Ogled vira Kepler-Bouwkampova konstanta

[[slika:Kepler-constant.svg|thumb|right|200px|[[zaporedje|Zaporedno]] izmenično včrtavanje [[pravilni mnogokotnik|pravilnih]] [[mnogokotnik]]ov in njim [[včrtana krožnica|včrtanih krožnic]] v [[enotska krožnica|enotsko krožnico]] <math>K_{1}\, </math>. <math>K_{1}\, </math> naj bi po [[Johannes Kepler|Kepler]]ju odgovarjala [[Saturn]]ovemu [[tir]]u.]]
[[Slika:Kepler-constant rm.svg|thumb|right|200px|Stvarni [[dvorazsežni prostor|dvorazsežni]] model [[Osončje|Osončja]] v smislu Keplerjeve konstrukcije. Tiri [[Zemlja|Zemlje]], [[Venera|Venere]] in [[Merkur]]ja (<math>K_{4}, K_{5}, K_{6}\, </math>) že v celoti ležijo znotraj mejne krožnice <math>K_{\infty}\, </math>.]]
[[Slika:Kepler-solar-system-1.png|thumb|right|200px|Keplerjev [[trirazsežni prostor|trirazsežni]] model Osončja s [[platonsko telo|platonskimi telesi]] iz dela ''Kozmografska nedoumljivost'' (''[[Mysterium cosmographicum]]'', 1596)]]

'''Kepler-Bouwkampova konstánta''' [képler-bovkámpova ~] (ali '''konstánta včŕtanih mnogokótnikov''', označba <math>\rho\, </math> ali <math>K'\, </math>) je v [[planimetrija|ravninski geometriji]] [[matematična konstanta|konstanta]] kot [[limita zaporedja|limita]] [[zaporedje|zaporednega]] postopka, kjer se v [[enotska krožnica|enotsko krožnico]] <math>K_{1}\, </math> izmenično včrtujejo [[pravilni mnogokotnik|pravilni]] [[mnogokotnik]]i in njim [[včrtana krožnica|včrtane krožnice]]. Najprej [[enakostranični trikotnik]], nato njemu včrtana [[krožnica]] <math>K_{2}\, </math>, njej včrtani [[kvadrat (geometrija)|kvadrat]], njemu včrtana krožnica <math>K_{3}\, </math>, njej včrtani [[petkotnik]], včrtana krožnica <math>K_{4}\, </math>, [[šestkotnik]], včrtana krožnica <math>K_{5}\, </math>, [[sedemkotnik]] in tako naprej. [[Polmer]] krožnice <math>K_{\infty}\, </math> v limiti je dana konstanta.<ref name="finch_2003">{{sktxt|Finch|2003}}.</ref> Konstanta se imenuje po [[Johannes Kepler|Johannesu Keplerju]] in [[Christoffel Jacob Bouwkamp|Christoffelu Jacobu Bouwkampu]].<ref>{{sktxt|Kepler|1596}}.</ref><ref name="bouwkamp_1965">{{sktxt|Bouwkamp|1965}}.</ref>

== Astronomska predstava Keplerjeve konstrukcije ==

Kepler je v svojem astronomskem delu ''Kozmografska nedoumljivost'' (''[[Mysterium cosmographicum]]'') leta 1596 opisal [[trirazsežni prostor|trirazsežni]] model [[Osončje|Osončja]] s [[platonsko telo|platonskimi telesi]]. Med poučevanjem v [[Gradec|Gradcu]] je pokazal na periodično [[konjunkcija (astronomija)|konjunkcijo]] [[Saturn]]a in [[Jupiter|Jupitra]] v [[zodiak]]u. Spoznal je, da pravilni mnogokotniki omejujejo eno včrtano in eno očrtano krožnico z določenim razmerjem, kar naj bi po njem bila geometrična osnova Vesolja. [[Tir]]oma Saturna in Jupitra bi odgovarjali krožnici <math>K_{1}\, </math> in <math>K_{2}\, </math>. Ker je enakostranični trikotnik prvi pravilni mnogokotnik, je Kepler menil, da [[Mars]]ovemu tiru odgovarja krožnica <math>K_{3}\, </math>, [[Zemlja|Zemljinemu]] tiru krožnica <math>K_{4}\, </math> itd.<ref name="finch_2003" />

Ko mu ni uspelo najti izključne razporeditve [[dvorazsežni prostor|dvorazsežnih]] mnogokotnikov, ki bi se prilegali astronomskim opazovanjem, tudi z dodanimi dodatnimi planeti, je poskušal s trirazsežnimi [[polieder|poliedri]]. Našel je, da bi se lahko vsak od petih platonskih teles izključno včrtal in očrtal s sferami. Če bi se ta telesa zaporedoma vstavila v odgovarjajočo sfero, bi nastalo šest plasti, ki bi odgovarjale tirom šestih tedaj znanih planetov: [[Merkur]]ja, [[Venera|Venere]], Zemlje, Marsa, Jupitra in Saturna. S pravilno umestitvijo teles: [[oktaeder|oktaedra]], [[ikozaeder|ikozaedra]], [[dodekaeder|dodekaedra]], [[tetraeder|tetraedra]] in [[kocka|kocke]] je našel, da se lahko sfere postavijo na razdalje, ki v okviru točnosti razpoložljivih astronomskih opazovanj odgovarjajo relativnim velikostim planetnih tirov, če se privzame, da planeti krožijo okrog Sonca. Našel je tudi formulo, ki je povezovala velikost vsake planetne sfere s trajanjem njegove [[orbitalna perioda|orbitalne periode]] od notranjih do zunanjih planetov navzven. Razmerje povečanja orbitalne periode je dvakrat večje od razlike polmera sfere. Kasneje je formulo opustil, ker naj ne bi bila dovolj točna.

== Računanje in številska vrednost ==

[[desetiški številski sistem|Desetiški]] zapis Kepler-Bouwkampove konstante je {{OEIS|id=A085365}}:

: <math> K' = \prod_{n=3}^{\infty} \cos \frac{\pi}{n} = 0,114942044853 \dots \!\, . </math>

[[Neskončni produkt]] počasi [[konvergenca|konvergira]]:
{| class="wikitable"
|-
! <math>n\, </math>
! <math>K'\, </math>
|-
| 10<sup>1</sup> || 0,1&nbsp;&nbsp;  84272511632188099388749095924
|-
| 10<sup>2</sup> || 0,1&nbsp;&nbsp;  20727122609369389253757543423
|-
| 10<sup>3</sup> || 0,11&nbsp;&nbsp;  5510378360496765103907809055
|-
| 10<sup>4</sup> || 0,1149&nbsp;&nbsp;  98777639611066695581665348
|-
| 10<sup>5</sup> || 0,11494&nbsp;&nbsp;  7717127450468982122596415
|-
| 10<sup>6</sup> || 0,114942&nbsp;&nbsp;  612070668021046433217379
|-
| 10<sup>7</sup> || 0,114942&nbsp;&nbsp;  101574932947836339581363
|-
| 10<sup>8</sup> || 0,1149420&nbsp;&nbsp;  50525458871066743276989
|-
| 10<sup>9</sup> || 0,11494204&nbsp;&nbsp;  5420512457694133366767{{efn|Račun produkta je izveden s programom v [[programski jezik C|C]] s knjižnico [[GNU MPFR]] z [[bit]]no [[aritmetika s poljubno točnostjo|točnostjo]] <math>T = \lfloor (2^{7} \ln 10)/ \ln 2+1 \rfloor = 426\! </math>. Zadnja števčna mesta niso zaokrožena.}}
|}

[[Slika:Kepler constant inverse.svg|thumb|right|200px|Zaporedno izmenično očrtavanje pravilnih mnogokotnikov in njim [[očrtana krožnica|očrtanih krožnic]] v enotsko krožnico]]
Bouwkamp je verjetno prvi pravilno določil vrednost konstante. Pred njim so navajali približno vrednost z [[enotski ulomek|enotskim ulomkom]]:

: <math> K' \approx \lambda(-1) = \frac{1}{12} = 0,08\overline{3} \!\, , </math><ref name="bouwkamp_1965" />

Računal je z dvema metodama. V prvi metodi je za 16 decimalk uporabil 14 členov s preureditvijo prudukta v [[vsota|vsoto]] s pomočjo [[Bernoullijevo število|Bernoulijevih števil]]. Najprej je produkt preuredil v dvojni produkt:

: <math> K' = \frac{2}{\pi} \prod_{m=1}^{\infty} \prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 - \frac{1}{m^{2} \left( n+\frac{1}{2} \right) ^{2}} \right) \!\, . </math>

Nato pa je dobil [[naravni logaritem]] produkta:

: <math> \ln \frac{\pi K'}{2} = \left(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \zeta(2n) \left[ \lambda(2n)-1 \right] 2^{2n}}{n} \right) \!\, </math>

in:

: <math> \ln 6K' = \left(- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left[ \zeta(2n) - 1 - 2^{-2n} \right] \left[ \lambda(2n)-1 \right] 2^{2n}}{n} \right) \!\, , </math>

kjer je <math>\zeta(s)\, </math> [[Riemannova funkcija zeta|Riemannova funkcija ζ]], <math>\lambda(s)\,</math> pa [[Dirichletova funkcija lambda|Dirichletova funkcija λ]], definirana kot:

: <math> \lambda(s) = \left( 1 - \frac{1}{2^{s}} \right) \zeta(s) \!\, . </math>

Konvergenco Bouwkampove vrste po prvi metodi kaže razpredelnica:
{| class="wikitable"
|-
! <math>n\, </math>
! <math>K'\, </math>
|-
|  1 || 0,11&nbsp;&nbsp;  5216224381971646007467428025
|-
|  2 || 0,11494&nbsp;&nbsp;  8344200607740635333096018
|-
|  3 || 0,114942&nbsp;&nbsp;  247704745654109840718266
|-
|  4 || 0,1149420&nbsp;&nbsp;  52379647430866907479494
|-
|  5 || 0,11494204&nbsp;&nbsp;  5153774993701760288784
|-
|  6 || 0,1149420448&nbsp;&nbsp;  65822215492713897563
|-
|  7 || 0,114942044853&nbsp;&nbsp;  833214368961439892
|-
|  8 || 0,114942044853&nbsp;&nbsp;  319677821575321682
|-
|  9 || 0,11494204485329&nbsp;&nbsp;  7241970977106694
|-
| 10 || 0,1149420448532962&nbsp;&nbsp;  47399814448964
|-
| 11 || 0,11494204485329620&nbsp;&nbsp;  2814023956253
|-
| 12 || 0,1149420448532962007&nbsp;&nbsp;  97343766944
|-
| 13 || 0,11494204485329620070&nbsp;&nbsp;  5456201191
|-
| 14 || 0,114942044853296200701&nbsp;&nbsp;  243711120
|}

Dobre približke daje tudi [[Padéjeva aproksimacija]].<ref>{{sktxt|Chamberland|Straub|2013}}.</ref>

== Sorodne konstante ==

Če produkt teče po vseh [[liho število|lihih]] [[praštevilo|praštevilih]], ima konstanta vrednost {{OEIS|id=A131671}}:

: <math> K'_{\mathbb{P}} \prod_{n\in \mathbb{P} \setminus \{2\}}^{\infty} \cos \frac{\pi}{n} = 0,312832929508 \ldots \!\, . </math>

Kepler-Bouwkampova konstanta je [[inverzna funkcija|inverz]] [[konstanta očrtanih mnogokotnikov|konstante očrtanih mnogokotnikov]] {{OEIS|id=A051762}}:

: <math> K = \frac{1}{K'} = \prod_{n=3}^{\infty} \sec \frac{\pi}{n} = 8,700036625208 \dots \!\, . </math>

== Glej tudi ==

* [[Johannes Kepler]]
* [[konstanta očrtanih mnogokotnikov]]

== Opombe ==

{{notelist}}

== Sklici ==

{{sklici|27em}}

== Viri ==

{{refbegin|1}}
* {{navedi revijo|last1= Bouwkamp|first1= Christoffel Jacob|authorlink1= Christoffel Jacob Bouwkamp|title= An infinite product|journal= [[Indagationes Mathematicae]]|date= 1965|volume= 27|issue= |pages= 40-46|doi= 10.1016/S1385-7258(65)50004-4}} Objavljeno tudi v ''Proceedings of the Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen'' '''68''' (1): 40-46, 1965. ISSN 0023-3358.
* {{navedi revijo|last1= Chamberland|first1= Marc|last2= Straub|first2= Armin|title= On gamma quotiens and infinite products|journal= [[Advances in Applied Mathematics]]|date= oktober 2013|volume= 51|issue= 5|pages=546-562|arxiv= 1309.3455|doi= 10.1016/j.aam.2013.07.003}}
* {{navedi revijo|last1= Došlić|first1= Tomislav|title= Kepler-Bouwkamp Radius of Combinatorial Sequences|journal= [[Journal of Integer Sequences]]|date= 2014|volume= 17|issue= 14.11.3|pages= 1–7|url= https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL17/Doslic/doslic3.pdf|format= PDF}}
* {{navedi knjigo|last1= Finch|first1= Steven R.|title= Mathematical Constants|url= https://archive.org/details/mathematicalcons0000finc|publisher= Cambridge University Press|year= 2003|mr= 2003519}}
* {{navedi knjigo|last1= Kepler|first1= Johannes|authorlink1= Johannes Kepler|title= Mysterium cosmographicum|url= http://www.e-rara.ch/doi/10.3931/e-rara-445|date= 1596}}
* {{navedi arXiv|last1= Kitson|first1= Adrian R.|title= The prime analog of the Kepler–Bouwkamp constant|eprint=math/0608186|year= 2006|class= math.HO}}
* {{navedi revijo|last1= Kitson|first1= Adrian R.|title= The prime analogue of the Kepler-Bouwkamp constant|journal= [[The Mathematical Gazette]]|volume= 92|page= 293|year= 2008}}
* {{navedi arXiv|last1= Mathar|first1= Richard J.|title= Tightly circumscribed regular polygons|date= 2013-01-13|arxiv= 1301.6293|class= math.MG}}
* {{navedi revijo|last1= Sherbon|first1= Michael A.|title= Fundamental Nature of the Fine-Structure Constant|journal= [[International Journal of Physical Research]]|date= 2014|volume= 2|issue=1|pages= 1-9|doi= 10.2139/ssrn.2380218}} 
{{refend}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=PolygonInscribing|title=Polygon Inscribing}}

{{-}}

{{mnogokotniki}}

{{DEFAULTSORT:Kepler-Bouwkampova konstanta}}

{{škrbina-mat}}

[[Kategorija:Matematične konstante]]
[[Kategorija:Johannes Kepler]]
[[Kategorija:1596 v znanosti]]
[[Kategorija:1965 v znanosti]]