Ogled vira Enačba

[[slika:First Equation Ever.png|thumb|right|300px|Prva uporaba enačaja, v sodobnem zapisu je to 14''x'' + 15 = 71. Iz dela ''Brus razuma'' (''The Whetstone of Witte'') [[Robert Recorde|Roberta Recordea]] (1557).<ref name="Whetstone">Recorde, Robert, ''The Whetstone of Witte'' … (London, England: {{Not a typo|Jhon}} Kyngstone, 1557), [https://archive.org/stream/TheWhetstoneOfWitte#page/n237/mode/2up the third page of the chapter "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."]</ref>]]
'''Enáčba''' je [[simbol]]ični zapis za [[Relacija enakosti|enakost]] dveh [[matematični izraz|matematičnih izrazov]]. Izraza imenujemo leva stran in desna stran enačbe. Med njima stoji [[enačaj]] (znak [[=]]).<ref name=":0">{{Navedi splet|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|accessdate=2020-09-01|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":1">{{Navedi splet|title=Equation - Math Open Reference|url=https://www.mathopenref.com/equation.html|accessdate=2020-09-01|website=www.mathopenref.com}}</ref><ref>{{Navedi splet|title=Equations and Formulas|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/equation-formula.html|accessdate=2020-09-01|website=www.mathsisfun.com}}</ref> 

[[Reševanje enačbe|''Reševanje'' enačbe,]] ki vsebuje spremenljivke, je sestavljeno iz ugotavljanja, katere vrednosti spremenljivk zadoščajo enakosti. [[Spremenljivka|Spremenljivke]], za katere je treba enačbo rešiti, imenujemo '''neznanke'''. Rešitev enačbe je tista vrednost neznanke, za katero je vrednost leve strani enačbe enaka vrednosti desne strani enačbe.<ref>{{Navedi splet|title=Rešitev enačbe|url=https://eucbeniki.sio.si/matematika6/456/index4.html|website=eucbeniki.sio.si|accessdate=2021-09-10|archive-date=2021-09-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20210910180645/https://eucbeniki.sio.si/matematika6/456/index4.html|url-status=dead}}</ref> Obstajata dve vrsti enačb: [[Identična enačba|identične]] in pogojne enačbe. Če je enačba pogojna, potem velja enakost dveh izrazov za določeno vrednost spremenljivke. Če je enačba identična, je enakost veljavna za vse vrednosti, ki jih imajo spremenljivke.<ref>{{Navedi knjigo|chapter-url=http://www.universalis.fr/encyclopedie/NT01240/EQUATION_mathematique.htm|chapter=Équation, mathématique|first=Gilles|last=Lachaud|title=Encyclopædia Universalis|language=fr}}</ref><ref>"A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, '''identities''' and '''conditional equations''' (or usually simply "equations")". « ''Equation'' », in ''{{Jezik|en|Mathematics Dictionary}}'', {{Medjezikovna povezava|Glenn James (mathematician)|de|Glenn James}} et {{Medjezikovna povezava|Robert C. James|de}} (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, str. 131.</ref>

Enačba se zapiše z dvema [[Matematični izraz|izrazoma]], povezana z [[Enačaj|znakom enakosti]] ("=").<ref name=":12">{{Navedi splet|title=Equation - Math Open Reference|url=https://www.mathopenref.com/equation.html|accessdate=2020-09-01|website=www.mathopenref.com}}</ref> Izrazi na obeh straneh znaka enačaja imenujejo "leva stran" in "desna stran" enačbe. Zelo pogosto velja, da je desna stran enačbe nič. To je mogoče uresničiti z odštevanjem desne strani od obeh strani.

Najpogostejša vrsta enačb je [[polinomska enačba]] (običajno imenovana tudi ''algebrska enačba''), pri kateri sta obe strani [[Polinom|polinoma]]. Strani polinomske enačbe vsebujeta enega ali več [[Seštevanje|členov]]. Na primer enačba

<math> Ax^2 +Bx + C - y = 0 </math>

ima levo stran <math> Ax^2 +Bx + C - y </math>, ki vsebuje štiri člene in desno stran <math> 0 </math>, ki ga sestavlja le en člen. Imena [[Spremenljivka|spremenljivk]] kažejo, da sta {{Matematična formula|''x''}} in {{Matematična formula|''y''}} neznanki in da so {{Matematična formula|''A''}}, {{Matematična formula|''B''}} in {{Matematična formula|''C''}} parametri, vendar je to običajno določeno s kontekstom (v nekaterih kontekstih je {{Mvar|y}} lahko parameter; {{Matematična formula|''A''}}, {{Matematična formula|''B''}} in {{Matematična formula|''C''}} so lahko tudi navadne spremenljivke).

Enačba je analogna tehtnici na kateri so postavljene uteži. Ko enako maso nečesa (npr. zrna) vstavimo v dve posodi, zaradi teh mas tehtnica ostane v ravnovesju, reče se da sta masi enaki. Če iz ene posode odvzamemo nekaj zrn, morate enako količino zrn odstraniti tudi iz druge posode, da ohranite tehtnico v ravnovesju. Na splošno velja, da enačba ostane v ravnovesju, če isto operacijo izvedemo na obeh straneh.

V [[Kartezična geometrija|kartezični geometriji]] se enačbe uporabljajo za opis [[Geometrijski lik|geometrijskih objektov]]. Enačbe, ki tukaj pridejo v poštev, kot so [[Implicitna enačba|implicitne enačbe]] ali [[Parametrična enačba|parametrične enačbe]], imajo neskončno veliko rešitev - namesto, da bi rešitve podali eksplicitno ali števno, kar je nemogoče, za preučevanje lastnosti objektov uporabimo enačbe. To je začetna ideja [[Algebrska geometrija|algebrske geometrije]], pomembnega področja matematike.

[[Algebra]] proučuje dve glavni družini enačb: [[Polinomska enačba|polinomske enačbe]] in med njimi poseben primer [[Linearna enačba|linearnih enačb]]. Kadar obstaja samo ena spremenljivka, imajo polinomske enačbe obliko ''P'' (''x'')&nbsp;=&nbsp;0, kjer je ''P'' [[polinom]], linearne enačbe pa imajo obliko ''ax''&nbsp;+&nbsp;''b''&nbsp;=&nbsp;0, kjer sta ''a'' in ''b'' parametra. Za reševanje enačb iz katere koli družine uporabimo algoritmične ali geometrijske tehnike, ki izvirajo iz [[Linearna algebra|linearne algebre]] ali [[Matematična analiza|matematične analize]]. Algebra proučuje tudi [[Diofantska enačba|diofantinske enačbe,]] kjer so koeficienti in rešitve [[Celo število|cela števila]]. Uporabljene tehnike so različne in izhajajo iz [[Teorija števil|teorije števil]]. Te enačbe so na splošno težke; pogosto jih uporabljamo samo zato, da ugotovimo obstoj ali odsotnost rešitve in če ta obstaja, preštejemo število rešitev.

[[Diferencialna enačba|Diferencialne enačbe]] so enačbe, ki vključujejo eno ali več funkcij in njihove odvodov. ''Rešujejo'' se tako, da najdejo izraz za funkcijo, ki ne vključuje odvodov. Diferencialne enačbe se uporabljajo za modeliranje procesov, ki vključujejo hitrost spreminjanja spremenljivke. Uporabljajo se na področjih, kot so fizika, kemija, biologija in ekonomija.

Simbol " [[Enačaj|=]] ", ki se pojavlja v vsaki enačbi, je leta 1557 izumil [[Robert Recorde]], ki je menil, da nič ne more biti bolj enako kot vzporedne ravni črti enake dolžine.<ref name="Whetstone2">Recorde, Robert, ''The Whetstone of Witte'' … (London, England: {{Not a typo|Jhon}} Kyngstone, 1557), [https://archive.org/stream/TheWhetstoneOfWitte#page/n237/mode/2up the third page of the chapter "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."]</ref>

== Uvod ==

=== Analogna ilustracija ===
[[Slika:Equation_illustration_colour.svg|sličica|Ilustracija preproste enačbe; ''x'', ''y'', ''z'' so realna števila, podobna je utežem.]]
Vsaka stran enačbe ustreza eni strani tehtnice. Na vsako stran je mogoče postaviti različne količine: če so uteži na obeh straneh enake, je tehtnica v ravnovesju in po analogiji je v ravnovesju tudi enakost, ki predstavlja ravnovesje (če temu ni tako, potem pomanjkanje ravnovesja ustreza predstavljeni [[Neenakost (matematika)|neenakosti]] z [[Neenačba|neenačbo]]).

Na sliki so ''x'', ''y'' in ''z'' različne količine (v tem primeru [[Realno število|realna števila]]), ki predstavljajo uteži, in vsaka od ''x'', ''y'' in ''z'' ima drugačno maso. Seštevanje ustreza dodajanju mase, odštevanje pa odvzemanju mase od tiste, ki že obstaja. Ko velja enakost, je skupna masa na vsaki strani enaka.

=== Parametri in neznanke ===
{{See also|Matematični izraz}}
Enačbe pogosto vsebujejo izraze, ki niso neznanke. Ti drugi izrazi, za katere se domneva, da so ''znani'', se običajno imenujejo ''konstante'', ''koeficienti'' ali ''parametri''.

Primer enačbe, ki vključuje ''x'' in ''y'' kot neznanki, parameter ''R pa'' je

<math> x^2 +y^2 = R^2 .</math>

Ko parametru ''R'' izberemo vrednost 2 (''R'' = 2), bi to enačbo lahko prepoznali v [[Kartezični koordinatni sistem|kartezičnih koordinatah]] kot enačbo za krog s polmerom 2 okoli izhodišča. Zato je enačba z ''nedoločenim R'' splošna enačba za krog.

Običajno so neznanke označene s črkami na koncu abecede, ''x'', ''y'', ''z'', ''w'', ...,<ref name=":02">{{Navedi splet|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|accessdate=2020-09-01|website=Math Vault|language=en-US}}</ref> medtem ko so koeficienti (parametri) označeni s črkami iz začetka abecede, ''a'', ''b'', ''c'', ''d'' ,... . Na primer, splošna [[kvadratna enačba]] se običajno zapiše ''ax'' <sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;''bx''&nbsp;+&nbsp;''c''&nbsp;=&nbsp;0.

Postopek iskanja rešitev ali, v primeru parametrov, izražanja neznank, imenujemo [[reševanje enačbe]]. ''Rešitev enačbe'' je vsaka vrednost neznanke, za katero je vrednost leve strani enačbe enaka vrednosti desne strani enačbe.<ref>{{Navedi splet|title=Reševanje enačb|url=https://eucbeniki.sio.si/mat9/863/index2.html|website=eucbeniki.sio.si|accessdate=2021-09-11|archive-date=2021-09-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20210911094210/https://eucbeniki.sio.si/mat9/863/index2.html|url-status=dead}}</ref>

[[Sistem enačb]] je sestavljen iz dveh ali več enačb, običajno z več neznankami, za katere se išče skupne rešitve. Tako je ''rešitev sistema'' množica vrednosti za vsako neznanko, ki skupaj tvorijo rešitev vsake enačbe v sistemu. Na primer sistem

<math>\begin{align}
3x+5y&=2\\
5x+8y&=3
\end{align}
</math>

ima eno rešitev ''x''&nbsp;=&nbsp;−1, ''y''&nbsp;=&nbsp;1.

=== Identitete ===
{{Main|identiteta (matematika)}}
'''Identiteta''' je enačba, ki velja za vse možne vrednosti spremenljivk, ki jih vsebuje; reši vsako realno število. V procesu reševanja enačbe se identiteta pogosto uporablja za poenostavitev enačbe, zaradi česar je lažje rešljiva.

V algebri je primer identitete [[razlika dveh kvadratov]]:

<math>x^2 - y^2 = (x+y)(x-y) </math>

ki velja za vse ''x'' in ''y''.

[[Trigonometrija]] je področje, kjer obstaja veliko identitet; te so uporabne pri manipulaciji ali reševanju [[Trigonometrična enačba|trigonometričnih enačb]]. Dve izmed mnogih, ki vključujeta [[Sinus (matematika)|sinusno]] in [[Kosinus (matematika)|kosinusno]] funkcijo, sta:

<math>\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta) = 1 </math>

in

<math>\sin(2\theta)=2\sin(\theta) \cos(\theta) </math>

ki držita za vse vrednosti ''θ''.

Na primer, da bi rešili naslednjo enačbo za vrednost ''θ'':

<math>3\sin(\theta) \cos(\theta)= 1\,, </math>

kjer je ''θ'' omejena med 0 in 45 stopinj, lahko uporabimo zgornjo identiteto za produkt, da dobimo:

<math>\frac{3}{2}\sin(2 \theta) = 1\,,</math>

kar nam da naslednjo rešitev za ''θ:''

<math>\theta = \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \approx 20,9^\circ.</math>

Ker je sinusna funkcija [[Periodična funkcija|periodična]], obstaja neskončno veliko rešitev, če ''θ'' ni omejena. V tem primeru bi omejitev ''θ'' na 0 do 45 stopinj omejila rešitev le na eno število.

=== Lastnosti ===
Dve enačbi ali dva sistema enačb sta ''enakovredni'', če imata isto množico rešitev. Naslednje operacije pretvorijo enačbo ali sistem enačb v enakovredne - pod pogojem, da so operacije smiselne za izraze, za katere se uporabljajo:

* [[Seštevanje]] ali [[odštevanje]] iste količine na obeh straneh enačbe. To kaže, da je vsaka enačba enakovredna enačbi, v kateri je desna stran nič.
* [[Množenje]] ali [[deljenje]] obeh strani enačbe z ničelno količino.
* Uporaba identitete za preoblikovanje ene strani enačbe. Na primer: [[razčlenjevanje]] produkta ali [[Faktorizacija|faktoriziranje]] vsote.
* Za sistem: na obeh straneh enačbe prištejemo drugo stran enačbe, pomnoženo z isto količino.

Če je neka [[funkcija]] uporabljena na obeh straneh enačbe, ima nastala enačba med svojimi rešitvami rešitve prvotne enačbe, lahko pa ima tudi dodatne rešitve, imenovane [[Lažna rešitev|lažne rešitve]]. Na primer enačba <math>x=1</math> ima rešitev <math>x=1.</math> Dvig obeh strani na eksponent 2 (kar pomeni uporabo funkcije <math>f(s)=s^2</math> na obe strani enačbe) spremeni enačbo v <math>x^2=1</math>, ki nima samo prejšnje rešitve, ampak uvaja tudi lažno rešitev, <math>x=-1.</math> Poleg tega, če funkcija ni definirana pri nekaterih vrednostih (kot je 1/ ''x'', ki ni definirana za ''x'' = 0), se lahko obstoječe rešitve pri teh vrednostih izgubijo. Zato je pri uporabi takega preoblikovanja enačbe potrebna previdnost.

Zgornje transformacije (preoblikovanja) so osnova večine elementarnih metod reševanja enačb, pa tudi nekaterih manj elementarnih, kot je [[Gaussova eliminacijska metoda|Gaussova eliminacija]].

== Algebra ==

=== Polinomske enačbe ===
{{main|Polinomska enačba}}
[[Slika:Polynomialdeg2.svg|desno|sličica|220x220_pik|''Rešitvi'' –1 in 2 ''polinomske enačbe'' {{Brez preloma|1=''x''<sup>2</sup> – ''x'' + 2 = 0}} sta točki, kjer [[Graf funkcije|graf]] [[Kvadratna funkcija|kvadratne funkcije]] {{Brez preloma|1=''y'' = ''x''<sup>2</sup> – ''x'' + 2}} seka os ''x.'']]
V splošnem je ''algebrska enačba'' oz. [[polinomska enačba]] enačba z obliko:

<math>P = 0</math>, ali

<math>P = Q</math> {{Efn|Lahko se zapiše tudi kot {{math|1=''P'' – ''Q'' = 0}}.}}

pri čemer sta ''P'' in ''Q'' [[polinom]]a s koeficienti v nekem [[Polje (matematika)|polju]] (npr. [[Racionalno število|racionalna števila]], [[Realno število|realna števila]], [[Kompleksno število|kompleksna števila]]). Algebrska enačba ima lahko le eno [[Spremenljivka|spremenljivko]]. Po drugi strani pa ima lahko polinomska enačbe več spremenljivk (x, y, z, itd). Izraz ''polinomska enačba'' se običajno uporablja pogosteje kot ''algebrska enačba''.

Na primer,

<math>x^5-3x+1=0</math>

je algebrska (polinomska) enačba z eno spremenljivko   koeficienti, ki so cela števila in

<math>y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}</math>

je polinomska enačba z več spremenljivkami z racionalnimi števili.

Nekatere (vendar ne vse) polinomske enačbe z [[Racionalno število|racionalnimi koeficienti]] imajo rešitev, ki je [[algebrski izraz]], s končnim številom operacij, ki vključujejo le te koeficiente (tj. lahko se jih reši algebraično). To je mogoče storiti za vse take enačbe [[Stopnja polinoma|stopnje]] ena, dva, tri ali štiri; za enačbe stopnje pet ali več je mogoče rešiti le nekatere, vendar kot pravi [[Abel -Ruffinijev izrek]], ne vseh.

=== Sistemi linearnih enačb ===
[[Sistem linearnih enačb]] (ali ''linearni sistem'') je serija  [[Linearna enačba|linearnih enačb]], ki imajo isto množico [[Spremenljivka|spremenljivk]]. Na primer,

<math>\begin{alignat}{7}
3x &&\; + \;&& 2y       &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 1 & \\
2x &&\; - \;&& 2y       &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\
-x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 &
\end{alignat}</math>

je sistem treh enačb s tremi spremenljivkami {{Matematična formula|''x'', ''y'', ''z''}}. '''Rešitev''' linearnega sistema je dodelitev števil spremenljivkam na  način, da so vse enačbe hkrati izpolnjene. Rešitev zgornjega sistema je

<math>\begin{alignat}{2}
x &\,=\,& 1 \\
y &\,=\,& -2 \\
z &\,=\,& -2
\end{alignat}</math>

saj so pri teh vrednostih vse tri enačbe veljavne. Beseda "''sistem''" nakazuje, da je treba enačbe obravnavati skupaj in ne posamično.

V matematiki je teorija linearnih sistemov osnova in temeljni del [[Linearna algebra|linearne algebre]], ki se uporablja v večini sodobne matematike. Računalniški [[Algoritem|algoritmi]] za iskanje rešitev so pomemben del [[Numerična linearna algebra|numerične linearne algebre]] in imajo pomembno vlogo v [[Fizika|fiziki]], [[Inženirstvo|inženiringu]], [[Kemija|kemiji]], [[Računalništvo|računalništvu]] in [[Ekonomija|ekonomiji]]. [[Nelinearni sistem|Sistem nelinearnih enačb]] lahko pogosto [[Aproksimacija|aproksimiramo]] z linearnim sistemom (glej [[Linearizacija|linearizacijo]]), kar je koristna tehnika pri izdelavi [[Matematični model|matematičnega modela]] ali [[Računalniška simulacija|računalniške simulacije]] razmeroma zapletenega sistema.

== Geometrija ==

=== Analitična geometrija ===
[[Slika:Coniques cone-sl.png|sličica|Različni [[Ravnina|ravninski]] [[Presek|preseki]] [[Stožec|stožca]] dajo različne '''[[Stožnica|stožnice]]'''.]]
V [[Evklidska geometrija|evklidski geometriji]] je možno povezati koordinate z vsako točko v prostoru, na primer s pomočjo ortogonalne mreže. Ta metoda omogoča, da geometrijske objekte lahko zapišemo z enačbami. Ravnino v tridimenzionalnem prostoru lahko izrazimo kot množico rešitev enačbe <math> ax+by+cz+d=0</math>, kjer so <math>a,b,c</math> in <math>d</math> realna števila in <math>x,y,z</math> so neznanke, ki ustrezajo koordinatam točke v sistemu v ortogonalni mreži. Vrednosti <math>a,b,c</math> so koordinate vektorja, pravokotnega na ravnino, določenega z enačbo. Premica je izražena kot presečišče dveh ravnin, to je kot množica rešitev ene linearne enačbe z vrednostmi v <math>\mathbb{R}^2</math> ali kot množica rešitev dveh linearnih enačb z vrednostmi v <math>\mathbb{R}^3.</math>

[[Stožnica|Stožčev presek]] je presečišče [[Stožec|stožca]] z enačbo <math>x^2+y^2=z^2</math> v ravnini. Z drugimi besedami, v prostoru so vsi stožci definirani kot množica rešitev enačbe ravnine in enačbe stožca. Ta formalizem omogoča določanje lege in lastnosti stožca.

Uporaba enačb omogoča reševanje geometrijskih vprašanj. [[Kartezični koordinatni sistem|Kartezični koordinatni]] sistem preoblikuje geometrijski problem v analitični problem, ko se liki pretvorijo v enačbe; od tod izhaja izraz [[analitična geometrija]]. Takšno stališče, ki ga je opisal [[René Descartes|Descartes]], je obogatil in spremil geometrijo starogrških matematikov.

Danes je analitična geometrija za opisovanje števil še vedno uporablja enačbe, uporablja pa tudi druge tehnike, kot sta [[funkcijska analiza]] in [[linearna algebra]].

=== Kartezične enačbe ===
[[Kartezični koordinatni sistem]] je [[koordinatni sistem]], ki vsako [[Točka (geometrija)|točko]] [[Ravnina|na ravnini]] enolično določi s parom [[Število|numeričnih]] '''koordinat.''' Koordinate so razdalje od točke do dveh fiksno usmerjenih premic, ki sta označeni z enako [[Enotski vektor|enoto dolžine]].

Po istem principu lahko določimo položaj katere koli točke v tridimenzionalnem prostoru z uporabo treh kartezičnih koordinat, ki so razdalje do treh medsebojno pravokotnih ravnin (s pravokotno projekcijo na tri medsebojno pravokotne premice).
[[Slika:Cartesian-coordinate-system-with-circle.svg|desno|sličica|257x257_pik|Kartezični koordinatni sistem s krogom s polmerom 2, centriranim na izhodišče, označenim z rdečo barvo. Enačba kroga je {{Brez preloma|1=(''x'' − ''a'')<sup>2</sup> + (''y'' − ''b'')<sup>2</sup> = ''r''<sup>2</sup>}} kjer sta ''a'' in ''b'' koordinate središča {{Brez preloma|(''a'', ''b'')}}, ''r'' pa je polmer.]]
Kartezične koordinate je v 17. stoletju izumil [[René Descartes]] (latinizirano: ''Cartesius''), ki je revolucioniral matematiko, ko je prvič sistematično povezal [[Evklidska geometrija|evklidsko geometrijo]] in [[Algebra|algebro]]. Z uporabo kartezičnega koordinatnega sistema lahko geometrijske oblike (na primer [[Krivulja|krivulje]]) opišemo z '''kartezičnimi enačbami''': algebrske enačbe, ki vključujejo koordinate točk, ki ležijo na obliki. Na primer, krog s polmerom 2 v ravnini, s središčem na določeni točki, imenovanem izhodišče, lahko opišemo kot množico vseh točk, katerih koordinati ''x'' in ''y'' ustrezata enačbi {{Brez preloma|1=''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup> = 4}}.

=== Parametrične enačbe ===
[[Parametrična enačba]] za [[Krivulja|krivuljo]] izraža [[Koordinatni sistem|koordinate]] točk krivulje kot funkcije [[Spremenljivka|spremenljivke]], imenovane [[parameter]].<ref>Thomas, George B., and Finney, Ross L., ''Calculus and Analytic Geometry'', Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.</ref><ref>Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html</ref> Na primer,

<math>\begin{align}
x&=\cos t\\
y&=\sin t
\end{align}</math>

sta parametrični enačbi za [[Enotska krožnica|enotsko krožnico]], kjer je ''t'' parameter.

Pojem ''parametrična enačba'' je bil posplošen na [[Ploskev|ploskve]], [[Mnogoterost|mnogotersti]] in [[Algebrska varieteta|algebrske varietete]] višjih dimenzij, pri čemer je število parametrov enako dimenziji mnogoterosti ali varietete, število enačb pa je enako dimenziji prostora v katerem upošteva mnogoterost ali varieteta (za krivulje je dimenzija ''ena'' in uporablja se ''en'' parameter, za dimenzije ploskev je dimenzija ''dva'' in ''dva'' parametra itd.).

== Reševanje enačbe ==

Če enačba vsebuje samo eno neznanko, je '''rešitev enačbe''' tista vrednost neznanke, pri kateri enačaj velja. Če enačba vsebuje ''n'' neznank, je rešitev tista ''n''-terica vrednosti neznank, pri kateri enačaj velja. Enačba ima lahko tudi več rešitev (več vrednosti neznanke oziroma več ''n''-teric, pri katerih enačaj velja).

Zgled: enačba ''x''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;5''x''&nbsp;−&nbsp;6 ima dve rešitvi: ''x''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;2, ''x''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;3.

Če je enakost veljavna pri poljubnih vrednostih neznank, taki enačbi rečemo [[identična enačba]] (krajše [[identiteta]]).

Zgled identične enačbe: (''x''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;2''x''&nbsp;+&nbsp;1. Rešitev te enačbe je poljubno število ''x''.

Enačba, ki nima rešitve, se imenuje nerešljiva enačba. Zgled: ''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;2.

Enačbi, ki imata enaki množici rešitev, sta med seboj enakovredni ali ekvivalentni. Zgled enakovrednih enačb: 3''x''&nbsp;=&nbsp;6 in ''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;=&nbsp;3.

'''Reševanje enačbe''' pomeni iskanje rešitev enačbe. Reševanje poteka običajno tako, da enačbo preoblikujemo v drugo obliko, ki pa je prvotni enakovredna. Pri tem lahko uporabimo naslednje postopke:
* preoblikujemo samo levo ali pa samo desno stran po pravilih za preoblikovanje izrazov (odpravljanje oklepajev, ureditev členov ipd)
* na levi in desni strani lahko prištejemo isto število
* na levi in desni strani lahko odštejemo isto število
* levo in desno stran lahko pomnožimo z istim številom, ki pa ne sme biti enako 0
* levo in desno stran lahko delimo z istim številom, ki pa ne sme biti enako 0
* na levi in desni strani lahko izvedemo isto matematično funkcijo, ki pa mora biti [[bijektivna funkcija|bijektivna]] (npr.: kubiranje)

Če levo in desno stran pomnožimo ali delimo z matematičnim izrazom, ki bi lahko bil enak 0 (za določeno vrednost spremenljivke), dobljena enačba ni nujno enakovredna prvotni. Če na levi in desni strani izvedemo funkcijo, ki ni bijektivna (npr.: kvadriranje), dobljena enačba ni nujno enakovredna prvotni. Takim postopkom se pri reševanju enačb poskušamo izogniti.

== Vrste enačb ==

Enačbe je mogoče razvrstiti glede na vrste [[Matematična operacija|operacij]] in količine. Najbolj znane vrste enačb so:

* [[Algebrska enačba]] ali [[Polinom|polinomska]] enačba je enačba, pri kateri sta obe strani polinoma (glej tudi [[sistem polinomskih enačb]]). Te so nadalje razvrščene po [[Stopnja polinoma|stopnjah]]:
** [[linearna enačba]] za prvo stopnjo
** [[kvadratna enačba]] za drugo stopnjo
** [[kubična enačba]] za tretjo stopnjo
** [[kvartična enačba]] za četrto stopnjo
** [[kvintična enačba]] za peto stopnjo
** [[Sextična enačba|sekstična enačba]] za stopnjo šest
** [[Septična enačba|septična enčba]] za stopnjo sedem
** [[oktična enačba]] za osmo stopnjo
* [[Diofantska enačba|Diofantinska enačba]] je enačba, pri kateri morajo biti neznanke [[Celo število|cela števila]]
* [[Transcendentalna enačba]] je enačba, ki vključuje [[Transcendentalna funkcija|transcendentalno funkcijo]] svojih neznank
* [[Parametrična enačba]] je enačba, v kateri so rešitve  spremenljivk izražene kot funkcije nekaterih drugih spremenljivk, imenovanih [[Parlameter|parametri]], ki se pojavljajo v enačbah
* [[Funkcijska enačba]] je enačba, v kateri so neznanke [[Funkcija|funkcije]] in ne preproste količine
* Enačbe, ki vključujejo odvode, integrale in končne razlike:
** [[Diferencialna enačba]] je funkcijska enačba, ki vključuje [[Odvod|odvode]] neznanih funkcij, kjer so funkcija in njeni odvodi ovrednoteni na isti točki, kot je npr. <math>f'(x) = x^2</math>. Diferencialne enačbe so razdeljene na [[Navadna diferencialna enačba|navadne diferencialne enačbe]] za funkcije ene spremenljivke in [[Parcialna diferencialna enačba|parcialne diferencialne enačbe]] za funkcije z več spremenljivkami
** [[Integralska enačba]] je funkcijska enačba, ki vključuje [[Primitivna funkcija|primitivne funkcije]] neznanih funkcij.
** [[Integro-diferencialna enačba|Integralno-diferencialna enačba]] je funkcijska enačba, ki vključuje tako [[Odvod|odvode]] kot tudi [[Primitivna funkcija|primitivne funkcije]] neznanih funkcij.
** [[Funkcionalna diferencialna enačba|Funkcijska diferencialna enačba]] [[Zakasnitvena diferencialna enačba|zakasnitvene diferencialne enačbe]] je enačba funkcije, ki vključuje [[Odvod|odvode]] neznanih funkcij, ovrednotene na več točkah, kot je npr. <math>f'(x) = f(x-2)</math>
** [[Diferenčna enačba]] je enačba, kjer je neznanka funkcija ''f,'' ki se pojavi v enačbi preko ''f'' (''x''), ''f'' (''x'' −1), ..., ''f'' (''x'' - ''k''), za neko celo število ''k,'' imenovano ''vrstni red'' enačbe. Če je ''x'' omejeno na celo število, je diferenčna enačba enaka [[Rekurzivna zveza|rekurzivni zvezi]]

Najbolj znana enačba na svetu je verjetno [[Albert Einstein|Einsteinova]] [[E = mc²|<math>E=mc^{2}</math>]].

Posebna vrsta enačbe je matematična [[formula]] ali obrazec: to je enačba, ki podaja navodilo za izračunavanje neke količine s pomočjo ustreznih podatkov, npr.: formula za [[površina|površino]] [[krogla|krogle]] s polmerom ''r'' je: <math>P=4\pi r^2\!\,</math>.

== Glej tudi ==
* [[algebra]]
* [[matematični izraz]]
* [[formula]]
* [[neenačba]]
* [[nedoločena enačba]]
* [[neodvisna enačba]]
* [[funkcijska enačba]]

== Opombe ==
{{Notelist}}{{notelist}}

== Sklici ==
{{sklici|2}}

== Zunanje povezave ==
* [https://web.archive.org/web/20090816161008/http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html Winplot]: General Purpose plotter that can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
* [http://www.cs.cornell.edu/w8/~andru/relplot Equation plotter]: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (''x'' and ''y'').

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Enačbe| ]]
[[Kategorija:Elementarna algebra]]