Ogled vira Fakulteta (funkcija)

: ''To je članek o fakulteti kot matematični funkciji. Za šolsko ustanovo glej [[fakulteta]].''
'''Fakultéta''' (tudi '''faktoriéla''') [[naravno število|naravnega števila]] ''n'' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], ki določa [[produkt]] [[pozitivno število|pozitivnih]] [[celo število|celih števil]] manjših ali enakih ''n''. Funkcijo se zapiše kot''' ''n[[!]]''''' in prebere »''n'' fakulteta«. Zapis ''n!'' je vpeljal francoski matematik [[Christian Kramp]] leta [[1808 v znanosti|1808]]. 

== Definicija ==

Običajno je fakulteta določena kot:

: <math> n!=\prod_{k=1}^{n} k, \qquad ( n \ge 1 ) \!\, . </math>

Na primer:

: <math> 5! = 1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \!\, . </math>

Po dogovoru velja:

: <math> 0! = 1 \!\, , </math>

ker je [[prazni produkt|produkt nobenih števil]] enak 1. Ta značilnost fakultete je uporabna, saj:

* [[rekurzija|rekurzivna]] zveza (''n'' + 1)! = ''n!'' · (''n'' + 1) velja za ''n'' = 0;
* takšna definicija omogoča, da je veliko enakosti v [[kombinatorika|kombinatoriki]] veljavnih za ničelne vrednosti.

Prvi členi [[zaporedje|zaporedja]] fakultet za ''n''&nbsp;=&nbsp;0, 1, 2, ... so {{OEIS|id=A000142}}:

: [[1 (število)|1]], 1, [[2 (število)|2]], [[6 (število)|6]], [[24 (število)|24]], [[120 (število)|120]], [[720 (število)|720]], 5040, 40320, 362880, 3628800, ...

=== Fakultete necelih števil ===

Fakulteta je lahko določena (tudi za necela števila) prek [[funkcija gama|funkcije Γ]]:

: <math> z!=\Gamma (z+1)=\int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t}\, \mathrm{d} t \!\, . </math>

Ta enačba kaže na posplošitev zamisli fakultete za [[množica|množico]] [[kompleksno število|kompleksnih števil]], z izjemo [[negativno število|negativnih]] celih števil.

Tako so za posebni primer fakultet necelih vrednosti:

: <math> n!=\sqrt{\pi} \prod_{k=1/2}^{n} k \!\, . </math>

Na primer:

: <math> (1/2)! = \Gamma (3/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} = 0,886226925452 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A019704}},
: <math> (3/2)! = \Gamma (5/2) = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3 \sqrt{\pi}}{4} = 1.329340388179 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A245884}},
: <math> (5/2)! = \Gamma (7/2) = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15 \sqrt{\pi}}{8} = 3.323350970447 \ldots \!\, , </math> {{OEIS|id=A245885}},
: <math> (7/2)! = \Gamma (9/2) = \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{7}{2} = \frac{105 \sqrt{\pi}}{16} = 11,631728396567 \ldots \!\, . </math>

=== Dvojna fakulteta ''n''!! ===

Dvojna fakulteta pomeni produkt vseh sodih oziroma vseh lihih naravnih števil do vključno ''n''. Pozor: ''n''!! ni enako (''n''!)! 

:<math>
  n!! = \begin{cases}
    1;        &  n=0 \mbox{ ali }n=1 \\
    n(n-2)!!; &  n \ge 2 \!\, . \end{cases} </math>

* 2!! = 2
* 3!! = 1 · 3 = 3
* 4!! = 2 · 4 = 8
* 5!! = 1 · 3 · 5 = 15
* 6!! = 2 · 4 · 6 = 48
* 7!! = 1 · 3 · 5 · 7 = 105 
* 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384
* 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945
* 10!! = 2 · 4 · 6 · 8 · 10 = 3840
* 100!! = ... = 34243224702511976248246432895208185975118675053719198827915654463488000000000000

== Značilnosti ==

Vse fakultete so [[zelo obilno število|zelo obilna števila]].

== Uporabe ==

* Fakultete so pomembne v [[kombinatorika|kombinatoriki]]. Število ''n!'' določa na koliko načinov se lahko razvrsti ''n'' različnih predmetov v zaporedje. (Takšne postavitve se imenujejo [[permutacija|permutacije]].) Število možnih izbir ''k'' predmetov izmed dane množice ''n'' predmetov (število [[Kombinacija (matematika)|kombinacij]]) je dano z [[binomski koeficient|binomskim koeficientom]]: 

: <math> {n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!} \!\, . </math>

* Fakultete se pojavljajo tudi v [[infinitezimalni račun|infinitezimalnem računu]]. S pomočjo [[Taylorjev izrek|Taylorjevega izreka]] se lahko na primer izrazi funkcijo ''f''(''x'') s [[potenčna vrsta|potenčno vrsto]] v ''x'', ker je ''n''-ti [[odvod]] od ''x''<sup>''n''</sup> enak ''n!''.

* [[prostornina|Prostornino]] ''n''-[[razsežnost|razsežne]] [[hipersfera|hipersfere]] se lahko izrazi kot:

: <math> V_{n}= \frac{\pi^{n/2}R^{n}}{(n/2)!} \!\, . </math>

: Za [[liho število|lihe]] razsežnosti se potrebuje funkcijo Γ in njena vrednost izniči navidezno decimalno potenco <math>\pi</math> za te primere.

* Fakultete se veliko uporabljajo tudi v [[verjetnostni račun|verjetnostnem računu]]. 

* Fakultete velikokrat omenjajo kot preprosti primer [[rekurzija|rekurzije]] v [[računalništvo|računalništvu]], saj velja naslednja rekurzivna zveza:

: <math> n! = n \cdot (n-1)!, \qquad ( n \ge 1 ) \!\, . </math>

== Izračun fakultet ==

Numerično vrednost ''n!'' se lahko izračuna s ponavljanjem [[množenje|množenja]] za dovolj majhne ''n''. Tako v osnovi računajo tudi žepna [[računalo|računala]]. Največja fakulteta, ki jo lahko izračuna večina računal, je 69!, saj je 70!&nbsp;>&nbsp;10<sup>100</sup>.

Če je ''n'' velik, se lahko dovolj točno oceni vrednost ''n!'' s pomočjo [[Stirlingova aproksimacija|Stirlingove aproksimacije]]:

: <math> n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right) ^{n} \!\, . </math>

Obstaja tudi preprostejša enačba, ki se jo lahko dokaže z [[matematična indukcija|matematično indukcijo]]:

: <math> \left( \frac{n}{3} \right) ^{n} < n! < \left( \frac{n}{2} \right) ^{n}, \qquad ( n\ge 6 ) \!\, . </math>

== Logaritem fakultete ==
== Posplošitve ==
=== Funkcija gama ===
=== Multifakultete ===
=== Hiperfakultete ===
=== Superfakultete ===
=== Superfakultete (druga definicija) ===
== Praštevilski razcep fakultet ==

Potenca ''p'', ki se pojavi v [[praštevilski razcep|praštevilskem razcepu]] ''n!'', je:

: <math> \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor n/p^{i} \rfloor \!\, . </math>

Tu je <math>\lfloor x \rfloor</math> funkcija [[celi del|celega dela]].

== Izpisi fakultet ==
 0!       1
 1! 	 1
 2! 	 2
 3! 	 6
 4! 	 24
 5! 	 120
 6! 	 720
 7! 	 5040
 8! 	 40320
 9! 	 362880
 10! 	 3628800
 11! 	 39916800
 12! 	 479001600
 13! 	 6227020800
 14! 	 87178291200
 15! 	 1307674368000
 16! 	 20922789888000
 17! 	 355687428096000
 18! 	 6402373705728000
 19! 	 121645100408832000
 20! 	 2432902008176640000
 21! 	 51090942171709440000
 22! 	 1124000727777607680000
 23! 	 25852016738884976640000
 24! 	 620448401733239439360000
 25! 	 15511210043330985984000000
 26! 	 403291461126605635584000000
 27! 	 10888869450418352160768000000
 28! 	 304888344611713860501504000000
 29! 	 8841761993739701954543616000000
 30! 	 265252859812191058636308480000000
 31! 	 8222838654177922817725562880000000
 32! 	 263130836933693530167218012160000000
 33! 	 8683317618811886495518194401280000000
 34! 	 295232799039604140847618609643520000000
 35! 	 10333147966386144929666651337523200000000
 36! 	 371993326789901217467999448150835200000000
 37! 	 13763753091226345046315979581580902400000000
 38! 	 523022617466601111760007224100074291200000000
 39! 	 20397882081197443358640281739902897356800000000
 40! 	 815915283247897734345611269596115894272000000000
 41! 	 33452526613163807108170062053440751665152000000000
 42! 	 1405006117752879898543142606244511569936384000000000
 43! 	 60415263063373835637355132068513997507264512000000000
 44! 	 2658271574788448768043625811014615890319638528000000000
 45! 	 119622220865480194561963161495657715064383733760000000000
 46! 	 5502622159812088949850305428800254892961651752960000000000
 47! 	 258623241511168180642964355153611979969197632389120000000000
 48! 	 12413915592536072670862289047373375038521486354677760000000000
 49! 	 608281864034267560872252163321295376887552831379210240000000000
 50! 	 30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000
 51! 	 1551118753287382280224243016469303211063259720016986112000000000000
 52! 	 80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000 
 53!      4274883284060025564298013753389399649690343788366813724672000000000000
 54!      230843697339241380472092742683027581083278564571807941132288000000000000 
 55!      12696403353658275925965100847566516959580321051449436762275840000000000000 
 56!      710998587804863451854045647463724949736497978881168458687447040000000000000 
 57!      40526919504877216755680601905432322134980384796226602145184481280000000000000 
 58!      2350561331282878571829474910515074683828862318181142924420699914240000000000000 
 59!      138683118545689835737939019720389406345902876772687432540821294940160000000000000 
 60!      8320987112741390144276341183223364380754172606361245952449277696409600000000000000 
 61!      507580213877224798800856812176625227226004528988036003099405939480985600000000000000 
 62!      31469973260387937525653122354950764088012280797258232192163168247821107200000000000000 
 63!      1982608315404440064116146708361898137544773690227268628106279599612729753600000000000000 
 64!      126886932185884164103433389335161480802865516174545192198801894375214704230400000000000000 
 65!      8247650592082470666723170306785496252186258551345437492922123134388955774976000000000000000 
 66!      544344939077443064003729240247842752644293064388798874532860126869671081148416000000000000000 
 67!      36471110918188685288249859096605464427167635314049524593701628500267962436943872000000000000000
 68!      2480035542436830599600990418569171581047399201355367672371710738018221445712183296000000000000000 
 69!      171122452428141311372468338881272839092270544893520369393648040923257279754140647424000000000000000
 70!      11978571669969891796072783721689098736458938142546425857555362864628009582789845319680000000000000000 
 71!      850478588567862317521167644239926010288584608120796235886430763388588680378079017697280000000000000000 
 72!      61234458376886086861524070385274672740778091784697328983823014963978384987221689274204160000000000000000 
 73!      4470115461512684340891257138125051110076800700282905015819080092370422104067183317016903680000000000000000 
 74!      330788544151938641225953028221253782145683251820934971170611926835411235700971565459250872320000000000000000 
 75!      24809140811395398091946477116594033660926243886570122837795894512655842677572867409443815424000000000000000000 
 76!      1885494701666050254987932260861146558230394535379329335672487982961844043495537923117729972224000000000000000000 
 77!      145183092028285869634070784086308284983740379224208358846781574688061991349156420080065207861248000000000000000000 
 78!      11324281178206297831457521158732046228731749579488251990048962825668835325234200766245086213177344000000000000000000 
 79!      894618213078297528685144171539831652069808216779571907213868063227837990693501860533361810841010176000000000000000000 
 80!      71569457046263802294811533723186532165584657342365752577109445058227039255480148842668944867280814080000000000000000000 
...

== Glej tudi ==

* [[fakultetno praštevilo]]
* [[fakultetni koren]]
* [[primoriala]]

== Zunanje povezave ==
{{wikisourcepar|Factorial numbers|fakultete}}
* [http://www.luschny.de/math/factorial/FastFactorialFunctions.htm ''Domača stran algoritmov za fakultete'' - prikazuje več zanimivih algoritmov za izračun fakultete] {{ikona en}}
* http://factorielle.free.fr {{ikona en}} {{ikona fr}} {{ikona cs}}
* [https://web.archive.org/web/20020102031151/http://home.earthlink.net/~mrob/pub/math/largenum-2.html Slovar velikih števil] {{ikona en}}
*[http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php?language=sl Online izračun fakulteto] do 40.000! vseh veljavnih točk

{{-}}

{{zaporedja in vrste}}

{{math-stub}}

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Kombinatorika]]
[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:1808 v znanosti]]