Ogled vira Kepler-Poinsotov polieder

'''Kepler-Poinsotov polieder''' (tudi Kepler-Poinsotovo telo) je v [[geometrija|geometriji]] katerikoli od štirih [[pravilni polieder|pravilnih]] [[stelirani polieder|steliranih poliedrov]]. Dobimo jih z  [[steliranje]]m pravilnih [[konveksni polieder|konveksnih]] [[dodekaeder|dodekaedrov]] in [[ikozaeder|ikozaedrov]]. Od teh se razlikujejo v tem, da imajo [[pentagram]]ske stranske ploskve ali [[slika oglišč|slike oglišč]].

[[Slika:Kepler-Poinsot solids sl.svg]]

Štirje Kepler-Poinsotovi poliedri so prikazani na zgornji sliki. Vsakega izmed njih lahko identificiramo s [[Schläflijev simbol|Schläflijevim simbolom]] v obliki {p, q} in njegovim imenom. 

== Značilnosti ==
=== Eulerjeva karakteristika ===

Kepler-Poinsotovi poliedri prekrivajo sfero več kot enkrat, tako da središča stranskih ploskev delujejo kot navite točke v sliki, ki imajo petkotne stranske ploskve in oglišča v drugih. Zaradi tega niso nujno topološko enakovredne sferi kot so platonska telesa. Odnos:

: <math> \chi=V-E+F=2 \!\, </math>

vedno ne velja. Po Schläfliju velja, da morajo imeti vsi poliedri χ = 2. On je tudi zavračal zamisel o tem, da sta mali stelirani dodekaeder in veliki dodekaeder prava poliedra, kar pa nikoli ni bilo splošno priznano.

Popravljeno obliko [[Eulerjeva karakteristika|Eulerjeve karakteristike]] z uporabo [[gostota (politop)|gostote]] ''D'' pripadajočih [[slika oglišč|slik oglišč]] ''d''<sub>v</sub> in stranskih ploskev ''d''<sub>f</sub> je podal angleški matematik [[Arthur Cayley]] (1821 – 1895). Izraz velja za konveksne poliedre (kjer so faktorji popravkov vsi enaki 1) in za Kepler-Poinsotove poliedre:

: <math> d_v V - E + d_f F = 2D \!\, . </math>

=== Dualnost ===
Kepler-Poinsotovi poliedri nastopajo v [[dualni polieder|dualnih]] parih.
*[[mali stelirani dodekaeder]] in [[veliki dodekaeder]].
*[[veliki stelirani dodekaeder]] in [[veliki ikozaeder]].

=== Pregled ===

{| class="wikitable"
|- 
!ime
!slika
!sferno<BR>tlakovanje
!diagram <br> [[stelacija|stelacije]]
![[Schläflijev simbol|Schläflijev]]<br />{p,q} in<br />[[Coxeter-Dinkinov diagram|Coxeter-Dinkinov]] diagram
!stranske ploskve<br />{p}
!robovi
!oglišča<br />{q}<br />[[slika oglišč]]
![[Eulerjeva karakteristika|χ]]
![[gostota (politop)|gostota]]
![[grupa simetrije|simetrija]]
![[dualni polieder|dualni]]
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[mali stelirani dodekaeder]]
|[[Slika:Small stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[Slika:Small stellated dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[File:First stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,5}<br />{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}<br />[[Slika:Pentagram.svg|30px]]
|30||12<br />{5}<br />[[Slika:Pentagon.svg|30px]]
| -6||3||I<sub>h</sub>||veliki dodekaeder
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[veliki dodekaeder]]
|[[Slika:Great dodecahedron.png|80px]]
|[[Slika:Great dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[File:Second stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5,5/2}<br />{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node}}
|12<br />{5}<br />[[Slika:Pentagon.svg|30px]]
|30||12<br />{5/2}<br />[[Slika:Pentagram.svg|30px]]
| -6||3||I<sub>h</sub>||mali stelirani dodekaeder
|- BGCOLOR="#ffe0e0" align=center
|[[veliki stelirani dodekaeder]]
|[[Slika:Great stellated dodecahedron.png|80px]]
|[[Slika:Great stellated dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[Slika:Third stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,3}<br />{{CDD|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}<br />[[Slika:Pentagram.svg|30px]]
|30||20<br />{3}<br />[[Slika:Triangle.Equilateral.svg|30px]]
|2||7||I<sub>h</sub>||veliki ikozaeder
|- BGCOLOR="#e0e0ff" align=center
|[[veliki ikozaeder]]
|[[Slika:Great icosahedron.png|80px]]
|[[Slika:Great icosahedron tiling.svg|80px]]
|[[Slika:Sixteenth stellation of icosahedron facets.png|80px]]
|{3,5/2}<br />{{CDD|node_1|3|node|5|rat|d2|node}}
|20<br />{3}<br />[[Slika:Triangle.Equilateral.svg|30px]]
|30||12<br />{5/2}<br />[[Slika:Pentagram.svg|30px]]
|2||7||I<sub>h</sub>||veliki stelirani dodekaeder
|}

== Odnosi med pravilnimi poliedri ==

{| class=wikitable style="text-align:center;"
!Naslednji imajo iste [[ureditev oglišča|ureditve oglišča]]:
!Naslednji imajo isto<br />  [[razvrstitev oglišč]] in [[razvrstitev robov]]:
|-
|[[Slika:Icosahedron.png|120px]][[Slika:Small stellated dodecahedron.png|120px]][[Slika:Great icosahedron.png|120px]][[Slika:Great dodecahedron.png|120px]]<br />  [[ikozaeder]], [[mali stelirani dodekaeder]], [[veliki ikozaeder]] in [[veliki dodekaeder]].
|[[Slika:Small stellated dodecahedron.png|120px]][[Slika:Great icosahedron.png|120px]]<br /> [[mali stelirani dodekaeder]] in [[veliki ikozaeder]].
|-
|[[Slika:Dodecahedron.png|120px]][[Slika:Great stellated dodecahedron.png|120px]]<br /> [[dodekeder]] in [[veliki stelirani dodekaeder]].
|[[Slika:Icosahedron.png|120px]][[Slika:Great dodecahedron.png|120px]]<br />  [[ikozaeder]] in [[veliki dodekaeder]].
|} 

== Glej tudi ==

* [[pravilni politop]]
* [[pravilni polieder]]
* [[uniformni polieder]]
* [[uniformni stelirani polieder]]
* [[poliederska sestava]]
* [[Schläfli-Hessov polihoron]]

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=Kepler-PoinsotSolid|title=Kepler-Poinsot Solid}}
* [http://www.software3d.com/Kepler.php Modeli Kepler-Poinsotovih teles] {{ikona en}}
* [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ Uniformni poliedri] {{ikona en}}
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html Kepler-Poinsotovi poliedri] {{ikona en}}
* [http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k Modeli Kepler-Poinsotovih poliedrov] {{ikona en}}
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella software za kreiranje slik] {{ikona en}}

{{-}}

{{poliedri}}

[[Kategorija:Kepler-Poinsotovi poliedri| ]]
[[Kategorija:Johannes Kepler]]
[[Kategorija:Nekonveksni poliedri]]