Ogled vira Kompleksno število

[[Slika:Complex number illustration.svg|thumb|right|200px|Kompleksno število se lahko vizualno predstavi kot par števil {{math|(''a'', ''b'')}}, ki oblikujeta [[vektor (matematika)|vektor]] v [[Argandov diagram|Argandovem diagramu]] in tako ponazarjata [[kompleksna ravnina|kompleksno ravnino]]. »Re« je realna os, »Im« je imaginarna os in {{math|''i''}} je [[imaginarna enota]] za katero velja {{math|1=''i''<sup>2</sup> = −1}}.]]

[[Množica]] '''kompléksnih števíl''' predstavlja razširitev [[realno število|realnih števil]], v kateri se lahko [[korenjenje|koreni]] tudi [[negativno število|negativna števila]]. Kompleksna števila vsebujejo [[imaginarna enota|imaginarno enoto]] <math>i\, </math> (v [[elektrotehnika|elektrotehniki]] se zasledi tudi oznako <math>j\, </math>), kjer je <math>i^{2} = -1\, </math> . Kompleksna števila so oblike <math>x + iy\, </math>, kjer je <math>x\, </math> [[realni del]] kompleksnega števila, <math>y\, </math> pa njegov [[imaginarni del]].

Koristne so tudi naslednje enačbe:

: <math> i^{1}=i \!\, , </math>
: <math> i^{2}=-1 \!\, , </math>
: <math> i^{3}=i^{2} \cdot i=(-1) \cdot i=-i \!\, , </math>
: <math>i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=(-1) \cdot (-1)=1 \!\, . </math>

[[Seštevanje]] in [[množenje]] kompleksnih števil:

: <math> ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ) \!\, , </math>
: <math> ( a + ib ) \cdot ( c + id ) = ac - bd + i ( bc + ad ) \!\, . </math>

Množico kompleksnih števil je z relacijo [[leksikografska urejenost|leksikografske urejenosti]] po obeh realnih komponentah moč [[relacija urejenosti|urediti]], nikakor pa je ni moč [[relacija dobre urejenosti|dobro urediti]].

== Definicija ==

[[Slika:Complex conjugate picture.svg|thumb|right|200px|Prikaz [[kompleksna ravnina|kompleksne ravnine]]. [[Realni del]] kompleksnega števila {{math|1=''z'' = ''x'' + ''iy''}} je {{mvar|x}}, njegov [[imaginarni del]] pa {{mvar|y}}.]]

Formalno se lahko kompleksna števila določi kot [[urejeni par]] realnih števil (''a'',''b'') skupaj z operacijami:

* <math> ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) \!\, , </math> 
* <math> ( a , b ) \cdot ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ) \!\, . </math>

Tako urejena kompleksna števila tvorijo [[obseg (algebra)|obseg]], označen z znakom '''C''' oziroma <math>\Complex\, </math>. Realna števila se v množici '''C''' zapišejo kot (''a'', 0). Tako so realna števila [[podmnožica]] množice '''C'''. Imaginarna enota <math>i\, </math> je predstavljena kot (0,1).

Množica '''C''' ima naslednje posebne elemente:

* [[identiteta|identiteto]] za seštevanje: (0,0)
* identiteto za množenje: (1,0)
* [[inverzni element]] glede na seštevanje elementa (''a'',''b''): (−''a'',−''b'')
* inverzni element za množenje neničelnega elementa (''a'',''b''): <math> \left( \frac{a}{a^{2}+b^{2}}, \frac{-b}{a^{2}+b^{2}} \right) \, </math>

=== Geometrija ===

Kompleksno število se lahko predstavlja tudi kot [[točka (geometrija)|točko]] ali [[vektor (matematika)|vektor]] v [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]]:

: <math> z = x + iy = r (\cos \phi + i\sin \phi ). \!\,  </math>

Ta enačba se zapiše tudi kot ''r'' cos φ, kjer je ''r'' = |''z''| ([[absolutna vrednost]] ''z'') in φ = arg(''z'') ([[argument (kompleksna analiza)|argument]] ''z''). Eulerjeva enačba pa pravi ''e<sup>i φ</sup> = cos'' ''φ + jsinφ .'' [[Eksponent]]ni zapis je bolj nazoren kot okrajšani zapis ''r'' cis φ. Z enostavnimi [[trigonometrija|trigonometričnimi]] enakostmi se lahko pokaže, da velja:

: <math> r_{1} e^{i \phi_{1}} \cdot r_{2} e^{i \phi_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (\phi_{1} + \phi_{2})} \!\, </math>

in:

: <math> \frac{r_{1} e^{i \phi_{1}}}{r_{2} e^{i \phi_{2}}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} e^{i (\phi_{1} - \phi_{2})} \!\, . </math>

Tako je seštevanje dveh kompleksnih števil samo seštevanje dveh vektorjev, množenje z določenim kompleksnim številom pa je hkratno [[vrtenje]] in [[razteg]].

Množenje z ''i'' je enakovredno vrtenju v nasprotni smeri urinega kazalca za 90 stopinj. Geometrijski ekvivalent enačbe ''i''<sup>2</sup> = -1 je vrtenje za 180 stopinj. Tako se lahko tudi na enačbo (-1) · (-1) = 1 geometrijsko gleda kot na dve vrtenji za 180 stopinj, torej vrtenje za 360 stopinj.

=== Absolutna vrednost, konjugacija in razdalja ===

Absolutna vrednost kompleksnega števila ''z'' = ''r e''<sup>iφ</sup> je definirana kot |''z''| = ''r''. Algebrsko  gledano, če je ''z'' = ''a'' + ''ib'', potem je |''z''| = √(''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>).

Absolutna vrednost ima tri pomembne značilnosti:

: <math> | z + w | \leq | z | + | w | \!\, , </math>

: <math> | z w | = | z | \; | w | \!\, , </math>

: <math> | z / w | = | z | / | w | \!\, </math>

za vsa kompleksna števila ''z'' in ''w''. Z definiranjem [[razdalja|razdalje]] d(''z'',''w'') = |''z'' + ''w''| se pretvori kompleksna števila v metrični sistem, kateremu se lahko potem določi meje in se govori o [[zveznost]]i. Seštevanje, [[odštevanje]], množenje in [[deljenje]] (z izjemo deljenja z ničlo) so tako zvezne operacije.

Konjugacija kompleksnega števila ''z'' = ''a'' + ''ib'' je definirana kot ''a'' - ''ib'', kar se zapiše kot <math>\bar{z}</math> ali ''z<sup>*</sup>''. Kot se lahko vidi na sliki, je geometrijska ponazoritev konjugacije <math>\bar{z}</math> [[zrcaljenje]] števila ''z'' prek [[številska premica|realne premice]].

Velja naslednje:

: <math> \overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w} \!\, , </math>

: <math> \overline{zw} = \bar{z}\bar{w} \!\, , </math>

: <math> \overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w} \!\, , </math>

: <math> \bar{\bar{z}}=z \!\, , </math>

: <math> \bar{z}=z \!\, , </math> &nbsp; če in samo če je ''z'' realno število

: <math> |z|=|\bar{z}| \!\, , </math>

: <math> |z|^2 = z\bar{z} \!\, , </math>

: <math> z^{-1} = \bar{z}|z|^{-2} \!\, , </math> &nbsp; če ''z'' ni nič

Konjugacija je [[komutativnost|komutativna]] z vsemi algebrskimi operacijami (in z nekaterimi funkcijami, npr. <math>\sin\bar z=\overline{\sin z}\, </math>), kar je tesno povezano z imaginarno enoto ''i'' (-1 ima dva različna kvadratna korena). Konjugacija ni odvedljiva operacija.

=== Seštevanje in odštevanje ===

[[Slika:Vector Addition.svg|thumb|200px|Seštevanje dveh kompleksnih števil po paralelogramskem pravilu.]]

Kompleksna števila se sešteva tako, da se sešteje posebej realni in posebej imaginarni komponenti:

: <math> (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i \!\, . </math>

Podobno se tudi odšteva:

: <math> (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i \!\, . </math>

=== Deljenje kompleksnih števil ===

Kompleksno število ''a'' + i''b'' se želi zdeliti z neničelnim kompleksnim številom ''c'' + i''d''. To se lahko stori na dva načina. Prva možnost je, da se kompleksno število pretvori v eksponentno obliko iz katere je potem lahko izračunati kvocient. Pri drugi možnosti se kvocient izrazi kot ulomek, nato pa se imenovalec in števec pomnoži s konjugiranim imenovalcem, kar privede do realnega imenovalca:

: <math> \begin{align}
\frac{a + ib}{c + id} &= \frac{(a + i b) (c - i d)}{(c + i d) (c - i d)} = \frac{(a c + b d) + i (b c - a d)}{c^{2} + d^{2}} \\
                      &= \left( \frac{a c + b d}{c^{2} + d^{2}} \right) + i \left( \frac{b c - a d}{c^{2} + d^{2}} \right) \!\, . \end{align} </math>

=== Množenje kompleksnih števil ===

Za množenje dveh kompleksnih števil veljajo pravila množenja [[binom|dvočlenikov]] in ob upoštevanju da je <math>i^2 = -1\, </math> se dobi naslednji predpis:

: <math> (a + bi)(c + di)= ac + adi + cbi - bd = ac - bd + (ad + cb)i \!\, . </math>

Zato se tudi pri množenju kompleksnega števila s samim seboj (kvadriranju) dobi naslednji predpis:

: <math> (a + bi)(a + bi) = a^{2} + 2abi - b^{2} \!\, . </math>

V množici kompleksnih števil je vsota kvadratov razstavljiva:

: <math> a^{2} + b^{2} = (a + bi)(a - bi) \!\, . </math>

== Zgodovina == <!-- This section is linked from [[History of complex numbers]] -->

Prvič so kvadratni koreni negativnih števil morebiti omenjeni v delih starogrškega matematika [[Heron]]a iz Aleksandrije v 1. stoletju naše ere, ki se v svojem delu ''Stereometrica'' lotil prostornine nemogoče prisekane piramide in prišel do očitno napačnega rezultata  <math>\scriptstyle \sqrt{81 - 144} = 3i\sqrt{7}</math> - pri tem helenistična matematika negativnih števil tako ali tako ni poznala, pa je Heron izraz »popravil« na (<math>\scriptstyle \sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}</math>).<ref>{{sktxt|Nahin|2007}}.</ref>

Študij kompleksnih števil je bil resne pozornosti deležen prvikrat v 16. stoletju, ko so italijanski matematiki iskali in odkrivali algebrske rešitve za korene polinomov tretje in četrte stopnje (glej [[Gerolamo Cardano]]). Hitro je postalo jasno, da je kljub temu, da so bile zanimive samo realne rešitve, bilo potrebno včasih delati s kvadratnimi koreni negativnihh števil. Formula za kubično enačbo oblike  <math>\scriptstyle x^3 = px + q</math> daje za rešitev enačbe {{math|1=''x''<sup>3</sup> = ''x''}} naslednje:

: <math> \frac{1}{\sqrt{3}}\left((\sqrt{-1})^{1/3}+\frac{1}{(\sqrt{-1})^{1/3}}\right) \!\, . </math>

Na prvi pogled gre za nesmisel. Formalne kalkulacije kompleksnih števil pa pokažejo, da ima enačba {{math|1=''z''<sup>3</sup> = ''i''}} rešitve {{math|−''i''}}, <math>{\scriptstyle\frac{\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i</math> in <math>{\scriptstyle\frac{-\sqrt{3}}{2}}+{\scriptstyle\frac{1}{2}}i</math>. Če te vrednosti vstavimo vizraz <math>{\scriptstyle\sqrt{-1}^{1/3}}</math> iv zgornji formuli in če ga potem poenostavimo, bomo dobili realne vrednosti  0, 1 in &minus;1 kot rešitve f {{math|1=''x''<sup>3</sup> − ''x'' = 0}}. Seveda je to enačbo mogoče rešiti na pamet, vendar pa primer kaže, da se kompleksnim številom ni mogoče izogniti, če se za reševanje kubičnih enačb uporabljajo splošne formule, ne glede na to, ali so koreni realni ali pa kompleksni ali imaginarni.

[[Rafael Bombelli]] se je kot prvi izrecno lotil teh navidez paradoksnih rešitev kubičnih enačb in razvil pravila kompleksne aritmetike, ki so za te namene bila potrebna.

Naziv »imaginarno« za te značilnosti je skoval [[René Descartes]] leta 1637, ki mu je bilo težko spoprijateljiti se z njih imaginarno naravo<ref>{{sktxt|Descartes|1954}}.</ref>
{{citatni blok|[...] včasih samo imaginarne, ki lahko, kot sem že rekel, ekzistirajo v vsaki enačbi, ki pa kot količine, ki bi odgovarjale našim predstavam,  včasih ne obstajajo ''([...] quelquefois seulement imaginaires c’est-à-dire que l’on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu’il n’y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu’on imagine.)''}}
Dodaten vir zmed je bila enačba  <math>\scriptstyle \sqrt{-1}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1</math> , ki se je samovoljno postavljala po robu algebraični resnicvi <math>\scriptstyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}</math>, ki velja za nenegativni števili {{mvar|a}} in {{mvar|b}}, in ki se je tudi uporabljala v kompleksnih računih z enim številom od {{mvar|a}}, {{mvar|b}} pozitivnim in drugim negativnim. Nepravilna raba te identitete (in z jo sorodne identitete  <math>\scriptstyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}</math>) , kadar sta oba  {{mvar|a}} in {{mvar|b}} negativni števili, ni dala spati Eulerju. Iz tega razloga je prišlo do konvencije, da se namesto korena negativne enke rabi poseben znak <math>i\, </math>. Ne glede na to je Euler bil mnenja, da gre za nekaj naravnega; svoje učence je uvedel v kompleksna števila mnogo preje, kot se to dogaja danes. V svojem učbeniku ''Elementi algebre'' je uvedel ta števila skorajda na prvi strani.

V 18. stoletju se je raba kompleksnih števil vse bolj širila, posebno ko je postalo jasno, da je mogoče s formalno manipulacijo kompleksnih izrazov poenostaviti izraze, ki vsebujejo trigonometrične funkcije. Tako je leta 1730 [[Abraham de Moivre]] zapisal, da je mogoče zapletene identitete, ki povezujejo trigonimetrične funkcije celoštevilčnih mnogokratnikov danega kota poenostaviti s pomočjo formule, ki nosi njegovo ime:

: <math> (\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta \!\, . </math>

Leta 1748 je [[Leonhard Euler]] šel korak dlje in zapisal Eulerjevo formulo kompleksne analize:

:<math>\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta } \,</math>

Do nje je prišel s formalno manipulacijo potenčnih vrst in pri tem prišel do spoznanja, da je mogoče poljubno trigonometrično identiteto poenostaviti v precej enostavnejše eksponencialne identitete.

Predstaviti kompleksno število kot točko v kompleksni ravnini (glej zgoraj) je prvi zapisal Caspar Wessel leta 1799, misli v tej smeri pa je bilo mogoče brati že leta 1685 v [[John Wallis|Wallisovem]] ''De Algebra tractatus''.

Wesselov članek v Delih Kopenhagenske akademije je ostal več ali manj brez odziva. Leta 1086 je neodvisno od njega [[Jean-Robert Argand]] izdal članek na temo kompleksnih števil in v njem objavil strogi [[matematični dokaz|dokaz]] [[osnovni izrek algebre|osnovnega izreka algebre]]. [[Carl Friedrich Gauss]] je pred tem leta 1797 objavil v bistvu topološki dokaz izreka, vendar je pri tem izrazil dvome o »resnični metafiziki kvadratnega korena −1.« Šele leta 1831 je premagal svoje dvome in objavil svoje delo o kompleksnih številih kot točkah v ravnini, delo, ki je temelj dandanašnji notaciji in terminologii. Angleški matematik [[Godfrey Harold Hardy]] je poudaril, da je med matematiki bil Gauss prvi, ki je kompleksna števila uporabljal 'res zanesljivo in znanstveno', četudi so jih matematiki, kot sta bila  [[Niels Henrik Abel]] and [[Carl Gustav Jacob Jacobi]], iz nuje rutinsko uporabljali, še preden je leta 1831 Gauss objavil svoje delo.<ref>{{sktxt|Hardy|Wright|2000|pp=189 (4. izdaja)}}.</ref> [[Augustin Louis Cauchy]] (od leta 1825 dalje) in [[Bernhard Riemann]] sta skupaj do visoke mere dokončala stavbo kompleksne analize.

V teoriji običajno rabljeni izrazi so potomci svojih staršev. Argand je imenoval <math>\scriptstyle \cos \phi + i\sin \phi</math> ''smerni faktor'' in <math>\scriptstyle r = \sqrt{a^2+b^2}</math> ''modul''; Cauchy (1828) je <math>\cos \phi + i\sin \phi</math> imenoval ''reducirana oblika'' (l'expression réduite), uvedel naj bi tudi izraz ''argument''; Gauss je uporabil {{math|''i''}} za <math>\scriptstyle \sqrt{-1}</math> in uvedel izraz ''kompleksno število'' za {{math|''a'' + ''bi''}}, {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}} pa imenoval ''norma''. Izraz ''smerni koeficient'', pogosto rabljen za <math>\cos \phi + i\sin \phi</math>, je zasluga [[Hermann Hankel|Hermanna Hankela]] (1867), ''absolutna vrednost'' za ''modul,'' pa izvira od Weierstrassa.

Kasnejši klasični avtorji splošne teorije so med drugim  [[Julius Wilhelm Richard Dedekind]], [[Otto Ludwig Hölder]], [[Felix Christian Klein]], [[Henri Poincaré]], [[Hermann Amandus Schwarz]], [[Karl Weierstrass]] in še mnogo drugih.

== Glej tudi ==

* [[kvaternion]]

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin}}
* {{citat|last1= Descartes|first1= René|authorlink1= René Descartes|title= La Géométrie &#124; Geometrija, René Descartes, s faksimilom prve izdaje|date= 1954|origyear= 1637|publisher= [[Dover Publications]]|isbn= 0-486-60068-8|url= http://www.gutenberg.org/ebooks/26400|accessdate= 2011-04-20}}
* {{citat|last1= Hardy|first1= Godfrey Harold|authorlink1= Godfrey Harold Hardy|last2= Wright|first2= Edward Maitland|authorlink2= Edward Maitland Wright|title = An Introduction to the Theory of Numbers &#124; Uvod v teorijo števil|date= 2000|origyear = 1938|publisher= [[Oxford University Press|OUP Oxford]]|isbn= 0-19-921986-9|cobiss= 6813524}}
* {{citat|last1= Nahin|first1= Paul J.|title= An Imaginary Tale: The Story of √−1 &#124; Imaginarna pripovedka: zgodba o √−1|date= 2007|publisher= [[Princeton University Press]]|isbn= 978-0-691-12798-9|cobiss= 28434693|url= http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=149&threadID=383188&messageID=1181284|accessdate= 2011-04-20}}
{{refend}}

{{-}}

{{števila}}

{{normativna kontrola}}

[[Kategorija:Kompleksna števila| ]]
[[Kategorija:Teorija števil]]