Ogled vira Euler-Maclaurinova formula

'''Euler-Maclaurinova formula''' je v [[matematika|matematiki]] formula za razliko med [[integral]]om in tesno povezano vsoto. Lahko se uporabi za izračun približkov integralov s končnimi vsotami, ali obratno za ocenitev končnih vsot in [[neskončna vrsta|neskončnih vrst]] s pomočjo integralov in orodij [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]]. Veliko asimptotičnih razširitev je na primer izpeljanih iz nje, [[Faulhaberjeva formula]] za vsoto potenc pa je njena neposredna posledica.

Formulo sta neodvisno odkrila [[Leonhard Euler]] in [[Colin Maclaurin]] okoli leta 1735. Euler jo je potreboval pri izračunavanju počasi konvergirajoče neskončne vrste, Maclaurin pa jo je uporabil pri računanju integralov. Kasneje je dobila posplošitev kot [[Darbouxjeva formula]].

== Definicija ==

Če sta <math> m \!\, </math> in <math> n \!\, </math> [[naravno število|naravni števili]],  <math> f(x) \!\, </math> pa [[kompleksno število|kompleksna]] ali [[realno število|realna]] [[zvezna funkcija]] za realna števila <math> x \!\, </math> na intervalu <math> [m,n] \!\, </math>, se lahko integral:

: <math> I = \int_{m}^{n} f(x) \, \mathrm{d} x \!\, </math>

zapiše kot približek z vsoto (ali obratno):

: <math> S = f(m + 1) + \cdots + f(n - 1) + f(n) \!\, . </math>

(glej [[Riemannova vsota|metoda pravokotnikov]]). Euler-Maclaurinova formula zagotavlja izraze za razliko med vsoto in integralom z [[odvod]]i višjih redov <math> f^{(k)}(x) \!\, </math>, izračunanih v končnih točkah intervala, torej kadar je <math> x=m \!\, </math> in <math> x=n \!\, </math>.

Eksplicitno za pozitivno [[celo število]] <math> p \!\, </math> in funkcijo <math>f(x)</math>, ki je <math> p \!\, </math>-krat odvedljiva na intervalu <math> [m, n] \!\, </math>, velja:

: <math> S - I = \sum_{k=1}^{p} {\frac{B_{k}}{k!} (f^{(k - 1)}(n) - f^{(k - 1)}(m))} + R_{p} \!\, , </math>

kjer je <math> B_{k} \!\, </math> <math> k \!\, </math>-to [[Bernoullijevo število]] (kjer velja <math> B_{1}=1/2 \!\, </math>), <math> R_{p} \!\, </math> pa je [[numerična integracija|člen napake]], ki je odvisen od <math> n \!\, </math>, <math> m \!\, </math>, <math> p \!\, </math> in <math> f \!\, </math>, ter je običajno majhen za ustrezne vrednosti <math> p \!\, </math>.

Formula se pogosto zapiše le z indeksi s sodimi vrednostmi, saj so Bernoullijeva števila enaka 0 razen za <math> B_{1} \!\, </math>. V tem primeru velja <ref name="apostol_1999">{{sktxt|Apostol|1999}}.</ref><ref name="DLMF">{{navedi splet|url= http://dlmf.nist.gov/2.10|title= Digital Library of Mathematical Functions: Sums and Sequences|publisher= [[Narodni urad za standarde in tehnologijo]]|date= |accessdate= |language= en}}</ref>

: <math> \sum_{i=m}^{n} f(i) =
    \int^{n}_{m} f(x) \, \mathrm{d} x + \frac{f(n) + f(m)}{2} +
    \sum_{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)) + R_{p} \!\, , </math>

ali drugače:

: <math> \sum_{i=m+1}^{n} f(i) =
    \int^{n}_{m} f(x) \, \mathrm{d} x + \frac{f(n) - f(m)}{2} +
    \sum_{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor} \frac{B_{2k}}{(2k)!} (f^{(2k - 1)}(n) - f^{(2k - 1)}(m)) + R_{p} \!\, . </math>

=== Člen ostanka ===
{{glej tudi|Bernoullijevi polinomi}}

Člen ostanka se pojavi, ker integral po navadi ni točno enak vsoti. Formula se lahko izpelje s ponavljajočo se [[integracija po delih|integracijo po delih]] na zaporednih intervalih <math> [r, r+1] \!\, </math> za <math> r = m, m + 1, \ldots, n - 1 \!\, </math>. Mejni členi v teh integriranjih vodi do glavnih členov formule, preostali integrali pa tvorijo člen ostanka.

Člen ostanka ima točni izraz v obliki periodizirajočih Bernoullijevih funkcijah <math> P_{k}(x) \!\, </math>. Bernoullijevi polinomi se lahko definirajo rekurzivno z <math> B_{0}(x) = 1 \!\, </math> in za <math> k \ge 1 \!\, </math> velja:

: <math> \begin{align}
  B_{k}'(x) &= kB_{k - 1}(x), \\
  \int_0^{1} B_{k}(x)\, \mathrm{d} x &= 0 \!\, . \end{align}</math>

Periodizirajoče Bernoullijeve funkcije so določene kot:

: <math> P_{k}(x) = B_{k}(x - \lfloor x\rfloor) \!\, , </math>

kjer <math>\lfloor x \rfloor \!\, </math> označuje največje celo število manjše ali enako <math> x \!\, </math> (tako da <math> x - \lfloor x \rfloor \!\, </math> vedno leži na intervalu <math> [0,1) \!\, </math>).

V takem zapisu je člen ostanka enak:

: <math> R_{p} = (-1)^{p+1}\int_{m}^{n} f^{(p)}(x) \frac{P_{p}(x)}{p!} \, \mathrm{d} x \!\, . </math>

Ko je <math> k>0 \!\, </math>, se lahko pokaže, da velja:

: <math> |B_{k}(x)| \le \frac{2 \cdot k!}{(2\pi)^{k}}\zeta(k) \!\, , </math>

kjer <math> \zeta \!\, </math> označuje [[Riemannova funkcija zeta|Riemannovo funkcijo zeta]]. En pristop za dokaz te neenakosti je določitev [[Fourierova vrsta|Fourierove vrste]] za polinome <math> B_{k}(x) \!\, </math>. Meja se doseže za sode <math> k \!\, </math>, ko je <math> x \!\, </math> enak nič. Člen <math> \zeta(k) \!\, </math> se lahko izpusti za lihe <math> k \!\, </math>, vendar je dokaz v tem primeru bolj zapleten (glej Lehmer).<ref name="Lehmer">{{sktxt|Lehmer|1940}}.</ref> S pomočjo te neenakosti se lahko velikost člena ostanka oceni z:

: <math> |R_{p}| \leq \frac{2 \zeta(p)}{(2\pi)^{p}}\int_{m}^{n} |f^{(p)}(x)| \, \mathrm{d} \!\, x .</math>

=== Primeri z nizkimi redi ===

Bernoullijeva števila od <math> B_{1} \!\, </math> do <math> B_{7} \!\, </math> so <math> \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, 0, -\tfrac{1}{30}, 0, \tfrac{1}{42}, 0 \!\, </math>. Primeri Euler-Maclaurinove formule za nizke rede so:

: <math> \begin{align}
\sum_{i=m}^{n} f(i) - \int_{m}^{n} f(x) \, \mathrm{d} x &= \frac{f(m)+f(n)}{2} + \int_{m}^{n} f'(x)P_{1}(x) \, \mathrm{d} x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \int_{m}^{n} f''(x)P_{2}(x) \, \mathrm{d} x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} + \int_{m}^{n} f'''(x)P_{3}(x) \, \mathrm{d}x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!}-\int_{m}^{n} f^{(4)}(x) P_{4}(x) \,  \mathrm{d} x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \int_{m}^{n} f^{(5)}(x)P_{5}(x) \, \mathrm{d} x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} - \int_{m}^{n} f^{(6)}(x)P_{6}(x) \, \mathrm{d} x \\
&=\frac{f(m)+f(n)}{2} + \frac{1}{6}\frac{f'(n) - f'(m)}{2!} - \frac{1}{30}\frac{f'''(n) - f'''(m)}{4!} + \frac{1}{42}\frac{f^{(5)}(n) - f^{(5)}(m)}{6!} + \int_{m}^{n} f^{(7)}(x)P_{7}(x) \, \mathrm{d} x.
\end{align}</math>

== Uporabe ==

=== Baselski problem ===

[[Baselski problem]] povprašuje po točni vrednosti [[vsota|vsote]] neskončne vrste obratnih vrednosti [[kvadrat (algebra)|kvadratov]] naravnih števil:

: <math> 1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} \!\, . </math>

Euler je izračunal to vsoto na 20 decimalnih števk z le nekaj členi Euler-Maclaurinove formule leta 1735:

: 1,64493406684822643647 ...

Neposredno izračun za takšno točnost drugače zahteva izračun vrednosti ogromno členov. Za <math> n = 10^{9} \!\, </math> je na primer delna vsota točna le na 8 decimalnih mest:

{| class="wikitable"
! <math> 10^{n} \!\, </math> || <math> S_{n} \!\, </math>
|--
| 0 || 1
|--
| 1 || 1, &nbsp;&nbsp; 549767731166540690350214159737969261778785
|-
| 2 || 1,6 &nbsp;&nbsp; 34983900184892865077169498180323766683321
|-
| 3 || 1,64 &nbsp;&nbsp; 3934566681559803139058023822215589652103
|--
| 4 || 1,644 &nbsp;&nbsp; 834071848059769806081833310310903537997
|--
| 5 || 1,6449 &nbsp;&nbsp; 24066898226269805748503312691855647521
|--
| 6 || 1,64493 &nbsp;&nbsp; 3066848726436305748499979391855885616
|--
| 7 || 1,64493 &nbsp;&nbsp; 3966848231436472248499979358522885616
|--
| 8 || 1,6449340 &nbsp;&nbsp; 56848226486472414999979358522552286
|--
| 9 || 1,64493406 &nbsp;&nbsp; 5848226436972415166479358522552283
|}

Vrednost, ki jo je izračunal, ga je verjetno prepričala, da je vsota enaka <math>\zeta(2) = \pi^{2}/6 \!\, </math>, kar je tudi istega leta [[matematični dokaz|dokazal]].<ref>{{sktxt|Pengelley|2002}}.</ref> Njegov pristop je temeljil na metodah, ki tedaj niso bile upravičene, in je strogi dokaz podal leta 1741.

=== Vsote s polinomi ===
{{glej tudi|Faulhaberjeva formula}}

Če je <math> f\!\, </math> [[polinom]] in <math> p \!\, </math> dovolj velik, potem člen ostanka postane enak 0. Za <math> f(x)=x^{3} \!\, </math> se lahko na primer izbere <math> p=2 \!\, </math>, kar po poenostavitvi da:

: <math> \sum_{i=0}^{n} i^{3} = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^{2} \!\, . </math>

=== Približki integralov ===

Formula omogoča izračun približka končnega integrala. Naj sta <math> a < b \!\, </math> končni točki intervala integracije. Število točk za izračun približka naj je <math> N \!\, </math>, <math> h = (b - a) / (N - 1) \!\, </math> pa odgovarjajoča velikost koraka. Naj bodo <math> x_{i} = a + (i-1)h \!\, </math> takšni, da velja <math>x_{1} = a \!\, </math> in <math> x_{N} = b \!\, </math>. Potem velja:<ref name="Devries">{{sktxt|Devries|Hasbrun|2011|p=156}}.</ref>

: <math> \begin{align}
I & = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \\
&\sim h\left(\frac{f(x_{1})}{2} + f(x_{2}) + \cdots + f(x_{N-1}) + \frac{f(x_{N})}{2}\right) + \frac{h^{2}}{12}[f'(x_{1}) - f'(x_{N})] - \frac{h^{4}}{720}[f'''(x_{1}) - f'''(x_{N})] + \cdots \!\, . \end{align} </math>

Na to se lahko gleda kot razširitev [[trapezoidno pravilo|trapezoidnega pravila]] z vključitvijo členov popravkov. Ta asimtotična razširitev običajno ne konvergira – obstaja nek takšen <math> p \!\, </math>, odvisen od <math> f \!\, </math> in <math> h \!\, </math>, da členi za njim naraščajo zelo hitro. Zaradi tega je treba za člen ostanka v splošnem biti zelo previden.<ref name="Devries" />

Euler-Maclaurinova formula se rabi tudi za podrobno [[analiza napak (matematika)|analizo napak]] in [[numerična integracija|numerično kvadraturo]]. Pojasni nadrejeno izvedbo trapezoidnega pravila na gladkih [[periodična funkcija|periodičnih funkcijah]] in se rabi v določenih [[pospešitev vrste|ekstrapolacijskih metodah]]. [[Clenshaw-Curtisova kvadratura]] je dejansko sprememba spremenljivk za izražanje poljubnega integrala s pomočjo integralov periodičnih funkcij, kjer je pristop z Euler-Maclaurinovo formulo zelo točen (v tem posebnem primeru dobi Euler-Maclaurinova formula obliko [[diskretna kosinusna transformacija|diskretne kosinusne transformacije]]). Ta tehnika je znana kot periodizirajoča transformacija.

=== Asimptotična razširitev vsot ===

V kontekstu izračunavanja [[asimptotična razširitev|asimptotičnih razširitev]] vsot in [[vrsta (matematika)|vrst]] je običajno najbolj uporabna oblika Euler-Maclaurinove formule:

: <math> \sum_{n=a}^{b} f(n) \sim \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x + \frac{f(b) + f(a)}{2} + \sum_{k=1}^{\infty} \,\frac{B_{2k}}{(2k)!} \left(f^{(2k - 1)}(b) - f^{(2k - 1)}(a)\right) \!\, , </math>

kjer sta <math> a \!\, </math> in <math> b \!\, </math> celi števili.<ref>{{sktxt|Abramowitz|Stegun|1972|§=23.1.30}}.</ref> Velikokrat razširitev ostane pravilna tudi v primeru limit <math> a\rightarrow-\infty \!\, </math> ali <math> b\rightarrow +\infty \!\, </math> ali oboje. V mnogih primerih se lahko integral na desni strani izračuna v [[diferencialna Galoisova teorija|sklenjeni obliki]] s pomočjo [[elementarna funkcija|elementarnih funkcij]], čeprav se vsota na levi ne da. Potem se lahko vsi členi v asimtotični vrsti izrazijo s pomočjo elementarnih funkcij. Na primer:

: <math> \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z + k)^{2}} \sim \underbrace{\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(z + k)^{2}} \, \mathrm{d} k}_{= 1/z} + \frac{1}{2z^{2}} + \sum_{t = 1}^{\infty} \frac{B_{2t}}{z^{2t + 1}} \!\, . </math>

Tu je leva stran enaka <math> \psi^{(1)}(z) \!\, </math>, namreč [[funkcija poligama|funkcija poligama]] prvega reda, določena kot <math>\psi^{(1)}(z) = (\mathrm{d}/\mathrm{d} z)^{2}(\log \Gamma(z)) \!\, </math> – [[funkcija gama]] <math> \Gamma(z) \!\, </math> je enaka <math> (z-1)! </math>, kadar je <math> z \!\, </math> [[pozitivno celo število]]. To vodi do asimptotične razširitve za <math> \psi^{(1)}(z) \!\, </math>. Ta razširitev po vrsti služi kot začetna točka za eno od izpeljav točnih ocen napak [[Stirlingova aproksimacija|Stirlingove aproksimacije]] funkcije [[fakulteta (funkcija)|fakulteta]].

==== Zgledi ====

Če je <math> s \!\, </math> celo število in <math> s > 1 \!\, </math>, sledi:

: <math> \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} \approx \frac 1{s-1}+\frac 12-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^{s}}+\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\left[\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!}-\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}} \right] \!\, . </math>

Z zbirom konstant v vrednost [[Riemannova funkcija zeta|Riemannove funkcije zeta]] se lahko zapiše asimptotična razširitev:

: <math> \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{s}} \sim\zeta(s)-\frac 1{(s-1)n^{s-1}}+\frac 1{2n^{s}}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{(2i)!}\frac{(s+2i-2)!}{(s-1)!n^{s+2i-1}} \!\, . </math>

Za <math> s = 2 \!\, </math> se to poenostavi v:

: <math> \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \sim\zeta(2)-\frac 1n+\frac 1{2n^{2}}-\sum_{i=1}\frac{B_{2i}}{n^{2i+1}} \!\, , </math>

ali:

: <math> \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \sim \frac{\pi^{2}}{6} -\frac{1}{n} +\frac{1}{2n^{2}} -\frac{1}{6n^{3}}+\frac{1}{30n^{5}}-\frac{1}{42n^{7}} + \cdots \!\, . </math>

Kadar je <math> s = 1 \!\, </math>, odgovarjajoča tehnika da asimtotično razširitev [[harmonično število|harmoničnih števil]]:

: <math> \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \sim \gamma + \log n + \frac{1}{2n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}}{2kn^{2k}} \!\, , </math>

kjer je <math>\gamma \approx 0,5772156649015328606065</math> [[Euler-Mascheronijeva konstanta]].

== Glej tudi ==

* [[Cesàrova vsota]]
* [[Eulerjeva vsota]]
* [[Gauss-Kronrodova kvadraturna formula]]
* [[Darbouxjeva formula]]
* [[Euler-Booleova vsota]]

== Sklici ==

{{sklici|4}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Apostol|first1= Tom Mike|authorlink1= Tom Mike Apostol|title= An Elementary View of Euler's Summation Formula|journal= [[American Mathematical Monthly]]|date= 1. maj 1999|volume= 106|issue= 5|pages= 409–418|issn= 0002-9890|doi= 10.2307/2589145|publisher= Mathematical Association of America|jstor = 2589145}}
* {{citat|last1= DeVries|first1= Paul L.|last2= Hasbrun|first2= Javier Ernesto|title= A first course in computational physics.|date= 2011|edition= 2.|publisher= Jones and Bartlett Publishers|location= Sudbury, Massachusetts|page= 156|isbn= 9780763773144|oclc= 804728911}}
* {{citat|last1= Lehmer|first1= Derrick Henry|authorlink1= Derrick Henry Lehmer|title= On the maxima and minima of Bernoulli polynomials|journal= American Mathematical Monthly|date= 1940|volume= 47|issue= 8|pages= 533–538|doi= 10.2307/2303833}}
* {{citat|last1= Pengelley|first1= David J.|title= Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula|date= 2002|url= http://www.math.nmsu.edu/~davidp/euler2k2.pdf}} v: Robert Bradley in Ed Sandifer (ur.), ''Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine)'', [[Euler Society]], 2003.
* {{citat|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|date= 2006|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192|oclc= 449201276}}
{{refend}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Teorija približkov]]
[[Kategorija:Asimptotska analiza]]
[[Kategorija:Hilbertov prostor]]
[[Kategorija:Numerična integracija]]
[[Kategorija:Izreki v matematični analizi]]
[[Kategorija:Sumacijske metode]]
[[Kategorija:1735 v znanosti]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]