Ogled vira Dokaz s protislovjem

'''Dokàz s protislóvjem''' je vrsta [[logika|logičnega]] argumenta, kjer se za potrebe argumenta privzame neko [[predpostavka|predpostavko]] ''T'' kot pravilno in s sklepanjem iz te [[trditev|trditve]] in drugih že [[dokaz]]anih trditev in [[aksiom]]ov pride do [[protislovje|protislovnega]] rezultata, iz česar se lahko [[sklepanje|sklepa]], da je predpostavka ''T'' nujno logično napačna. 

Ta vrsta dokaza se imenuje tudi '''prevedba na protislovje''' – z [[latinščina|latinsko]] tujko ''[[reductio ad absurdum]]'' v dobesednem prevodu »prevedba na absurd«; temu izrazu lahko sledimo do [[grščina|grškega]] izraza ''ἡ εις το αδυνατον απαγωγη'', ki ga je pogosto uporabljal [[Aristotel]] in pomeni »prevedba na nemogoče«. Tovrstni dokaz uporablja [[zakon izključene tretje možnosti]]; stavek, ki ne more biti napačen, mora biti nujno pravilen.

== Zgled ==

Želi se pokazati, da <math>\sqrt2</math> ni [[racionalno število]]. Za potrebe dokaza s protislovjem se privzame nasprotno predpostavko ''T'':
: ''T'' (začasno privzeta predpostavka): <math>\sqrt2</math> ''je'' racionalno število, torej oblike ''p/q'', kjer sta ''p'' in ''q'' [[tuje število|tuji]] [[celo število|celi števili]].
Odtod velja:

: <math> {p^2\over q^2} = 2</math> ali <math>p^2 = 2\cdot q^2 \!\, . \quad (*)</math>

Število <math>p^2</math> je [[sodo število|sodo]], torej je sodo tudi število ''p''. Zapišimo ''p'' in ''q'' z enoličnim [[praštevilski razcep|razcepom na]] [[prafaktor]]je:

: <math> p = p_1\cdot p_2\cdot \ldots p_n \!\, , </math>
: <math> q = q_1\cdot q_2\cdot \ldots q_m \!\, . </math>

Iz (*) se zapiše, da velja:

: <math> p_1^2\cdot p_2^2\cdot \ldots p_n^2 = 2\cdot q_1^2\cdot q_2^2\cdot \ldots q_m^2 \!\, . </math>

Ker je to razcep na [[praštevilo|praštevila]], se mora praštevilo 2, ki se pojavlja na desni strani, nujno pojavljati tudi na levi strani enačbe, torej mora biti neki <math>p_j=2</math> (privzeti se sme, da je kar <math>p_1=2</math>). Zdaj se enačbo okrajša z 2 in se dobi:

: <math> 2\cdot p_2^2\cdot \ldots p_n^2 = q_1^2\cdot q_2^2\cdot \ldots q_m^2 \!\, . </math>

Z istim sklepanjem kot prej se je dobilo, da mora biti tudi neki <math>q_l=2</math>. Torej 2 deli ''p'' in ''q'' hkrati, kar je [[protislovje]] s tem, da je ''p/q'' [[okrajšani ulomek]] (''p'' in ''q'' sta tuji).

Edina predpostavka, ki se je naredila, je predpostavka ''T'', da je <math>\sqrt2</math> racionalno število, torej mora biti ta nujno napačna. S protislovjem se je torej pravkar [[matematični dokaz|dokazalo]], da je <math>\sqrt2</math> [[iracionalno število]].

== Glej tudi ==

* [[dokaz z neskončnim spustom]] (metoda neskončnega spusta)

[[Kategorija:Logika]]
[[Kategorija:Matematični dokazi]]