Ogled vira Deljenje z 0

[[slika:Hyperbola_one_over_x.svg|alt= Graph showing the diagrammatic representation of limits approaching infinity|sličica|Funkcija <math> y = 1/x \!\, </math>. Ko se <math> x \!\,</math> približuje 0 z desne, se <math> y \!\,</math> približuje [[neskončnost]]i. Ko se <math> x \!\,</math> približuje 0 z leve, se <math> y \!\,</math> približuje negativni neskončnosti.]]
'''Deljenje z 0''' je v [[matematika|matematiki]] [[deljenje]], pri katerem je [[delitelj]] ([[imenovalec]]) enak [[0|nič]]. Takšno deljenje se lahko formalno [[matematični izraz|izrazi]] kot {{Sfrac|''a''|0}}, kjer je ''a'' [[deljenec]] ([[števec]]). V običajni [[aritmetika|aritmetiki]] izraz nima smisla, saj ne obstaja nobeno [[število]], ki bi pri [[množenje|množenju]] z 0 dalo ''a'' (če se predpostavi ''a''&nbsp;≠&nbsp;0) in je tako deljenje z 0 [[nedoločeno (matematika)|nedoločeno]]. Ker je katerokoli število pri množenju z nič enako nič, je izraz {{Sfrac|0|0}} prav tako nedoločen; ko je v obliki [[limita funkcije|limite]], je v [[indeterminantna oblika|indeterminantni obliki]]. Skozi zgodovino je eden izmed najzgodnejših virov matematične nezmnožnosti določanja vrednosti izrazu {{Sfrac|''a''|0}} kritika [[George Berkeley|Georgea Berkeleya]] [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]] iz leta 1734 v ''[[The Analyst]]'' ("duhovi zapuščenih vrednosti").<ref>{{citat|last=Cajori|first=Florian|author-link=Florian Cajori|journal=The Mathematics Teacher|volume=22|number=6|jstor=27951153|pages=366–368|title=Absurdities due to division by zero: An historical note|year=1929}}</ref>

Obstajajo [[matematična struktura|matematične strukture]], kjer je {{Sfrac|''a''|0}} definiran za nek ''a,'' kot recimo na [[Riemannova sfera|Riemannovi sferi]] in [[projektivna razširjena realna premica|projektivno razširjeni realni premici]], toda takšne strukture ne zadostijo niti normalnim pravilom aritmetike ([[polje (matematika)|aksiomom polja]]).

V [[računalništvo|računalništvu]] lahko zaradi deljenja z 0 nastane [[računalniško programiranje|programska napaka]]. Od programerskega okolja in vrste števila (torej [[plavajoča vejica]], [[celo število]]) je odvisen izpis: lahko izpiše [[razširjena realna premica|pozitivno ali negativno neskončnost]] po standardu [[IEEE 754]] za plavajočo vejico, lahko vrže [[upravljanje z izjemami|izjeme]], proizvede [[sporočilo napake]], konča program, izpiše posebno vrednost [[NaN]].<ref>{{navedi splet|title=Perl BigInt documentation|url=https://perldoc.perl.org/bigint.html#Sign|website=Perl::doc|publisher=Perl 5 Porters|accessdate=1 March 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190926042410/https://perldoc.perl.org/bigint.html#Sign|archivedate=26 September 2019}}</ref> ali se [[Zrušitev (računalništvo)|sesuje]]

== Algebra ==

Štiri osnovne operacije – seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje – na naravnih številih povzročijo razne razširitve te množice. Če želimo na primer odšteti katerokoli naravno število od drugega, potrebujemo novo razširitev množice naravnih števil, sedaj imenovano [[Celo število|cela števila]], kjer so vključena tudi negativna cela števila. Da pa bi lahko delili katerikoli dve števili, moramo dobljeno množico še naprej razširiti v množico [[Racionalno število|racionalnih števil]]. Ko razširjamo nove in nove množice, rabimo paziti, da "razširjene operacije" ne ustvarijo drugačnih rezultatov na istih starih številih. Drugače rečeno, ker deljenje z 0 nima pomena (je ''nedefinirano'') v celih številih, mora to ostati resnično tudi takrat, ko to množico razširimo na [[Realno število|realna]] ali [[Kompleksno število|kompleksna števila]].

Ko se realnost števil razširi na več operacij, se spremeni tudi njihov pomen. Pri celih številih odštevanje ni več osnovna operacija, ampak samo prištevanje obratne vrednosti.<ref>{{Harvardski navedek brez oklepajev|Klein|1925}}</ref> Deljenje pri racionalnih številih ni več osnovna operacija, saj se jo lahko nadomesti z množenjem nekega števila. Ko o tem bolje razmislimo, se vprašanje iz "Zakaj ne moremo deliti z nič?" spremeni v "Zakaj ne more imeti racionalno število imenovalca enakega nič?" Odgovor na to spremenjeno vprašanje vključuje vpogled v samo definicijo racionalnih števil.

V modernem načrtovanju polja realnih števil delujejo racionalna števila kot vmesni korak v razvoju, ki je osnovan na teoriji množic. Naravna števila (s številom nič) se najprej postavijo na aksiomih, kot so recimo [[Peanovi aksiomi]], potem pa se to razširi na [[kolobar celih števil]]. Naslednji korak je definiranje racionalnih števil, ki jih lahko definiramo le z množicami in prej definiranimi osnovnimi operacijami, ki so seštevanje, množenje in cela števila. Če začnemo z množico [[Urejeni par|urejenih parov]] celih števil, {{Matematična formula|{(''a'', ''b'')}}} kjer velja {{Matematična formula|''b'' ≠ 0}}, lahko definiramo [[Binarna relacija|binarno operacijo]] na tej množici z {{Matematična formula|(''a'', ''b'') ≃ (''c'', ''d'')}} če in samo če velja {{Matematična formula|1=''ad'' = ''bc''}}. Ta relacija je [[ekvivalenčna relacija]], njeni [[Ekvivalenčni razred|ekvivalenčni razredi]] pa so racionalna števila. V formalnem dokazu je navedeno, da je to ekvivalenčna relacija s pogojem, da druga koordinata ni enaka nič (za pogojevanje [[Tranzitivnost|tranzitivnosti]]).<ref>{{Harvardski navedek brez oklepajev|Schumacher|1996}}</ref><ref>{{Harvardski navedek brez oklepajev|Hamilton|1982}}</ref><ref>{{Harvardski navedek brez oklepajev|Henkin|Smith|Varineau|Walsh|2012}}</ref>

Zgornja razlaga je za veliko uporab preveč abstraktna in tehnična, toda če bi predpostavili obstoj in lastnosti racionalnih števil, kot se običajno naredi v elementarni matematiki, je "razlog" za nedeljivost z 0 skrit. Lahko pa podamo (manj strogo) obliko razlage:

Iz lastnosti številskih sistemov, ki jih uporabljamo (celih, racionalnih, realnih števil), za {{Matematična formula|''b'' ≠ 0}} in {{Matematična formula|1={{sfrac|''a''|''b''}} = ''c''}} velja {{Matematična formula|1=''a'' = ''b'' × ''c''}}. Če predpostavimo, da je {{Matematična formula|{{sfrac|''a''|0}}}} število {{Mvar|c}}, potem bi moralo veljati {{Matematična formula|1=''a'' = 0 × ''c'' = 0}}. Toda število {{Mvar|c}} bi lahko potem določili z enačbo {{Matematična formula|1=0 = 0 × ''c''}}, ki ji zadosti vsako število, zato izrazu {{Matematična formula|{{sfrac|0|0}}}} ne moremo določiti dejanske numerične vrednosti.<ref name="#1">{{Harvardski navedek brez oklepajev|Bunch|1997}}</ref>

=== Deljenje kot inverz množenja ===
Koncept, ki razloži [[deljenje]] v algebri, je ta, da je deljenje inverz množenja. Na primer,<ref>{{Navedi knjigo|title=E-Z Math|edition=revised|first=Anthony|last=Prindle|first2=Katie|last2=Prindle|publisher=Barron's Educational Series|year=2009|isbn=978-0-7641-4132-4|page=[https://archive.org/details/ezmath00prin/page/35 35]|url=https://archive.org/details/ezmath00prin}} [https://books.google.com/books?id=3zQIrGLwkQkC&pg=PA35 Extract of page 35]</ref>

: <math>\frac{6}{3}=2</math>

saj je število 2 vrednost za neznano količino, da je enačba

: <math>?\times 3=6</math>

pravilna. Toda izraz

: <math>\frac{6}{0}=\,x</math>

želi imeti vrednost, ki bi zadostila enačbi

: <math>x\times 0=6.</math>

Toda vsako število je pri množenju z 0 enako 0, zato ni tukaj nobenega števila, ki bi to enačbo rešilo.

Izraz

: <math>\frac{0}{0}=\,x</math>

potrebuje vrednost v enačbi

: <math>x\times 0=0.</math>

Tudi tukaj je vsako število pomnoženo z 0 enako 0, zato tukaj vedno vsako število reši enačbo namesto enega končnega rezultata, ki bi ga lahko upoštevali kot vrednost izraza 0/0.

Na kratko, ne moremo določiti ene vrednosti ulomku, katerega imenovalec je enak 0, zato je vrednost nedefinirana.

=== Matematične zmote ===
Velik razlog, da ne dovolimo deljenja z 0, je ta, da bi pri dovoljenju deljenja nastalo veliko absurdnih rezultatov ([[Matematična zmota|matematičnih zmot]]). Ko delamo z numeričnimi količinami, je enostavno videti, kdaj napravimo ilegalni poskus, da bi delili z 0. Poglejmo si sledeči izračun.

S predpostavkama:

: <math>\begin{align} 0\times 1 &= 0, \\ 0\times 2 &= 0, \end{align}</math>

velja tudi sledeče:

: <math>0\times 1 = 0\times 2.</math>

Če delimo obe strani z 0, dobimo:

: <math>\begin{align} \frac{0\times 1}{0} &= \frac{0\times 2}{0} \\[6px] \frac{0}{0}\times 1 &= \frac{0}{0}\times 2. \end{align}</math>

Če poenostavimo, dobimo:

: <math>1 = 2.</math>

Tukajšnja zmota je predpostavka, da je deljenje 0 z 0 pravilna operacija z enakimi lastnostmi kot deljenje z drugimi števili.

Možno pa je, da prikrito uporabimo deljenje z 0 v [[Algebra|algebraičnem]] argumentu,<ref name="Kaplan">{{Navedi knjigo|last=Kaplan|first=Robert|title=The Nothing That Is: A Natural History of Zero|url=https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl|publisher=Oxford University Press|year=1999|location=New York|pages=[https://archive.org/details/nothingthatisnat00kapl/page/68 68–75]|isbn=978-0-19-514237-2}}</ref> iz česar sledijo [[Matematična zmota|neveljavni dokazi]], kot recimo {{Matematična formula|1=1 = 2}}:<ref name="#1"/>

: Naj bo {{Matematična formula|1=1 = ''x''}}.
: Množimo z {{Mvar|x}}, da dobimo
:: <math>x = x^2.</math>
: Odštejemo {{Matematična formula|1}} z obeh strani, da dobimo
:: <math>x - 1 = x^2 - 1.</math>
: Delimo obe strani z {{Matematična formula|''x'' − 1}}
:: <math>\begin{align} \frac{x-1}{x-1} &= \frac{x^2 -1}{x - 1} \\[6pt] &= \frac{(x + 1) (x - 1)}{x - 1}, \end{align}</math>
: kar se poenostavi v
:: <math>1 = x + 1.</math>
: Ker velja {{Matematična formula|1=''x'' = 1}}, dobimo
:: <math>1 = 1 + 1 = 2.</math>

Tukaj se zmota zgodi, ker smo delili z {{Matematična formula|1=''x'' − 1 = 0}}, ko je veljalo {{Matematična formula|1=''x'' = 1}}.

== Zgodovinski spodrsljaji ==

* 21. septembra 1997 je deljenje z 0 v sistemu "''Remote Data Base Manager''" na krovu ladje [[USS Yorktown (CG-48)|''USS Yorktown (CG-48)'']] zrušilo vse naprave v omrežju, kar je povzročilo padec celotnega omrežja.<ref>{{Navedi novice|url=http://archive.wired.com/science/discoveries/news/1998/07/13987|title=Sunk by Windows NT|date=1998-07-24|work=[[Wired News]]}}</ref><ref>{{Navedi splet|url=http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/Boulder.pdf|title=Desperately Needed Remedies for the Undebuggability of Large Floating-Point Computations in Science and Engineering|last=William Kahan|date=14 October 2011}}</ref>

== Glej tudi ==

* [[asimptota]]
* [[dobro definirano|definirano in nedefinirano]]
* ''[[Division by Zero]]'', kratka zgodba [[Ted Chiang|Teda Chianga]]
* [[indeterminantna oblika]]
* [[delitelj niča]]

== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

{{refbegin|4}}
* {{citation|first=Bryan|last=Bunch|title=Mathematical Fallacies and Paradoxes|year=1997|origyear=1982|publisher=Dover|isbn=978-0-486-29664-7}}
* {{citation|first=Felix|last=Klein|title=Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint / Arithmetic, Algebra, Analysis|year=1925|edition=3.|publisher=Dover|translator-first1=E. R.|translator-last1=Hedrick|translator-first2=C. A.|translator-last2=Noble}}
* {{citation|first=A. G.|last=Hamilton|title=Numbers, Sets, and Axioms|year=1982|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0521287616}}
* {{citation|first1=Leon|last1=Henkin|first2=Norman|last2=Smith|first3=Verne J.|last3=Varineau|first4=Michael J.|last4=Walsh|year=2012|title=Retracing Elementary Mathematics|publisher=Literary Licensing LLC|isbn=978-1258291488}}
* [[Patrick Suppes]] 1957 (1999 Dover edition), ''Introduction to Logic'', Dover Publications, Inc., Mineola, New York. {{ISBN|0-486-40687-3}} (pbk.). This book is in print and readily available. Suppes's §8.5 ''The Problem of Division by Zero'' begins this way: "That everything is not for the best in this best of all possible worlds, even in mathematics, is well illustrated by the vexing problem of defining the operation of division in the elementary theory of arithmetic" (p.&nbsp;163). In his §8.7 '''Five Approaches to Division by Zero''' he remarks that "...there is no uniformly satisfactory solution" (p.&nbsp;166)
* {{citation|first=Carol|last=Schumacher|title=Chapter Zero : Fundamental Notions of Abstract Mathematics|year=1996|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-82653-1}}
* Charles Seife 2000, ''[[Zero: The Biography of a Dangerous Idea]]'', Penguin Books, NY, {{ISBN|0-14-029647-6}} (pbk.). This award-winning book is very accessible. Along with the fascinating history of (for some) an abhorrent notion and others a cultural asset, describes how zero is misapplied with respect to multiplication and division.
* [[Alfred Tarski]] 1941 (1995 Dover edition), ''Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences'', Dover Publications, Inc., Mineola, New York. {{ISBN|0-486-28462-X}} (pbk.). Tarski's §53 '''Definitions whose definiendum contains the identity sign''' discusses how mistakes are made (at least with respect to zero). He ends his chapter "(A discussion of this rather difficult problem [exactly one number satisfying a definiens] will be omitted here.*)" (p.&nbsp;183). The * points to Exercise #24 (p.&nbsp;189) wherein he asks for a proof of the following: "In section 53, the definition of the number '0' was stated by way of an example. To be certain this definition does not lead to a contradiction, it should be preceded by the following theorem: ''There exists exactly one number x such that, for any number y, one has: y + x = y''"
{{refend}}

== Nadaljnje branje ==

 {{refbegin}}
* Jakub Czajko (July 2004) "{{doi-inline|10.1016/j.chaos.2003.12.046|On Cantorian spacetime over number systems with division by zero}}", ''Chaos, Solitons and Fractals'', volume 21, number 2, pages 261–271.
* {{navedi splet|url=http://www.badscience.net/?p=335|title=Maths Professor Divides By Zero, Says BBC|date=2006-12-07|author=Ben Goldacre|author-link=Ben Goldacre}}
* [http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf To Continue with Continuity] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190921011602/http://www.metaphysica.de/texte/mp2005_2-Cooke.pdf |date=2019-09-21 }} ''Metaphysica'' 6, pp.&nbsp;91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.
{{refend}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Neskončnost]]
[[Kategorija:Ulomki]]
[[Kategorija:Računalniška aritmetika]]
[[Kategorija:Nič]]