Ogled vira Fermatov izrek o pravokotnem trikotniku

{{short description|Neeksistenčni dokaz v teoriji števil, edini poln dokaz, ki ga je zapustil Pierre de Fermat}}
[[slika:Fermatov_izrek_001.svg|thumb|right|250px|Dva [[pravokotni trikotnik|pravokotna trikotnika]], kjer sta [[dolžina|dolžini]] [[kateta|katet]] <math> a \!\, </math> in <math> c \!\, </math> zgornjega enaki dolžinama katete <math> a \!\, </math> in [[hipotenuza|hipotenuze]] <math> c \!\, </math> spodnjega. Po Fermatovem izreku o pravokotnem trikotniku vse štiri dolžine <math> a \!\, </math>, <math> b \!\, </math>, <math> c \!\, </math> in <math> d \!\, </math> ne morejo biti [[celo število|cela števila]]. V tem primeru sta <math> a = 3 \!\, </math> in <math> c = 4 \!\, </math> kateti iz prve primitivne [[pitagorejska trojica|pitagorejske trojice]], <math> d = 5 \!\, </math> in <math> b = \sqrt{7} \!\, </math>.]]
'''Fermatov izrèk o pravokótnem trikótniku''' [fermájev ~] je v [[teorija števil|teoriji števil]] in [[ravninska geometrija|ravninski geometriji]] [[dokaz odsotnosti|neeksistenčni izrek]], edini poln [[matematični dokaz|dokaz]], ki ga je zapustil [[Pierre de Fermat]].<ref name="edwa_2000" /> Obstaja tudi sočasni dokaz francoskega matematika [[Bernard Frénicle de Bessy|Frénicleja]].{{efn|Za obravnavo Fermatovega in Fréniclejevega dokaza glej <ref name="gold_1995" />.}} Izrek ima več enakovrednih formulacij:
* če tri [[kvadratno število|kvadratna števila]] tvorijo [[aritmetično zaporedje]], potem vrzel med dvema zaporednima številoma v zaporedju, (imenovana [[kongruum]]), sama ne more biti kvadratno število.
* ne obstajata dve [[pitagorejska trojica|pitagorejski trojici]] v kateri sta dve [[kateta|kateti]] enega trikotnika kateta in [[hipotenuza]] drugega trikotnika. Če imajo na primer katete prvega pravokotnega trikotnika dolžine iz pitagorejske trojice, je dolžina druge katete v drugem pravokotnem trikotniku vedno [[kvadratni koren]]. (glej razpredelnico za 16 primitivnih pitagorejskih trojic {{nowrap|''d'' ≤ 100}}).
* [[pravokotni trikotnik]], za katerega so vse dolžine stranic [[racionalno število|racionalna števila]], ne more imeti [[ploščina|ploščino]], ki je kvadrat racionalnega števila. Ploščina definirana na ta način se imenuje [[skladno število]] in tako nobeno skladno število ne more biti kvadratno število.
* pravokotni trikotnik in [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] z enakima ploščinama ne moreta imeti vseh stranic [[sorazmernost (matematika)|sorazmernih]] med seboj.
* edine [[racionalna točka|racionalne točke]] na [[eliptična krivulja|eliptični krivulji]] <math> y^{2}=x(x-1)(x+1) \!\, </math> so tri trivialne točke (0, 0), (1, 0) in (−1, 0).
* [[diofantska enačba]] <math> x^{4}-y^{4}=z^{2} \!\, </math> nima [[celo število|celoštevilske]] rešitve.

Neposredna posledica zadnje od teh formulacij je, da [[Fermatov veliki izrek]] velja za eksponent <math> n=4 \!\, </math> in zaradi tega za poljubni mnogokratnik števila 4.

{| class="wikitable floatright" style="text-align:center"
|-
! <math> a \!\, </math>
! <math> c \!\, </math>
! <math> d \!\, </math>
! <math> b \!\, </math>
|-
|  3 ||  4 ||  5 || <math> \sqrt{7} \!\, </math>
|-
|  5 || 12 || 13 || <math> \sqrt{119} \!\, </math>
|-
|  8 || 15 || 17 || <math> \sqrt{161} \!\, </math>
|-
|  7 || 24 || 25 || <math> \sqrt{527} \!\, </math>
|-
| 20 || 21 || 29 || <math> \sqrt{41} \!\, </math>
|-
| 12 || 35 || 37 || <math> \sqrt{1081} \!\, </math>
|-
|  9 || 40 || 41 || <math> \sqrt{1519} \!\, </math>
|-
| 28 || 45 || 53 || <math> \sqrt{1241} \!\, </math>
|-
| 11 || 60 || 61 || <math> \sqrt{3479} \!\, </math>
|-
| 16 || 63 || 65 || <math> \sqrt{3713} \!\, </math>
|-
| 33 || 56 || 65 || <math> \sqrt{2047} \!\, </math>
|-
| 48 || 55 || 73 || <math> \sqrt{721} \!\, </math>
|-
| 13 || 84 || 85 || <math> \sqrt{6887} \!\, </math>
|-
| 36 || 77 || 85 || <math> \sqrt{4633} \!\, </math>
|-
| 39 || 80 || 89 || <math> \sqrt{4879} \!\, </math>
|-
| 65 || 72 || 97 || <math> \sqrt{959} \!\, </math>
|}

== Formulacija ==

=== Kvadrati v aritmetičnem zaporedju ===

[[Leonardo Fibonacci]] je bil leta 1225 izzvan, da najde konstrukcijo trojic kvadratnih števil, ki so med seboj enako oddaljena in tvorijo [[aritmetično zaporedje]], ter za vrzel med njimi, ki jo je imenoval [[kongruum]].<ref name="brad_2006" /><ref name="razp_2019" /> En način opisa Fibonaccijeve rešitve je, da so števila, ki jih je treba kvadrirati, kateti, hipotenuza in vsota katet [[pitagorejski trikotnik|pitagorejskega trikotnika]], in, da je kongruum enak štirikratniku ploščine istega trikotnika.<ref name="beil_1964" /> V svojem poznejšem delu o problemu kongrua, objavljenem v delu ''[[Knjiga kvadratov]]'' (''Liber quadratorum''), je Fibonacci opazil, da kongruum sam ne more biti kvadratno število, vendar za to dejstvo ni podal zadovoljivega dokaza.<ref name="ore__2012" /><ref name="dick_1999" />

Če trije kvadrati <math> a^{2} \!\, </math>, <math> b^{2} \!\, </math> in <math> c^{2} \!\, </math> lahko tvorijo aritmetično zaporedje, katerega kongruum je tudi kvadrat <math> d^{2} \!\, </math>, potem bi za njih veljali [[diofantska enačba|diofantski enačbi]]:

: <math> a^{2} + d^{2} = b^ {2} \!\, </math> in <math> b^{2} + d^{2} = c^{2} \!\, . </math>

To po [[Pitagorov izrek|Pitagorovem izreku]] pomeni, da bi ti kvadrati tvorili [[celoštevilski trikotnik|celoštevilski]] [[pravokotni trikotnik]], v katerem bi par <math> (d,b) \!\, </math> dal eno kateto in hipotenuzo manjšega trikotnika, isti par pa bi tvoril tudi kateti večjega trikotnika. Vendar, (kakor je trdil Fibonacci), ker kvadratni kongruum ne more obstajati, ne moreta obstajati dva celoštevilska pravokotna trikotnika, ki si na ta način delita dve stranici. Dejstvo, da dva pravokotna trikotnika, ki si delita dve svoji stranici, ne moreta obstajati, in povezava med tem problemom in problemom kvadratov v aritmetičnem zaporedju, sta Cooper in Poirel opisala kot »dobro znano«.<ref name="coop_2008" />

=== Ploščine pravokotnih trikotnikov  ===

Ker so kongrui točno števila, ki so štirikratniki ploščine pitagorejskega trikotnika, in ker se množenje s štiri ne spremeni, če je število kvadrat, je obstoj kvadratnega kongrua enakovredno obstoju pitagorejskega trikotnika s kvadratno ploščino. To različico problema obravnava Fermatov dokaz – pokazal je, da takšen trikotnik ne obstaja.<ref name="edwa_2000" /> Pri obravnavanju tega problema na Fermata ni vplival Fibonacci ampak izdaja [[Diofant]]ovega dela, ki jo je objavil [[Claude Gaspard Bachet de Méziriac]].<ref name="edwa_2000" /> Ta knjiga opisuje različne [[posebni pravokotni trikotnik|posebne pravokotne trikotnike]], katerih ploščine imajo oblike, povezane s kvadrati, ne obravnava pa ploščine, ki so tudi same kvadrati.<ref name="stil_1998" />

Če se zgornji enačbi za dve pitagorejski trojici preuredita in med seboj pomnožita, nastane ena diofantska enačba:

: <math> b^{4} - d^{4} = (b^{2}-d^{2})(b^{2}+d^{2}) = a^{2} c^{2} \!\, , </math>

ki se lahko poenostavi v:

: <math> b^{4} - d^{4} = e^{2} \!\, . </math>

Obratno se lahko vsaka rešitev te enačbe faktorizira, da da kvadratni kongruum. (Še posebej kvadrati <math> (b^{4}-d^{4}-2b^{2} d^{2})^{2} \!\, </math>, <math> (b^{4}+d^{4})^{2n} \!\, </math> in <math> (b^{4}-d^{4}+2b^{2} d^{2})^{2} \!\, </math> tvorijo aritmetično zaporedje s kongruom <math> 4b^{2} d^{2} (b^{4}-d^{4}) = (2bde)^{2} \!\, </math>, ki je tudi sam kvadrat.) Zato je rešljivost te enačbe ekankovredna obstoju kvdratnega kongrua. Vendar, če [[Fermatov veliki izrek]] za eksponent <math> n=4 \!\, </math> ne bi veljal, bi kvadriranje enega od treh števil v kateremkoli protiprimeru tudi dalo tri števila, ki bi rešila to enačbo. zato Fermatov dokaz, da noben pitagorejski trikotnik nima kvadratne ploščine, nakazuje, da ta enačba nima rešitev, in, da ta primer Fermatovega velikega izreka velja.<ref name="stil_1998" />

Druga enakovredna formulacija istega problema vključuje [[skladno število|skladna števila]], števila, ki so poščine pravokotnih trikotnikov, katerih dolžine stranic so vse racionalna števila. Z množenjem dolžin stranic s [[najmanjši skupni imenovalec|skupnim imenovalcem]] se lahko vsako skladno število prevede v ploščino pitagorejskega trikotnika, od koder izhaja, da so skladna števila ravno števila, tvorjena z množenjem kongrua s kvadratom racionalnega števila. Zato kvadratni kongruum ne obstaja, če in samo če število 1 ni skladno število.<ref name="conr_2008" /><ref name="kobl_1984" /> Nemogoče je enakovredno, da bi imela [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]] (geometrijski lik) in pravokotni trikotnik enaki ploščini in med seboj [[sorazmernost|sorazmerne]] dolžine stranic.<ref name="dick_1999" />

=== Eliptična krivulja ===

Druga enakovredna obika Fermatovega izreka vključuje [[eliptična krivulja|eliptično krivuljo]] s točkami s [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnimi koordinatami]] <math> (x,y) \!\, </math>, za katere velja enačba:

: <math> y^{2} = x(x+1)(x-1) \!\, . </math>

Ta enačba ima očitne pare rešitev (0, 0), (1, 0) in (−1, 0). Fermatov izrek je enakovreden izjavi, da so to edine točke na krivulji, za katere sta oba <math> x \!\, </math> in <math> y \!\, </math> racionalna.<ref name="kobl_1984" /><ref name="kato_2000" />

== Fermatov dokaz ==

V svojem življenju je Fermat izzval več drugih matematikov za dokaz neobstoja pitagorejskega trikotnika s kvadratno ploščino, vendar sam svojega dokaza ni objavil. Napisal pa ga je na svojo kopijo Bashetove izdaje Diofantovega dela, katerega je odkril njegov sin in ga objavil po očetovi smrti.<ref name="edwa_2000" /><ref name="dick_1999" />{{efn|Za druge dokaze glej <ref name="gran_1999" /> in <ref name="roy__2007" />.}}

Fermatov dokaz je [[dokaz z neskončnim spustom]]. Pokaže, da se lahko iz vsakega primera pitagorejskega trikotnika s kvadratno ploščino izpelje manjši primer. Ker imajo pitagorejski trikotniki pozitivne celoštevilske ploščine in ne obstaja neskončno padajoče zaporedje pozitivnih celih števil, tudi ne more obstajati pitagorejski trikotnik s kvadratno ploščino.<ref name="edwa_2000" /><ref name="dick_1999" />

Podrobneje, naj se predpostavi, da so <math> x \!\, </math>, <math> y \!\, </math> in <math> z \!\, </math> celoštevilske dolžine stranic pravokotnega trikotnika s kvadratno ploščino. Z delitvijo s poljubnimi skupnimi faktorji se lahko predpostavi, da je tak trikotnik primitiven<ref name="dick_1999" /> in iz znane oblike vseh primitivnih pitagorejskih trojic se lahko nastavi <math> x=2pq \!\, </math>, <math> y=p^{2}-q^{2} \!\, </math> in <math> z=p^{2}+q^{2} \!\, </math>, s čimer se problem pretvori v iskanje takšnih [[tuje število|tujih]] celih števil <math> p \!\, </math> in <math> q \!\, </math> (od katerih je eno [[sodo število|sodo]]), da bo <math> pq(p^{2}-q^{2}) \!\, </math> kvadrat. Štirje linearni faktorji <math> p \!\, </math>, <math> q \!\, </math>, <math> p+q \!\, </math> in <math> p-q \!\, </math> so si med seboj tuji in zato morajo sami biti kvadrati. Naj je <math> p+q=r^{2} \!\, </math> in <math> p-q=s^{2} \!\, </math>. <math> r \!\, </math> in <math> s \!\, </math> morata oba biti liha, saj je natančno eden od <math> p \!\, </math> ali <math> q \!\, </math> sod, drugi pa lih. Zaradi tega sta <math> r-s \!\, </math> in <math> r+s \!\, </math> oba soda, eden od njiju pa je deljiv s 4. Iz teh dveh števil je Fermat izpeljal še dve števili <math> u=(r-s)/2 \!\, </math> in <math> v=(r+s)/2 \!\, </math>, od katerih je eno sodo glede na predhodni stavek. Ker je <math> u^{2}+v^{2}=p \!\, </math> kvadrat, sta <math> u \!\, </math> in <math> v \!\, </math> kateti drugega primitivnega pitagorejskega trikotnika, katerega pološčina je enaka <math> (uv)/2=q/4 \!\, </math>. Ker je <math> q \!\, </math> sam kvadrat in, ker je <math> uv \!\, </math> sod, je <math> q/4 \!\, </math> kvadrat. Tako poljubni pitagorejski trikotnik s kvadratno ploščino vodi do manjšega pitagorejskega trikotnika s kvadratno ploščino, kar zaključuje dokaz.<ref name="edwa_2000" /><ref name="dick_1999" /><ref name="stil_1998" />

== Opombe ==

{{notelist|1}}

== Sklici ==

{{sklici|4|refs=
<ref name="edwa_2000" >{{sktxt|Edwards|2000|pp=10–14}}.</ref>
<ref name="gold_1995" >{{sktxt|Goldstein|1995}}.</ref>
<ref name="brad_2006" >{{sktxt|Bradley|2006|pp=124}}.</ref>
<ref name="razp_2019" >{{sktxt|Razpet|2019}}.</ref>
<ref name="beil_1964" >{{sktxt|Beiler|1964|pp=153}}.</ref>
<ref name="ore__2012" >{{sktxt|Ore|2012|pp=202–203}}.</ref>
<ref name="dick_1999" >{{sktxt|Dickson|1999|pp=615–626}}.</ref>
<ref name="coop_2008" >{{sktxt|Cooper|Poirel|2008|pp=3478}}.</ref>
<ref name="stil_1998" >{{sktxt|Stillwell|1998|pp=131–133}}.</ref>
<ref name="conr_2008" >{{sktxt|Conrad|2008}}.</ref>
<ref name="kobl_1984" >{{sktxt|Koblitz|1984}}.</ref>
<ref name="kato_2000" >{{sktxt|Kato|Saitō|2000|pp=17}}.</ref>
<ref name="gran_1999" >{{sktxt|Grant|Perella|1999}}.</ref>
<ref name="roy__2007" >{{sktxt|Roy|2007}}.</ref>
}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{citat|last1= Beiler|first1= Albert H.|title= Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains|date= 1964|publisher= Courier Corporation|isbn= 978-0-486-21096-4|page= 153|url= https://books.google.com/books?id=fJTifbYNOzUC&pg=PA153}}
* {{citat|last1= Bradley|first1= Michael John|title= The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300|date= 2006|publisher= Infobase Publishing|isbn= 978-0-8160-5423-7|page= 124|url= https://books.google.com/books?id=EIdtVPeD7GcC&pg=PA124}}
* {{citat|last1= Conrad|first1= Keith|authorlink1= Keith Conrad|title= The congruent number problem|journal= Harvard College Mathematical Review|archiveurl= https://web.archive.org/web/20130120090003/http://www.thehcmr.org/issue2_2/congruent_number.pdf|url= http://www.thehcmr.org/issue2_2/congruent_number.pdf|date= jesen 2008|volume= 2|issue= 2|pages= 58–73|archivedate= 20. januar 2013}}
* {{citat|last1= Cooper|first1= Joshua|last2= Poirel|first2= Chris|title= Pythagorean Partition-Regularity and Ordered Triple Systems with the Sum Property|date= 2008|volume= 0809|page= 3478|arxiv= 0809.3478|bibcode= 2008arXiv0809.3478C}}
* {{citat|last1= Dickson|first1= Leonard Eugene|authorlink1= Leonard Eugene Dickson|title= History of the Theory of Numbers, Volume 2|date= 1999|publisher= American Mathematical Society|isbn= 978-0-8218-1935-7|contribution= XXII. Equations of degree four. Sum or difference of two biquadrates never a square; area of a rational right triangle never a square|url= https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA615|pages= 615–626}}
* {{citat|last1= Edwards|first1= Harold Mortimer|authorlink1= Harold Mortimer Edwards|title= Fermat's Last Theorem: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory|date= 2000|volume= 50|series= Graduate Texts in Mathematics|publisher= Springer|isbn= 978-0-387-95002-0|contribution= 1.6 Fermat's one proof|pages= 10–14|url= https://books.google.com/books?id=_IxN-5PW8asC&pg=PA10}}
* {{navedi knjigo|last1= Goldstein|first1= Catherine|title= Un théorème de Fermat et ses lecteurs|date= 1995|publisher= Presses Universaires de Vincennes|location= Saint-Denis}}
* {{citat|last1= Grant|first1= Mike|last2= Perella|first2= Malcolm|title= Descending to the irrational|journal= [[The Mathematical Gazette|Mathematical Gazette]]|volume= 83|date= julij 1999|pages= 263–267|issn= 0025-5572}}
* {{citat|last1= Kato|first1= Kazuya|last2= Saitō|first2= Takeshi|title= Number Theory: Fermat's dream|series= Translations of mathematical monographs|translator= Nobushige Kurokawa|publisher= American Mathematical Society|date= 2000|isbn= 978-0-8218-0863-4|page= 17|url= https://books.google.com/books?id=lARCMo8z5uoC&pg=PA17}}
* {{citat|last1= Koblitz|first1= Neal|authorlink1= Neal Koblitz|title= Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms|date= 1984|series= Graduate Texts in Mathematics, no. 97|publisher= Springer-Verlag|isbn= 0-387-97966-2}}
* {{citat|last1= Ore|first1= Øystein|authorlink1= Øystein Ore|title= Number Theory and Its History|date= 2012|publisher= Courier Dover Corporation|isbn= 978-0-486-13643-1|pages= 202–203|url= https://books.google.com/books?id=beC7AQAAQBAJ&pg=PA202}}
* {{citat|last1= Razpet|first1= Marko|authorlink1= Marko Razpet|title= Kongrui večkotniških števil|journal= [[Obzornik za matematiko in fiziko]]|issn= 0473-7466|date= 2019|volume= 66|issue= 6|pages= 211–220|publisher= Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|location= Ljubljana|cobiss= 18958169|oclc= |url= http://www.obzornik.si/66/6-Razpet.pdf|accessdate= 2020-09-19|archive-date= 2020-07-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20200727125206/http://www.obzornik.si/66/6-Razpet.pdf|url-status= dead}}
* {{citat|last1= Roy|first1= Barbara|title= Fermat's last theorem in the case <math> n=4 \!\, </math>|journal= Mathematical Gazette|date= julij 2007|volume= 91|issue= 521|pages= 260–262|issn= 0025-5572|doi= 10.1017/S002555720018163X}}
* {{citat|last1= Stillwell|first1= John|authorlink1= John Stillwell|title= Numbers and Geometry|series= [[Undergraduate Texts in Mathematics]]|date= 1998|publisher= Springer|isbn= 978-0-387-98289-2|contribution= 4.7 The area of rational right triangles|pages= 131–133|url= https://books.google.com/books?id=4elkHwVS0eUC&pg=PA131}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=FermatsRightTriangleTheorem|title=Fermat's Right Triangle Theorem}}

[[Kategorija:Aritmetični problemi v ravninski geometriji]]
[[Kategorija:Diofantske enačbe]]
[[Kategorija:Fermatov veliki izrek]]
[[Kategorija:Kvadrati v teoriji števil]]
[[Kategorija:Izreki teorije števil]]
[[Kategorija:Izreki ravninske geometrije]]