Ogled vira Cisoida

[[Slika:CissoidConstruction.svg‎|right|500px]]
'''Cisoida''' je [[krivulja]], ki nastane s pomočjo dveh krivulj C<sub>1</sub> in C<sub>2</sub> in ene [[Točka (geometrija)|točke]] O, ki jo imenujemo pol. Naj bo L [[premica]], ki poteka skozi točko O in seka krivuljo C<sub>1</sub> v točki P<sub>1</sub>. Ista premica naj seka krivuljo C<sub>2</sub> v točki P<sub>2</sub> in krivulja C<sub>1</sub> v točki P<sub>1</sub>. Naj bo točka P<sub>2</sub> na premici L tako, da bo veljalo OP = P<sub>1</sub>P<sub>2</sub>. Geometrijsko mesto točk P je cisoida krivulj C<sub>1</sub> in C<sub>2</sub> glede na točko O. Nekateri avtorji uporabljajo drugačne, vendar smiselno enake definicije. Krivuljo cisoido lahko izdelamo tudi na eni ali več krivuljah. Cisoida je posplošitev krivulje z imenom [[Dioklesova cisoida]]. Cisoida [[algebrska krivulja|algebrske krivulje]] in premice je zopet algebrska krivulja <ref>[http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Cissoid_dir/cissoid.html Cisoida]</ref>.
  
Ime izvora iz [[grščina|grške]] besede κισσοείδες ''kissoeides'', kar pomeni ''oblika bršljana'' (izhaja iz besede κισσός ''kissos'', kar pomeni bršljan), ter besede -οειδές -''oeides'', kar pomeni ''podoben''. 

== Opis ==
Naj bosta <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> dve krivulji in O naj bo izhodišče. Enačbi za <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> v polarnih koordinatah sta <math>r=f_1(\theta)</math> in <math>r=f_2(\theta)</math>.

Enačba 
: <math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta)</math>
v tem primeru opisuje cisoido krivulj <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> glede na izhodišče. Ker pa lahko točko prikažemo v polarnih koordinatah z različnimi enačbami, veljajo za krivuljo <math> C_1 \,</math> naslednje enačbe 
:<math>r=-f_1(\theta+\pi),\ r=-f_1(\theta-\pi),\ r=f_1(\theta+2\pi),\ r=f_1(\theta-2\pi),\ \dots</math>.

Če še upoštevamo, da velja 
<math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta)</math>, potem lahko napišemo za cisoido
:<math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta+\pi),\ r=f_2(\theta)+f_1(\theta-\pi),\ </math>
:<math>r=f_2(\theta)-f_1(\theta+2\pi),\ r=f_2(\theta)-f_1(\theta-2\pi),\ \dots</math>.

Vedno pa se moramo odločiti katera perioda se mora odstraniti zaradi podvojitve. 

Primer:
Naj bosta krivulji <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> [[elipsa|elipsi]]:
:<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}</math>.
Prva veja cisoide je dana z 
:<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}-\frac{1}{2-\cos \theta}=0</math>, kar je izhodišče. 
Elipsa je dana tudi z enačbo
:<math>r=\frac{-1}{2+\cos \theta}</math>. 
Tako za drugo vejo dobimo
:<math>r=\frac{1}{2-\cos \theta}+\frac{1}{2+\cos \theta}</math>.

Kadar sta krivulji <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> dani v parametrični obliki
:<math>x = f_1(p),\ y = px</math>
in
:<math>x = f_2(p),\ y = px</math>,
potem je cisoida glede na izhodišče, dana z enačbo
:<math>x = f_2(p)-f_1(p),\ y = px</math>.

== Posebni primeri ==
* kadar je C<sub>1</sub> [[krožnica]] s središčem v točki O je cisoida [[konhoida]] krivulje C<sub>2</sub>.
* kadar pa sta C<sub>1</sub> in C<sub>2</sub> [[vzporednost|vzporedni]] premici, je cisoida tretja premica vzporedna obema premicama

=== Hiperbole ===
Naj bosta krivulji <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> dve nevzporedni premici in O naj bo izhodišče.
Polarni obliki enačb za <math> C_1 \,</math> in <math> C_2 \,</math> sta
:<math>r=\frac{a_1}{\cos (\theta-\alpha_1)}</math>
in 
:<math>r=\frac{a_2}{\cos (\theta-\alpha_2)}</math>.

Po preurejanju dobimo za enačbo cisoide v [[Kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu ]] 
:<math>x^2-m^2y^2=bx+cy</math>.
To pa je [[hiperbola]], ki poteka skozi izhodišče. Cisoida dveh nevzporednih premic je torej hiperbola, ki vsebuje tudi pol.

=== Zahradnikove cisoide ===
Zahradnikova cisoida se imenuje po [[Čehi|češkem]] [[matematik]]u [[Karel Zahradnik|Karlu Zahradniku]] (1848 – 1916). Definirana je kot cisoida [[stožnica|stožnice]] in premice. Zahradnikove cisoide tvorijo celo družino enačb tretje stopnje. Med nje spadajo:
* [[Maclaurinova trisektrisa]] z enačbo
::<math>2x(x^2+y^2)=a(3x^2-y^2)</math> 

To je cisoida krožnice <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> in premice <math>x={-{a \over 2}}</math> glede na izhodišče.

* [[Dioklesova cisoida]] z enačbo 
::<math>x(x^2+y^2)+2ay^2=0</math>
To je cisoida krožnice <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> in premice <math>x=-2a</math> glede na izhodišče. Ta vrsta krivulje je dala ime vsej družini cisoid. Zaradi tega nekateri tej krivulji pravijo kar ''cisoida''.

* [[prava strofoida]] z enačbo
::<math>y^2(a+x) = x^2(a-x)</math>
To je cisoida krožnice <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> in premice <math>x=-2a</math>. 

* [[de Sluzejeva konhoida]] je cisoida krožnice <math>(x+a)^2+y^2 = a^2</math> in premice <math>x+y=-a</math> glede na izhodišče.
 
* [[Descartesov list]] z enačbo
::<math>x^3+y^3=3axy</math>
je cisoida [[elipsa|elipse]] <math>x^2-xy+y^2 = -a(x+y)</math> in premice <math>x+y=-a</math> glede na izhodišče. 

== Opombe in sklici ==
{{opombe}}

== Glej tudi ==
* [[seznam krivulj]]

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Cissoid.html Cisoida na MathWorld] {{ikona en}}
* [http://www.daviddarling.info/encyclopedia/C/cissoid.html Cisoida v Encyclopedia of Science] {{ikona en}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/cissoidale/cissoidale.shtml  Lastnosti cisoide s simulacijo nastanka] {{ikona fr}}
* [http://mathcurve.com/courbes2d/cissoidaledezahradnik/cissoidaledezahradnik.shtml Zahradnikove cisoide] {{ikona fr}}


{{ravninske krivulje}}
[[Kategorija:Krivulje]]