Ogled vira Izrek H

{{DISPLAYTITLE:Izrek ''H''}}
'''Izrek ''H'' ''' (tudi ''' ''H''-izrek''') v [[termodinamika|termodinamiki]], [[kinetika (fizika)|kinetični]] teoriji in klasični [[statistična mehanika|statistični mehaniki]] opisuje težnjo po zmanjševanju [[fizikalna količina|količine]] <math> H \!\, </math> (definirane spodaj) skoraj [[idealni plin|idealnega plina]] [[molekula|molekul]] v [[ireverzibilna sprememba|ireverzibilnih]] procesih na podlagi [[Boltzmannova enačba|Boltzmannove enačbe]]. Izrek je podal [[Ludwig Boltzmann]] leta [[1872 v znanosti|1872]] v dolgem članku ''Nadaljnja raziskovanja...'' (''Weitere Studien...'').{{r|bolt_1872}}{{r|strn_2003}}{{rp|256}}{{r|uffi_2004}}

Ker naj bi ta količina <math> H \!\, </math> predstavljala [[entropija (klasična termodinamika)|entropijo]] iz termodinamike, je bil izrek ''H'' zgodnji prikaz moči statistične mehanike, saj je trdil, da iz [[reverzibilna sprememba|reverzibilne]] mikroskopske mehanike izpelje [[drugi zakon termodinamike]] – izjavo o bistveno ireverzibilnih procesih. Tako se na prvi pogled morda zdi, da izrek opisuje nepovratno povečanje entropije na podlagi mikroskopskih reverzibilnih enačb dinamike. Tedaj je ta rezultat povzročil burno razpravo. Domneva se, da dokazuje drugi zakon termodinamike,{{r|leso_2016}}{{r|spl0}}{{r|spl1}} čeprav ob predpostavki začetnih pogojev z nizko entropijo.{{r|zeh__1989}}

Izrek ''H'' je naravna posledica kinetične enačbe, ki jo je izpeljal Boltzmann, in, ki je postala znana kot Boltzmannova (transportna) enačba. Izrek ''H'' je povzročil veliko razprav o njegovih dejanskih posledicah, pri čemer so glavne teme:

* Kaj je entropija? V kakšnem smislu Boltzmannova količina <math> H \!\, </math> ustreza termodinamični entropiji?
* Ali so privzetki (zlasti privzetek o [[molekularni kaos|molekularnem kaosu]]) v ozadju Boltzmannove enačbe premočni? Kdaj so ti privzetki kršeni?

== Poimenovanje izreka ==

Izrek se je najprej imenoval '''Boltzmannov izrek o minimumu'''.{{r|bolt_1895}}{{r|bolt_1905}}{{r|strn_2003}}{{rp|256}}{{r|bett_2004}}{{rp|4}} Boltzmann je v svojem izvirnem članku iz leta 1872 za svojo statistično funkcijo zapisal simbol <math> E \!\, </math> (kot pri entropiji).{{r|bolt_1872}} Kasneje je [[Samuel Hawksley Burbury]], eden od kritikov izreka,{{r|spl2}} leta 1890 zapisal funkcijo s simbolom <math> H \!\, </math>{{r|burb_1890}} in ta zapis je pri sklicevanju na svoj »izrek ''H''« prevzel Boltzmann.{{r|bolt_1896a}} Zapis je povzročil nekaj zmede glede imena izreka. Čeprav se izjava običajno imenuje »izrek ''[[H|ha]]''«, se včasih namesto tega imenuje »izrek ''[[eta (črka)|eta]]''«, saj velike grške črke η (Η) ni mogoče razlikovati od velike različice [[latinska abeceda|latinske]] črke h (H).{{r|chap_1937}} Sprožile so se razprave o tem, kako naj bi se simbol razumel, vendar to ostaja nejasno zaradi pomanjkanja pisnih virov iz časa nastanka izreka.{{r|chap_1937}}{{r|brus_1967}} Študije o [[tipografija|tipografiji]] in delo [[Josiah Willard Gibbs|Josiaha Gibbsa]]{{r|gibb_1902}} so izgleda naklonjeni interpretaciji ''H'' kot ''η''.{{r|hjal_1977}}

== Definicija in pomen količine ''H'' ==

Vrednost količine <math> H \!\, </math> se določi iz funkcije <math> f(W_{k}, t) \, \mathrm{d} W_{k} \!\, </math>, ki je [[brezrazsežna količina|brezrazsežna]] [[porazdelitvena funkcija (fizika)|porazdelitvena funkcija]] [[kinetična energija|kinetične energije]] molekul v [[čas]]u <math> t \!\, </math>.{{efn|Boltzmann je izvirno rabil funkcijo porazdelitve (gostote) za [[kinetična energija|kinetično energijo]] (označeno z <math> x \!\, </math>), za katero je funkcija <math> H \!\, </math> nekoliko kompleksnejša.{{r|fren_1984}}{{rp|87}} Po navadi se pri obravnavi izreka ''H'' rabi porazdelitvena funkcija za [[hitrost]] <math> f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \!\, </math>,{{r|brow_2008}}{{rp|3}} za [[gibalna količina|gibalno količino]] <math> f(\mathbf{r}, \mathbf{p}, t) \!\, </math>{{r|spl3}} ali po točkah v [[fazni prostor|faznem prostoru]] <math> f(\mathbf{z}, t) \!\, </math>, <math> \mathbf{z} = (\mathbf{r}, \mathbf{v}) \!\, </math>.{{r|mand_2012}}{{rp|565}}}} Vrednost funkcije <math> f(W_{k}, t) \, \mathrm{d} W_{k} \!\, </math> je število molekul, ki imajo kinetično energijo med <math> W_{k} \!\, </math> in <math> W_{k} + \mathrm{d} W_{k} \!\, </math>. Če se za dani [[trk]] med dvema molekulama zapišeta kinetični energiji med <math> W_{k} + \mathrm{d} W_{k} \!\, </math> in <math> W'_{k} + \mathrm{d} W'_{k} \!\, </math> pred trkom ter kinetični energiji med <math> \xi + \mathrm{d} \xi \!\, </math> in <math> \xi' + \mathrm{d} \xi' \!\, </math> po trku, se lahko število trkov v času <math> \tau \!\, </math> zapiše kot:

: <math> \mathrm{d} n = \tau f(W_{k}, t) \mathrm{d} W_{k} \, f(W'_{k}, t) \mathrm{d} W'_{k} \, \mathrm{d} \xi \, \psi (W_{k}, W'_{k}, \xi) \!\, , </math>

kjer je funkcija <math> \psi (W_{k}, W'_{k}, \xi) \!\, </math> določena s posebnimi vrstami trkov, ustreznih za tak sistem. Spremenljivka <math> \xi' \!\, </math>, kinetična energija druge molekule po trku, iz enačbe izpade, saj je sistem omejen z [[izrek o ohranitvi energije|ohranjanjem energije]], <math> W_{k} + W'_{k} = \xi + \xi' \!\, </math> in zato <math> \xi' = W_{k} + W'_{k} - \xi' \!\, </math>.{{r|park_2009}}{{rp|4}} [[časovni odvod|Odvod po času]] te porazdelitve je Boltzmann izrazil z integralom:{{r|bolt_1872}}{{rp|294}}

: <math> \frac{\partial f(W_{k}, t)}{\partial t} = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{W_{k} + W'_{k}} \left[ \frac{f(\xi, t)}{\sqrt{\xi}} \frac{f(W_{k} + W'_{k} - \xi, t)}{\sqrt{W_{k} + W'_{k} - \xi}} - \frac{f(W_{k}, t)}{\sqrt{W_{k}}} \frac{f(W'_{k}, t)}{\sqrt{W'_{k}}} \right] \sqrt{W_{k} W'_{k}} \psi(W_{k}, W'_{k}, \xi) \, \mathrm{d} W'_{k} \, \mathrm{d} \xi \!\, . </math>

Funkcija <math> \psi(W_{k}, W'_{k}, \xi) \!\, </math> je odvisna od sile med molekulama in Boltzmann jo je imel za [[simetrična funkcija|simetrično]]: <math> \psi(W_{k}, W'_{k}, \xi) = \psi(W'_{k}, W_{k}, W_{k} + W'_{k} - \xi) \!\, </math>, kar pomeni, da je trk popolnoma reverzibilen.{{r|strn_2003}}{{rp|256}} Izraz za <math> \partial f / \partial t \!\, </math> je odvisen le od trkov, in transportna enačba se lahko izrazi kot bilančna enačba, v kateri se izgube odštejejo od prirastkov med trki.{{r|brow_2008}}{{rp|3}} Količino <math> H \!\, </math> sámo je Boltzmann definiral kot integral:{{r|bolt_1872}}{{rp|295}}{{r|fren_1984}}{{rp|88}}

: <math> H(t) = \int_{0}^{\infty} f(W_{k}, t) \left( \ln\frac{f(W_{k}, t)}{\sqrt{W_{k}}} - 1 \right) \, \mathrm{d} W_{k} \!\, . </math>

Je neposredno sorazmerna z negativno entropijo plina.{{r|mayr_2021}}{{rp|14}}{{efn|Boltzmann jo je opredelil kot nekakšno mero odstopanja prevladujočega stanja od maxwellovske.{{r|bolt_1896b}}}} Za izolirani idealni plin (s fiksno skupno energijo in fiksnim skupnim številom delcev) je funkcija <math> H \!\, </math> najmanjša, če imajo delci [[Maxwell-Boltzmannova porazdelitev|Maxwell-Boltzmannovo porazdelitev]]. Če pa so molekule idealnega plina porazdeljene na drug način (na primer, da imajo vse enako kinetično energijo), potem bo vrednost <math> H \!\, </math> višja. Boltzmannov izrek ''H'', opisan v naslednjem razdelku, kaže, da so takšne porazdelitve nestabilne, ko so med molekulami trki dovoljeni, in se nagibajo k ireverzibilni težnji proti minimalni vrednosti <math> H \!\, </math> (proti Maxwell-Boltzmannovi porazdelitvi).{{efn|Boltzmann je za količino <math> H \!\, </math> izvirno uporabil črko <math> E \!\, </math>, večina literature za njim pa uporablja črko <math> H \!\, </math> kot v tem članku. Boltzmann je uporabil tudi simbol <math> x \!\, </math> za označevanje kinetične energije delca.}}

== Izrek ==
[[slika:Translational motion.gif|thumb|right|200px|V tem mehanskem modelu [[plin]]a je [[gibanje]] [[molekula|molekul]] zelo neurejeno. Boltzmann je pokazal, da ob predpostavki, da je vsaka konfiguracija [[trk]]ov v plinu resnično naključna in neodvisna, plin konvergira k [[Boltzmannova porazdelitev|Maxwellovi porazdelitvi hitrosti]], tudi če se ni začelo tako.]]

Boltzmann je razmišljal o tem, kaj se zgodi med trkom dveh delcev. Osnovno dejstvo mehanike je, da se pri prožnem trku med dvema delcema (kot so trde krogle) energija, ki se prenaša med delcema, spreminja glede na začetne pogoje (kot trka itd.).

Podal je ključni privzetek, kakor pred njim [[James Clerk Maxwell]] leta 1867, sedaj znan kot ''Stoßzahlansatz''{{efn|Boltzmann neposredno ni rabil tega izraza. Uvedel ga je [[Paul Ehrenfest]] leta 1912.}} (''SZA'' – ''privzetek o številu trkov'' (''privzetek o naključnosti''), v sodobni različici – privzetek o [[molekularni kaos|molekularnem kaosu]]), da imata med katerim koli trkom v plinu dva delca, ki sodelujeta pri trku:
# neodvisno izbrani kinetični energiji iz porazdelitve, 
# neodvisni smeri hitrosti in
# samostojni izhodišči.

Pod temi tremi privzetki in glede na mehaniko prenosa energije bosta energiji delcev po trku sledili določeni novi naključni porazdelitvi, ki jo je mogoče izračunati. Skupna porazdelitev hitrosti za par delcev se lahko zapiše kot produkt dveh neodvisnih porazdelitev.{{r|park_2009}}{{rp|4}}

Ob upoštevanju ponavljajočih se nekoreliranih trkov med katero koli in vsemi molekulami v plinu je Boltzmann sestavil svojo kinetično enačbo (Boltzmannovo enačbo). Iz te kinetične enačbe naravno sledi, da neprekinjen proces trka povzroči, da se količina <math> H \!\, </math> zmanjšuje, dokler ne doseže minimuma:

: <math> \frac{\mathrm{d} H(t)}{\mathrm{d} t} \le 0 \!\, . </math>

Količina <math> H \!\, </math> je od spodaj omejena in ne more zavzeti vrednosti minus neskončno. Zato se njena vrednost ne more zmanjševati neskončno dolgo, ampak mora težiti k limiti, kjer velja ta neenakost (<math> \mathrm{d} H(t) / \mathrm{d} t \le 0 \!\, </math>).{{r|fitz_2016}} Boltzmann je privzel, da SZA velja ves čas, in tako zagotovil, da se količina <math> H \!\, </math> ves čas obnaša homogeno.{{r|brow_2008}}{{rp|4}}

== Vpliv izreka ==

Čeprav se je izkazalo, da Boltzmannov izrek ''H'' ni absolutni dokaz drugega zakona termodinamike, kot je prvotno trdil (glej razdelek [[#Kritike in izjeme|Kritike in izjeme]] spodaj), je izrek ''H'' vodil Boltzmanna v zadnjih letih 19. stoletja do vse več verjetnostnih argumentov o naravi termodinamike. Verjetnostni pogled na termodinamiko je dosegel vrhunec leta 1902 z Gibbsovo statistično mehaniko za popolnoma splošne sisteme (ne samo pline) in uvedbo posplošenih [[ansambel (matematična fizika)|statističnih ansamblov]].

Kinetična enačba in zlasti Boltzmannov privzetek o molekularnem kaosu sta navdihnili celo družino Boltzmannovih enačb, ki se še danes uporabljajo za modeliranje gibanja delcev, kot so [[elektron]]i v [[polprevodnik]]u. V mnogih primerih je privzetek o molekularnem kaosu zelo točen, zmožnost zavračanja zapletenih korelacij med delci pa naredi izračune veliko enostavnejše.

Proces [[termalizacija|termalizacije]] se lahko opiše z izrekom ''H'' ali [[relaksacijski izrek|relaksacijskim izrekom]], ki je njegova posplošitev.{{r|reid_2012}}

== Kritike in izjeme ==
{{več sklicev|date=april 2015}}

Spodaj je opisanih več pomembnih razlogov, zakaj izrek ''H'', vsaj v svoji izvirni obliki iz leta 1872, ni povsem strog. Kot bi Boltzmann sčasoma priznal, [[časovna puščica]] v izreku ''H'' pravzaprav ni čisto mehanska, ampak je v resnici posledica predpostavk o začetnih pogojih.{{r|uffi_2006}}

=== Loschmidtov paradoks ===
{{glavni|Loschmidtov paradoks}}

Kmalu po tem, ko je Boltzmann objavil svoj izrek ''H'', je [[Johann Josef Loschmidt|Josef Loschmidt]] leta 1876 ugovarjal, da iz časovno simetrične dinamike in časovno simetričnega formalizma ne bi smelo biti mogoče izpeljati ireverzibilnega procesa.{{r|losc_1876}} Če se <math> H \!\, </matH> sčasoma v enem stanju zmanjša, potem mora obstajati ujemajoče se obrnjeno stanje, kjer <math> H \!\, </math> s časom narašča ([[Loschmidtov paradoks]]). Razlaga je, da Boltzmannova enačba temelji na privzetku »molekularnega kaosa«, tj. da iz osnovnega kinetičnega modela izhaja ali je vsaj skladna z njim, da se delci štejejo za neodvisne in nekorelirane. Izkazalo se je, da ta privzetek v subtilnem smislu prekine simetrijo časovnega obrata in zato [[petitio principii|zahteva vprašanje]]. Ko je delcem dovoljeno trčiti, njihove smeri hitrosti in lege ''dejansko'' postanejo korelirane (vendar so te korelacije kodirane na izjemno zapleten način). To kaže, da (trajni) privzetek o neodvisnosti ni skladen z osnovnim modelom delcev.

Boltzmannov odgovor Loschmidtu je bil, da je priznal možnost teh stanj, vendar je opozoril, da so tovrstna stanja tako redka in nenavadna, da so v praksi nemogoča. Boltzmann je nadaljeval z izostritvijo tega pojma »redkosti« stanj, kar je privedlo do njegove slavne enačbe, njegove formule za entropijo iz leta 1877 (glej [[Boltzmannova formula za entropijo]]).

=== Spinski odmev ===

Kot prikaz Loschmidtovega paradoksa je slavni sodobni [[protiprimer]] (ne Boltzmannovemu izvirnemu izreku ''H'', povezanemu s plinom, temveč tesno povezanemu analogu) pojav [[spinski odmev|spinskega odmeva]].{{r|roth_1957}} Pri pojavu spinskega odmeva je fizično mogoče inducirati časovni obrat v medsebojno delujočem sistemu [[spin]]ov.

Analog Boltzmannovi količini <math> H \!\, </math> za spinski sistem je mogoče definirati v smislu porazdelitve spinskih stanj v sistemu. V poskusu je spinski sistem sprva moten v neravnovesno stanje (velika vrenost <math> H \!\, </math>) in, kot napoveduje izrek ''H'', se količina <math> H \!\, </math> kmalu zmanjša na ravnovesno vrednost. Na neki točki se uporabi skrbno sestavljen elektromagnetni impulz, ki obrne gibanja vseh spinov. Spini nato razveljavijo časovni razvoj pred impulzom in čez nekaj časa se <math> H \!\, </math> dejansko poveča proč od ravnovesja (ko se razvoj popolnoma ustavi, se <math> H \!\, </math> ponovno zmanjša na najmanjšo vrednost). V nekem smislu se časovno obrnjena stanja, ki jih je opazil Loschmidt, niso izkazala za povsem nepraktična.

=== Poincaréjev izrek o vrnitvi in Zermelov paradoks ===

[[Henri Poincaré]] je leta 1890 med preučevanjem [[problem treh teles|problema treh teles]] v [[nebesna mehanika|nebesni mehaniki]] pokazal zelo splošen izrek – [[Poincaréjev izrek o vrnitvi|izrek o vrnitvi]].{{r|poin_1890}}{{r|bolt_1897a}} Ta izrek pravi, da se bo za skoraj vse začetne pogoje konzervativni [[dinamični sistem]], katerega [[fazni prostor]] ima končno [[prostornina|prostornino]],{{efn|Molekule so na primer vsebovane v posodi s končno prostornino, s čimer je izključeno, da lege postanejo neskončne. Predpostavi se tudi, da hitrosti vedno ostajajo končne.}} sčasoma vrnil čim bližje svojemu začetnemu pogoju, kot se želi, in to večkrat.{{efn|Obstaja nekaj izjemnih stanj, za katera to ni preverjeno, vendar so ta izjemna stanja zanemarljiva med vsemi možnimi stanji, in to v smislu, ki ga je mogoče narediti matematično eksaktnega.}}

Leta 1896 je [[Ernst Zermelo]] opazil nadaljnji problem z izrekom ''H'', ki je bil v tem, da če sistemska <math> H(t) \!\, </math> v poljubnem času ni najmanjša, potem se mora zaradi Poincaréjeve vrnitve neminimalna <math> H(t) \!\, </math> ponoviti (čeprav po zelo dolgem času).{{r|zerm_1896a}}{{r|zerm_1896b}} Poudaril je, da se zdi, da je Poincaréjeva vrnitev v nasprotju z dejstvom, da se lahko dinamična količina monotono spreminja, kot se spreminja na primer <math> H(t) \!\, </math>. Boltzmann je priznal, da bi do teh vrnitvenih dvigov vrednosti <math> H(t) \!\, </math> tehnično prišlo, vendar je poudaril, da v daljšem časovnem obdobju sistem preživi le majhen del svojega časa v enem od teh vrnitvenih stanj.{{r|bolt_1896b}}{{r|bolt_1897b}} Njegov odgovor je bil sestavljen iz ocene povprečnega časa takšne vrnitve – za makroskopski plin, ki vsebuje <math> N \gg 1 \!\, </math> molekul, ga je ocenil z velikostjo reda <math> N \sim \mathcal{N}_{A}=6,02 \cdot 10^{+23} \!\, </math> – v običajnem merilu pa te vrnitve niso vidne.

Drugi zakon termodinamike pravi, da se entropija [[toplotno izolirani sistem|toplotno izoliranega sistema]] vedno poveča do največje ravnovesne vrednosti. To strogo drži le v termodinamični meji neskončnega števila delcev. Pri končnem številu delcev bodo vedno prisotne fluktuacije entropije. Na primer, v fiksni prostornini izoliranega sistema je največja entropija dosežena, ko je polovica delcev v eni polovici prostornine, polovica v drugi, včasih pa bo na eni strani začasno nekaj več delcev kot na drugi, kar bo predstavljalo zelo majhno zmanjšanje entropije. Te fluktuacije entropije so take, da dlje ko se čaka, se bodo verjetno v tem času opazile večje fluktuacije entropije, čas, ki ga je treba čakati na dano fluktuacijo entropije, pa je vedno končen, tudi za fluktuacijo na najmanjšo možno vrednost. Lahko obstaja na primer izjemno nizko entropijsko stanje, če so vsi delci v eni polovici posode. Plin bo hitro dosegel svojo ravnovesno vrednost entropije, a če bo dovolj časa, se bo isto stanje ponovilo. Za praktične sisteme, npr. plina v 1-litrski posodi pri [[sobna temperatura|sobni temperaturi]] in [[zračni tlak|zračnem tlaku]], je ta čas res ogromen, več mnogokratnikov [[starost Vesolja|starosti Vesolja]] in, praktično gledano, se to možnost lahko zanemari.

=== Fluktuacije ''H'' v majhnih sistemih ===

Ker je <math> H \!\, </math> mehansko definirana spremenljivka, ki se ne ohranja, bo kot katera koli druga taka spremenljivka ([[tlak]] itd.) kazala [[toplotne fluktuacije]]. To pomeni, da <math> H \!\, </math> redno kaže spontano povečanje od najmanjše vrednosti. Tehnično to ni izjema od izreka ''H'', saj je bil izrek ''H'' namenjen samo uporabi za plin z zelo velikim številom delcev. Te fluktuacije se zaznajo le, če je sistem majhen in časovni interval, v katerem se ga opazuje, ni izjemno velik.

Če se <math> H \!\, </matH> interpretira kot entropijo, kot je nameraval Boltzmann, potem se lahko to razume kot manifestacijo [[fluktuacijski izrek|fluktuacijskega izreka]].

== Povezava s teorijo informacij ==

<math> H \!\, </math> je predhodnica [[Claude Elwood Shannon|Shannonove]] [[entropija (informatika)|informacijske entropije]]. Shannon je svojo mero informacijske entropije označil s <math> H \!\, </math> po izreku ''H''.{{r|glei_2011}} Članek o Shannonovi informacijski entropiji vsebuje razlago diskretne protipostavke količine <math> H \!\, </math>, znane kot informacijska entropija ali informacijska negotovost (z znakom minus). Z razširitvijo diskretne informacijske entropije na zvezno informacijsko entropijo, imenovano tudi [[diferencialna entropija]], se dobi izraz v enačbi iz zgornjega razdelka [[#Definicija in pomen količine H|Definicija in pomen količine ''H'']] in tako se bolje razume pomen <math> H \!\, </math>.

Povezava izreka ''H'' med informacijo in entropijo igra osrednjo vlogo v nedavni polemiki, imenovani [[informacijski paradoks črnih lukenj]].

== Tolmanov izrek ''H'' ==

Knjiga [[Richard Chace Tolman|Richarda Tolmana]] ''The Principles of Statistical Mechanics'' iz leta 1938 posveča celo poglavje študiji Boltzmannovega izreka ''H'' in njegovi razširitvi v Gibbsovi posplošeni klasični statistični mehaniki. Nadaljnje poglavje je posvečeno [[kvantna mehanika|kvantnomehanski]] različici izreka ''H''.

=== Klasičnomehansko ===

Naj so <math> q_{i} \!\, </math> in <math> p_{i} \!\, </math> [[kanonične koordinate|posplošene koordinate]] za množico <math> r \!\, </math> delcev. Nato se obravnava funkcijo <math> f \!\, </math>, ki vrne gostoto verjetnosti delcev v stanjih v faznem prostoru. Upoštevati je treba kako je to mogoče pomnožiti z majhnim območjem v faznem prostoru, označenim z <math> \delta q_{1} ... \delta p_{r} \!\, </math>, da se dobi (povprečno) pričakovano število delcev v tem območju:

: <math> \delta n = f(q_{1} ... p_r,t) \, \delta q_{1}\delta p_{1} ... \delta q_{r} \delta p_{r} \!\, . </math>

Tolman ponuja naslednje enačbe za definicijo količine <math> H \!\, </math> v Boltzmannovem izvirnem izreku ''H'':

: <math> H = \sum_{i} f_{i} \ln f_{i} \,\delta q_{1} \cdots \delta p_{r} \!\, . </math>{{r|tolm_1938-135-47.5}}

Tukaj se sešteje področja, na katera je razdeljen fazni prostor, indeksirana z <math> i \!\, </math>. In v meji za infinitezimalno prostornino faznega prostora <math> \delta q_{i} \rightarrow 0, \delta p_{i} \rightarrow 0 \; \forall \, i \!\, </math> se lahko vsoto zapiše kot integral:

: <math> H = \int \cdots \int f \ln f \, \mathrm{d} q_{1} \cdots \mathrm{d} p_{r} \!\, . </math>{{r|tolm_1938-135-47.6}}

<math> H \!\, </math> se lahko zapiše tudi v smislu števila molekul, prisotnih v vsaki od celic:

: <math> \begin{align}
H & = \sum( n_{i} \ln n_{i} - n_{i} \ln \delta v_{\gamma}) \\
& = \sum n_{i} \ln n_{i} + \text{konst.}
\end{align} </math>{{r|tolm_1938-135-47.7}}{{pojasni|date=april 2014}}

Dodatni način za izračun količine <math> H \!\, </math> je:

: <math> H = -\ln P + \text{konst.} \!\, , </math>{{r|tolm_1938-135-47.8}}

kjer je <math> P \!\, </math> verjetnost, da se najde naključno izbran sistem iz navedenega [[mikrokanonični ansambel|mikrokanoničnega ansambla]]. Končno se lahko zapiše kot:

: <math> H = -\ln G + \text{konst.} \!\, , </math>{{r|tolm_1938-135-47.9}}

kjer je <math> G \!\, </math> število klasičnih stanj.{{pojasni|date=april 2014}}

Količina <math> H \!\, </math> se lahko definira tudi kot integral čez hitrostni prostor:{{navedi vir|date=marec 2009}}

: <math> \displaystyle H \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  
\int { P ({\ln P}) \, \mathrm{d}^{3} v} 
= \left\langle \ln P \right\rangle \!\, , </math>

kjer je <math> P (v) \!\, </math> [[verjetnostna porazdelitev]].

Z Boltzmannovo enačbo se lahko pokaže, da se vrednost <math> H \!\, </math> lahko samo zmanjšuje.

Za sistem <math> N \!\, </math> statistično neodvisnih delcev je <math> H \!\, </math> povezana s termodinamično entropijo <math> S \!\, </math> prek zveze:{{r|huan_1987}}

: <math> S \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - V k H + \text{konst.} \!\, . </math>

Tako lahko po izreku ''H'' entropija <math> S \!\, </math> samo narašča.

=== Kvantnomehansko ===

V [[kvantna statistična mehanika|kvantni statistični mehaniki]], (ki je kvantna različica klasične statistične mehanike), je funkcija <math> H \!\, </math> funkcija oblike:{{r|tolm_1938-460-104.7}}

: <math> H = \sum_{i} p_{i} \ln p_{i} \!\, , </math>

kjer vsota poteka čez vsa možna različna stanja sistema, <math> p_{i} \!\, </math> pa je verjetnost, da se sistem najde v ''i''-tem stanju.

To je tesno povezano z [[entropija (statistična termodinamika)|Gibbsovo formulo za entropijo]]:

: <math> S = - k \sum_{i} p_{i} \ln p_{i} \!\, . </math>

V nadaljevanju se bo namesto količine <math> H \!\, </math> rabila količina <math> S \!\, </math>. (glede na primer {{sktxt|Waldram|1985|p=39}}).

Odvod po času najprej da:

: <math> \begin{align}
\frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} & = - k \sum_{i} \left(\frac{\mathrm{d} p_{i}}{\mathrm{d} t} \ln p_{i}  + \frac{\mathrm{d} p_{i}}{\mathrm{d} t}\right) \\
& = - k \sum_{i} \frac{\mathrm{d} p_{i}}{\mathrm{d} t} \ln p_{i} \\ \end{align}</math>

(če se uporabi dejstvo, da je <math> \sum \mathrm{d} p / \mathrm{d} t = 0 \!\, </math>, ker je <math> \sum p_{i} = 1 \!\, </math>, je tako drugi člen enak 0. Kasneje se bo videlo, da bo koristno to razdeliti na dve vsoti.)

[[Fermijevo zlato pravilo]] sedaj da [[glavna enačba|glavno enačbo]] za povprečno hitrost kvantnih skokov iz stanja <math> \alpha \!\, </math> v <math> \beta \!\, </math>; in iz stanja <math> \beta \!\, </math> v <math> \alpha \!\, </math>. (Seveda Fermijevo zlato pravilo sámo daje določene približke in uvedba tega pravila je tisto, kar uvaja ireverzibilnost. To je v bistvu kvantna različica Boltzmannovega SZA.) Za izolirani sistem bodo skoki prispevali:

: <math> \begin{align}
\frac{\mathrm{d} p_{\alpha}}{\mathrm{d} t} & = \sum_{\beta} \nu_{\alpha\beta}(p_{\beta} - p_{\alpha}) \\
\frac{\mathrm{d} p_{\beta}}{\mathrm{d} t}  & = \sum_{\alpha} \nu_{\alpha\beta}(p_{\alpha} - p_{\beta}), \\
\end{align}</math>

kjer reverzibilnost dinamike zagotavlja, da se v obeh izrazih pojavi ista prehodna konstanta <math> \nu_{\alpha\beta} \!\, </math>.

Tako je:

: <math> \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} =  \frac{1}{2} k \sum_{alpha,\beta} \nu_{\alpha\beta}(\ln p_{\beta} - \ln p_{\alpha})(p_{\beta} - p_{\alpha}) \!\, . </math>

Dva člena razlik v vsoti imata vedno enak predznak. Na primer:

: <math> \begin{align} w_{\beta} < w_{\alpha}, \end{align}</math>

in potem:

: <math> \begin{align} \ln w_{\beta} < \ln w_{\alpha}, \end{align}</math>

tako se bosta na splošno dva negativna predznaka izničila.

Zato:

: <math> \Delta S \geq 0 \!\, </math>

za izolirani sistem.

Včasih se rabi enaka matematika za prikaz, da je relativna entropija [[funkcija Ljapunova]] [[markovski proces|markovskega procesa]] v [[načelo podrobnega ravnovesja|podrobnem ravnovesju]] in drugih kemijskih kontekstih.

== Gibbsov izrek ''H'' ==
[[slika:Hamiltonian flow classical.gif|frame|Razvoj [[ansambel (matematična fizika)|ansambla]] [[Hamiltonova mehanika|klasičnih]] sistemov v [[fazni prostor|faznem prostoru]] (zgoraj). Vsak sistem je sestavljen iz enega masivnega delca v enorazsežni [[potencialna jama|potencialni jami]] (rdeča krivulja, spodnja slika). Prvotni kompaktni ansambel se sčasoma zvrtinči.]]

Gibbs je opisal drug način, v katerem bi se entropija mikroskopskega sistema s časom povečevala.{{r|gibb_1902-12}} Kasnejši pisci so to poimenovali »Gibbsov izrek ''H''«, saj je njegov zaključek podoben Boltzmannovemu.{{r|tolm_1938}} Gibbs sam tega nikoli ni imenoval izrek ''H'' in pravzaprev se njegova definicija – in mehanizma povečevanja – zelo razlikujeta od Boltzmannove. Ta razdelek je vključen zaradi zgodovinske celostnosti.

Nastavitev Gibbsovega izreka o nastajanju entropije je v ansambelski statistični mehaniki, količina entropije pa je [[Gibbsova entropija]] (informacijska entropija), definirana v smislu verjetnostne porazdelitve za celotno stanje sistema. To je v nasprotju z Boltzmannovo količino <math> H \!\, </math>, definirano v smislu porazdelitve stanj posameznih molekul v določenem stanju sistema.

Gibbs je obravnaval gibanje ansambla, ki je na začetku omejen na majhno območje faznega prostora, kar pomeni, da je stanje sistema znano s precejšnjo točnostjo, čeprav ne povsem eksaktno (nizka Gibbsova entropija). Razvoj tega ansambla s časom poteka po [[Liovillov izrek (fizika)|Liouvillovi enačbi]]. Za skoraj vse vrste realističnih sistemov Liouvillova evolucija teži k »mešanju« ansambla v faznem prostoru, kar je analogen proces kot mešanje barvila v [[nestisljiva tekočina|nestisljivi tekočini]].{{r|gibb_1902-12}} Čez nekaj časa se zdi, da je ansambel razpršen po faznem prostoru, čeprav je v resnici vzorec s finimi črtami, pri čemer se skupna prostornina ansambla (in njegova Gibbsova entropija) ohranja. Zagotovljeno je, da Liouvillova enačba ohranja Gibbsovo entropijo, saj na sistem ne deluje noben naključni proces – načeloma je mogoče prvotni ansambel kadar koli obnoviti z obračanjem gibanja.

Kritična točka izreka je torej: če je fina struktura v vznemirjenem ansamblu iz kakršnega koli razloga zelo rahlo zamegljena, se Gibbsova entropija poveča in ansambel postane ravnovesni ansambel. Obstaja več predlaganih mehanizmov, zakaj naj bi do zamegljenosti v resnici prišlo. Eden od predlaganih mehanizmov je na primer, da je fazni prostor iz nekega razloga grobozrnat (analogno pikselizaciji pri simulaciji faznega prostora, prikazani na sliki). Za katero koli zahtevano končno stopnjo finosti postane ansambel po končnem času »čutno enoten«. Ali pa, če sistem doživi majhno nenadzorovano interakcijo s svojim okoljem, se bo ostra koherentnost ansambla izgubila. [[Edwin Thompson Jaynes]] je trdil, da je zameglitev subjektivne narave in preprosto ustreza izgubi znanja o stanju sistema.{{r|jayn_1965}}{{rp|391}} V vsakem primeru, ne glede na to, ali se zgodi, je povečanje Gibbsove entropije nepovratno, če zamegljenosti ni mogoče obrniti.
{{multiple image
| align = right
| direction = vertical
| header   = 
| image1   = Hamiltonian flow quantum.webm
| caption1 = 
| width1   = 
| image2   = Hamiltonian flow quantum - equilibrated.png
| caption2 = 
| width2   = 
| footer   = Kvantna dinamika faznega prostora v istem potencialu, vizualizirana z [[Wignerjeva kvaziverjetnostna porazdelitev|Wignerjevo kvaziverjetnostno porazdelitvijo]]. Spodnja slika prikazuje uravnovešeno (časovno povprečno) porazdelitev z entropijo, ki je višja za +1,37k.
}}

Eksaktno razvijajoča se entropija, ki se ne poveča, je znana kot ''drobnozrnata entropija''. Zamegljena entropija je znana kot ''grobozrnata entropija''. [[Leonard Susskind]] je analogiziral to razlikovanje s pojmom prostornine vlaknaste krogle bombaža:{{r|suss_2013}} po eni strani je prostornina samih vlaken konstantna, po drugi strani pa obstaja večja grobozrnata prostornina, ki ustreza obrisu krogle.

Gibbsov mehanizem povečevanja entropije rešuje nekatere tehnične težave, ki se jih najde v Boltzmannovem izreku ''H'': Gibbsova entropija ne fluktuira niti ne kaže Poincaréjeve vrnite, zato je povečanje Gibbsove entropije, ko se pojavi, nepovratno, kot se od termodinamike pričakuje. Gibbsov mehanizem se enako dobro uporablja tudi za sisteme z zelo malo [[prostostna stopnja (mehanika)|prostostnimi stopnjami]], kot je na primer sistem z enim delcem, prikazan na sliki. V kolikor se sprejme, da ansambel postane zamegljen, je Gibbsov pristop jasnejši dokaz drugega zakona termodinamike.{{r|jayn_1965}}{{rp|391}}

Na žalost, kot so poudarili [[John von Neumann]] in drugi na začetku razvoja kvantne statistične mehanike, se ta vrsta argumentov ne prenese na kvantno mehaniko.{{r|gold_2010}} V kvantni mehaniki ansambel ne more podpirati vedno finejšega procesa mešanja zaradi končne razsežnosti ustreznega dela [[Hilbertov prostor|Hilbertovega prostora]]. Namesto da bi se vse bolj približevala ravnovesnemu ansamblu (časovno povprečen ansambel), kot v klasičnem primeru, bo [[matrika gostote]] kvantnega sistema nenehno kazala razvoj in celo kazala vrnitve. Razvijanje kvantne različice izreka ''H'' brez prizivanja na SZA je torej bistveno bolj zapleteno.{{r|gold_2010}}

== Glej tudi ==

{{stolpci|4|
* [[negentropija]]
* [[Loschmidtov paradoks]]
* [[puščica časa]]
* [[drugi zakon termodinamike]]
* [[fluktuacijski izrek]]
* [[Ehrenfestov model|Ehrenfestov model (difuzije)]]
* [[Boltzmannova enačba]]
* [[Boltzmannova neenakost]]
* [[Klimontovičev izrek S|Klimontovičev izrek ''S'']]
* [[ergodijska domneva]]
}}

== Opombe ==

{{notelist}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="bett_2004">{{sktxt|Bettini|2004}}.</ref>
<ref name="bolt_1872">{{sktxt|Boltzmann|1872}}.</ref>
<ref name="bolt_1895">{{sktxt|Boltzmann|1895}}.</ref>
<ref name="bolt_1896a">{{sktxt|Boltzmann|1896a}}.</ref>
<ref name="bolt_1896b">{{sktxt|Boltzmann|1896b}}.</ref>
<ref name="bolt_1897a">{{sktxt|Boltzmann|1897a}}.</ref>
<ref name="bolt_1897b">{{sktxt|Boltzmann|1897b}}.</ref>
<ref name="bolt_1905">{{sktxt|Boltzmann|1905}}.</ref>
<ref name="brow_2008">{{sktxt|Brown|Myrvold|2008}}.</ref>
<ref name="brus_1967">{{sktxt|Brush|1967}}.</ref>
<ref name="burb_1890">{{sktxt|Burbury|1890}}.</ref>
<ref name="chap_1937">{{sktxt|Chapman|1937}}.</ref>
<ref name="gibb_1902">{{sktxt|Gibbs|1902}}.</ref>
<ref name="gibb_1902-12">{{sktxt|Gibbs|1902|loc=§ XII}}.</ref>
<ref name="glei_2011">{{sktxt|Gleick|2011}}.</ref>
<ref name="gold_2010">{{sktxt|Goldstein|Lebowitz|Tumulka|Zanghì|2010}}.</ref>
<ref name="fitz_2016">{{sktxt|Fitzpatrick|2016}}.</ref>
<ref name="fren_1984">{{sktxt|French|1984}}.</ref>
<ref name="hjal_1977">{{sktxt|Hjalmars|1977}}.</ref>
<ref name="huan_1987">{{sktxt|Huang|1987|loc= str. 79, enačba 4.33}}.</ref>
<ref name="jayn_1965">{{sktxt|Jaynes|1965}}.</ref>
<ref name="mand_2012">{{sktxt|Mandula|Zhao|2012}}.</ref>
<ref name="mayr_2021">{{sktxt|Mayr|2021}}.</ref>
<ref name="leso_2016">{{sktxt|Lesovik|Lebedev|Sadovskyy|Suslov|2016}}.</ref>
<ref name="losc_1876">{{sktxt|Loschmidt|1876}}.</ref>
<ref name="park_2009">{{sktxt|Parker|2009}}.</ref>
<ref name="poin_1890">{{sktxt|Poincaré|1890}}.</ref>
<ref name="reid_2012">{{sktxt|Reid|Evans|Searles|2012}}.</ref>
<ref name="roth_1957">{{sktxt|Rothstein|1957}}.</ref>
<ref name="spl0">{{navedi novice|url= http://www.popularmechanics.com/science/a23640/loophole-second-law-thermodynamics/|title= We May Have Found a Way to Cheat the Second Law of Thermodynamics|date= 31. oktober 2016|newspaper= Popular Mechanics|accessdate= 2. novembra 2016|language= en}}</ref>
<ref name="spl1">{{sktxt|Jha|2013}}.</ref>
<ref name="spl2">{{navedi splet|title= S. H. Burbury|url= http://www.informationphilosopher.com/solutions/scientists/burbury/|website= The Information Philosopher|accessdate= 10. decembra 2018|language= en}}</ref>
<ref name="spl3">{{sktxt|Kvasnikov|2011}}.</ref>
<ref name="strn_2003">{{sktxt|Strnad|2003}}.</ref>
<ref name="suss_2013">{{sktxt|Susskind|2013}}.</ref>
<ref name="tolm_1938">{{sktxt|Tolman|1938}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-135-47.5">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 135, formula 47.5}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-135-47.6">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 135, formula 47.6}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-135-47.7">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 135, formula 47.7}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-135-47.8">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 135, formula 47.8}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-135-47.9">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 136, formula 47.9}}.</ref>
<ref name="tolm_1938-460-104.7">{{sktxt|Tolman|1938|loc= str. 460, formula 104.7}}.</ref>
<ref name="uffi_2004">{{sktxt|Uffink|2004}}.</ref>
<ref name="uffi_2006">{{sktxt|Uffink|2006}}.</ref>
<ref name="zeh__1989">{{sktxt|Zeh|1989}}.</ref>
<ref name="zerm_1896a">{{sktxt|Zermelo|1896a}}.</ref>
<ref name="zerm_1896b">{{sktxt|Zermelo|1896b}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Badino|first1= Massimiliano|authorlink1= Massimiliano Badino|title= Mechanistic Slumber vs. Statistical Insomnia: The early history of Boltzmann's H-theorem (1868–1877)|journal=[[European Physical Journal H]]|date= 2011|volume= 36|issue= 3|pages= 353–378|doi= 10.1140/epjh/e2011-10048-5|bibcode= 2011EPJH...36..353B|s2cid= 120302680}}
* {{citat|last1= Bettini|first1= Stefano|title= Anthropic Reasoning in Cosmology: A Historical Perspective|date= 2004|arxiv= physics/0410144}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|authorlink1= Ludwig Edward Boltzmann|title= Über die mechanische Bedeutung des zweiten Hauptsatzes der Wärmetheorie|journal= Wiener Berichte|date= 1866|volume= 53|pages= 195–220}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Studien uber das Gleichgewicht der lebendigen Kraft zwischen bewegten materiellen Punkten|journal= Wiener Berichte|date= 1868|volume= 58|pages= 517–560}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Uber das Wärmegleichgewicht zwischen mehratomigen Gasmolekülen|journal= Wiener Berichte|date= 1871|volume= 63|pages= 397–418}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen|journal= Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse|date= 1872|volume= 66|issue= |pages= 275–370|jfm= 04.0566.01|url= https://sites.google.com/site/articleshistoriques/theorie-cinetique/Boltzmann1872.pdf|accessdate= 2022-09-30|archive-date= 2019-10-17|archive-url= https://web.archive.org/web/20191017094637/https://sites.google.com/site/articleshistoriques/theorie-cinetique/Boltzmann1872.pdf|url-status= dead}}; ponatisnjeno v {{sktxt|Boltzmann|1909}}, Vol. I, str. 316–402 [WA-1, 316]. <br />Angleški prevod: {{navedi knjigo|last1= Boltzmann|first1= L.|chapter= Further Studies on the Thermal Equilibrium of Gas Molecules|doi= 10.1142/9781848161337_0015|title= The Kinetic Theory of Gases|series= History of Modern Physical Sciences|volume= 1|pages= 262–349|date= 2003|isbn= 978-1-86094-347-8|bibcode= 2003HMPS....1..262B}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Bemerkungen über einige Probleme der mechanische Wärmetheorie|journal= Wiener Berichte|date= 1877a|volume= 75|pages= 62–100}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatz der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung resp. den Sätzen uber das Wärmegleichgewicht|journal= Wiener Berichte|date= 1877b|volume= 76|pages= 373–435}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Weitere Bemerkungen uber einige Probleme der mechanischen Wärmetheorie|journal= Wiener Berichte|date= 1878|volume= 78|pages= 7–46}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Erwiderung auf die Bemerkung des Hrn. Oscar Emil Meyer|journal= [[Wiedemanns Annalen]]|date= 1879|volume= 8|pages= 653–655}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Erwiderung auf die Notiz des Hrn. O. E. Meyer: ˝Über eine veränderte Form" usw.|journal= Wiedemanns Annalen|date= 1880|volume= 11|pages= 529–534}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Über das Arbeitsquantum, welches bei chemischen Verbindungen gewonnen werden kann|journal= Wiener Berichte|date= 1883|volume= 88|pages= 861–896}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= On the Minimum Theorem in the Theory of Gases|journal= [[Nature]]|date= 4. julij 1895|volume= 51|issue= 1340|pages= 221|doi= 10.1038/052221b0|bibcode= 1895Natur..52R.221B|jfm= 26.1059.11|issn= 1476-4687}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Vorlesungen über Gastheorie, I. Theil|date= 1896a|publisher= Johann Ambrosius Barth|location= Leipzig|jfm= 26.1056.06|url= https://www.deutschestextarchiv.de/book/show/boltzmann_gastheorie01_1896}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Entgegnung auf die wärmetheoretische Betrachtung des Hrn E. Zermelo|journal= Wiedemanns Annalen|date= 1896b|volume=57|issue= |pages= 773–784|bibcode= 1896AnP...293..773B|doi= 10.1002/Andp.18962930414|jfm= 27.0760.01|language= de}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Über einen mechanischen Satz von Poincaré|journal= Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Wien, mathematisch-naturwissenschaftliche Klasse|date= 1897a|volume= 106|issue= |pages= 12–19|jfm= 28.0638.01|url= https://www.zobodat.at/pdf/SBAWW_106_2a_0012-0020.pdf|language= de}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Zu Hrn. Zermelo's Abhandlung „Über die mechanische Erklärung irreversibler Vorgänge”︁|journal= Wiedemanns Annalen|date= 1897b|volume= 60|issue= |pages= 392–398|doi= 10.1002/Andp.18972960216|jfm= 28.0810.01|language= de}}
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Populäre Schriften|date= 1905|publisher= J. A. Barth|location= Leipzig|jfm= 36.0040.03|url= https://archive.org/details/populreschrifte00boltgoog/page/n4}}; ponovno izdano – Braunschweig: F. Vieweg, 1979
* {{citat|last1= Boltzmann|first1= Ludwig|title= Wissenschaftliche Abhandlungen, I, II, III. Band|date= 1909|editor-last1= Hasenöhrl|editor-first1= Fritz|editor-link1= Friedrich Hasenöhrl|publisher= J. A. Barth|location= Leipzig|jfm= 40.0028.03|url= https://phaidra.univie.ac.at/o:63668|accessdate= 9. septembra 2022}}; ponovno izdano – New York: Chelsea, 1969
<!-- * {{citat|last1= Brown|first1= Harvey Robert|authorlink1= Harvey Robert Brown|last2= Myrvold|first2= Wayne C.|title= Boltzmann’s H-theorem, its limitations, and the birth of (fully) statistical mechanics|date= 8. september 2008|url= http://www.socsci.uci.edu/~bskyrms/bio/readings/brown_myrvold_on_boltzmann.pdf|accessdate= 9. septembra 2022|arxiv= 0809.1304}} -->
* {{citat|last1= Brown|first1= Harvey Robert|authorlink1= Harvey Robert Brown|last2= Myrvold|first2= Wayne C.|last3= Uffink|first3= Jos|title= Boltzmann’s H-theorem, its discontents, and the birth of statistical mechanics|journal= [[Studies in History and Philosophy of Modern Physics]]|date= maj 2009|volume= 40|issue= 2|pages= 174–191|issn= 1355-2198|bibcode= 2009SHPMP..40..174B|doi= 10.1016/j.shpsb.2009.03.003|zbl= 1228.82052|url= https://www.academia.edu/33501936/Boltzmanns_H_theorem_its_discontents_and_the_birth_of_statistical_mechanics}}
* {{citat|last1= Brush|first1= Stephen George|authorlink1= Stephen George Brush|title= Boltzmann's "Eta Theorem": Where's the Evidence?|journal= [[American Journal of Physics]]|date= 1967|volume= 35|issue= 9|pages= 892|doi= 10.1119/1.1974281|bibcode= 1967AmJPh..35..892B}}
* {{citat|last1= Burbury|first1= Samuel Hawksley|authorlink1= Samuel Hawksley Burbury|title= On some problems in the kinetic theory of gases|journal= [[The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science]]|date= 1890|volume= 30|issue= 185|pages= 298–317|doi= 10.1080/14786449008620029|jfm= 22.1176.01|issn= 1478-6435|url= https://zenodo.org/record/2173398}}
* {{citat|last1= Cercignani|first1= Carlo|authorlink1= Carlo Cercignani|title= Ludwig Boltzmann: The Man Who Trusted Atoms|chapter= 5 Time irreversibility and the H-theorem|date= 1998|publisher= [[Oxford University Press]]|location= Oxford|cobiss= 26365701|isbn= 0-19-850154-4|bibcode= 1998lbmt.book.....C|mr= 1700775|doi= 10.1093/acprof:oso/9780198570646.003.0005|zbl= 0917.01028|url= https://archive.org/details/ludwigboltzmannm0000cerc|url-access= registration}}
* {{citat|last1= Chafaï|first1= Djalil|title= From Boltzmann to random matrices and beyond|journal= [[Annales de la Faculté des sciences de Toulouse]]|date= 2015|volume= 24|issue= 4|pages= 641–689|series= (Mathématiques, Serie 6)|doi= 10.5802/afst.1459|arxiv= 1405.1003|zbl= 1342.80001|issn= 0240-2963}}
* {{citat|last1= Chapman|first1= Sydney|authorlink1= Sydney Chapman (matematik)|title= Boltzmann's H-Theorem|journal= Nature|language= en|date= maj 1937|volume= 139|issue= 3526|pages= 931|doi= 10.1038/139931a0|bibcode= 1937Natur.139..931C|s2cid= 4100667}}
* {{citat|last1= Chliamovitch|first1= Gregor|last2= Malaspinas|first2= Orestis|last3= Chopard|first3= Bastien|title= Kinetic theory beyond the Stosszahlansatz|journal= [[Entropy (revija)|Entropy]]|date= 2017|volume= 19|issue= 8|page= 381|doi= 10.3390/e19080381|bibcode= 2017Entrp..19..381C|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Fitzpatrick|first1= Richard|title= Boltzmann H-Theorem|date= 23. januar 2016|work= [[Univerza Teksasa v Austinu]]|url= https://farside.ph.utexas.edu/teaching/plasma/Plasma/node35.html|accessdate= 9. septembra 2022|language= en}}
* {{navedi disertacijo|last1= French|first1= Steven|title= Identity and Individuality in Classical and Quantum Physics|date= november 1984|work= Oddelek za zgodovino in filozofijo znanosti, [[Kolidž Chelsea za znanost in tehnologijo|Kolidž Chelsea]], [[Univerza v Londonu]]|url= https://kclpure.kcl.ac.uk/portal/files/2935726/516601.pdf}}
* {{citat|last1= Gibbs|first1= Josiah Willard|authorlink1= Josiah Willard Gibbs|title= [[Elementary Principles in Statistical Mechanics]]|date= marec 1902|publisher= [[Charles Scribner's Sons|Schribner]]|location= New York|language= en}}
* {{citat|last1= Gleick|first1= James|authorlink1= James Gleick|title= The Information: A History, a Theory, a Flood|date= 2011|publisher= [[Random House|Random House Digital]]|isbn= 978-0-375-42372-7|title-link= The Information: A History, a Theory, a Flood}}
* {{citat|last1= Goldstein|first1= Sheldon|authorlink1= Sheldon Goldstein|last2= Lebowitz|first2= Joel Louis|authorlink2= Joel Louis Lebowitz|last3= Tumulka|first3= Roderich|authorlink3= Roderich Tumulka|last4= Zanghì|first4= Nino|authorlink4= Nino Zanghì|title= Long-time behavior of macroscopic quantum systems|journal= The European Physical Journal H|date= 2010|volume= 35|issue= 2|pages= 173–200|issn= 2102-6459|bibcode= 2010EPJH...35..173G|doi= 10.1140/epjh/e2010-00007-7|arxiv= 1003.2129|s2cid=5953844}}
* {{citat|last1= Grad|first1= Harold|authorlink1= Harold Grad|title= On Boltzmann's H-Theorem|journal= [[Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics]]|date= 1. marec 1965|volume= 13|issue= 1|pages= 259–277|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]] (SIAM)|doi= 10.1137/0113016|issn= 0368-4245}}
* {{citat|last1= Gull|first1= Stephen Frank|authorlink1= Stephen Frank Gull|chapter= Some Misconceptions about Entropy|date= 1989|chapter-url= http://www.ucl.ac.uk/~ucesjph/reality/entropy/text.html|editor1-last= Buck|editor1-first= Brian|editor2-last= Macaulay|editor2-first= Vincent A.|publication-date= 1991|title= Maximum Entropy in Action|publisher= Oxford University Press|location= Oxford|isbn= 978-0-19-853963-6|archive-url= https://web.archive.org/web/20120204035512/http://www.ucl.ac.uk/~ucesjph/reality/entropy/text.html|archive-date= 4. februarja 2012}}
* {{citat|last1= Halpern|first1= Otto|authorlink1= Otto Halpern|last2= Doermann|first2= F. W.|title= A New Proof of the H Theorem|journal= [[Physical Review]]|date= 1. junij 1939|volume= 55|issue= 11|pages= 1077–1082|bibcode= 1939PhRv...55.1077H|doi= 10.1103/PhysRev.55.1077}}
* {{citat|last1= Hjalmars|first1= Stig|authorlink1= Stig Hjalmars|title= Evidence for Boltzmann ''H'' as capital eta|journal= American Journal of Physics|date= 2. februar 1977|volume= 45|issue= 2|pages= 214–215|bibcode= 1977AmJPh..45..214H|doi= 10.1119/1.10664}}
* {{citat|last1= Huang|first1= Kerson|authorlink1= Kerson Huang|title= Statistical Mechanics|date= 1987|edition= 2.|publisher= Random House Digital|cobiss= 1240137|isbn= 978-0-471-81518-1|bibcode= 1987stme.book.....H|title-link= }}
* {{citat|last1= Jaynes|first1= Edwin Thompson|authorlink1= Edwin Thompson Jaynes|title= Gibbs vs Boltzmann Entropies|journal= American Journal of Physics|date= 1. maj 1965|volume= 33|issue= 5|pages= 391–398|bibcode= 1965AmJPh..33..391J|doi= 10.1119/1.1971557|zbl= 0127.21601}}
* {{navedi novice|last1= Jha|first1= Alok|url= https://www.theguardian.com/science/2013/dec/01/what-is-the-second-law-of-thermodynamics|title= What is the second law of thermodynamics?|date= 1. december 2013|newspaper= The Guardian|language= en-GB|issn= 0261-3077|accessdate= 2. novembra 2016}}
* {{SpringerEOM|last1= Kvasnikov|first1= Iridii Aleksandrovich|authorlink1= Iridij Aleksandrovič Kvasnikov|title= Boltzmann H-theorem}}
* {{citat|last1= Lesovik|first1= Gordey Borisovich|last2= Lebedev|first2= Andrey Vladimirovich|last3= Sadovskyy|first3= Ivan Aleksandrovich|last4= Suslov|first4= Mikhail Vasilyevich|last5= Vinokur|first5= Valerii Markovich|authorlink5= Valerij Markovič Vinokur|title= H-theorem in quantum physics|journal= [[Scientific Reports]]|language= en|date= 12. september 2016|volume= 6|pages= 32815|doi= 10.1038/srep32815|issn= 2045-2322|pmc= 5018848|pmid= 27616571|arxiv= 1407.4437|bibcode= 2016NatSR...632815L}}
* {{citat|last1= Lifshitz|first1= Evgeny Mikhailovich|authorlink1= Jevgenij Mihajlovič Lifšic|last2= Pitaevskii|first2= Lev Petrovich|authorlink2= Lev Petrovič Pitajevski|title= Physical Kinetics|date= 1981|edition= 3.|series= ([[Course of Theoretical Physics]])|volume= 10|publisher= [[Pergamon Press|Pergamon]]|isbn= 978-0-08-026480-6|bibcode= 1981phki.book.....L}}
* {{citat|last1= Loschmidt|first1= Johann Josef|authorlink1= Johann Josef Loschmidt|title= Űber den Zustand des Wärmegleichgewichtes eines Systems von Kőrpern mit Rücksicht auf die Schwerkraft, I|journal= Sitzungsber. Kais. Akad. Wiss. Wien, Math. Naturwiss. Classe, II. Abteilung 73|date= 1876|pages= 128–142|oclc= 834721197}}
* {{citat|last1= Manca|first1= Vincenzo|title= An Informational Proof of H-Theorem|journal= [[Open Access Library Journal]]|date= februar 2017|volume= 4|issue= 2|pages= 1–15|doi= 10.4236/oalib.1103396|url= https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=74264}}
* {{citat|last1= Mandula|first1= Buren|last2= Zhao|first2= Ying-Chun|title= An Exact Solution to the Two-Particle Boltzmann Equation System for Maxwell Gases|journal= [[Communications in Theoretical Physics]]|date= 15. oktober 2012|volume= 58|issue= 4|pages= 565–568|doi= 10.1088/0253-6102/58/4/20|bibcode= 2012CoTPh..58..565B|mr= 3097768|issn= 0253-6102}}
* {{citat|last1= Mayr|first1= Julian|title= The Boltzmann Equation and H-theorem|date= november 2021|url= https://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wolschin/statsem21_4s.pdf|accessdate= 8. septembra 2022}}
* {{citat|last1= Medel-Portugal|first1= Carlos|last2= Solano-Altamirano|first2= Juan Manuel|last3= Carrillo-Estrada|first3= José Luis E.|title= Classical and Quantum H-Theorem Revisited: Variational Entropy and Relaxation Processes|journal= Entropy|date= 2021|volume= 23|issue= 3|page= 366|doi= 10.3390/e23030366|bibcode= 2021Entrp..23..366M|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Parker|first1= Daniel|title= The H-Theorem, Molecular Disorder and Probability: Perspectives from Boltzmann’s Lectures on Gas Theory ''[preprint]''|date= november 2009|publisher= [[PhilSci-Archive]]|url= http://philsci-archive.pitt.edu/id/eprint/5005|accessdate= 14. septembra 2022}}
* {{citat|last1= Poincaré|first1= Henri|authorlink1= Henri Poincaré|title= Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique|journal= [[Acta Mathematica]]|date= 1890|volume= 13|issue= 1–2|pages= 1–270|jfm= 22.0907.01|url= https://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/bibliohp/?a=on&art=Sur+le+probl%C3%A8me+des+trois+corps+et+les+%C3%A9quations+de+la+dynamique&action=go}}
* {{citat|last1= Poincaré|first1= Henri|title= Le mécanisme et l'expérience|journal= [[Revue de métaphysique et de morale]]|date= 1893|volume= 1|issue= |pages= 534–537|jfm= 27.0049.15|url= https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k110472/f540.item}}
* {{citat|last1= Reid|first1= James Cowie|last2= Evans|first2= Denis James|authorlink2= Denis Evans|last3= Searles|first3= Debra Joy|authorlink3= Debra Bernhardt|title= Communication: Beyond Boltzmann's H-theorem: Demonstration of the relaxation theorem for a non-monotonic approach to equilibrium|journal= [[The Journal of Chemical Physics]]|date= 11. januar 2012|volume= 136|issue= 2|pages= 021101|doi= 10.1063/1.3675847|pmid= 22260556|issn= 0021-9606|url= http://espace.library.uq.edu.au/view/UQ:282860/UQ282860_OA.pdf|bibcode= 2012JChPh.136b1101R|hdl= 1885/16927|hdl-access= free}}
* {{citat|last1= Reif|first1= Frederick|authorlink1= Frederick Reif|title= Fundamentals of Statistical and Thermal Physics|date= 1965|publisher= [[McGraw-Hill]]|isbn= 978-0-07-051800-1|bibcode= 1965fstp.book.....R|url-access= registration|url= https://archive.org/details/fundamentalsofst00fred}}
* {{citat|last1= Rothstein|first1= Jerome|title= Nuclear Spin Echo Experiments and the Foundations of Statistical Mechanics|journal= American Journal of Physics|date= 1957|volume= 25|issue= 8|pages= 510–518|doi= 10.1119/1.1934539|bibcode= 1957AmJPh..25..510R|zbl= 0077.40404}}
* {{citat|last1= Strnad|first1=Janez|authorlink1= Janez Strnad|title= Razvoj fizike|date= 2003|publisher= DZS, d. d.|location= Ljubljana|cobiss= 122516736|isbn=86-341-1872-X|oclc= 446245699}}
* {{citat|last1= Susskind|first1= Leonard|authorlink1= Leonard Susskind|title= Statistical Mechanics Lecture 7|date= 2013|url= https://www.youtube.com/watch?v=sg15UClUY48&t=83m0s|work= [[YouTube]]}}
* {{citat|last1= Tolman|first1= Richard Chace|authorlink1= Richard Chace Tolman|title= The Principles of Statistical Mechanics|date= 1938|series= (International Series of Monographs on Physics)|publisher= [[Clarendon Press]]|location= Oxford|cobiss= 310249|bibcode= 1938psm..book.....T|zbl= 0019.35902|jfm= 64.0886.07}}
* {{citat|last1= Uffink|first1= Jos|title= Boltzmann's Work in Statistical Physics|date= 2004|url= https://plato.stanford.edu/entries/statphys-Boltzmann/|website= [[Stanford Encyclopedia of Philosophy]]|accessdate= 7. septembra 2022}}
* {{citat|last1= Uffink|first1= Jos|title= Compendium of the foundations of classical statistical physics ''[preprint]''|date= 2. februar 2006|publisher= PhilSci-Archive|url= http://philsci-archive.pitt.edu/2691/|accessdate= 3. septembra 2022}}
* {{citat|last1= Villani|first1= Cédric|authorlink1= Cédric Villani|title= H-Theorem and beyond: Boltzmann’s entropy in today’s mathematics|date= 2008|pages= 129–143|series= Boltzmann's legacy, (ESI Lectures in Mathematics and Physics)|publisher= [[Evropsko matematično društvo]]|location= Zürich|mr= 2509760|zbl= 1156.82313|url= https://www.math-berlin.de/images/stories/villani-boltzmann-talk.pdf|accessdate= 8. septembra 2022}}
* {{citat|last1= Waldram|first1= John Ryder|authorlink1= John Ryder Waldram|title= The Theory of Thermodynamics|date= 1985|publisher= [[Cambridge University Press]]|location= Cambridge ; London ; New York|isbn= 978-0-521-28796-8|cobiss= 2565125|bibcode= 1985thth.book.....W}}
* {{citat|last1= Weingartner|first1= Paul|authorlink1= Paul Weingartner|title= Are Statistical Laws Genuine Laws ? A Concern of Poincaré and Boltzmann|journal= [[Philosophia Scientiae]]|date= 1998–1999|volume= 3|issue= 2|pages= 215–235|publisher= Éditions Kimé|url= http://www.numdam.org/item/PHSC_1998-1999__3_2_215_0}}
* {{citat|last1= Zeh|first1= Heinz-Dieter|authorlink1= Heinz-Dieter Zeh|title= The physical basis of the direction of time|date= 1989|publisher= Springer-Verlag|location= Berlin : Heidelberg : New York|edition= 1.|isbn= 0-387-50930-5|bibcode= 1989pbdt.book.....Z|oclc= 611546370}} (2. izd. (1992): {{COBISS|id=148580}}, [[Zentralblatt MATH|Zbl]] [https://zbmath.org/?format=complete&q=an:0770.00002 0770.00002])
* {{citat|last1= Zermelo|first1= Ernst|authorlink1= Ernst Zermelo|title= Über einen Satz der Dynamik und die mechanische Wärmetheorie|journal= Wiedemanns Annalen|date= 1896a|volume= 57|issue= 3|pages= 485–494|doi= 10.1002/andp.18962930314|bibcode= 1896AnP...293..485Z|jfm= 27.0759.03|language= de}}
* {{citat|last1= Zermelo|first1= Ernst|authorlink1= |title= Über mechanische Erklärungen irreversibler Vorgänge. Eine Antwort auf Hrn. Boltzmann's „Entgegnung”︁|journal= Wiedemanns Annalen|date= 1896b|volume= 59|issue= 12|pages= 793–801|doi= 10.1002/andp.18962951216|bibcode= 1896AnP...295..793Z|jfm= 27.0760.02|language= de}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* [[Eric Wolfgang Weisstein|Weisstein, Eric Wolfgang]]. "[https://scienceworld.wolfram.com/physics/H-Theorem.html H-Theorem]". ''[[ScienceWorld]]'' {{in lang|en}}

{{teme statistične mehanike}}

[[Kategorija:Neravnovesna termodinamika]]
[[Kategorija:Entropija]]
[[Kategorija:Filozofija fizike]]
[[Kategorija:Fizikalni izreki]]
[[Kategorija:1872 v znanosti]]