Ogled vira Integral

[[Slika:Integral example.png|thumb|right|Integral ''f''(''x'') od ''a'' do ''b'' je površina področja med abscisno (x) osjo in krivuljo ''y'' = ''f''(''x''), ki leži nad abscisno osjo, z odšteto površino področja med abscisno osjo in krivuljo, ki leži pod abscisno osjo, za vse ''x''-e na intervalu [''a'',''b''].]]
{{Infinitezimalni račun}}
'''Integrál''' je osnova tako imenovane »višje [[matematika|matematike«]], natančneje [[matematična analiza|matematične analize]] in [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]]. 

Temelje integralskega računa sta postavila [[Isaac Newton]] in [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] v poznem [[17. stoletje|17. stoletju]]. Integral funkcije je prek [[osnovni izrek infinitezimalnega računa|osnovnega izreka infinitezimalnega računa]] povezan z njenim odvodom, določen integral funkcije na nekem intervalu pa je, ko poznamo nedoločenega, moč enostavno izračunati. Integral in odvod sta postala osnovni orodji infinitezimalnega računa, izjemno uporabnega v [[znanost]]i in [[tehnika|tehniki]].

== Nedoločeni in določeni integral ==

Beseda integral zajema dva precej različna pojma:
*'''Nedoločeni integral''' dane funkcije ''f'' je družina funkcij ''F'', katerih odvod je enak dani funkciji ''f''. V tem smislu je integriranje inverzna operacija kot [[odvod|odvajanje]]. Rezultat nedoločenega integrala imenujemo [[primitivna funkcija]].

*'''Določeni integral''' je povezan s ploščino lika, omejenga z grafom funkcije ''f''. Naj bosta dana pozitivna [[funkcija]] ''f'' [[realno število|realne]] spremenljivke ''x'' in [[interval]] [''a'', ''b''] na [[številska premica|številski premici]]. Določeni integral funkcije ''f'' je [[ploščina]] lika, ki ga omejujejo [[graf funkcije]] ''f'', [[os]] ''x'' ter navpični [[premica|premici]] ''x = a'' in ''x = b''.

Določeni in nedoločeni integral povezuje [[osnovni izrek infinitezimalnega računa]], ki se imenuje tudi [[Newton-Leibnizeva formula|Newton-Leibnizova formula]]: Ploščino omenjenga lika izračunamo tako, da najprej z nedoločenim integralom izračunamo primitivno funkcijo ''F'', potem pa vanjo vstavimo meji intervala: ''p'' = ''F(b) − F(a)''.

== Osnovni izrek infinitezimalnega računa ==
{{glavni|Osnovni izrek infinitezimalnega računa}}

Osnovni izrek infinitezimalnega računa pravi, da sta si odvajanje in (nedoločeno) integriranje inverzni operaciji: če neko [[zveznost funkcije|zvezno funkcijo]] integriramo in nato odvajamo, spet dobimo začetno funkcijo. Pomembna posledica, včasih imenovana drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa, omogoča izračun določenega integrala funkcije s pomočjo njenih nedoločenih integralov.

=== Izreki ===

* '''''Osnovni izrek infinitezimalnega računa.''''' Naj bo ''f'' realna integrabilna [[funkcija]], definirana na zaprtem [[interval]]u [''a'', ''b''].  Če je ''F'' definirana za ''x'' na intervalu [''a'', ''b''] s predpisom 

:: <math> F(x) = \int_a^x f(t)\, \mathrm{d} t.</math>
: je ''F'' [[zveznost funkcije|zvezna]] na intervalu [''a'', ''b'']. Če je ''f'' zvezna v točki ''x'' na intervalu [''a'', ''b''], je ''F'' [[odvod|odvedljiva]] v točki ''x'', in ''F''&thinsp;&prime;(''x'') = ''f''(''x'').

* '''''Drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa.''''' Naj bo ''f'' realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [''a'', ''b'']. Če je ''F'' takšna funkcija, da ''F''&thinsp;&prime;(''x'') = ''f''(''x'') za vsak ''x'' na intervalu [''a'', ''b''] (torej, ''F'' je nedoločeni integral funkcije ''f''), potem

:: <math> \int_a^b f(t)\, \mathrm{d} t = F(b) - F(a). </math>

* '''''Opomba.''''' Če je ''f'' zvezna funkcija na intervalu [''a'', ''b''], je ''f'' odvedljiva na intervalu [''a'', ''b''], in ''F'', definirana z

:: <math> F(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d} t </math>
:je nedoločeni integral funkcije ''f'' na [''a'', ''b'']. Nadalje

:: <math> \int_a^b f(t) \, \mathrm{d} t = F(b) - F(a). </math>

==Glej tudi==
*[[odvod]]
*[[tabela integralov]]

{{math-stub}}

[[Kategorija:Infinitezimalni račun]]
[[Kategorija:Matematična analiza]]
{{normativna kontrola}}