Ogled vira Cramerjevo pravilo

'''Cramerjevo pravilo''' se uporablja v [[linearna algebra|linearni algebri]] za reševanje [[sistem linearnih enačb|sistema linearnih enačb]], ki vsebuje toliko enačb kot je v sistemu neznank. Pravilo je uporabno samo, če obstaja ena rešitev. 

Imenuje se po švicarskem matematiku [[Gabriel Cramer|Gabrielu Cramerju]] (1704 – 1752), ki ga je objavil leta [[1750 v znanosti|1750]].

Uporabljamo ga lahko tudi za druge vrste števil ([[obseg (algebra)|obseg]]e) in ne samo za [[realno število|realna števila]]. Pravilo je neprimerno za uporabo pri sistemih z večjim številom neznank. Za takšne primere je boljše, če uporabimo katero izmed drugih metod reševanja sistema linearnih enačb (npr. [[Gaussova eliminacijska metoda]]).

== Opis pravila ==

Predpostavimo, da imamo sistem n linearnih enačb
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \ldots + a_{1n}x_n = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \ldots + a_{2n}x_n = b_2\\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots\cdots\\ 
a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \ldots + a_{nn}x_n = b_n\\
\end{cases}</math>

To lahko zapišemo v matrični obliki kot
:<math>
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} 
\end{pmatrix} 

\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix} 
=
\begin{pmatrix}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{pmatrix} 
</math>
ali 
: <math> Ax = B \,</math>.

V tem primeru dobimo rešitve kot 
:<math> x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n \, </math> .
kjer je
* <math> A_i \,</math> matrika, kjer smo i-ti stolpec nadomestili stolpcem <math> B \,</math>.
* <math> A \,</math> matrika sistema, ki ima za elemente koeficiente spremenljivk

== Zgled ==

Imamo naslednji sistem linearnih enačb
: <math>\begin{cases}
a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1\\
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2\\
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3\\
\end{cases}</math><br />
ali
: <math> Ax = B \,</math>.

[[Determinanta|Determinante]], ki jih potrebujemo za izračun rešitev sistema linearnih enačb, so:
: <math>\Delta=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_1=\begin{vmatrix}
b_1 & a_{12} & a_{13} \\
b_2 & a_{22} & a_{23} \\
b_3 & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_2=\begin{vmatrix}
a_{11} & b_1 & a_{13} \\
a_{21} & b_2 & a_{23} \\
a_{31} & b_3 & a_{33} \\
\end{vmatrix},\ \ \Delta_3=\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & b_2 \\
a_{31} & a_{32} & b_3 \\
\end{vmatrix}</math>
Rešitev sistema je:
: <math>x_1=\frac{\Delta_1}{\Delta},\ \ x_2=\frac{\Delta_2}{\Delta},\ \ x_3=\frac{\Delta_3}{\Delta}</math>
kjer je
* <math> \Delta \,</math> vrednost determinante <math> A \,</math>
* <math> {\Delta_1}\,</math> determinanta matrike <math> A \,</math>, kjer je prvi stolpec zamenjan s stolpcem <math>  B \,</math>
* <math> {\Delta_2}\,</math> determinanta matrike <math> A \,</math>, kjer je drugi stolpec zamenjan s stolpcem <math> B \,</math>
* <math> {\Delta_3}\,</math> determinanta matrike <math> A \,</math>, kjer je tretji stolpec s stolpcem <math>  B \,</math>

V nadaljevanju je prikazan zgled reševanja sistema enačb
:<math>\begin{matrix}
82\, x_1+45\,x_2+9\,x_3=1\\
27\,x_1+16\,x_2+3\,x_3=1\\
9\,x_1+5\,x_2+1\,x_3=0\\
\end{matrix}</math>

[[Razširjena matrika]] sistema enačb je:

:<math>\begin{pmatrix}{A} & b\end{pmatrix} = 
  \left(\begin{array}{ccc|c}
    82 & 45 & 9 &  1 \\
    27 & 16 & 3 &  1 \\
    9 & 5 & 1 &  0 
  \end{array}\right)
</math>

Po Cramerjevem pravilu dobimo rešitve sistema enačb:

:<math>x_1 = \frac{\det(A_1)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{1}
&45
&9
\\ 1
&16
&3
\\ 0
&5
&1
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{1}{1} = 1\qquad</math>

:<math>x_2 = \frac{\det(A_2)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{82}
&1
&9
\\ 27
&1
&3
\\ 9
&0
&1
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{1}{1} = 1\qquad</math>

:<math>x_3 = \frac{\det(A_3)}{\det(A)} =

\frac{\begin{vmatrix}{82}
&45
&1
\\ 27
&16
&1
\\ 9
&5
&0
\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}{82}
&45
&9
\\ 27
&16
&3
\\ 9
&5
&1
\end{vmatrix}}
= \frac{-14}{1} = -14</math>.

== Zunanje povezave ==

* [http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/sandbox/FE/VSS/matematika_2/VajeMH/vaja1_VS.pdf Determinante in Cramerjevo pravilo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20121119070938/http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/sandbox/FE/VSS/matematika_2/VajeMH/vaja1_VS.pdf |date=2012-11-19 }} {{ikona sl}}
* {{MathWorld|urlname=CramersRule|title=Cramer's Rule}}
* [http://www.occc.edu/maustin/cramers_rule/cramer%27s%20rule.htm Cramerjevo pravilo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100501032428/http://www.occc.edu/maustin/Cramers_Rule/Cramer%27s%20Rule.htm |date=2010-05-01 }} {{ikona en}}
* [http://www.ies.co.jp/math/java/vector/adbc/adbc.html Geometrijska razlaga Cramerjevega pravila s simulacijo] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100722232304/http://www.ies.co.jp/math/java/vector/adbc/adbc.html |date=2010-07-22 }} {{ikona en}}

[[Kategorija:Linearna algebra]]
[[Kategorija:Determinante]]
[[Kategorija:1750 v znanosti]]