Ogled vira Cikloida

[[Slika:CycloidAnim04.gif|frame|Generiranje cikloide s sledenjem točke na krožnici]]

'''Cikloída''' je v [[matematika|matematiki]] [[krivulja]] v [[ravnina|ravnini]], ki jo dobimo tako, da sledimo [[Točka (geometrija)|točki]] na [[krožnica|krožnici]], ko se ta kotali po vodoravni [[premica|premici]].

V parametrični obliki jo zapišemo kot:

: <math> x(t) = r (t - \sin(t)) \; </math>
: <math> y(t) = r (1 - \cos(t)) \; , </math>

kjer je ''t'' neodvisni parameter in ''r'' [[polmer]] krožnice, s katero cikloido generiramo.

== Zgodovina ==

Cikloido je prvi raziskoval [[Nikolaj Kuzanski]] in kasneje [[Marin Mersenne]]. Imenoval jo je [[Galileo Galilei|Galilei]] leta 1599. Leta 1634 je [[Gilles Personne de Roberval]] pokazal, da je [[površina]] pod cikloido enaka trikratni površini krožnice, ki jo je tvorila. [[Christopher Wren]] je leta 1658 pokazal, da je [[dolžina]] cikloide enaka štirikratnemu [[premer]]u krožnice tvorilke. Cikloido so imenovali »[[Iliada|Helena]] geometrov« ker je večkrat povzročila spore med matematiki [[17. stoletje|17. stoletja]].

[[Slika:CyloidPendulum.png‎|right|thumb|Zgradba cikloidnega nihala.]]

== Cikloidno nihalo ==
Cikloidno nihalo je sestavljeno iz običajnega nihala, ki je obešeno v konico narobe obrnjene cikloide. Nitka nihala je na obeh straneh omejena s sosednjima lokoma cikloide. Dolžina nihala je enaka polovici dolžine loka cikloide (to je dvojni premer kroga, s pomočjo katerega je cikloida nastala).

== Ploščina ==
Ploščina pod enim lokom cikloide je 
: <math> P = 3 \pi r^2 \,</math>.

== Dolžina loka ==
Dolžina <math> l \,</math> enega loka cisoide je dana z 
:<math>\begin{align}
l &= \int_{t=0}^{t=2 \pi} \left(\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dx}{dt}\right)^2\right)^{1/2} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} r \sqrt{2-2\cos(t)} \, dt \\
&= \int_{t=0}^{t=2 \pi} 2r \sin\left(\frac{t}{2}\right) \, dt \\
&= 8 r.
\end{align}</math>.

== Sorodne krivulje ==
* skrajšana cikloida, če je točka, ki jo spremljamo znotraj krožnice, ki se kotali po premici 
* raztegnjena cikloida, če je točka, ki jo spremljamo zunaj krožnice, ki se kotali po premici  
* [[trohoida]] je lahko katerakoli cikloida (raztegnjena ali skrajšana)
* [[hipocikloida]], če je točka, ki jo spremljamo, na robu krožnice, ki se kotali po notranjosti druge krožnice
* [[epicikloida]], če je točka, ki jo spremljamo, na robu krožnice, ki se kotali po zunanjosti druge krožnice
* [[hipotrohoida]], podobno kot hipocikloida, vendar točka ni nujno na robu krožnice
* [[epitrohoida]], podobno koz epicikloida, vendar točka ni nujno na robu krožnice

Vse te krivulje so [[ruleta (krivulja)|rulete]], ki so nastale tako, da se je krožnica kotalila vzdolž nespremenljive krivulje. Vse cikloide, epicikloide in hipocikloide imajo lastnost, da so vse podobne svojim [[evoluta]]m.

== Zunanje povezave ==
* [http://www.e-studij.si/Cikloida Cikloida na e-študij] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120319140515/http://www.e-studij.si/Cikloida |date=2012-03-19 }} {{ikona sl}}
* [http://www.educa.fmf.uni-lj.si/izodel/sola/2003/ura/monika/html/resitev2.html Bernoullijeva rešitev] {{ikona sl}} 
* [http://mathworld.wolfram.com/Cycloid.html Cikloida na MathWorld] {{ikona en}}
* [http://www.ies.co.jp/math/java/calc/cycloid/cycloid.html Cikloide (tudi animacije)] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101212201722/http://www.ies.co.jp/math/java/calc/cycloid/cycloid.html |date=2010-12-12 }} {{ikona en}}
* [http://www.2dcurves.com/roulette/roulettec.html Cikloida na MacTutor] {{ikona en}}


{{-}}

{{ravninske krivulje}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Krivulje]]
{{normativna kontrola}}