga 47120, prostornina pa je enaka 62092800.<ref name="sier_2003" />{{rp|str. 107}}

=== Heronski trikotniki na dvorazsežni mreži ===

[[dvorazsežni prostor|Dvorazsežna]] [[rešetka (graf)|mreža]] je pravilna razporeditev med seboj ločenih točk, kjer, če se izbere ena točka za [[kartezični koordinatni sistem|kartezično koordinatno izhodišče]] (0, 0), imajo potem vse točke koordinati <math> (x, y) \!\, </math>. pri čemer sta <math> x \!\, </math> in <math> y \!\, </math> elementa množic vseh pozitivnih in negativnih celih števil. Trikotnik na mreži je vsak trikotnik postavljen na dvorazsežno mrežo na tak način, da vsa oglišča ležijo na mrežnih točkah. Po [[Pickov izrek|Pickovem izreku]] ima trikotnik na mreži racionalno ploščino, ki je ali celo število ali pa ima imenovalec enak 2. Če ima trikotnik na mreži dolžine stranic cele, je heronski s celoštevilsko ploščino.<ref name="buch_2001" />

Dokazalo se je naprej, da se lahko vsi heronski trikotniki postavijo na mrežo.<ref name="yiu__2001" /><ref name="mars_2012" /> Zaradi tega je celoštevilski trikotnik heronski, če in samo če se ga lahko postavi na mrežo.

Obstaja neskončno mnogo primitivnih heronskih (nepitagorejskih) trikotnikov, ki se jih lahko postavi na celoštevilsko mrežo z vsemi oglišči, [[središče včrtane krožnice|središči včrtane]] in [[središče očrtane krožnice|središči očrtanih krožnic]] na mrežnih točkah. Dve družini takšnih trikotnikov sta tisti s parametrizacijami, danimi zgoraj v razdelku [[#Heronski trikotniki s celoštevilskimi polmeri včrtanih in očrtanih krožnic]].<ref name= "zhou_2018" />{{rp|§ 5}}

== Celoštevilski samotežiščnični trikotniki ==
{{glavni|samotežiščnični trikotnik}}

Samotežiščnični trikotnik je trikotnik katerega težiščnice so v enakem razmeru (v nasprotnem vrstnem redu) z dolžinami stranic. Če so <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in <math> z \!\, </math> dolžine treh stranic pravokotnega trikotnika, razvrščene v naraščajočem vrstnem redu, in, če je <math> 2x < z \!\, </math>, potem so <math> z \!\, </math>, <math> x + y \!\, </math> in <math> y - x \!\, </math> dolžine treh stranic samotežiščničnega trikotnika. Pravokotni trikotnik z dolžinami stranic 5, 12, in 13 lahko na primer služi za tvorjenje najmanjšega netrivialnega (to je [[enakostranični trikotnik|neenakostraničnega]]) celoštevilskega samotežiščničnega trikotnika z dolžinami stranic 13, 17 in 7.<ref name="parr_1991" />

Posledično je z Evklidovo formulo, ki tvori primitivne pitagorejske trikotnike, možno tvoriti primitivne celoštevilske samotežiščnične trikotnike z zvezami:

: <math> a=|m^{2}-2mn-n^{2}| \!\, , </math>
: <math> b=m^{2}+2mn-n^{2} \!\, , </math>
: <math> c=m^{2}+n^{2} \!\, , </math>

s celoštevilskima tujima <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math>, lihim <math> m+n \!\, </math> pri <math> n < m < n\sqrt{3} \!\, </math>, (če je količina znotraj znaka absolutne vrednosti negativna), ali <math> m > (2+\sqrt{3})n \!\, </math>, (če je ta količina pozitivna), kjer velja [[trikotniška neenakost]].

Pomembna značilnost samotežiščničnega trikotnika je, da kvadrati dolžin njegovih stranic tvorijo aritmetično zaporedje. Posebej je <math> c^{2}-a^{2}=b^{2}-c^{2} \!\, </math>, tako da je <math> 2c^{2}=a^{2}+b^{2} \!\, </math>.

== Celoštevilski trikotniki s posebnimi značilnostmi kotov ==

=== Celoštevilski trikotniki z racionalno simetralo kota ===

Družina trikotnikov s celoštevilskimi dolžinami stranic <math> a,b,c \!\, </math> in racionalno [[simetrala kota|simetralo kota]] <math> d \!\, </math> kota <math> \alpha \!\, </math> je dana z zvezami:<ref name="zela_2007" />

: <math> a=2(k^{2}-m^{2}) \!\, , </math>
: <math> b=(k-m)^{2} \!\, , </math>
: <math> c=(k+m)^{2} \!\, , </math>
: <math> d=\tfrac{2km(k^{2}-m^{2})}{k^{2}+m^{2}} \!\, , </math>

s celima številoma <math> k>m>0 \!\, </math>.

=== Celoštevilski trikotniki s celoštevilskimi ''n''-sektorji vseh kotov ===

Obstaja neskončno mnogo [[podobnost (geometrija)|nepodobnih]] trikotnikov, v katerih so dolžine vseh treh stranic in simetrale vseh treh kotov cela števila.<ref name="debr_2005" />

Obstaja neskončno mnogo nepodobnih trikotnikov, v katerih so dolžine vseh treh stranic in dva trisektorja vseh treh kotov cela števila.<ref name="debr_2005" />

Za <math> n > 3 \!\, </math> ne obstajajo trikotniki, v katerih bi bile dolžine vseh treh stranic in (''n''–1) ''n''-sektorjev vseh treh kotov cela števila.<ref name= "debr_2005" />

=== Celoštevilski trikotniki z enim kotom z danim racionalnim kosinusom ===

Nekateri celoštevilski trikotniki z enim kotom v oglišču <math> A \!\, </math> z danim racionalnim kosinusom <math> h / k \!\, </math> pri <math> h < 0 \!\, </math> ali <math> h > 0 \!\, </math> in <math> k > 0 \!\, </math> so dani z naslednjimi zvezami:<ref name="sast_1984" />

: <math> a=p^{2}-2pqh+q^{2}k^{2} \!\, , </math>
: <math> b=p^{2}-q^{2}k^{2} \!\, , </math>
: <math> c=2qk(p-qh) \!\, , </math>

kjer sta <math> p \!\, </math> in <math> q \!\, </math> tuji celi števili pri <math> p > qk \!\, </math>.

==== Celoštevilski trikotniki s kotom 60° (koti v aritmetičnem zaporedju) ====

V vseh celoštevilskih trikotnikih s kotom 60° so njihovi koti v aritmetičnem zaporedju. Vsi takšni trikotniki so sorazmerni z:<ref name= "zela_2008" />

: <math> a=4mn \!\, , </math>
: <math> b=3m^{2}+n^{2} \!\, , </math>
: <math> c=2mn+|3m^{2}-n^{2}| \!\, , </math>

s tujima celima številoma <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> 1 \le n \le m \!\, </math> ali <math> 3m \le n \!\, </math>. Od tod se lahko dobijo vse primitivnew rešitve z deljenjem dolžin stranic <math> a \!\, </math>, <math> b \!\, </math> in <math> c \!\, </math> z njihovim največjim skupnim deliteljem.

Celoštevilski trikotnik s kotom 60° se lahko tvori tudi z naslednjimi zvezami:<ref name="gild_1982" />

: <math> a=m^{2}-mn+n^{2} \!\, , </math>
: <math> b=2mn - n^{2} \!\, , </math>
: <math> c=m^{2}-n^{2} \!\, , </math>

s tujima celima številoma <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> 0 < n < m \!\, </math> (kot 60° je nasproti stranice z dolžino <math> a \!\, </math>). Od tod se lahko dobijo vse primitivne rešitve z deljenjem dolžin stranic <math> a \!\, </math>, <math> b \!\, </math> in <math> c \!\, </math> z njihovim največjim skupnim deliteljem. Rešitev enakostraničnega trikotnika se na primer dobi pri <math> m = 2 \!\, </math> in <math> n = 1 \!\, </math>, vendar to da <math> a = b = c = 3\!\, </math>, kar ni primitivna rešitev.{{efn|Glej tudi <ref name="burn_2003" /> in <ref name="read_2006" />.}}

Točneje, če je <math> m = -n \ (\text{mod} \ 3) \!\, </math>, je <math> D(a,b,c)=3 \!\, </math>, drugače pa <math> D(a,b,c)=1 \!\, </math>. Dva različna para <math> (m, n) \!\, </math> in <math> (m, m-n) \!\, </math> tvorita enako trojico. Na žalost lahko za oba para enaka velja <math> D = 3 \!\, </math>, tako da se je nemogoče ogniti dvojnikom le z izpuščanjem tega primera. Namesto tega se lahko dvojniki ognejo, če <math> n \!\, </math> teče le do <math> m/2 \!\, </math>. Še vedno je treba deliti s 3, če je <math> D = 3 \!\, </math>. Edina rešitev za <math> n=m/2 \!\, </math> pod zgornjimi omejitvami je <math> (3,3,3) \equiv (1,1,1) \!\, </math> za <math> m=2, n=1 \!\, </math>. S to dodatno omejitvijo <math> n \leq m/2 \!\, </math> se lahko izključno tvorijo vse trojice.

[[Eisensteinova trojica]] je množica celih števil, ki so dolžine stranic trikotnika, v katerem je en od kotov enak 60°.

==== Celoštevilski trikotniki s kotom 120° ====

Celoštevilski trikotniki s kotom 120° se lahko tvorijo z naslednjimi zvezami:<ref name="selk_1983" />

: <math> a = m^{2} + mn + n^{2} \!\, , </math>
: <math> b = 2mn+n^{2} \!\, , </math>
: <math> c = m^{2} - n^{2} \!\, , </math>

s tujima celima številoma <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> 0 < n < m \!\, </math> (kot 120° je nasproti stranice z dolžino <math> a \!\, </math>). OD tod se lahko vse primitivne rešitve dobijo z deljenjem  dolžin stranic <math> a \!\, </math>, <math> b \!\, </math> in <math> c \!\, </math> z njihovim največjim skupnim deliteljem. Če se na primer vzame <math> m = 4 \!\, </math> in <math> n = 1 \!\, </math>, kar da <math> a = 21 \!\, </math>, <math> b = 9 \!\, </math> in <math> c= 15 \!\, </math>, kar ni primitivna rešitev, vendar vodi do primitivne rešitve <math> a = 7 \!\, </math>, <math> b = 3 \!\, </math> in <math> c = 5 \!\, </math>, ki se lahko do reda dobi z vrednostima <math> m = 2 \!\, </math> in <math> n = 1 \!\, </math>. Glej tudi <ref name="burn_2003" /> in <ref name="read_2006" />.

Točneje, če je <math> m = n \ (\text{mod} \ 3)</math>, potem je <math> D(a,b,c)=3 \!\, </math>, drugače pa <math> D(a,b,c)=1 \!\, </math>. Ker se lahko največja stranica <math> a \!\, </math> tvori z enim parom <math> (m, n) \!\, </math>, se lahko vsaka primitivna trojica tvori točno na dva načina: enkrat neposredno pri <math> D=1 \!\, </math> in drugič posredno pri <math> D=3 \!\, </math>. Zato je za tvorjenje izključno vseh primitivnih trojic treba dodati le en pogoj <math> m \ne n \ (\text{mod} \ 3)</math>.

=== Celoštevilski trikotniki z enim kotom, enakim produktu racionalnega števila z drugim kotom ===

Za pozitivni tuji celi števili <math> h \!\, </math> in <math> k \!\, </math> ima trikotnik z naslednjimi dolžinami stranic kote enake <math> h \alpha \!\, </math>, <math> k \alpha \!\, </math> in <math> \pi - (h+k) \alpha \!\, </math> in zato dva kota v razmerju <math> h / k \!\, </math>, dolžine njegovih stranic pa so cela števila:<ref name="hirs_2011" />

: <math> a = q^{h+k-1} \frac{\sin h \alpha}{\sin \alpha} = q^{k} \cdot\sum_{0 \leq i \leq \frac{h-1}{2}}(-1)^{i}\binom{h}{2i+1}p^{h-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i} \!\, , </math>
: <math> b = q^{h+k-1} \frac{\sin k \alpha}{\sin \alpha} = q^{h} \cdot\sum_{0 \leq i \leq \frac{k-1}{2}}(-1)^{i}\binom{k}{2i+1}p^{k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i} \!\, , </math>
: <math> c = q^{h+k-1} \frac{\sin (h+k) \alpha}{\sin \alpha} = \sum_{0 \leq i \leq \frac{h+k-1}{2}}(-1)^{i}\binom{h+k}{2i+1}p^{h+k-2i-1}(q^{2}-p^{2})^{i} \!\, , </math>

kjer je <math> \alpha = \cos^{-1} \frac{p}{q} \!\, </math>, <math> p \!\, </math> in <math> q \!\, </math> sta tuji celi števili, da velja <math> \cos \frac{\pi}{h+k} < \frac{p}{q} < 1 \!\, </math>.

==== Celoštevilski trikotniki z enim kotom, enakim dvakratniku drugega ====

S kotom <math> \alpha \!\, </math> nasproti stranice <math> a \!\, </math> in kotom <math> \beta \!\, </math> nasproti stranice <math> b \!\, </math> se lahko nekateri trikotniki z <math> \beta = 2 \alpha \!\, </math> tvorijo z naslednjimi zvezami:<ref name="desh_2002" />

: <math> a=n^{2} \!\, , </math>
: <math> b = mn \!\, , </math>
: <math> c=m^{2} - n^{2} \!\, , </math>

s celima številoma <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> 0 < n < m < 2n \!\, </math>

Za vse trikotnike z <math> \beta = 2 \alpha \!\, </math> (celoštevilske ali ne) velja <math> a(a+c)=b^{2} \!\, </math>.<ref name="will_1976" />

==== Celoštevilski trikotniki s kotom, enakim 3/2 drugega ====

Ekvivalenčni razred podobnih trikotnikov z <math> \beta=\tfrac{3}{2} \alpha \!\, </math> določajo naslednje zveze:<ref name="desh_2002" />

: <math> a=mn^{3} \!\, , </math>
: <math> b=n^{2}(m^{2}-n^{2}) \!\, , </math>
: <math> c=(m^{2} - n^{2})^{2} - m^{2} n^{2} \!\, , </math>

s celima številoma <math> m, n \!\, </math> pri <math> 0 < \Phi n < m < 2n \!\, </math>, kjer je <math> \Phi</math> [[število zlatega reza]] <math>\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,61803 \!\, </math>.

Za vse trikotnike z <math> \beta=\tfrac{3}{2} \alpha \!\, </math> (celoštevilske ali ne) velja <math> (b^{2}-a^{2})(b^{2}-a^{2}+bc) = a^{2}c^{2} \!\, </math>.

==== Celoštevilski trikotniki z enim kotom, enakim trikratniku drugega ====

Polni ekvivalenčni razred podobnih trikotnikov, za katere velja <math> \beta = 3 \alpha \!\, </math>, se lahko tvori z naslednjimi zvezami:<ref name="parr_2007" />

: <math> a=n^{3} \!\, , </math>
: <math> b=n(m^{2}-n^{2}) \!\, , </math>
: <math> c=m(m^{2}-2n^{2}) \!\, , </math>

s celima številoma <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> pri <math> \sqrt{2} n < m < 2n \!\, </math>.

Za vse trikotnike z math> \beta = 3 \alpha \!\, </math> (celoštevilske ali ne) velja <math> ac^{2} = (b-a)^{2}(b+a) \!\, </math>.

=== Celoštevilski trikotniki s tremi racionalnimi koti ===

Edini celoštevilski trikotnik s tremi racionalnimi koti (racionalnimi števili stopinj ali enakovredno racionalnimi ulomki polnega zasuka) je [[enakostranični trikotnik]].<ref name="conw_1996" /> To je zato, ker celoštevilske dolžine stranic pogojujejo tri racionalne [[kosinus]]e po [[kosinusni izrek|kosinusnem izreku]], po [[Nivenov izrek|Nivenovem izreku]] pa racionalni kosinus sovpada z racionalnim koto, če in samo če je enak 0, ±1/2 ali ±1. Edini od teh, ki dajo kot strogo med 0° in 180° so kosinus z vrednostjo 1/2 s kotom enakim 60°, kosinus z vrednostjo –1/2 s kotom enakim 120° in kosinus z vrednostjo 0 s kotom enakim 90°. Edina kombinacija vseh treh, ki dopušča njihovo mnogokratno rabo in katerih vsota je enaka 180°, je pri vseh kotih enakih 60°.

== Celoštevilski trikotniki s celoštevilskim razmerjem polmerov včrtane in očrtane krožnice ==

Pogoji, da ima celoštevilski trikotnik cloštevilsko razmerje <math> N \!\, </math> med polmerom [[očrtana krožnica|očrtane]] in polmerom [[včrtana krožnica|včrtane krožnice]], so znani prek [[eliptična krivulja|eliptičnih krivulj]].<ref name="macl_2010" /><ref name="goeh_2012" /> Pri najmanjšem primeru za enakostranični trikotnik je <math> N = 2 \!\, </math>. V vsakem znanem primeru velja <math> N \equiv 2 (\text{mod} 8) \!\, </math>, to je <math> N - 2 \!\, </math> je deljivo z 8.

== Pari skoraj skladnih trikotnikov ==
{{glavni|skoraj skladna trikotnika}}

Par skoraj skladnih trikotniknikov je par trikotnikov, ki sta [[podobnost (geometrija)|podobna]] ne pa tudi [[skladnost (geometrija)|skladna]], in imata skupne tri kote in dve stranici. Primitivni celoštevilski skoraj skladni trikotniki, v katerih celoštevilske dolžine štirih različnih stranic (dve stranici sta v obeh trikotnikih in tretja stranica v vsakem trikotniku) nimajo skupnega prafaktorja, imajo trojice stranic:

: <math> (x^{3}, x^{2}y, xy^{2})</math> and <math>(x^{2}y, xy^{2}, y^{3}) \!\, </math> 

za pozitivni celi števili <math> x \!\, </math> in <math> y \!\, </math>. Najmanjši primer je par (8, 12, 18), (12, 18, 27), ki ga tvorita <math> x = 2 \!\, </math> in  <math> y = 3 \!\, </math>.

== Posebni celoštevilski trikotniki ==

* edini trikotnik z zaporednimi celoštevilskimi dolžinami stranic in celo ploščino ima dolžine stranic (3, 4, 5) in ploščino 6.
* edini trikotnik z zaporednimi celoštevilskimi dolžinami višine in stranic ima dolžine stranic (13, 14, 15) in dolžino višine na stranico z dolžino 14 enako 12.
* trikotnik (2, 3, 4) in njegovi mnogokratniki so edini trikotniki s celoštevilskimi dolžinami stranic v aritmetičnem zaporedju in značilnostjo [[komplementarna kota|komplementarnih zunanjih kotov]].<ref name="barn_2001" /><ref name="lord_1998" /><ref name="mitc_2008" /> Pri tej značilnosti, če je kot <math> \gamma \!\, </math> (<math> \angle BCA \!\, </math>) [[topi kot|topi]], in, če se iz oglišča <math> B \!\, </math> potegne premica, ki pravokotno seka [[podaljšana stranica|podaljšek stranice]] <math> AC \!\, </math> v točki <math> P \!\, </math>, velja <math> \alpha = 2 \angle CBP \!\, </math>.
* trikotnik (3, 4, 5) in njegovi mnogokratniki so edini celoštevilski pravokotni trikotniki z dolžinami stranic v aritmetičnem zaporedju.<ref name="mitc_2008" />
* trikotnik (4, 5, 6) in njegovi mnogokratniki so edini trikotniki v katerih je en kot dvakratnik drugega in celoštevilske dolžine stranic v aritmetičnem zaporedju.<ref name="mitc_2008" />
* trikotnik (3, 5, 7) in njegovi mnogokratniki so edini trikotniki s kotom 120° in celoštevilskimi dolžinami stranic v aritmetičnem zaporedju.<ref name="mitc_2008" />
* edini celoštevilski trikotnik s <math> s = p \!\, </math> ima dolžine stranic enake (3, 4, 5).<ref name="mach_1989" />
* edini celoštevilski trikotniki z <math> o = p \!\, </math> imajo dolžine stranic enake (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) in (9, 10, 17).<ref name="mach_1989" /><ref name="dick_1920" /> Od teh prvi dve trojici predstavljajo pravokotne trikotnike. Druga je dvakratnik primitivne pitagorejske trojice (3, 4, 5).
* obstajajo celoštevilski trikotniki s tremi racionalnimi dolžinami [[težiščnica|težiščnic]].<ref name="sier_2003"/>{{rp|str. 64}} Najmanjši ima dolžine stranic (68, 85, 87). Drugi imajo na primer dolžine stranic (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) in (327, 386, 409).
* enakokraki pitagorejski trikotniki ne obstajajo.<ref name="sast_2005" />
* edini primitivni pitagorejski trikotniki za katere je kvadrat obsega enak celoštevilskemu mnogokratniku ploščine (<math> o^{2} = k p \!\, </math>) imajo dolžine stranic (3, 4, 5) z obsegom enakim 12 in ploščino enako 6, ter razmerjem med kvadratom obsega in ploščino (<math> k = o^{2} / p = 24 \!\, </math>); (5, 12, 13) z obsegom enakim 30 in ploščino enako 30, ter razmerjem <math> k = 30 \!\, </math>; in (9, 40, 41) z obsegom enakim 90 in ploščino enako 180, ter razmerjem <math> k = 45 \!\, </math>.<ref name="goeh_2009" />
* (do podobnosti) obstaja edini par racionalnega pravokotnega trikotnika in racionalnega enakostraničnega trikotnika z enakima obsegom in ploščino (<math> o = p \!\, </math>). V paru imata trikotnika dolžine stranic enake (377, 135, 352) in (366, 366, 132).<ref name="hira_2018" /> Če se zahteva, da sta trikotnika tudi primitivna celoštevilska, tak par ne obstaja.<ref name="hira_2018" /> Avtorja poudarjata presenetljivo dejstvo, da se lahko druga trditev dokaže z elementarno argumentacijo (kar sta v dodatku A tudi izvedla), dokaz prve trditve pa zahteva moderno višjo netrivialno matematiko.

== Glej tudi ==

* [[Robbinsov petkotnik]] – ciklični petkotnik s celoštevilskimi dolžinami stranic in celoštevilsko ploščino
* [[Eulerjeva opeka]] – kvader s celoštevilskimi robovi in diagonalami stranskih ploskev
* [[tetraeder|celoštevilski tetraeder]]

== Opombe ==

{{notelist|1}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="carm_1914" >{{sktxt|Carmicahel|1914|pp= [https://archive.org/details/theoryofnumbersd0000carm/page/11 11–13]}}.</ref>
<ref name="somo_2019" >{{sktxt|Somos|2019}}.</ref>
<ref name="conw_1996" >{{sktxt|Conway|Guy|1996|pp=201 in 228–239}}.</ref>
<ref name="jenk_2000" >{{sktxt|Jenkyns|Muller|2000}}.</ref>
<ref name="hons_1985" >{{sktxt|Honsberger|1985|pp=39–37}}.</ref>
<ref name="zela_2008" >{{sktxt|Zelator|2008}}.</ref>
<ref name="jahn_2010" >{{sktxt|Jahnel|2010|pp=2}}.</ref>
<ref name="yiu__2001" >{{sktxt|Yiu|2001}}.</ref>
<ref name="carm_1952" >{{sktxt|Carmichael|1952}}.</ref>
<ref name="sier_2003" >{{sktxt|Sierpiński|2003}}.</ref>
<ref name="rich_2008" >{{sktxt|Richinick|2008}}.</ref>
<ref name="vole_1999" >{{sktxt|Voles|1999}}.</ref>
<ref name="buch_1999" >{{sktxt|Buchholtz|MacDougal|1999}}.</ref>
<ref name="mitc_2007" >{{sktxt|Mitchell|2007}}.</ref>
<ref name="sast_2005" >{{sktxt|Sastry|2005}}.</ref>
<ref name="yiu__1998" >{{sktxt|Yiu|1998}}.</ref>
<ref name="yiu__1999" >{{sktxt|Yiu|Taylor|1999}}.</ref>
<ref name="zhou_2018" >{{sktxt|Zhou|2018}}.</ref>
<ref name="buch_2001" >{{sktxt|Buchholz|MacDougall|2001}}.</ref>
<ref name="mars_2012" >{{sktxt|Marshall|Perlis|2012|pp=2}}.</ref>
<ref name="parr_1991" >{{sktxt|Parry|1991}}.</ref>
<ref name="zela_2007" >{{sktxt|Zelator|2007}}.</ref>
<ref name="debr_2005" >{{sktxt|De Bruyn|2005}}.</ref>
<ref name="sast_1984" >{{sktxt|Sastry|1984}}.</ref>
<ref name="gild_1982" >{{sktxt|Gilder|1982}}.</ref>
<ref name="burn_2003" >{{sktxt|Burn|2003}}.</ref>
<ref name="read_2006" >{{sktxt|Read|2006}}.</ref>
<ref name="selk_1983" >{{sktxt|Selkirk|1983}}.</ref>
<ref name="hirs_2011" >{{sktxt|Hirschhorn|2011}}.</ref>
<ref name="desh_2002" >{{sktxt|Deshpande|2002}}.</ref>
<ref name="will_1976" >{{sktxt|Willson|1976}}.</ref>
<ref name="parr_2007" >{{sktxt|Parris|2007}}.</ref>
<ref name="macl_2010" >{{sktxt|MacLeod|2010}}.</ref>
<ref name="goeh_2012" >{{sktxt|Goehl|2012}}.</ref>
<ref name="barn_2001" >{{sktxt|Barnard|Silvester|2001}}.</ref>
<ref name="lord_1998" >{{sktxt|Lord|1998}}.</ref>
<ref name="mitc_2008" >{{sktxt|Mitchell|2008}}.</ref>
<ref name="mach_1989" >{{sktxt|MacHale|1989}}.</ref>
<ref name="dick_1920" >{{sktxt|Dickson|1920|pp= 181.}}.</ref>
<ref name="goeh_2009" >{{sktxt|Goehl|2009}}.</ref>
<ref name="hira_2018" >{{sktxt|Hirakawa|Matsumura|2018}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Barnard|first1= T.|last2= Silvester|first2= J.|title= Circle theorems and a property of the (2,3,4) triangle|journal= [[The Mathematical Gazette|Mathematical Gazette]]|date= julij 2001|volume= 85|issue= |pages= 312−316}}
* {{citat|last1= Buchholz|first1= R. H.|last2= MacDougall|first2= J. A.|title= Heron Quadrilaterals with sides in Arithmetic or Geometric progression|journal= Bulletin of the Australian Mathematical Society|date= 1999|volume= 59|issue= 2|pages= 263–269|url= http://journals.cambridge.org/article_S0004972700032883|doi= 10.1017/S0004972700032883|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Buchholz|first1= R. H.|last2= MacDougall|first2= J. A.|title= Cyclic Polygons with Rational Sides and Area|citeseerx= 10.1.1.169.6336|date= 2001|page= 3|publisher= CiteSeerX Penn State University}}
* {{citat|last1= Burn|first1= Bob|title= Triangles with a 60° angle and sides of integer length|journal= Mathematical Gazette|date= marec 2003|volume= 87|issue= |pages= 148–153}}
* {{citat|last1= Carmichael|first1= Robert Daniel|authorlink1= Robert Daniel Carmichael|title= The Theory of Numbers and Diophantine Analysis|date= 1952|location= New York|publisher= Dover}}
* {{citat|last1= Carmichael|first1= Robert Daniel|authorlink1= |origyear= 1914|chapter= Diophantine Analysis|pages= [https://archive.org/details/theoryofnumbersd0000carm/page/11 str. 11–13]|editor= R. D. Carmichael|date= 1959|title= The Theory of Numbers and Diophantine Analysis|url= https://archive.org/details/theoryofnumbersd0000carm|url-access= registration|publisher= Dover Publications}}
* {{citat|last1= Conway|first1= John Horton|authorlink1= John Horton Conway|last2= Guy|first2= Richard Kenneth|authorlink2= Richard Kenneth Guy|chapter= The only rational triangle|title= The Book of Numbers|date= 1996|publisher= Springer-Verlag|pages= 201 in 228–239}}
* {{citat|last1= De Bruyn|first1= Bart|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200507.pdf|title= On a Problem Regarding the n-Sectors of a Triangle|journal= Forum Geometricorum|date= 2005|volume= 5|issue= |pages= 47–52|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2020-12-05|archive-url= https://web.archive.org/web/20201205215007/http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200507.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Deshpande|first1= M. N.|title= Some new triples of integers and associated triangles|journal= Mathematical Gazette|date= november 2002|volume= 86|issue= |pages= 464–466}}
* {{citat|last1= Dickson|first1= Leonard Eugene|authorlink1= Leonard Eugene Dickson|title= [[History of the Theory of Numbers]], vol.2|date= 1920|pages= 181}}
* {{citat|last1= Gilder|first1= J.|title= Integer-sided triangles with an angle of 60°|journal= Mathematical Gazette|date= december 1982|volume= 66|issue=|pages= 261–266}}
* {{citat|last1= Goehl|first1= John F. Jr.|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200927.pdf|title= Pythagorean triangles with square of perimeter equal to an integer multiple of area|journal= Forum Geometricorum|date= 2009|volume= 9|issue= |pages= 281–282|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2020-12-05|archive-url= https://web.archive.org/web/20201205212053/http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200927.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Goehl|first1= John F. Jr.|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201203.pdf|title= More integer triangles with R/r = N|journal= Forum Geometricorum|date= 2012|volume= 12|issue= |pages= 27−28|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2021-12-20|archive-url= https://web.archive.org/web/20211220134203/https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201203.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Hirakawa|first1= Yoshinosuke|last2= Matsumura|first2= Hideki|date= 2018|title= A unique pair of triangles|journal= Journal of Number Theory|volume= 194|issue= |pages= 297–302|doi= 10.1016/j.jnt.2018.07.007|issn= 0022-314X|arxiv= 1809.09936}}
* {{citat|last1= Hirschhorn|first1= Michael D.|title= Commensurable triangles|journal= Mathematical Gazette|date= marec 2011|volume= 95|issue= |pages= 61−63}}
* {{citat|last1= Honsberger|first1= Ross|authorlink1= Ross Honsberger|title= Mathematical Gems III|date= 1985|series= Vol.9 Dolciani Mathematical Expositions|publisher= The Mathematical Association of America|pp= 39–37}}
* {{citat|last1= Jahnel|first1= Jörg|title= When is the (Co)Sine of a Rational Angle equal to a rational number?|date= 2010|arxiv= 1006.2938|bibcode= 2010arXiv1006.2938J}}
* {{citat|last1= Jenkyns|first1= Tom|last2= Müller|first2= Eric|title= Triangular Triples from Ceilings to Floors|journal= American Mathematical Monthly|date= avgust 2000|volume= 107|issue= 7|pages= 634–639}}
* {{citat|last1= Lord|first1= N.|title= A striking property of the (2,3,4) triangle|journal= Mathematical Gazette|date= marec 1998|volume= 82|issue= |pages= 93−94}}
* {{citat|last1= MacHale|first1= D.|title= That 3,4,5 triangle again|journal= Mathematical Gazette|date= marec 1989|volume= 73|issue= |pages= 14−16}}
* {{citat|last1= MacLeod|first1= Allan J.|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201017.pdf|title= Integer triangles with R/r = N|journal= Forum Geometricorum|date= 2010|volume= 10|issue= |pages= 149−155|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2022-01-20|archive-url= https://web.archive.org/web/20220120114622/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201017.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Marshall|first1= Susan H.|last2= Perlis|first2= Alexander R.|title= Heronian tetrahedra are lattice tetrahedra|url= http://math.arizona.edu/~aprl/publications/latticetetrahedra/marshallperlis_latticetetrahedra_26Mar2012.pdf|date= 2012|page= 2|publisher= University of Arizona}}
* {{citat|last1= Mitchell|first1= Douglas W.|title= Heron triangles with ∠B=2∠A|journal= Mathematical Gazette|date= julij 2007|volume= 91|issue= |pages= 326–328}}
* {{citat|last1= Mitchell|first1= Douglas W.|title= The 2:3:4, 3:4:5, 4:5:6, and 3:5:7 triangles|journal= Mathematical Gazette|date= julij 2008|volume= 92|issue= |pages= }}
* {{citat|last1= Parris|first1= Richard|title= Commensurable Triangles|journal= College Mathematics Journal|date= november 2007|volume= 38|issue= 5|pages= 345–355|doi= 10.1080/07468342.2007.11922259}}
* {{citat|last1= Parry|first1= C. F.|title= Steiner–Lehmus and the automedian triangle|journal= Mathematical Gazette|date= 1991|volume= 75|issue= 472|pages= 151–154|jstor= 3620241|doi= 10.2307/3620241}}
* {{citat|last1= Read|first1= Emrys|title= On integer-sided triangles containing angles of 120° or 60°|journal= Mathematical Gazette|date= julij 2006|volume= 90|issue= |pages= 299−305}}
* {{citat|last1= Richinick|first1= Jennifer|title= The upside-down Pythagorean Theorem|journal= Mathematical Gazette|date= julij 2008|volume= 92|issue= |pages= 313–317}}
* {{citat|last1= Sastry|first1= K. R. S.|title= Integer-sided triangles containing a given rational cosine|journal= Mathematical Gazette|date= december 1984|volume= 68|issue= |pages= 289−290}}
* {{citat|last1= Sastry|first1= K. R. S.|url= http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200515.pdf|title= Construction of Brahmagupta n-gons|journal= Forum Geometricorum|date= 2005|volume= 5|issue= |pages= 119–126|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2020-12-05|archive-url= https://web.archive.org/web/20201205212607/http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200515.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Selkirk|first1= K.|title= Integer-sided triangles with an angle of 120°|journal= Mathematical Gazette|date= december 1983|volume= 67|issue= |pages= 251–255}}
* {{citat|last1= Sierpiński|first1= Wacław Franciszek|authorlink1= Wacław Franciszek Sierpiński|title= [[Pythagorean Triangles]]|date= 2003|origyear= 1962|publisher= Dover Publications}}
* {{citat|last1= Somos|first1= Michael|authorlink1= Michael Somos|title= Rational triangles|date= 2. julij 2019|url= http://grail.eecs.csuohio.edu/~somos/rattri.html|language= en|accessdate= 2020-09-16|archive-date= 2021-12-20|archive-url= https://web.archive.org/web/20211220133826/http://grail.eecs.csuohio.edu/~somos/rattri.html|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Voles|first1= Roger|title= Integer solutions of ''a''<sup>−2</sup>+''b''<sup>−2</sup>=d<sup>−2</sup>|journal= Mathematical Gazette|date= julij 1999|volume= 83|issue= |pages= 269–271}}
* {{citat|last1= Willson|first1= William Wynne|title= A generalisation of the property of the 4,&nbsp;5,&nbsp;6&nbsp;triangle|journal= Mathematical Gazette|date= junij 1976|volume= 60|issue= |pages= 130–131}}
* {{citat|last1= Yiu|first1= Paul|url= https://cms.math.ca/crux/v24/n3/page175-177.pdf|title= CRUX, Problem 2331, Proposed by Paul Yiu|work= Memorial University of Newfoundland|date= 1998|pages= 175-177|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2015-09-05|archive-url= https://web.archive.org/web/20150905085516/http://cms.math.ca/crux/v24/n3/page175-177.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Yiu|first1= Paul|title= Heronian triangles are lattice triangles|journal= American Mathematical Monthly|date= 2001|volume= 108|issue= |pages= 261–263}}
* {{citat|last1= Yui|first1= Paul|last2= Taylor|first2= J. S.|url= http://dongthapvietnam.informe.com/blog/uploads/2012/10/cruxv25_1999.pdf|title= CRUX, Problem 2331, Solution|work= Memorial University of Newfoundland|date= 1999|pages= 185-186|accessdate= 2020-09-23|archive-date= 2017-02-16|archive-url= https://web.archive.org/web/20170216210921/http://dongthapvietnam.informe.com/blog/uploads/2012/10/cruxv25_1999.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Zelator|first1= Konstantine|title= Integral Triangles and Diophantine Equations|journal= [[Mathematical Spectrum]]|date= 2007|volume= 39|issue= 2|pages= 59−62|url= http://www.appliedprobability.org/data/files/MS%20issues/Vol39_No2.pdf}}{{Slepa povezava|date=oktober 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{citat|last1= Zelator|first1= Konstantine|url= https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0803/0803.3778.pdf|title= Triangle Angles and Sides in Progression and the diophantine equation x<sup>2</sup>+3y<sup>2</sup>=z<sup>2</sup>|date= 2008|publisher= Cornell Univ. archive}}
* {{citat|last1= Zhou|first1= Li|title= Primitive Heronian Triangles With Integer Inradius and Exradii|journal= Forum Geometricorum|date= 2018|volume= 18|issue= |pages= 71–77}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=IntegerTriangle|title=Integer Triangle}}

{{-}}

{{mnogokotniki}}

[[Kategorija:Aritmetični problemi v ravninski geometriji]]
[[Kategorija:Diskretna geometrija]]
[[Kategorija:Kvadrati v teoriji števil]]
[[Kategorija:Trikotniki]]