Ogled vira Klotoida

[[Slika:Cornu Spiral.svg|sličica|desno|250px|Klotoida ali Cornujeva (Eulerjeva) spirala.]]
[[Slika:Easement curve.svg|sličica|desno|360px|Prehod iz ravnega (modro) dela cestišča v krožni del (zeleno). V tem primeru se v prehodnem delu (rdeče) uporablja klotoida.]]

'''Klotoída''' (tudi Cornujeva spirala in Eulerjeva spirala) je transcendentna [[krivulja]], katere [[ukrivljenost]] se spreminja linearno vzdolž njene dolžine. Spada med [[spirala|spirale]].

Krivuljo je proučeval švicarski matematik, fizik in astronom [[Leonhard Euler]] (1707 – 1783), pozneje pa francoski fizik [[Marie Alfred Cornu]] (1841 – 1902).

== Uporaba ==

Krivulja se uporablja pri načrtovanju cest in železnic oziroma pri določanju njihovih lokov in krivin. Na naslednji sliki je prikazan prehod med dvema krivuljama z uporabo klotoide. Ravni del je prikazan z modro barvo, z zeleno barvo je prikazana krožnica, v katero mora preiti ravni del cestišča ali železnice. Z rdečo barvo je prikazana klotoida, ki v tem primeru predstavlja prehod med ravnim delom in krožnico. Takšna oblika krivulje se uporablja pri gradnji cest. To omogoča linearno naraščanje [[radialni pospešek|radialnega pospeška]] pri gibanju po cestišču, ki ima takšne ukrivljenosti. S tem se prepreči nenadne spremembe radialnega pospeška. Na podoben način se krivulja uporablja tudi pri navpičnih nagibih cestišč in železniških prog.

== Polarna oblika enačbe klotoide ==

Po definiciji klotoide velja:

: <math>\frac {1}{R} = \frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} \propto s \!\, , </math>

to pa je:

: <math>R s = \text{konst.} = R_{c} s_{o}\, </math>
: <math>\frac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} s} = \frac {s}{R_{c} s_{o}} \!\, . </math>

V [[polarni koordinatni sistem|polarnem koordinatnem sistemu]] sta enačbi klotoide:

: <math> \begin{align}
x & = \int_0^L \cos\theta \, \mathrm{d} s 
   = \int_0^L \cos \left[ (a s)^2 \right] \mathrm{d} s
\end{align}</math>

in:

: <math> \begin{align}
y & = \int_0^L \sin\theta \, \mathrm{d} s 
   = \int_0^L \sin \left[ (a s)^2 \right] \mathrm{d} s \\
  \end{align} </math>.

Pri tem je:

: <math> \theta = (a s)^{2} \!\, </math>

in:

: <math> a = \frac {1}{\sqrt {2R_{c} s_{o}} } \!\, . </math>

V vseh zgornjih primerih je:
* <math>R\, </math> polmer [[ukrivljenost]]i
* <math>R_{c}\, </math> polmer [[krožnica|krožnice]] na koncu spirale
* <math>\theta\, </math> kot med začetkom spirale in določeno točko na spirali
* <math>L , s\, </math> dolžina, merjena vzdolž spirale od njene začetne točke
* <math>L_{s} , s_{o} \,</math> dolžina spirale

== Dolžina spirale ==

Dolžina spirale, merjena od izhodišča, je enaka:

: <math> L = \int_{0}^{t} {\sqrt {\mathrm{d} x^{2} + \mathrm{d} y^{2}}} = \int_{0}^{t}{\mathrm{d} t} = t \!\, . </math>

Iz tega se vidi, da je dolžina spirale [[neskončnost|neskončna]].

== Ukrivljenost ==

Ukrivljenost se označuje s <math>\kappa\, </math>:

: <math> \kappa = \tfrac {1}{R} = \tfrac {\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} = 2t \!\, . </math>

Stopnja spreminjanja ukrivljenosti v odvisnosti od dolžine krivulje je:

: <math> \tfrac {\mathrm{d}^{2}\theta}{\mathrm{d} t^{2}} = 2 \!\, . </math>

Ukrivljenost klotoide je v vsaki točki sorazmerna z razdaljo od izhodišča. Zaradi tega je tudi zelo primerna za uporabo krivulje prehoda pri gradnji [[avtocesta|avtocest]] in [[železnica|železniških prog]].

== Fresnelov integral ==
[[Slika:Fresnel Integrals (Normalised).svg|250px|sličica|Normalizirana [[Fresnelov integral|Fresnelova integrala]], <span style="color: #b30000;">''S''(''x'')</span> in <span style="color: #00b300;">''C''(''x'')</span>.]]

Kadar je <math>a = 1\, </math>, se reče, da je klotoida normalizirana. Kartezične koordinate so v tem primeru podane s [[Fresnelov integral|Fresnelovima integraloma]] <math>C (L)\, </math> in <math>S (L)\, </math>, ki sta definirana kot:

: <math> C (L) = \int_{0}^{L}\cos s^{2} \, \mathrm{d} s \!\, </math>
: <math> S (L) = \int_{0}^{L}\sin s^{2} \, \mathrm{d} s \!\, . </math>

Če se istočasno nariše v [[parametrična enačba|parametrični obliki]] <math>S (L)\, </math> in <math>C (L)\, </math>, se dobi klotoido.

Z uporabo [[potenčna vrsta|potenčnih vrst]] za:

: <math>      \cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots \!\, </math>

in:

: <math>      \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots \!\, </math>

se za <math>C (L)\, </math> dobi vrednost:

: <math> \begin{align}
C (L) &= \int_{0}^{L} \cos s^{2} \, \mathrm{d} s \\
      &= \int_{0}^{L} (1 - \frac{s^{4}}{2!} + \frac{s^{8}}{4!} - \frac{s^{12}}{6!} + \cdots) \,  \mathrm{d} s \\
      &= L - \frac{L^{5}}{5 \cdot 2!} + \frac{L^{9}}{9 \cdot 4!} - \frac{L^{13}}{13 \cdot 6!} +\cdots \end{align}</math>

in za <math>S (L)\, </math> vrednost:

: <math> \begin{align}
S (L) &= \int_{0}^{L} \sin s^{2} \, \mathrm{d} s \\
      &= \int_{0}^{L} (s^{2} - \frac{s^{6}}{3!} + \frac{s^{10}}{5!} - \frac{s^{14}}{7!} + \cdots) \,  \mathrm{d} s \\
      &= \frac{L^{3}}{3} - \frac{L^{7}}{7 \cdot 3!} + \frac{L^{11}}{11 \cdot 5!} - \frac{L^{15}}{15 \cdot 7!} + \cdots . \end{align}</math>

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=CornuSpiral|title=Cornu Spiral}}
* [http://www.2dcurves.com/spiral/spirale.html Klotoida (Eulerjeva spirala)] na 2dcurves.com {{ikona en}}
* [http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/phyopt/cornu.html#c1 Klotoida (Cornujeva spirala)] na HyperPhysics {{ikona en}}
* [http://physics.gu.se/LISEBERG/eng/loop_pe.html Uporaba klotoide] {{ikona en}}

{{-}}

{{ravninske krivulje}}

[[Kategorija:Spirale]]
[[Kategorija:Geodezija]]
[[Kategorija:Leonhard Euler]]