Ogled vira Eugène Charles Catalan

{{Infopolje Znanstvenik
|image= <!-- Wikidata -->
|caption=Eugène Charles Catalan
}}

'''Eugène Charles Catalan''', [[Belgijci|belgijski]] [[matematik]], * [[30. maj]] [[1814]], [[Brugge]] (Bruges), [[Belgija]], † [[14. februar]] [[1894]], [[Liege]], Belgija.

== Življenje in delo ==

Catalan je študiral na [[École Polytechnique]] skupaj z [[Joseph Liouville|Liovillom]], leta 1833 se je izpisal, leta 1834 odšel v [[Châlons-en-Champagne|Châlons-sur-Marne]] in leta 1835 dokončal študij. Z Liovillovo pomočjo je leta 1838 dobil učiteljsko mesto za [[opisna geometrija|opisno geometrijo]] na École Polytechnique. Deloval je tudi na političnem področju. 

Največ je objavljal s področja [[teorija števil|teorije števil]], [[verižni ulomek|verižnih ulomkov]], [[opisna geometrija|opisne geometrije]] in [[kombinatorika|kombinatorike]]. Leta 1838 je določil [[število|števila]], ki se imenujejo po njem [[Catalanovo število|Catalanova števila]], pri reševanju problema načina delitve sklenjenih konveksnih [[mnogokotnik]]ov na [[trikotnik]]e z diagonalami, ki se ne sekajo med seboj. Prvi je rešil problem [[Jan Andrej Segner|Segner]], čeprav njegova rešitev ni bila tako lepa kot Catalanova. Tudi [[Leonhard Euler|Euler]] se je kot [[Jacques Philippe Marie Binet|Binet]] ukvarjal s poenostavitvijo tega problema skoraj istočasno kot Catalan. [[Zaporedje]] Catalanovih števil je določeno neposredno z [[binomski koeficient|binomskimi koeficienti]]:

: <math> C_{n} = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1} = \frac{(2n)!}{n! \; (n+1)!}, \qquad ( n\ge 0 ) \!\, . </math>

Med drugim Catalanova števila določajo število načinov delitve mnogokotnikov z ''n'' + 2 stranicami na ''n'' trikotnikov, število načinov postavitve [[oklepaj]]ev v zaporedju števil, ki se jih [[množenje|množi]] po dva skupaj, število [[drevo s korenom|korenskih]], trivalentnih [[drevo|dreves]] z ''n'' + 1 točkami in število poti dolžine 2''n'' skozi kvadratno mrežo ''m''&nbsp;×&nbsp;''m'', ki se ne dvignejo preko glavne diagonale. Catalanova števila so v tesni zvezi s [[Pascalov trikotnik|Pascalovim aritmetičnim trikotnikom]] binomskih koeficientov <math>{n \choose r}</math> oziroma s [[Pascalova matrika|Pascalovo matriko]]:

: <math> 
\begin{bmatrix} 
 \underline{1}&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\
 1&\underline{2}&3&4&5&6&7&8&9&10\\
 1&3&\underline{6}&10&15&21&28&36&45&55\\
 1&4&10&\underline{20}&35&56&84&120&165&220\\
 1&5&15&35&\underline{70}&126&210&330&495&715\\
 1&6&21&56&126&\underline{252}&462&792&1287&2002\\
 1&7&28&84&210&462&\underline{924}&1716&3003&5005\\
 1&8&36&120&330&792&1716&\underline{3432}&6435&11440\\
 1&9&45&165&495&1287&3003&6435&\underline{12870}&24310\\
 1&10&55&220&715&2002&5005&11440&24310&\underline{48620}
\end{bmatrix} \; . </math>

Števila središčne diagonale Pascalove matrike so določena s [[središčni binomski koeficient|središčnimi binomskimi koeficienti]]:

: <math> {2n \choose n} \!\, , </math>

števila na sosednjih diagonalah pa z:

: <math> \frac{1}{n+1} {2n \choose n+1} \!\, . </math>

Razlike števil obeh diagonal dajo Catalanova števila:

{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="1"  style="margin: 0 0 1em 1em; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse; background:#f3f9ff;" 
|--- bgcolor="#ffffff"
| <math>n\;\,</math> || <math>{2n \choose n}</math> || <math>{2n \choose n+1}</math> || <math>C_n\;\,</math>
|--- align="right"
|   0 ||                1 ||                0 ||               1 
|--- align="right"
|   1 ||                2 ||                1 ||               1 
|--- align="right"
|   2 ||                6 ||                4 ||               2
|--- align="right"
|   3 ||               20 ||               15 ||               5
|--- align="right"
|   4 ||               70 ||               56 ||              14
|--- align="right"
|   5 ||              252 ||              210 ||              42
|--- align="right"
|   6 ||              924 ||              792 ||             132
|--- align="right"
|   7 ||             3432 ||             3003 ||             429
|--- align="right"
|   8 ||            12870 ||            11440 ||            1430
|--- align="right"
|   9 ||            48620 ||            43758 ||            4862
|--- align="right"
|  10 ||           184756 ||           167960 ||           16796
|--- align="right"
|  11 ||           705432 ||           646646 ||           58786
|--- align="right"
|  12 ||          2704156 ||          2496144 ||          208012
|--- align="right"
|  13 ||         10400600 ||          9657700 ||          742900
|--- align="right"
|  14 ||         40116600 ||         37442160 ||         2674440
|--- align="right"
|  15 ||        155117520 ||        145422675 ||         9694845
|--- align="right"
|  16 ||        601080390 ||        565722720 ||        35357670
|--- align="right"
|  17 ||       2333606220 ||       2203961430 ||       129644790
|--- align="right"
|  18 ||       9075135300 ||       8597496600 ||       477638700
|--- align="right"
|  19 ||      35345263800 ||      33578000610 ||      1767263190
|--- align="right"
|  20 ||     137846528820 ||     131282408400 ||      6564120420
|--- align="right"
|  21 ||     538257874440 ||     513791607420 ||     24466267020
|}

Uvedel je [[Catalanova konstanta|Catalanovo konstanto]] določeno z [[vrsta (matematika)|vrsto]]:

: <math> C_{a} \equiv G = \sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{i} (2i + 1)^{-2} = \beta(2) \cong 0,915965594 \!\, , </math>

kjer je <math>\beta(2)</math> [[Dirichletova funkcija beta|Dirichletova funkcija β]]. Leta 1844 je objavil [[Catalanova domneva|Catalanovo domnevo]]. V opisni geometriji je uvedel periodično [[minimalna ploskev|minimalno ploskev]] v prostoru <math>\mathbb{R}^3</math>, ki jo je odkril leta 1855.

== Izbrana dela ==

* ''Elements de géométrie»'' (1843 in 1867),
* ''Traité élémentaire de géométrie descriptive'' (1852 in 1879),
* ''Traité élémentaire des series'' (1860),
* ''Cours d’analyse de l’Université de Liège'' (1870 in 1879),
* ''Recherches sur quelques produits infinis'' (1873),
* ''Sur des Formules relatives aux intégrales eulériennes'' (1885),
* ''Manuel de mécanique'' (1887).

== Sklici ==

{{sklici}}

== Glej tudi ==

* [[Catalanovo telo]]

== Zunanje povezave ==

* http://villemin.gerard.free.fr/Esprit/Catalan.htm {{ikona fr}}
* [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Mathematicians/Catalan.html Stran o Eugèneu Charlesu Catalanu Univerze svetega Andreja] {{ikona en}}
* {{Projekt Matematična genealogija|id=100550}}

{{normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:Catalan, Eugène Charles}}

[[Kategorija:Belgijski matematiki]]
[[Kategorija:Predavatelji na École Polytechnique]]
[[Kategorija:Eugène Charles Catalan| ]]
[[Kategorija:Diplomiranci École Polytechnique]]