Ogled vira Generator psevdonaključnih števil

'''Generátor psévdonakljúčnih števíl''' ({{jezik-en|pseudorandom number generator}}, kratica PRNG) ali tudi '''deterministični generator naključnih bitov''' (''deterministic random bit generator'' (DRBG)<ref>{{navedi splet|url= http://csrc.nist.gov/publications/nistpubs/800-57/sp800-57-Part1-revised2_Mar08-2007.pdf|title= Recommendation for Key Management – Part 1: General|format= PDF|work= [[NIST]]|year= 2007|accessdate= 2012-01-21|language= en|archive-date= 2014-06-06|archive-url= https://web.archive.org/web/20140606050814/http://csrc.nist.gov/publications/nistpubs/800-57/sp800-57-Part1-revised2_Mar08-2007.pdf|url-status= dead}}</ref>) je po navadi [[Računalnik|računalniški]] [[algoritem]] za tvorjenje [[številsko zaporedje|številskega zaporedja]], ki je približek značilnosti [[naključno število|naključnih števil]]. Zaporedje ni čisto [[slučajnost|naključno]] in je popolnoma [[determinizem|določeno]] z relativno majhno množico začetnih vrednosti, ki se imenuje stanje generatorja, in vsebuje resnično naključno začetno vrednost (seme; angleško ''[[random seed]]'').

Čeprav se zaporedja števil, ki so bližje resnični naključnosti, tvorijo s pomočjo [[strojni generator naključnih števil|strojnih]] [[generator naključnih števil|generatorjev naključnih števil]], so ''psevdonaključna'' števila pomembna v praksi zaradi velike hitrosti njihovega tvorjenja in njihove [[obnovljivost]]i, tako, da se uporabljajo v [[simulacija]]h (npr. [[fizikalni sistem|fizikalnih sistemih]] z [[metoda Monte Carlo|metodo Monte Carlo]], [[imitacijska simulacija|imitacijskem modeliranju]]), v [[kriptografija|kriptografiji]] ali v [[proces]]nem izvajanju. Dobre [[statistika|statistične]] značilnosti so osrednja zahteva za izhod generatorja. Med običajne razrede ustreznih algoritmov za generatorje psevdonaključnih števil spadajo:

* linearni kongruenčni generatorji
:* mešani kongruenčni generatorji
::* [[linearni kongruenčni generator]]ji (LCG) 
:::: <math> x_{n+1} \equiv \left( a x_{n} + b \right) \!\!\!\! \pmod{m}, \quad (m > 0, m > a \ge 2, m \ge x_{0} > 0, m > b \ge 0, n \ge 0) </math>
:* multiplikativni (linearni) kongruenčni generatorji 
::: <math> x_{n+1} \equiv a x_{n} \!\!\!\! \pmod{m}, \quad (b = 0) </math>
::* [[Lehmerjev generator naključnih števil|Lehmerjevi generatorji]]
:* večkratni rekurzivni generatorji (MRG)
::: <math> x_{n+1} \equiv (a_{1} x_{n} + a_{2} x_{n-1} \dots + a_{k}x_{n-k+1} + b) \!\!\!\! \pmod{m}, \quad (k > 1) </math>
* [[zastajajoči Fibonaccijev generator|zastajajoči Fibonaccijevi generatorji]] (LFG)
:: <math> x_{n+1} \equiv x_{n-j} \star x_{n-k+1} \!\!\!\! \pmod{m}, \quad (m > j, k > j, j > 0) </math>
* [[pomikalni register z linearno povratno vezavo|pomikalni registri z linearno povratno vezavo]] (LFSR)
* kombinirani generatorji

Kriptografska raba zahteva tudi izhod, ki ni napovedljiv, potrebni pa so bolj izpopolnjeni modeli, ki ne vsebujejo linearnosti proprostih rešitev. V zadnjem času so iznašli več generatorjev psevdonaključnih števil, ki zagotavljajo močno naključnost, mednje pa spadajo algoritmi [[Blum-Blum-Shubov generator psevdonaključnih števil|BBS]], [[Fortuna (kriptografija)|Fortuna]] in [[Mersenne Twister]].

V splošnem je za zaupanje ali dani generator za zahtevano rabo tvori dovolj »naključna« števila potrebna skrbna [[matematika|matematična]] analiza. [[John von Neumann|Von Neumman]] je opozarjal na nepravilno podajanje generatorjev psevdonaključnih števil kot resnično naključnih generatorjev ter leta 1949 izjavil: »Vsakdo, ki ima aritmetične metode za tvorjenje naključnih števk, je seveda v stanju greha.« Robert R. Coveyou iz Narodnega laboratorija v Oak Ridgeu je nekoč imenoval svoj članek »Tvorjenje naključnih števil je preveč pomembno, da bi ga prepustili naključju.«

== Periodičnost ==

Generator psevdonaključnih števil se lahko zažene iz poljubnega začetnega stanja s pomočjo naključne začetne vrednosti (semena). Zaporedje bo pri enakem semenu vedno enako. Največja dolžina zaporedja preden se začne ponavljati je določena z velikostjo stanja, merjeno v [[bit]]ih. Ker se dolžina največje periode lahko podvoji z vsakim bitom iz dodanega stanja, je preprosto izdelati generatorje z dovolj dolgimi periodami za veliko praktičnih rab.

Če notranje stanje generatorja vsebuje ''n'' bitov, je lahko njegova perioda dolga največ 2<sup><var>n</var></sup>, lahko pa je veliko krajša. Za nekatere generatorje se lahko dolžina periode izračuna brez, da bi se poznala v celoti. [[pomikalni register z linearno povratno vezavo|Pomikalni registri z linearno povratno vezavo]] (LFSR) so po navadi izbrani tako, da imajo dolžine period točno 2<sup><var>n</var></sup>−1. [[Linearni kongruenčni generator]]ji (LCG) imajo dolžine period, ki se jih lahko izračuna s faktorizacijo. Dolžine period mešanih generatorjev (brez omejitev) so približno 2<sup><var>n</var>/2</sup> v povprečju, po navadi za neponovljivim začetnim zaporedjem. Dolžina period mešanih reverzibilnih generatorjev ([[permutacija|permutacije]]) je približno 2<sup><var>n</var>−1</sup> v povprečju, perioda pa bo vedno vsebovala izvorno notranje stanje (npr. [http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/itila/cycles.pdf]). Čeprav se bodo generatorji, ko dosežejo konec periode, ponovili, ponovljen rezultat ne pomeni, da je dosežen konec periode, ker je njegovo notranje stanje lahko večje kot njegov izhod. To je še posebej očitno pri generatorjih z 1-bitnim izhodom.

Večina algoritmov generatorjev psevdonaključnih števil daje zaporedja, ki so [[diskretna enakomerna porazdelitev|enakomerno porazdeljena]] glede na različne teste. Odprto vprašanje je in zelo pomembno za teorijo in prakso kriptografije, ali obstaja kakšna pot za razlikovanje izhoda zelo kakovostnega generatorja iz resnično naključnega zaporedja brez da bi se poznal algoritem ali algoritmi, ter začetno stanje. Varnost večine kriptografskih algoritmov in protokolov, ki rabijo generatorje psevdonaključnih števil, temelji na predpostavki, da ni mogoče razlikovati med rabo primernega generatorja psevdonaključnih števil in resnično naključnega zaporedja. Najpreprostejši zgled te odvisnosti so [[tokovna šifra|tokovne šifre]], ki večinoma delujejo prek [[logična operacija|logične operacije]] [[izključitveni ali]] na [[odprto besedilo]] (''plaintext'') sporočila z izhodom generatorja, ki daje [[šifrirano besedilo]] (''ciphertext''). Izdelava kriptografsko primernih generatorjev je izredno težka, saj morajo zanje veljati dodatni kriteriji. Velikost njegove periode je pomemben činitelj v kriptografski primernosti generatorjev, ni pa edin.

== Problemi z determinističnimi generatorji ==
[[Slika:Randu.png|thumb|right|250px|[[trirazsežni prostor|Trirazsežni]] [[graf raztrosa]] 100.000 vrednosti, tvorjenih z generatorjem [[RANDU]]. Vsaka točka predstavlja 3 zaporedne psevdonaključne vrednosti. Lepo se vidi kako točke ležijo na 15-ih [[ravnina]]h.]]

V praksi so v izhodu mnogih običajnih generatorjev [[artefakt (napaka)|artefakt]]i, ki povzročajo da generatorji ne morejo izpolniti statističnih testov vzorčenj. Sem med drugim spadajo:

* periode, ki so krajše od pričakovanih za nekatera stanja semen. V tem smislu se lahko takšna stanja semen imenujejo 'šibka',
* pomanjkanje enoličnosti porazdelitve za velike količine tvorjenih števil,
* korelacija zaporednih vrednosti,
* slaba razsežnostna porazdelitev izhodnega zaporedja,
* razdalje med določenimi vrednostmi, ki se pojavijo, so porazdeljene različno od tistih pri porazdelitvi z naključnim zaporedjem.

Razpon napak popačenih generatorjev seže od neopaznega (in neznanega) do zelo očitnega. Zgled za to je bil algoritem generatorja [[RANDU]], ki se je več desetletij rabil na [[osrednji računalnik|osrednjih računalnikih]]. Bil je zelo popačen, vendar njegove neustreznosti dolgo niso odkrili. Veliko raziskovalnega dela iz tistega časa na mnogih področjih, ki se je opiralo na naključno izbiro, na simulacije vrste [[metoda Monte Carlo|Monte Carlo]] ali drugače, je veliko manj zanesljivo, kakor bi lahko bilo.

Programske napake v generatorjih psevdonaključnih števil je velikokrat težko odkriti, saj se lahko kažejo le v drobnih nepravilnostih v porazdelitvi rezultatov. Zgled takšnega [[hrošč (računalništvo)|hrošča]] so odkrili v funkciji <code>strfry()</code> v programski knjižnici GNU C Library.<ref>{{sktxt|Jarno|2007}}.</ref> Podrobno sledenje generatorju korakoma bo težko odkrilo napako, saj je treba tvoriti zelo veliko število izhodov in na njih izvesti pravilen [[test statističnih hipotez|statistični test]].

== Zgodnji pristopi ==

=== Metoda srednjega kvadrata ===

Von Neumann je leta 1946 predlagal računalniški generator psevdonaključni števil, znan kot [[metoda srednjega kvadrata]].<ref>{{sktxt|Rahimov|Babaie|Hassanabadi|2011}}.</ref> Po njegovem algoritmu so za eno [[iteracija|iteracijo]] potrebni največ štirje koraki: vzame se poljubno število, se ga [[kvadrat (algebra)|kvadrira]], se mu po potrebi doda [[vodilna ničla]] ali več ustreznih ničel. Pridobljeno naključno število ima srednje števke tega števila, ki se ga potem uporabi za začetno vrednost naslednje iteracije. Simbolično se lahko metoda zapiše kot:

::: <math> x_{n+1} \equiv \frac{x_{n}^{2}}{2^{3a/4}} \!\!\!\! \pmod{2^{a/4}} \!\, . </math>

Na primer:
{| class="wikitable"
|-
| 1. ||  1111 ||
|-
| 2. || 1234321 ||
|-
| 3. || 01<span style="background: powderblue">'''2343'''</span>21 || 8-bitno število kvadrata 4-bitnega števila 
|-
| 4. || 2343 || iskano 'naključno' število
|}
Če se ponavlja iteracija s številom 2343, se dobi naslednji rezultat 4896, nato 9708, 2452, 123, 151, 228, 519, 2693, 2522, 3604, 9888, 7725, 6757, 6435, 4092, 7444, 4131, 651, 4238, 9606, 2752, 5735, 8902, 2456, 319, 1017, 342, 1169, 3665, itn. in zaporedje:

: 2343489697082452123151228519269325223604988877256756643540927444413165142389606573589022456319101734211693665, ...

Von Neumann je rabil 10 mestna števila, vendar je bil postopek enak.

Problem metode »srednjega kvadrata« je, da se zaporedja sčasoma začnejo ponavljati, nekatera zelo hitro, kot na primer »0000«, »3792« (periodi 1), »5197« (perioda 2) ali »6100« (perioda 4). Von Neumann se je tega zavedal, vendar so bili za njegovo rabo zadovoljivi. Skrbelo ga je le, da bodo matematični »popravki« preprosto skrili napake, namesto da bi jih odstranili.

Za von Neumanna so bili strojni generatorji neprimerni, ker, če niso zapisovali izhoda, ki so ga tvorili, bi porabili omejene računalniške pomnilnike, ki so bili tedaj na voljo, in s tem zmožnost računalnikov pri branju in zapisovanju števil. Če bi bila števila zapisana na karticah, bi bilo potrebno veliko več časa za branje in zapisovanje. Na računalniku [[ENIAC]], ki ga je uporabljal, je metoda »srednjega kvadrata« pridobivala števila nekaj stokrat hitreje kot branje števil iz [[luknjana kartica|luknjanih kartic]].

Metodo srednjega kvadrata so kasneje zamenjali izpopolnjeni generatorji.

=== Metoda linearne kongruence ===

Metodo je predlagal [[Derrick Henry Lehmer|Lehmer]] leta 1947. Generatorji te vrste so v [[računalništvo|računalništvu]] najbolj razširjeni. Sem spadajo na primer genaratorji RAND (32-bitna točnost), DRAND48 in RANF (48-bitna točnost) v programskem jeziku [[programski jezik C|C]] in operacijskem sistemu [[Unix]].<ref>{{sktxt|Coddington|1997}}.</ref> Ti generatorji za večino aplikacij delujejo zelo dobro, imajo pa nekaj večjih napak. Glavni problem je, da so najmanj značilni biti dobljenih števil v korelaciji, [[graf raztrosa]] urejenih trojic prikazanih v [[enotska hiperkocka|enotski hiperkocki]] pa kaže pravilno mrežasto zgradbo. Poleg tega je problem modul ''m'', ki je po navadi, ker je hiter in priročen za računalnik, potenca števila 2, saj imajo dobljeni biti nizkega reda veliko korelacijo, kakor tudi koreracijo na večji razdalji za intervale, ki so potence 2.

== Mersenne Twister ==

Algoritem [[Mersenne Twister]] (MT) iz leta 1997 Makota Macumota in Takudžija Nišimure se ogne mnogim problemov zgodnjih generatorjev. Ima velikansko dolžino periode 2<sup>19937</sup> − 1 iteracij (> 4,3{{e|6001}}), 19937 bitov notranjega stanja, je dokazano [[enakomerno porazdeljeno zaporedje|enakomerno porazdeljen]] v (do) 623 razsežnostih (za 32-bitne vrednosti), učinkovito uporablja pomnilnik, in se izvaja hitreje kot drugi statistično smiselni generatorji.<ref>{{sktxt|Macumoto|Nišimura|1998}}.</ref> Kot dobra izbira za [[generator naključnih števil]] pri statističnih simulacijah in generativnem modeliranju dobiva vse večjo veljavo. Imenuje se po 24-em [[Mersennovo število|Mersennovem praštevilu]], ki je dolžina njegove periode. Izvedba generatorja v programskem jeziku C je približno štirikrat hitrejša od funkcije <code>rand()</code> v običajnem C. SFMT, SIMD-oriented Fast Mersenne Twister, različica algoritma Mersenne Twister, je hitrejša, četudi se ne prevaja s podporo [[SIMD]].<ref>{{navedi splet|title=  Comparison of speed 
|url= http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/~m-mat/MT/SFMT/speed.html|accessdate= 2012-02-15|language= en}}</ref>

Izvirni algoritem Mersenne Twister za vse kriptografske aplikacije ne velja za primernega. Za kriptografsko rabo so predlagali različico Mersenne Twisterja.<ref>{{sktxt|Macumoto|Nišimura|Hagita|Saito|2005}}.</ref>

== Kriptografsko varni generatorji psevdonaključnih števil ==

{{glavni|kriptografsko varen generator psevdonaključnih števil}}

Generator primeren za [[kriptografija|kriptografske]] aplikacije se imenuje ''kriptografsko varen generator psevdonaključnih števil'' (''cryptographically secure PRNG'' (CSPRNG)). Zahteva za kriptografsko varen generator je, da ima nasprotnik, ki ne pozna semena, nepomembno prednost pri razločevanju generatorjevega izhodnega zaporedja od naključnega zaporedja. Medtem ko morajo generatorji psevdonaključnih števil ustrezati določenim statističnim testom, morajo kriptografsko varni generatorji ustrezati vsem statističnim testom, ki so omejeni na [[čas kompleksnosti|polinomski čas]] v velikosti semena. Čeprav te značilnosti ni moč dokazati, se lahko zagotovi velika zanesljivost s prevedbo kriptografsko varnega generatorja na [[matematični problem|problem]], ki je privzeto [[predpostavka računske strogosti|težek]], kot na primer [[praštevilski razcep]].<ref>{{sktxt|Yan|2007|pp=73}}.</ref> V splošnem je potrebnih več let pregledovanja, da se algoritmu prizna kriptografsko varnost.

Med kriptografsko varne generatorje med drugim spadajo:

* [[tokovna šifra|tokovne šifre]]
* [[bločna šifra|bločne šifre]], ki se izvajajo v [[način šifriranja|števčnem]] ali izhodno-odzivnem načinu.
* generatorji, ki so bili posebej izdelani za kriptografsko varnost, kot so na primer funkcija [[CryptGenRandom]] [[Microsoft]]ovega programskega vmesnika za kriptografske aplikacije [[Microsoft CryptoAPI|CryptoAPI]], [[algoritem Yarrow]] (''rman'') (vključen v operacijska sistema [[Mac OS X]] in [[FreeBSD]]), ter algoritem [[Fortuna (kriptografija)|Fortuna]].
* kombinirani generatorji psevdonaključnih števil, ki poskušajo združiti več primitivnih algoritmov generatorjev, da bi se odstranile vsakršne nenaključnosti.
* posebne izvedbe, ki temeljijo na predpostavki matematične strogosti, med katerimi sta na primer algoritem Micali-Schnorr in [[Blum-Blum-Shubov generator psevdonaključnih števil|algoritem BBS]], ki zagotavljata močno varnostno zanesljivost. Takšni algoritmi so v primerjavi s tradicionalnimi izvedbami počasni in za mnoge aplikacije nepraktični.

== Kriteriji vrednotenja BSI ==

Nemški [[Zvezni urad za varnost v informacijski tehnologiji]] (BSI) je uvedel štiri kriterije/razrede za kakovost determinističnih generatorjev naključnih števil. Ti so:

* K1 — zaporedje naključnih števil z majhno verjetnostjo vsebovanja enakih zaporednih elementov.
* K2 — zaporedje števil, ki jih ni moč razlikovati od 'resnično naključnih' števil glede na določene statistične teste. Testi so: test ''monobitnosti'' (enako število ničel in enic v zaporedju), test ''poker'' (poseben primer [[test hi-kvadrat|testa hi-kvadrat]]), test ''sekvenca'' (šteje frekvenco sekvenc različnih dolžin), test ''dolge sekvence'' (preverja ali obstaja sekvenca z dolžino 34 ali več v 20.000 bitih zaporedja) — oba iz BSI2 (AIS 20, v. 1, 1999) in FIPS (140-1, 1994), ter test ''avtokorelacije''. V bistvu so te zahteve preskus kako dobro je zaporedje bitov: ali ima enako pogosto ničle in enice; po zaporedju ''n'' ničel (ali enic), je naslednji bit enica (ali ničla) z verjetnostjo 1/2; vsako izbrano podzaporedje ne vsebuje podatkov o naslednjem elementu ali elementih v zaporedju.
* K3 — za kateregakoli napadalca je (za vse praktične namene) nemogoče izračunati, ali drugače uganiti, iz poljubno danega podzaporedja kakšno predhodno ali naslednjo vrednost v zaporedju, kot tudi ne kakšno notranje stanje generatorja.
* K4 — za vse praktične namene je za kateregakoli napadalca iz notranjega stanja generatorja nemogoče izračunati ali uganiti kakšna predhodna števila v zaporedju ali kakšna predhodna notranja stanja generatorja.

Za kriptografsko rabo so spremenljivi le generatorji, ki so v skladu s standardoma K3 ali K4.<ref>{{sktxt|Schindler|1999}}.</ref>

== Neenakomerni generatorji==
{{glavni|vzorčenje s psevdonaključnimi števili}}

Števila izbrana iz neenakomerne porazdelitve se lahko tvorijo z generatorji psevdonaključnih števil s pomočjo [[enakomerna porazdelitev|enakomerne porazdelitve]] in funkcije, ki povezuje ti dve porazdelitvi.

Najprej se potrebuje [[zbirna funkcija verjetnosti|porazdelitvena funkcija]] <math>F(b)</math> ciljne porazdelitve <math>f(b)</math>:

: <math> F(b)=\int_{-\infty}^b f(b') {\rm d} b' \!\, . </math>

Pri tem je <math>0=F(-\infty)\leq F(b) \leq F(\infty)=1</math>. S pomočjo naključnega števila ''c'' iz enakomerne porazdelitve kot verjetnostne gostote za »premostitev« se dobi:

: <math> F(b)=c \!\, , </math>

tako, da je:

: <math> b=F^{-1}(c) \!\, </math>

število, naključno izbrano iz porazdelitve <math>f(b)</math>.

Inverzna zbirna [[normalna porazdelitev]] <math>\operatorname{erf}^{-1}(x)</math> z idealnim enakomernim generatorjem psevdonaključnih števil z območjem (0, 1) kot vhodom <math>x</math> bi na primer dala zaporedje (le pozitivnih) vrednosti z normalno porazdelitvijo, pri čemer
* je treba pri praktičnih predstavitvah števil neskončne »konce« porazdelitve odrezati na končne vrednosti,
* je treba ponavljajoče izračunavanje funkcije <math>\operatorname{erf}^{-1}(x)</math> skrčiti za hitrejše tvorjenje števil, na primer z metodo, kot je [[algoritem zigurat]].

Podobni premisleki veljajo za druge neenakomerne porazdelitve, kot sta [[Rayleighjeva porazdelitev|Rayleighjeva]] ali [[Poissonova porazdelitev]].

== Glej tudi ==

* [[seznam generatorjev naključnih števil]]
* [[psevdonaključnost]]
* [[psevdonaključno dvojiško zaporedje]]
* [[naključnost]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|3}}
* {{navedi splet|last1= Coddington|first1= Paul D.|title= Random number generators for parallel computers|url= http://surface.syr.edu/npac/13/|format= PDF|work= Northeast Parallel Architecture Center|year= 1997}} Paper 13.
* {{navedi splet|last1= Entacher|first1= Karl|title= A collection of selected pseudorandom number generators with linear structures|url= http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.53.3686&rep=rep1&type=pdf|format= PDF|year= 1997}}
* {{navedi splet|last1= Jarno|first1= Aurelien|url= http://sourceware.org/bugzilla/show_bug.cgi?id=4403|title= strfry() gives skewed distributions|work= Bugzilla, Bug 4403|year= 2007|accessdate= 2012-02-14|language= en}}
* {{navedi splet|last1= Macumoto|first1= Makoto|last2= Nišimura|first2= Takudži|title= Dynamic Creation of Pseudorandom Number Generators|url= http://sites.google.com/site/sphgf2/Home/DynamicCreationofPseudorandomNumberGenerators.pdf|format= PDF|year= 1998|accessdate= 2012-02-21|language= en}}{{Slepa povezava|date=september 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{navedi splet|last1= Macumoto|first1= Makoto|last2= Nišimura|first2= Takudži|last3= Hagita|first3= Mariko|last4= Saito|first4= Macuo|title= Cryptographic Mersenne Twister and Fubuki stream/block cipher|url= http://eprint.iacr.org/2005/165.pdf|format= PDF|year= 2005|accessdate= 2012-02-15|language= en}}
* {{navedi splet|last1= Mareković|first1= Nikola|title= Generatori slučajnih brojeva/Primjer implementacije|url= http://os2.zemris.fer.hr/random/2001_marekovic/index.html|work= [[Fakulteta za elektrotehniko in računalništvo v Zagrebu|FER]], ZEMRIS|accessdate= 2012-01-21|language= hr|archive-date= 2009-08-28|archive-url= https://web.archive.org/web/20090828023442/http://os2.zemris.fer.hr/random/2001_marekovic/index.html|url-status= dead}}
* {{navedi revijo|first1= Hamed|last1= Rahimov|first2= Majid|last2= Babaie|first3= Hassan|last3= Hassanabadi|title= Improving Middle Square Method RNG Using Chaotic Map|url= http://www.scirp.org/Journal/PaperInformation.aspx?paperID=4512|journal= [[Applied Mathematics]]|date= april 2011|volume= 2|issue= 4|pages= 482-486|DOI= 10.4236/am.2011.24062}}
* {{navedi splet|last1= Schindler|first1= Werner|url= https://www.bsi.bund.de/cae/servlet/contentblob/478152/publicationFile/30552/ais20e_pdf.pdf|title= Functionality Classes and Evaluation Methodology for Deterministic Random Number Generators|work= [[Zvezni urad za varnost v informacijski tehnologiji]]|format= PDF|year= 1999|accessdate= 2012-02-17|language= en|archive-date= 2012-02-27|archive-url= https://web.archive.org/web/20120227131710/https://www.bsi.bund.de/cae/servlet/contentblob/478152/publicationFile/30552/ais20e_pdf.pdf|url-status= dead}}
* {{navedi revijo|last1= Soban|first1= Bogdan|title= Izvirni način ustvarjanja računalniških grafik|url= http://lopes1.fov.uni-mb.si/is/99/org/soban.pdf|format= PDF|journal= [[Organizacija (revija)|Organizacija]]|date= oktober–november 1999|volume= 32|issue= 8-9|pages= 519-524|access-date= 2012-01-21|archive-date= 2016-03-04|archive-url= https://web.archive.org/web/20160304214825/http://lopes1.fov.uni-mb.si/is/99/org/soban.pdf|url-status= dead}}
* {{navedi knjigo|last1= Yan|first1= Song. Y.|title= Cryptanalytic Attacks on RSA|publisher= Springer|year= 2007|ISBN= 9780387487410}}
* {{navedi splet|title= Probabilistic Algorithms: Spring 2001 Course|url= http://users.abo.fi/atorn/ProbAlg/Page21.html|year= 2001|accessdate= 2012-01-22|language= en}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* [http://random.mat.sbg.ac.at/index.html ''Random Number Generators''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120129182839/http://random.mat.sbg.ac.at/index.html |date=2012-01-29 }}, stran o generatorjih PNŠ skupine pLab, Oddelek za matematiko, Univerza v Salzburgu {{ikona en}}
* [http://www.nd.edu/~mcbg/tutorials/2006/tutorial_files/randomNum/howItworks.html ''Introduction to Random Number Generators''] Univerza v Notre Damu {{ikona en}}

[[Kategorija:Generatorji psevdonaključnih števil| ]]