Ogled vira Diracov zapis

'''Diracov zapis''' je v [[fizika|fiziki]] in še posebej v [[kvantna mehanika|kvantni mehaniki]] priročen zapis za označevanje [[kvantno stanje|kvantnomehanskih stanj]], ki ga je leta 1939 uspešno uvedel angleški fizik [[Paul Adrien Maurice Dirac]].<ref name="dira_1939" /><ref name="shan_1994" /><ref name="mcma_2006" /> V njem se [[skalarni produkt]] dveh kvantnomehanskih stanj označuje z oznako <math> \langle \phi | \psi \rangle \!\, </math>. Leva stran »<math> \langle \phi | \!\, </math>« se imenuje '''bra''' (''okle''), desna »<math> | \psi \rangle \!\, </math>« pa '''ket''' (''paj''), kar da skupaj ''bra(c)ket'' ({{jezik-en|[[oklepaj]]}}). Zapis za konstrukcijo »brajev« in »ketov« rabi [[lomljeni oklepaj|lomljena oklepaja]], uklepaj »<math> \langle \!\, </math>« in zaklepaj »<math> \rangle \!\, </math>«, ter [[navpičnica (tipografija)|navpičnico]] »<math> |\!\, </math>«:

* ket ima obliko »<math> | \psi \rangle \!\, </math>«. Matematično označuje [[vektor (matematika)|vektor]] <math> \boldsymbol \psi \!\, </math> v abstraktnem (kompleksnem) [[vektorski prostor|vektorskem prostoru]] <math> \Psi \!\, </math>, fizično pa predstavlja poljubno kvantnomehansko stanje. 
* bra ima obliko »<math> \langle \phi | \!\, </math>« in matematično predstavlja [[linearna forma|linearni funkcional]] <math> \phi : \Psi \rightarrow \mathbb{\Complex} \!\, </math>, to je  [[linearna preslikava|linearno preslikavo]], ki preslika vsak vektor v <math> \Psi \!\, </math> v [[število]] na [[kompleksna ravnina|kompleksni ravnini]] <math> \mathbb{\Complex} \!\, </math>.

Če linearni funkcional <math> \langle \phi | \!\, </math> deluje na vektor <math> | \psi \rangle \!\, </math>, se to zapiše kot <math> \langle \phi | \psi \rangle \in \mathbb{\Complex} \!\, </math>. Na <math> \Psi \!\, </math> je definiran [[skalarni produkt]] <math> (\cdot,\cdot) \!\, </math> z [[antilinearna preslikava|antilinearnim]] prvim argumentom, zaradi česar je <math> \Psi \!\, </math> [[Hilbertov prostor]].{{efn|Strogo matematično gledano je v skalarnem produktu tudi drugi argument antilinearen. Definicija skalarnega produkta z antilinearnostjo le v prvem argumentu je v kvantni mehaniki priročnejša saj omogoča vpeljavo Diracovega zapisa.<ref name="milo_1997" />}} S tem skalarnim produktom se lahko vsak vektor <math> \boldsymbol \phi \equiv | \phi \rangle \!\, </math> poistoveti z odgovarjajočim linearnim funkcionalom, tako da se ga postavi v antilinearno prvo mesto [[notranji produkt|notranjega produkta]]: <math> (\boldsymbol \phi,\cdot) \equiv \langle \phi| \!\, </math>. Korespondenca med tema zapisoma je potem <math> (\boldsymbol \phi, \boldsymbol \psi) \equiv \langle \phi | \psi \rangle \!\, </math>. Linearni funkcional <math> \langle \phi| \!\, </math> je [[kovektor]] vektorja <math> | \phi\rangle \!\, </math>, množica vseh kovektorjev pa tvori [[dualni vektorski prostor]] <math> \Psi^{\vee} \!\, </math> k začetnemu vektorskemu prostoru <math> \Psi \!\, </math>. Smisel tega linearnega funkcionala <math> \langle \phi| \!\, </math> se lahko sedaj razume s pomočjo tvorjenja projekcij na stanje <math> \boldsymbol \phi \!\, </math>, s čimer se lahko najde kako sta dve stanji linearno odvisni ipd. Za vektorski prostor <math> \mathbb{\Complex}^{n} \!\, </math> lahko keti predstavljajo stolpične vektorje, braji pa vrstične vektorje. Kombinacije brajev, ketov in operatorjev se predstavi s pomočjo [[množenje matrik|matričnega množenja]]. Če ima <math> \mathbb{\Complex}^{n} \!\, </math> standardni hermitski notranji produkt <math>(\boldsymbol \phi, \boldsymbol \psi) = \phi^{\dagger} \psi \!\, </math>, ima pri takšnem poistovetenju poistovetenje ketov in brajev, ter obratno z notranjim produktom, hermitsko konjugirano obliko <math> \dagger \!\, </math>. V splošnem Diracov zapis omogoča lažjo vizualno predstavitev bolj zapletenih izrazov – <math> \langle \ldots \rangle \!\, </math> je skalar, <math> | \ldots | \!\, </math> je operator, <math> | \ \ \rangle \!\, </math> je vektor iz obravnavanega prostora, <math> \langle \ \ | \!\, </math> pa vektor (linearni fukcional) iz njegovega dualnega prostora. Pri tem se ustrezni medseboj dualni objekti označujejo z enako črko.<ref name="milo_1997_1" />

Velikokrat se vektor ali funkcional v Diracovem zapisu opuščata in se znotraj tipografije za braje in kete rabi le oznaka. Na primer operator spina <math> \hat \sigma_{z} \!\, </math> na dvorazsežnem prostoru [[spinor]]jev <math>\Delta \!\, </math> ima [[lastna vrednost|lastne vrednosti]] <math> \pm \!\, </math>½  z [[lastni spinor|lastnimi spinorji]] <math> \boldsymbol \psi_{+}, \boldsymbol \psi_{-} \in \Delta \!\, </math>. V Diracovem zapisu se to tipično označi kot <math> \boldsymbol \psi_{+} = |+ \rangle \!\, </math> in <math> \boldsymbol \psi_{-} = |-\rangle \!\, </math>. Kakor zgoraj se keti in braji z enako oznako obravnavajo kot keti in braji, ki odgovarjajo drug drugemu s pomočjo notranjega produkta. Še posebej kadar so poistoveteni z vrstičnimi in stolpičnimi vektorji, se keti in braji z enakimi oznakami poistovetijo s hermitsko transponiranimi (konjugiranimi) stolpičnimi in vrstičnimi vektorji.

Predhodnika Diracovega zapisa predstavlja zapis <math> [\phi{\mid}\psi] \!\, </math> [[Hermann Günther Grassmann|Hermanna Güntherja Grassmanna]] skoraj 100 let pred tem.<ref name="gras_1862" /><ref name="suss_2006a" />

== Uvod ==

Diracov zapis je zapis za [[linearna algebra|linearno algebro]] in [[linearni operator|linearne operatorje]] na kompleksnih [[vektorski prostor|vektorskih prostorih]] skupaj z njihovim [[dualni prostor|dualnim prostorom]] tako v končnorazsežnem kot v neskončnorazsežnem primeru. Oblikovan je posebej za lažje računanje, ki se pogosto pojavlja v [[kvantna mehanika|kvantni mehaniki]]. Njegova raba v kvantni mehaniki je zelo razširjena. Mnogo pojavov, ki jih pojasnjuje kvantna mehanika, je opisanih z Diracovim zapisom.

== Vektorski prostori ==

=== Vektorji proti ketom ===

Izraz »vektor« se v matematiki rabi za element poljubnega vektorskega prostora. V fiziki je izraz »vektor« veliko bolj določen – nanaša se skoraj izključno na količine, kot sta na primer [[premik (geometrija)|premik]] ali [[hitrost]], s komponentami, ki so neposredno povezane s [[trirazsežni prostor|tremi razsežnostmi prostora]] ali relativistično s [[štirirazsežni prostor|štirimi]] [[prostor-čas]]a. Takšni vektorji so tipično označeni z nadpisanimi puščicami (<math> \vec r \!\, </math>), krepko pokončno (<math> \mathbf{p} \!\, </math>) ali z indeksi (<math> v^{\mu} \!\, </math>).

V kvantni mehaniki je [[kvantno stanje|kvantnomehansko stanje]] tipično predstavljeno kot element (kompleksnega) [[Hilbertov prostor|Hilbertovega prostora]], na primer neskončno razsežnega vektorskega polja vseh možnih [[valovna funkcija|valovnih funkcij]] (kvadratnih integrabilnih funkcij, ki preslikajo vsako točno trirazsežnega prostora v kompleksno število), ali kakšnega bolj abstraktnega Hilbertovega prostora, konstruiranega bolj algebrsko. Ker se izraz »vektor« že rabi za nekaj drugega (glej predhodni razdelek), in ker se fiziki nagibajo k dogovorjenemu zapisu prostora, katerega element je nekaj, je običajno in priročno označiti element <math> \phi \!\, </math> abstraktnih kompleksnih vektorskih prostorov kot ket <math> | \phi \rangle \!\, </math> z navpičnicami in lomljenimi oklepaji, ter se nanje sklicevati kot na »kete« namesto na vektorje in brati »ket-<math> \phi \!\, </math>« ali »ket-A« za <math> | A \rangle \!\, </math>. Simboli, črke, števila ali celo besede (vse kar je primerno za ustrezno oznako) se lahko rabi kot oznaka znotraj keta z zapisom <math> | \ \ \rangle \!\, </math>, kjer je jasno pokazano, da oznaka označuje vektor v vektorskem prostoru. Drugače povedano – simbol »<math> | A \rangle \!\, </math>« ima določen in splošen matematični pomen, zapis »<math> A \!\, </math>« pa sam po sebi ne. <math> | 1 \rangle \!\, + | 2 \rangle </math> na primer ni nujno enako <math> | 3 \rangle \!\, </math>. Ne glede na to zaradi pripravnosti po navadi obstaja kakšna logična shema za oznakami znotraj ketov, kot je na primer splošna praksa označevanja [[stacionarno stanje|lastnih ketov]] v kvantni mehaniki prek seznama njihovih [[kvantno število|kvantnih števil]].

=== Zapis brajev in ketov ===

Ker so keti le vektorji v hermitskem vektorskem prostoru, se lahko z njimi ravna prek običajnih pravil linearne algebre. Na primer:

: <math> \begin{align}
|A \rangle &= | B \rangle + |C \rangle \\
|C \rangle &= (-1+2i) | D \rangle \\
|D \rangle &= \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} | x \rangle \, \mathrm{d}x \!\, .
\end{align}</math>

V zadnjem zgledu zgoraj nastopa neskončno mnogo različnih ketov, za vsako realno število <math> x \!\, </math> eden.

Če je ket element vektorskega prostora, je bra <math> \langle A| \!\, </math> element njegovega [[dualni prostor|dualnega prostora]] – bra je linearni funkcional, kar je linearna preslikava iz vektorskega prostora na kompleksna števila. Zato je praktično razmišljati o ketih in brajih kot elementih različnih vektorskih prostorov (vseeno glej spodaj), ki sta oba različna uporabna koncepta.

Bra <math> \langle\phi| \!\, </math> in ket <math> |\psi\rangle \!\, </math> (to je funkcional in vektor), se lahko kombinirata v operator <math> |\psi\rangle\langle\phi| \!\, </math> z rangom ena z [[diadni produkt|diadnim produktom]]:

: <math> |\psi\rangle\langle\phi| : |\xi\rangle \mapsto |\psi\rangle\langle\phi|\xi\rangle ~ \!\, . </math>

=== Notranji produkt in poistovetenje brajev in ketov na Hilbertovem prostoru ===
{{glavni|notranji produkt}}

Diracov zapis je še posebej uporaben v Hilbertovih prostorih z [[notranji produkt|notranjim produktom]],<ref name="suss_2006b" /> ki omogočajo hermitsko konjugacijo in poistovetenje vektorja z linearnim funkcionalom, to je ket z brajem in obratno (glej [[Rieszov reprezentacijski izrek]]). Notranji produkt na Hilbertovem prostoru <math> (\ , \ ) \!\, </math> (s prvim argumentom antilinearnim, čemur fiziki dajejo prednost) je v celoti enakovreden (antilinearnemu) poistovetenju med prostorom ketov in prostorom brajev v Diracovem zapisu – za vektor ket <math> \phi = |\phi\rangle \!\, , </math> se funkcional (bra) <math> f_{\phi} = \langle \phi| \!\, </math> definira kot:

: <math> (\phi,\psi) = (| \phi \rangle, | \psi \rangle) := f_{\phi}(\psi) = \langle \phi | \, \bigl( | \psi \rangle \bigr) = \langle \phi{\mid} \psi \rangle \!\, . </math>

==== Braji in keti kot vrstični in stolpični vektorji ====

V preprostem primeru, kadar se obravnava vektorski prostor <math> \mathbf{\Complex}^{n} \!\, </math>, se lahko ket predstavi kot [[stolpični vektor]], bra pa kot [[vrstični vektor]]. Če se naprej rabi standardni hermitski notranji produkt na <math> \mathbf{\Complex}^{n} \!\, </math>, bra, ki odgovarja ketu, še posebej bra <math> \langle m | \!\, </math> in ket <math> | m \rangle \!\, </math> z enakimi oznakama sta [[konjugirano transponirana matrika|konjugirano transponirana]]. Z dogovorom se doseže, da pisanje brajev, ketov in linearnih operatorjev drug poleg drugega preprosto pomeni [[množenje matrik|matrično množenje]].<ref name="gidn_2016" /> Še posebej se diadni produkt <math> |\psi \rangle \langle \phi | \!\, </math> stolpičnega in vrstičnega vektorja ket in bra lahko opredeli z matričnim množenjem (produkt stolpičnega in vrstičnega vektorja je enak matriki).

Za končnorazsežni vektorski prostor s fiksno [[ortonormirana baza|ortonormirano bazo]] se lahko notranji produkt zapiše kot matrično množenje vrstičnega vektorja s stolpičnim:

: <math> \langle A | B \rangle \doteq A_{1}^{*} B_{1} + A_{2}^{*} B_{2} + \cdots + A_{N}^{*} B_{N} =
\begin{pmatrix} A_{1}^{*} & A_{2}^{*} & \cdots & A_{N}^{*} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{N} \end{pmatrix} \!\, . </math>

Na podlagi tega se lahko braji in keti definirajo kot:

: <math> \begin{align} \langle A | &\doteq \begin{pmatrix} A_{1}^{*} & A_{2}^{*} & \cdots & A_{N}^{*} \end{pmatrix} \!\, , \\
| B \rangle &\doteq \begin{pmatrix} B_{1} \\ B_{2} \\ \vdots \\ B_{N} \end{pmatrix} \!\, . \end{align} </math>

pri čemer se razume, da bra ob ketu pomeni matrično množenje.

Konjugirano transponiranje (imenovano tudi ''hermitsko konjugiranje'') braja je odgovarjajoči ket in obratno:

: <math> \langle A |^{\dagger} = |A \rangle, \quad |A \rangle^{\dagger} = \langle A | \!\, , </math>

saj, če se najprej zapiše bra:

: <math> \begin{pmatrix} A_{1}^{*} & A_{2}^{*} & \cdots & A_{N}^{*} \end{pmatrix} \!\, , </math>

nato [[konjugirano kompleksno število|kompleksno konjugiranje]] in še [[transponirana matrika|transponiranje]], sledi odgovarjajoči ket:

: <math> \begin{pmatrix} A_{1} \\ A_{2} \\ \vdots \\ A_{N} \end{pmatrix} \!\, . </math>

Zapisovanje elementov končnorazsežnega (ali s potrebnimi spremembami [[števna množica|števno neskončnega]]) vektorskega prostora kot stolpčni vektor števil zahteva izbiro [[baza (linearna algebra)|baze]]. Izbira baze ni vedno v pomoč, saj se računi v kvantni mehaniki pogostokrat izvajajo v različnih bazah (npr. v bazi lege, bazi [[gibalna količina|gibalne količine]], lastni bazi [[energija|energije]]), tako da se lahko zapiše na primer »<math> | m \rangle \!\, </math>«, kar ne pripada nobeni posebni bazi. V primerih, ki vsebujejo dva različna pomembna bazna vektorja, se lahko v zapisu vzameta ekplicitno, kar bo pomenilo preprosto kot »<math> | - \rangle \!\, </math>« in »<math> | + \rangle \!\, </math>«.

=== Nenormalizabilna stanja in nehilbertovski prostori ===

Diracov zapis se lahko rabi tudi če vektorski prostor ni [[Hilbertov prostor|Hilbertov]].

V kvantni mehaniki se keti velikokrat zapisujejo z neskončno [[norma (matematika)|normo]], to je z normalizabilnimi [[valovna funkcija|valovnimi funkcijami]]. Med takšne zglede spadajo stanja, katerih valovne funkcije so [[porazdelitev delta|porazdelitve delta]], ali neskončno [[ravno valovanje]]. Ti objekti tehnično gledano sami ne pripadajo Hilbertovemu prostoru. Definicija »Hilbertovega prostora« pa se za prilagoditev teh stanj (glej [[Gelfand-Najmark-Segalova konstrukcija]] ali [[opremljeni Hilbertov prostor]]) lahko razširi. V tem širšem konceptu Diracov zapis na podoben način še vedno velja.

[[Banachov prostor|Banachovi prostori]] so drugačne posplošitve Hilbertovih prostorov. V Banachovem prostoru <math> \mathcal{B} \!\, </math> se lahko vektorji označijo s keti in zvezni [[linearni funkcional|linearni funkcionali]] z braji. Prek poljubnega vektorskega prostora brez [[topologija|topologije]] se lahko označi vektorje s keti in linearni funkcionali z braji. V teh splošnejših kontekstih Diracov zapis nima pomena notranjega produkta saj Rieszov reprezentacijski izrek ne velja.

== Raba v kvantni mehaniki ==

Matematična struktura kvantne mehanike v veliki meri temelji na [[linearna algebra|linearni algebri]]:

* [[valovna funkcija]] in druga [[kvantno stanje|kvantnomehanska stanja]] se lahko predstavijo kot vektorji v kompleksnem [[Hilbertov prostor|Hilbertovem prostoru]]. (Eksaktna struktura takšnega Hilbertova prostora je odvisna od razmer.) V Diracovem zapisu je elektron na primer lahko v »stanju« <math> | \psi \rangle \!\, </math>. (Tehnično gledano so kvantnomehanska stanja ''[[projektivni Hilbertov prostor|(projektivni) žarki]]'' vektorjev v Hilbertovem prostoru, saj <math> c | \psi \rangle \!\, </math> odgovarja enakemu stanju poljubnega kompleksnega števila <math> c \!\, </math>.
* [[kvantna superpozicija]] se lahko opiše kot vektorska vsota sestavnih stanj. Elektron v stanju <math> | 1 \rangle + i | 2 \rangle \!\, </math> je na primer v kvantni superpoziciji stanj <math> | 1 \rangle \!\, </math> in <math> | 2 \rangle \!\, </math>.
* [[meritev (kvantna mehanika)|meritve]] so povezane z [[linearni operator|linearnimi operatorji]] (imenovanimi [[opazljivka|opazljivke]]) v Hilbertovem prostoru kvantnomehanskih stanj.
* dinamika je tudi opisana z linearnimi operatorji v Hilbertovem prostoru. V [[Schrödingerjeva slika|Schrödingerjevi sliki]] na primer obstaja linearni operator [[časovni razvoj|časovnega razvoja]] <math> U \!\, </math> s takšno značilnostjo, da če je elektron trenutno v stanju <math> | \psi \rangle \!\, </math>, bo kasneje v stanju <math> U | \psi \rangle \!\, </math> –  enak <math> U \!\, </math> za vsak možni <math> | \psi \rangle \!\, </math>.
* normalizacija [[valovna funkcija|valovne funkcije]] je takšno skaliranje valovne funkcije, da je njena [[norma (matematika)|norma]] enaka 1.

Ker dejansko vsako računanje v kvantni mehaniki zahteva vektorje in linearne operatorje, velikokrat zahteva tudi Diracov zapis. Nekaj zgledov sledi:

=== Brezspinska valovna funkcija koordinatnega prostora ===
  {{več slik
   | left
   | footer    = Komponente kompleksnih vektorjev izrisanih za indeksni števili – nezvezni <math> k \!\ , </math> in zvezni <math> x \!\, </math>. Dve posebni komponentni od neskončno mnogih sta poudarjeni.
   | width1    = 225
   | image1    = Discrete complex vector components.svg
   | caption1  = Nezvezne komponente <math> A_{k} \!\, </math> kompleksnega vektorja <math> | A \rangle = \sum_{k} A_{k} \ | e_{k} \rangle \!\, </math>, ki pripada ''števno neskončnorazsežnemu'' [[Hilbertov prostor|Hilbertovemu prostoru]] – obstaja števno neskončno mnogo vrednosti <math> k \!\, </math> in baznih vektorjev <math> | e_{k} \rangle \!\, </math>.
   | width2    = 230
   | image2    = Continuous complex vector components.svg
   | caption2  = Zvezne komponente <math> \psi (x) \!\, </math> kompleksnega vektorja <math> | \psi \rangle = \int \mathrm{d} x \ \psi(x) \ | x \rangle \!\, </math>, ki pripada ''neštevno neskončnorazsežnemu'' Hilbertovemu prostoru obstaja števno neskončno mnogo vrednosti <math> x \!\, </math> in baznih vektorjev <math> | x \rangle \!\, </math>.
  }}

Hilbertov prostor [[točkasto telo|točkastega telesa]] s [[spin]]om 0 je zajet z »[[baza (linearna algebra)|bazo]] lege« <math> | \mathbf{r} \rangle \!\, </math>, kjer oznaka <math> \mathbf{r} \!\, </math> določa množico vseh točk v [[prostor lege in gibalne količine|koordinatnem prostoru]]. Ta oznaka je lastna vrednost operatorja lege, ki deluje na takšno bazno stanje <math> \hat{\mathbf{r}} | \mathbf{r}\rangle = \mathbf{r} | \mathbf{r} \rangle \!\, </math>. Ker v bazi obstaja [[neštevna množica|neštevno neskončno]] mnogo vektorskih komponent, je to neštevno neskončnorazsežni Hilbertov prostor. Razsežnosti Hilbertovega prostora (po navadi neskončnega) in koordinatni prostor (po navadi 1, 2, ali 3) se ne smejo združiti.

Če se v tem Hilbertovem prostoru vzame poljubni <math> | \psi \rangle \!\, </math>, se lahko ''definira'' kompleksna [[skalarna funkcija]] po <math> \mathbf{r} \!\, </math>, znana kot [[valovna funkcija]]:

: <math> \Psi( \mathbf{r} ) \ \stackrel{\text{def}}{=}\ \langle \mathbf{r} | \Psi\rangle \!\, . </math>

Na levi strani enačbe je <math> \psi ( \mathbf{r} ) \!\, </math> funkcija, ki preslikuje vsako točko prostora v kompleksno število, na desni strani pa je <math> | \psi \rangle = \int \mathrm{d}^{3} \mathbf{r} \ \psi ( \mathbf{r} ) \ | \mathbf{r} \rangle \!\, </math> ket kot sestava superpozicije ketov z relativnimi koeficienti, ki jih določa ta funkcija.

Običajno se potem definirajo linearni operatorji, ki delujejo na valovne funkcije z linearnimi operatorji delujočimi na kete, kot:

: <math> \hat A \Psi ( \mathbf{r} ) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \langle \mathbf{r}|\hat A | \Psi \rangle \!\, . </math>

Operator [[gibalna količina|gibalne količine]] <math> \hat \mathbf {p} \!\, </math> ima na primer naslednjo obliko:

: <math> \hat{\mathbf{p}} \Psi( \mathbf{r} ) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \langle \mathbf{r} | \hat \mathbf{p} | \Psi \rangle = - i \hbar \nabla \Psi( \mathbf{r} ) \!\, . </math>

Včasih se naleti na izraz, ko je na primer:

: <math> \nabla | \Psi \rangle \!\, , </math>

kar je včasih [[zloraba zapisa]]. Diferencialni operator je treba razumeti kot abstraktni operator, ki deluje na kete, kar ima vpliv na diferenciranje valovnih funkcij, ko je izraz projiciran na lego baze <math> \nabla \langle \mathbf{r} | \Psi \rangle \!\, </math>, čeprav je v bazi gibalne količine ta operator le multiplikacijski operator (z <math> i \hbar \mathbf{p} \!\, </math>). Oziroma:

: <math> \langle \mathbf{r} | \hat \mathbf{p} =  - i \hbar \nabla \langle \mathbf{r}| \!\, , </math>

ali:

: <math> \hat \mathbf{p}  = \int d^{3} \mathbf{r} ~| \mathbf{r} \rangle ( - i \hbar \nabla) \langle \mathbf{r}| \!\, . </math>

=== Prekrivanje stanj ===

V kvantni mehaniki se izraz <math> \langle \phi | \psi \rangle \!\, </math> tipično tolmači kot [[verjetnostna amplituda]] za stanje <math> \psi \!\, </math>, ko se ta [[zrušitev valovne funkcije|zruši]] v stanje <math> \phi \!\, </math>. Matematično to pomeni koeficient za projekcijo <math> \psi \!\, </math> na <math> \phi \!\, </math>. Opiše se tudi kot projekcija stanja <math> \psi \!\, </math> na stanje <math> \phi \!\, </math>.

== Glej tudi ==

* [[Einsteinov zapis]]
* [[tenzor]]
* [[kvantno stanje]]
* [[notranji produkt]]

== Opombe ==

{{refbegin|1}} {{notelist}} {{refend}}

== Sklici ==

{{sklici|3|refs=
<ref name="dira_1939" >{{sktxt|Dirac|1939}}.</ref>
<ref name="shan_1994" >{{sktxt|Shankar|1994|loc=§ 1}}.</ref>
<ref name="mcma_2006" >{{sktxt|McMahon|2006}}.</ref>
<ref name="gras_1862" >{{sktxt|Grassmann|1862}}.</ref>
<ref name="suss_2006a">{{navedi splet|last1= Susskind|first1= Leonard|authorlink1= Leonard Susskind|url= https://www.youtube.com/watch?v=VtBRKw1Ab7E&t=2561|title= Lecture 2, Quantum Entanglements, Part 1|date= 2. oktober 2006|publisher= [[Univerza Stanford]]|accessdate= 18. avgusta 2020|language= en}} O kompleksnih številih, kompleksnem konjugiranju, braju in ketu.</ref>
<ref name="suss_2006b">{{navedi splet|last1= Susskind|first1= Leonard|authorlink1= |url= https://www.youtube.com/watch?v=VtBRKw1Ab7E&t=2834|title= Lecture 2, Quantum Entanglements, Part 1|date= 2. oktober 2006|publisher= Univerza Stanford|accessdate= 18. avgusta 2020|language= en}} O notranjem produktu.</ref>
<ref name="milo_1997" >{{sktxt|Milošević|1997|pp=10}}.</ref>
<ref name="milo_1997_1">{{sktxt|Milošević|1997|pp=81}}.</ref>
<ref name="gidn_2016 ">{{navedi splet|last1= Gidney|first1= Craig|title= Bra–Ket Notation Trivializes Matrix Multiplication|date= 27. november 2016|url= http://algassert.com/post/1629|work= Algorithmic Assertions|accessdate= 18. avgusta 2020|language= en}}.</ref>
}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Cajori|first1= Florian|authorlink1= Florian Cajori|title= A History Of Mathematical Notations Volume II|date= 1929|publisher= [[Open Court Publishing Company|Open Court Publishing]]|url= https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/134|isbn= 978-0-486-67766-8|page= [https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/134 134]}}
* {{citat|last1= Dirac|first1= Paul Adrien Maurice|authorlink1= Paul Adrien Maurice Dirac|date= 1939|title= A new notation for quantum mechanics|journal= Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society|volume= 35|issue= 3|pages= 416–418|doi= 10.1017/S0305004100021162|bibcode= 1939PCPS...35..416D}}. Glej tudi njegovo standardno besedilo {{citat|title= The Principles of Quantum Mechanics|edition= 4.|publisher= Clarendon Press|date= 1958|isbn= 978-0198520115}}
* {{citat|last1= Feynman|first1= Richard Phillips|authorlink1= Richard Phillips Feynman|last2= Leighton|first2= Robert Benjamin|authorlink2= Robert Benjamin Leighton|last3= Sands|first3= Matthew|authorlink3= Matthew Sands|date= 1965|title= The Feynman Lectures on Physics|volume= III|location= Reading, MA|publisher= Addison-Wesley|isbn= 0-201-02118-8|url= http://www.feynmanlectures.caltech.edu/III_toc.html}}
* {{citat|last1= Grassmann|first1= Hermann|authorlink1= Hermann Günther Grassmann|date= 1862|title= Extension Theory|series= History of Mathematics Sources|publisher= Ameriško matematično društvo, Londonsko matematično društvo|others= 2000, prevod Lloyd C. Kannenberg }}
* {{citat|last1= Littlejohn|first1= Robert|title= The Mathematical Formalism of Quantum mechanics|format= PDF|location= Berkeley|date= 2019|publisher= [[Univerza Kalifornije, Berkeley]]|url= http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hilbert.pdf|accessdate= 18. avgusta 2020|archive-date= 2012-06-17|archive-url= https://web.archive.org/web/20120617144946/http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hilbert.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= McMahon|first1= D.|title= Quantum Mechanics Demystified|url= https://archive.org/details/isbn_9780071471411|url-access= registration|publisher= McGraw-Hill|date= 2006|isbn= 0-07-145546-9}}
* {{citat|last1= Milošević|first1= Ivanka|title= Vektorski prostori i elementi vektorske analize|format= PDF|location= Beograd|date= 1997|publisher= [[Fakulteta za fiziko v Beogradu|Fakulteta za fiziko]], [[Univerza v Beogradu]]|url= http://bmw.ff.bg.ac.rs/Katedre/QMF/pdf/i1-6.pdf|accessdate= 18. avgusta 2020}}
* {{citat|last1= Shankar|first1= Ramamurti|authorlink1= Ramamurti Shankar|date= 1994|title= Principles of Quantum Mechanics|edition= 2.|isbn= 0-306-44790-8}}
{{refend}}

[[Kategorija:Kvantna mehanika]]
[[Kategorija:1939 v znanosti]]