Ogled vira Engelov razvoj

'''Engelov razvoj''' ({{jezik-en|Engel expansion}}) pozitivnega [[realno število|realnega števila]] ''x'' je enolično nepadajoče [[zaporedje]] [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] <math>\{a_{1},a_{2},a_{3},\dots\}</math>, da velja:

: <math> x=\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}}+\frac{1}{a_{1}a_{2}a_{3}}+\cdots \!\, . </math>

[[racionalno število|Racionalna števila]] imajo končni Engelov razvoj, [[iracionalno število|iracionalna]] pa [[neskončnost|neskončnega]]. Če je ''x'' racionalen, Engelov razvoj zagotavlja predstavitev ''x'' kot [[egipčanski ulomek]]. Engelovi razvoji se imenujejo po [[Friedrich Engel (matematik)|Friedrichu Engelu]], ki jih je raziskoval leta [[1913 v znanosti|1913]].<ref>{{sktxt|Engel|1913}}.</ref>

== Engelovi razvoji, verižni ulomki in Fibonacci ==

Kraaikamp in Wu sta pokazala, da je moč Engelov razvoj zapisati tudi kot naraščajočo različico [[verižni ulomek|verižnega ulomka]]:<ref>{{sktxt|Kraaikamp|Wu|2004}}.</ref> 

: <math> x = \frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\frac{\displaystyle 1+\cdots}{\displaystyle a_{3}}}{\displaystyle a_{2}}}{\displaystyle a_{1}} \!\, .</math>

Trdita da je naraščajoče verižne ulomke takšne oblike raziskoval že [[Leonardo Fibonacci]] v delu ''Knjiga o abaku'' (''Liber Abaci'') leta [[1202]]. Izhajata iz Fibonaccijevega sestavljenega zapisa [[ulomek|ulomkov]], kjer ima zaporedje števcev in imenovalcev skupno ulomkovo črto, in predstavlja naraščajoči verižni ulomek:

: <math>\frac{a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h} = \frac{d+\frac{c+\frac{b+\frac{a}{e}}{f}}{g}}{h} \equiv \{a_{1},a_{2},a_{3},\dots\} \!\, . </math>

Če imajo v takšnem zapisu, ki so pojavi na več mestih v Fibonaccijevem delu, vsi števci vrednost 0 ali 1, je zapis enak Engelovemu razvoju. Vendar splošni postopek Engelovega razvoja, kot se zdi, ni opisal Fibonacci.

== Algoritem za računanje Engelovih razvojev ==

Za iskanje Engelovega razvoja ''x'' naj je: 

: <math> u_{1}=x \!\, , </math>

: <math> a_{k}=\left \lceil \frac{1}{u_{k}} \right \rceil \!\, , </math>

in:

: <math> u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1 \!\, , </math>

kjer je <math>\left \lceil r \right \rceil</math> [[zgornji celi del]] (najmanjše celo število večje ali enako od ''r''). 

Če je <math>u_{i}=0</math> za kakšen ''i'', se [[algoritem]] ustavi.

== Zgled ==

Za Engelov razvoj števila 1,175 imamo:

: <math>u_{1} = 1,175, \quad a_{1}=\left \lceil \frac{1}{1,175} \right\rceil = 1 ; </math>

: <math>u_{2} = u_{1}a_{1}-1=1,175\cdot1-1=0,175, \quad  a_{2}=\left\lceil\frac{1}{0,175}\right\rceil=6 ; </math>

: <math>u_{3} = u_{2}a_{2}-1=0,175\cdot6-1=0,05, \quad  a_{3}=\left\lceil\frac{1}{0,05}\right\rceil=20 ; </math>

: <math>u_{4} = u_{3}a_{3}-1=0,05\cdot20-1=0 \!\, . </math>

Zaporedje se tu konča. Tako je:

: <math>1,175=\frac{1}{1}+\frac{1}{1\cdot6}+\frac{1}{1\cdot6\cdot20} </math>

in Engelov razvoj števila <math>1,175</math> je <math>\{1,6,20\}\;</math>.

== Engelovi razvoji racionalnih števil ==

Vsako pozitivno racionalno število ima enolični končni Engelov razvoj. Če je v algoritmu za Engelov razvoj ''u<sub>i</sub>'' racionalno število ''x''/''y'', potem je ''u''<sub>''i''+1</sub> = (−''y'' mod ''x'')/''y''. Zaradi tega se v vsakem koraku števec preostalega ulomka ''u<sub>i</sub>'' poveča in se mora proces konstruiranja Engelovega razvoja končati v končnem številu korakov. Vsako racionalno število ima tudi enoličen neskončni Engelov razvoj. S pomočjo enakosti:

: <math> \frac{1}{n}=\sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^r} \!\, </math>

se lahko končna števka ''n'' v končnem Engelovem razvoju zamenja z neskončnim zaporedjem členov (''n''&nbsp;+&nbsp;1), ne da bi se vrednost števila spremenila. Na primer:

: <math> 1,175=\{1,6,20\}=\{1,6,21,21,21,\dots\} \!\, . </math>

To je podobno dejstvu da ima vsako racionalno število s končnim številom decimalk tudi neskončni decimalni zapis (glej [[0,999...]]).

== Engelovi razvoji nekaterih znanih števil ==

{| class="wikitable"
|- bgcolor=#a0e0a0
! simbol || Engelov razvoj || [[spletna enciklopedija celoštevilskih zaporedij|OEIS]] || ime 
|-
| <math> \pi \; </math> || <math> \{1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A006784}} || [[pi|''π'']]
|-
| <math> e \; </math> || <math> \{1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, \dots\} \; </math> <br /> V splošnem: <math>e^{1/r}-1=\{1r, 2r, 3r, 4r, 5r, 6r, \dots\}\;</math> || {{OEIS2|id=A000027}} || [[e (matematična konstanta)|''e'']]
|-
| <math> K_{0} \; </math> || <math> \{1, 1, 2, 3, 9, 70, 117, 503, 648, 1078, 12868, 41235, 178650, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A054544}} || [[Hinčinova konstanta]]
|-
| <math> \sqrt{3} \; </math> || <math> \{1, 2, 3, 3, 6, 17, 23, 25, 27, 73, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A028257}} || [[kvadratni koren števila 3|kvadratni koren iz]] [[3 (število)|3]]
|-
| <math> \zeta(2) \; </math> || <math> \{1, 2, 4, 7, 9, 22, 35, 79, 2992, 3597, 17523, 28632, 41470, 53093, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A059186}} || [[Riemannova funkcija zeta|''ζ''(2)]]
|-
| <math>\Phi \; </math> || <math> \{1, 2, 5, 6, 13, 16, 16, 38, 48, 58, 104, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A028259}} || [[število zlatega reza]]
|-
| <math> \sqrt{2} \; </math> || <math> \{1,3,5,5,16,18,78,102,120,144, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A028254}} || [[kvadratni koren števila 2|kvadratni koren iz]] [[2 (število)|2]]
|-
| <math> \zeta(3) \; </math> || <math> \{1, 5, 98, 127, 923, 5474, 16490, 25355, 37910, 85150, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A053980}} || [[Riemannova funkcija zeta|''ζ''(3)]] ([[Apéryjeva konstanta]])
|-
| <math> 1 \; </math> || <math> \{2,2,2,2,2, \dots\} \; </math> || &nbsp; || [[1 (število)|1]]
|-
| <math> K \; </math> || <math> \{2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 12, 13, 41, 110, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A054543}} || [[Catalanova konstanta]]

|-
| <math> \gamma \; </math> || <math> \{2, 7, 13, 19, 85, 2601, 9602, 46268, 4812284, \dots\} \; </math> || {{OEIS2|id=A053977}} || [[Euler-Mascheronijeva konstanta]]
|}

V splošnem je Engelov razvoj s konstantnimi členi [[geometrično zaporedje]].

== Glej tudi ==

* [[Pierceov razvoj]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{citat|last1= Engel|first1= Friedrich|authorlink1= Friedrich Engel (matematik)|date= 1913|title= Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen|journal= Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg|pages= 190–191}}
* {{citat|last1= Kraaikamp|first1= Cor|last2= Wu|first2= Jun|date= 2004|title= On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients|journal= [[Monatshefte für Mathematik]]|volume= 143|issue= |pages= 285–298|doi= 10.1007/s00605-004-0246-3}}

== Zunanje povezave ==

* [http://www.research.att.com/~njas/sequences/Sindx_El.html#Engel Engelovi razvoji] {{ikona en}}
* {{MathWorld|id=EngelExpansion|title=Engel Expansion}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]
[[Kategorija:Verižni ulomki]]
[[Kategorija:Egipčanski ulomki]]
[[Kategorija:1913 v znanosti]]