Ogled vira Haynes - Shockleyev eksperiment

V '''Haynes - [[William Shockley|Shockleyev]] eksperimentu''' v [[polprevodnik]] (recimo tipa n) vbrizgamo vrzeli, lahko s sunkom napetosti ali pa z [[laser]]skim pulzom. V našem primeru na polprevodnik na razdalji ''d'' priključimo elektrodi, na eni vbrizgamo vrzeli, z drugo pa opazujemo signal. Zanimajo nas gibljivost nosilcev [[električni naboj|električnega naboj]]a, [[difuzijska konstanta]] in [[relaksacijski čas]] v polprevodniku, ki jih s tem poskusom lahko določimo. Problem bomo obravnavali v eni dimenziji. 

Najprej si pogledamo enačbe za [[snovni tok|tok]] [[vrzeli]] in [[elektron]]ov:

<math>j_e=-\mu_n n E-D_n \frac{\partial n}{\partial x}</math>

<math>j_p=-\mu_p p E-D_n \frac{\partial p}{\partial x}</math>

kjer je <math>\mu=e\beta D</math> gibljivost, velja <math>v=\mu E</math>.

Velja tudi [[kontinuitetna enačba]]:

<math>\frac{\partial n}{\partial t}=\frac{-(n-n_0)}{\tau_n}-\frac{\partial j_e}{\partial x}</math>

<math>\frac{\partial p}{\partial t}=\frac{-(p-p_0)}{\tau_p}-\frac{\partial j_p}{\partial x}</math>

Upoštevamo, da se elektroni in vrzeli rekombinirajo z relaksacijskim čason <math>\tau</math>.

Definiramo <math>p_1=p-p_0</math> in <math>n_1=n-n_0</math> in sestavimo zgornje enačbe v:

<math>\frac{\partial p_1}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 p_1}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}-
\mu_p E \frac{\partial p_1}{\partial x}-\frac{p_1}{\tau_p}</math>

<math>\frac{\partial n_1}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_1}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+
\mu_n E \frac{\partial n_1}{\partial x}-\frac{n_1}{\tau_n}</math>

Upoštevali smo, da sta <math>p_0</math> in <math>n_0</math> konstantna, zato odpadeta pri odvodu. 

Poglejmo si člen, v katerem nastopa gradient električnega polja. [[Laplaceova enačba]] nam pove:

<math>\rho=-\epsilon \epsilon_0 \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}= \epsilon \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial x}</math>

<math>\frac{\partial E}{\partial x}= \frac{\rho}{\epsilon \epsilon_0}=\frac{e_0 ((p-p_0)-(n-n_0))}{\epsilon \epsilon_0}</math>

Zdaj uvedemo <math>n_2=p_1+n_1</math> in <math>n_3=p_1-n_1<<n_2</math>. Gibalni enačbi lahko zapišem z uporabo novih spremenljivk:

<math>\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_p \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}-\mu_p p \frac{\partial E}{\partial x}-
\mu_p E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau_p}</math>

<math>\frac{\partial n_2}{\partial t}=D_n \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}+\mu_n n \frac{\partial E}{\partial x}+
\mu_n E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau_n}</math>

Vidimo, da sta zgornji enačbi sklopljeni, saj v njiju nastopajo enake količine, razlikujejo pa se konstante. Zdaj ju bomo
združili v eno enačbo:

<math>\frac{\partial n_2}{\partial t}=D^* \frac{\partial^2 n_2}{\partial x^2}+
\mu^* E \frac{\partial n_2}{\partial x}-\frac{n_2}{\tau^*},</math>

kjer so <math>D^*=\frac{D_n D_p(p+n)}{p D_p+nD_n}</math>, <math>\mu^*=\frac{\mu_n\mu_p(p-n)}{p\mu_p+n\mu_n}</math> in 
<math>\frac{1}{\tau^*}=\frac{p\mu_p\tau_p+n\mu_n\tau_n}{\tau_p\tau_n(p\mu_p+n\mu_n)}.</math>

Če predpostavimo, da je n>>p oziroma <math>p\rightarrow 0</math> (kar je seveda res v polprevodniku, v katerega smo vbrizgali samo 
nekaj vrzeli, ostalo so pa elektroni), vidimo, da <math>D^*\rightarrow D_p</math>, <math>\mu^*\rightarrow \mu_p</math> in 
<math>\frac{1}{\tau^*}\rightarrow \frac{1}{\tau_p}</math>. Vidimo, da se vrzeli takoj zasenčijo z elektroni, torej se polprevodnik
obnaša, kot da po njem potuje samo oblak vrzeli. 

Enačbo za gibljivost zdaj lahko rešimo in dobimo zvezo:

<math>n_2(x,t)=A \frac{1}{\sqrt{4\pi D^* t}} e^{-t/\tau^*} e^{-\frac{(x+\mu^*Et-x_0)^2}{4D^*t}}</math>

To lahko interpretiramo takole: ob začetnem sunku napetosti ali laserskem pulzu se ustvarijo vrzeli v obliki [[delta funkcija|delta funkcije]]. Vrzeli potem začnejo potovati proti elektrodi, kjer jih zaznamo. Signal na drugi elektrodi ima torej obliko 
[[Gaussova krivulja|Gaussove krivulje]]. 

Parametre <math>\mu, D</math> in <math>\tau</math> določimo iz oblike krivulje in količin <math>t_0</math>, ki je čas, ki ga vrh sunka porabi do druge 
elektrode in <math>\delta t</math>, ki je širina sunka ob času <math>t_0</math>.

<math>\mu^*=\frac{d}{E t_0}</math>

<math>D^*=(\mu^* E)^2 \frac{(\delta t)^2}{16 t_0}</math>

== Viri ==

*Wang:''Solid State Electronics''

[[Kategorija:Polprevodniki]]