Ogled vira Jacobi–Maddenova enačba

'''Jacobi–Maddenova enačba''' je v [[teorija števil|teoriji števil]] [[matematični problem|problem]], ki ga je leta [[1772 v znanosti|1772]] predlagal [[Leonhard Euler]].<ref>http://www.upi.com/NewsTrack/Science/2008/03/19/eulers_equation_of_degree_four_solved/8804/{{Slepa povezava|date=september 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> Problem sprašuje po rešitvi [[diofantska enačba|diofantske]] [[enačba četrte stopnje|enačbe četrte stopnje]]:

: <math> a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = (a + b + c + d)^{4}, \quad (a,b,c,d \in \Z) \!\, , </math>

torej po njenih [[celo število|celoštevilskih]] rešitvah.

Do leta [[2008 v znanopsti|2008]] je ostal v veliki meri [[nerešeni matematični problemi|nerešen]]. Tedaj sta ga matematik Daniel J. Madden in fizik Lee W. Jacobi rešila s pomočjo [[eliptična krivulja|eliptičnih krivulj]] in [[matematični dokaz|dokaz]]ala, da ima [[enačba]] [[neskončnost|neskončno]] mnogo rešitev. Do strtja problema so našli 88 drugih rešitev, ni pa bilo moč dokazati ali jih je neskončno mnogo. Maddnova in Jacobijeva rešitev je na neki način [[rekurzija|rekurzivna]], saj vsaka rešitev vsebuje seme za drugo rešitev.<ref>http://www.physorg.com/news124726812.html</ref>

Problem je bil del Eulerjeve domneve, da bi za enačbe višjih stopenj moralo obstajati toliko spremenljivk kolikor je stopnja enačbe. Za enačbo četrte stopnje bi morale biti na primer štiri spremenljivke, kot v zgornji enačbi. Domnevo je leta 1987 ovrgel harvardski absolvent [[Noam David Elkies]]. Elkies je rešil enačbo:

: <math> a^{4} + b^{4} + c^{4} = e^{4} \!\, , </math>

kjer so potrebne le tri spremenljivke za spremenljivko četrte stopnje. Jacobi je po upokojitvi leta 1989 začel raziskovati problem. Iz [[teorija strun|teorije strun]] je dobro poznal diofantske enačbe. Pri proučevanju si je pomagal z besedili iz teorije števil, znanstvenimi članki in računalniškim programom [[Mathematica]]. Najprej je našel rešitev, kjer so imele spremenljivke 200 [[števka|števk]]. Ta rešitev je bila drugačna od predhodnih 88 rešitev, tako da je vedel, da je našel nekaj pomembnega. Svojo ugotovitev je pokazal Maddnu, vendar se je pri vnašanju v računalnik zmotil, tako da je bil rezultat nepravilen. Madden je dejal, da je bila rešitev napačna, vendar na zanimiv način, in je lahko ob tem našel napako. Skupaj sta začela iskati druge rešitve, kar je privedlo do končne rešitve problema. Rešila sta v bistvu splošnejši primer za Eulerjevo enačbo: 

: <math> a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4} = e^{4} \!\, . </math>

Njuna konstrukcija da zelo velike rešitve. Tako sta uvedla še dve spremenljivki, in sta imela vsega skupaj šest homogenih spremenljivk, ki določajo [[razsežnost|večrazsežno]] [[ploskev]], ki pokriva ploskev, dano z izvirno Eulerjevo enačbo.

== Glej tudi ==

* [[Eulerjeva domneva]]

== Viri ==
{{opombe}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Diofantske enačbe]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]
[[Kategorija:1772 v znanosti]]
[[Kategorija:2008 v znanosti]]