Ogled vira Diadni produkt

'''Diadni produkt''' (oznaka <math> \otimes \,</math>) je v [[multilinearna algebra|multilinearni algebri]] [[tenzorski produkt]] dveh [[vektor]]jev, ki imata enako razsežnost. Rezultat je tenzor drugega [[tenzor|reda]] in [[tenzor|ranga]] 1. Imenuje se tudi [[tenzorski produkt vektorjev]] (zunanji produkt). Tako diadni produkt dveh vektorjev <math> u \,</math> in <math> v \,</math>, ki imata enako razsežnost, zapišemo kot:

:<math>\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}</math> 

== Komponente ==

Če imamo izbrano [[baza (linearna algebra)|bazo]] <math>\{\mathbf{e}_i\}</math>, so komponente <math> P_{ij} \,</math> diadnega produkta  <math>\mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}</math>:

:<math>\displaystyle P_{ij} = u_i v_j </math> 
kjer je:
* <math>\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i</math>
* <math>\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j</math> 
ali:

: <math>\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j</math> .

== Matrični zapis ==

Diadni produkt lahko zapišemo tudi v matrični obliki. Vektor <math> u \,</math> zapišemo kot [[stolpični vektor]] v obliki:

<math>\mathbf{u}=  \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}</math>.

Vektor <math> v \,</math> pa je [[vrstični vektor]]
<math>\mathbf{v}=  \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}\,</math>.
Kot produkt obeh vektorjev dobimo [[kvadratna matrika|kvadratno matriko]] v obliki:

: <math> \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} \,</math>.

Iz tega vidimo, da je diadni produkt samo posebni primer [[Kroneckerjev produkt|Kroneckerjevega produkta]].

== Značilnosti ==

Za diadni produkt veljajo naslednje značilnosti:

* <math> (\alpha \mathbf{u}) \otimes \mathbf{v} = \mathbf{u} \otimes (\alpha \mathbf{v}) = \alpha (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \,</math>
* <math> \mathbf{u} \otimes (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} + \mathbf{u} \otimes \mathbf{w}\,</math> 
* <math>  (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \otimes \mathbf{w} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{w} + \mathbf{v} \otimes \mathbf{w}\,</math> 
* <math> (\mathbf{u} \otimes \mathbf{v}) \mathbf{w} = \mathbf{u} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}) \,</math> 
* <math> \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \otimes \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) \mathbf{w} \,</math>.

== Glej tudi ==

* [[diadni tenzor]]
* [[tenzorski produkt]]
* [[Kroneckerjev produkt]]
* [[tenzorski produkt vektorjev]] (zunanji produkt)

[[Kategorija:Tenzorji]]