Ogled vira Kvadratno iracionalno število

'''Kvadrátno iracionálno števílo''' (redkeje tudi '''kvadrátni súrd''') je v [[matematika|matematiki]] [[algebrsko število|algebrsko]] [[iracionalno število]], ki je [[rešitev enačbe|rešitev]] kakšne [[kvadratna enačba|kvadratne enačbe]] z [[racionalno število|racionalnimi]] koeficienti. Ker se lahko iz kvadratne enačbe [[ulomek|ulomke]] poniči z [[množenje]]m obeh strani z njihovima [[najmanjši skupni imenovalec|skupnima imenovalcema]], se lahko reče, da je kvadratno iracionalno število koren kvadratne enačbe:

: <math> kx^{2} + mx + n = 0 \!\, </math> 

s [[celo število|celimi]] koeficienti <math>k\, </math>, <math>m\, </math> in <math>n\, </math> in z od nič različno [[diskriminanta|diskriminanto]] <math>m^{2} - 4kn\, </math>. Kvadratna iracionalna števila so oblike: 

: <math> \sqrt{c}, \qquad ( c > 1 ) \!\, </math>

za cela števila ''c'' [[deljivost brez kvadrata|deljiva brez kvadrata]]. Vsako kvadratno iracionalno število pa se lahko v splošnem zapiše kot: 

: <math> \frac{a\pm b\sqrt{c}}{d}, \qquad a,b,c,d \in \Z, \qquad ( a,b > 0, c > 1, d \ne 0, d | a^{2} - c ) \!\, , </math>

kjer <math>c\, </math> ni [[kvadratno število|popolni kvadrat]].

To pomeni, da je [[kardinalnost|moč]] njihove množice enaka množici urejenih trojic celih števil, in je zaradi tega [[števna množica|števno neskončna]].

Kvadratna iracionalna števila z danim <math>c\, </math> tvorijo [[obseg (algebra)|obseg]], ki se imenuje [[kvadratni obseg]].

== Verižni ulomki kvadratnih iracionalnih števil ==

=== Enočlene oblike ===

Kvadratna iracionalna števila so posebna števila, še posebej v povezavi z [[verižni ulomek|verižnimi ulomki]]. Za vsa in edino za kvadratna iracionalna števila je razvoj v verižni ulomek [[periodični verižni ulomek|periodičen]]. Na primer števila deljiva brez kvadrata: 

: <math> \sqrt{2} = 1,4142 \ldots = [1;2,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{3} = 1,7320 \ldots = [1;1,2,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{5} = 2,2360 \ldots = [2;4,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{6} = 2,4494 \ldots = [2;2,4,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{7} = 2,6457 \ldots = [2;1,1,1,4,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{10} = 3,1622 \ldots = [3;6,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{11} = 3,3166 \ldots = [3;3,6,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{13} = 3,6055 \ldots = [3;1,1,1,1,6,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{14} = 3,7416 \ldots = [3;1,2,1,6\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{15} = 3,8729 \ldots = [3;1,6,\ldots] \!\, . </math>

ali števila deljiva s kvadratom, ki niso kvadratna števila {{OEIS|id=A051144}}:

: <math> \sqrt{8} = 2\sqrt{2} = 2,8284 \ldots = [2;1,4,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 3,4641 \ldots = [3;2,6,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{18} = 3\sqrt{2} = 4,2426 \ldots = [4;4,8,\ldots] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{20} = 2\sqrt{5} = 4,4721 \ldots = [4;2,8,\ldots] \!\, . </math>

Vsi verižni ulomki kvadratnih korenov števil, ki niso popolni kvadrati, imajo posebno obliko periodičnosti, [[palindromno število|palindrom]]ni niz števk:

* [[prazna množica|prazen]] za števila oblike <math>c=n^{2}+1; \ n>0\!\,</math> {{OEIS|id=A002522}}: <math>\sqrt{2}\!\,</math>, <math>\sqrt{5}\!\,</math>, <math>\sqrt{10}\!\,</math>, <math>\sqrt{17}\!\,</math>, <math>\sqrt{26}\!\,</math>, <math>\sqrt{37}\!\, </math>, <math>\sqrt{50}\!\, </math>, <math>\sqrt{65}\!\,</math>, ..., od katerih so [[praštevilo|praštevila]] {{OEIS|id=A002496}}: <math>\sqrt{2}\!\,</math>, <math>\sqrt{5}\!\,</math>, <math>\sqrt{17}\!\,</math>, <math>\sqrt{37}\!\,</math>, <math>\sqrt{101}\!\,</math>, <math>\sqrt{197}\!\,</math>, <math>\sqrt{257}\!\,</math>, ... in [[sestavljeno število|sestavljena]] {{OEIS|id=A134406}}: <math>\sqrt{10}\!\,</math>, <math>\sqrt{26}\!\,</math>, <math>\sqrt{50}\!\,</math>, <math>\sqrt{65}\!\,</math>, <math>\sqrt{82}\!\,</math>, <math>\sqrt{122}\!\,</math>, <math>\sqrt{145}\!\,</math>, <math>\sqrt{170}\!\,</math>, ...
: Za ta števila tako velja:
:: <math> \sqrt{c} = [a_{0};\overline{2a_{0}}] \! \, . </math>
* na primer 1 za <math>\sqrt{3}\, </math>, 1,1,1 za <math>\sqrt{7}\, </math>, 1,2,1 za <math>\sqrt{14}\, </math>, ki mu sledi dvakratnik vodilnega celega števila. Praštevila, ki niso oblike <math>n^{2}+1\, </math>, imajo neprazen niz {{OEIS|id=A070303}}:

: <math>\sqrt{3}\!\,</math>, <math>\sqrt{7}\!\,</math>, <math>\sqrt{11}\!\,</math>, <math>\sqrt{13}\!\,</math>, <math>\sqrt{19}\!\,</math>, <math>\sqrt{23}\!\,</math>, <math>\sqrt{29}\!\,</math>, <math>\sqrt{31}\!\,</math>, <math>\sqrt{41}\!\,</math>, <math>\sqrt{43}\!\,</math>, <math>\sqrt{47}\!\,</math>, <math>\sqrt{53}\!\,</math>, <math>\sqrt{59}\!\,</math>, <math>\sqrt{61}\!\,</math>, <math>\sqrt{67}\!\,</math>, ...

V splošnem tako velja:

: <math> \sqrt{c} = [a_{0};\overline{a_{1},a_{2},\dots,a_{2},a_{1},2a_{0}}] \! \, . </math>

Od zgornjih števil, katerih niz je prazen, so deljiva s kvadratom {{OEIS|id=A124809}}:

: <math> \sqrt{50} = 7,0710 \ldots = [7;\overline{2\cdot 7}] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{325} = 18,0277 \ldots = [18;\overline{2\cdot 18}] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{1025} = 32,0156 \ldots = [32;\overline{2\cdot 32}] \!\, , </math>

: <math> \sqrt{1445} = 38,0131 \ldots = [38;\overline{2\cdot 38}] \!\, , </math>

itd.

Števila, katerih perioda se začne:

* z 2 {{OEIS|id=A065005}}: <math>\sqrt{2}\!\,</math>, <math>\sqrt{6}\!\,</math>, <math>\sqrt{12}\!\,</math>, <math>\sqrt{19}\!\,</math>, <math>\sqrt{20}\!\,</math>, <math>\sqrt{29}\!\,</math>, <math>\sqrt{30}\!\,</math>, ...,

* s 3 {{OEIS|id=A065006}}: <math>\sqrt{11}\!\,</math>, <math>\sqrt{28}\!\,</math>, <math>\sqrt{40}\!\,</math>, <math>\sqrt{53}\!\,</math>, <math>\sqrt{69}\!\,</math>, <math>\sqrt{86}\!\,</math>, <math>\sqrt{87}\!\,</math>, ...,

* s 4 {{OEIS|id=A065007}}: <math>\sqrt{5}\!\,</math>, <math>\sqrt{18}\!\,</math>, <math>\sqrt{39}\!\,</math>, <math>\sqrt{52}\!\,</math>, <math>\sqrt{68}\!\,</math>, <math>\sqrt{85}\!\,</math>, <math>\sqrt{105}\!\,</math>, ...,

* s 5 {{OEIS|id=A065008}}: <math>\sqrt{27}\!\,</math>, <math>\sqrt{67}\!\,</math>, <math>\sqrt{104}\!\,</math>, <math>\sqrt{1255}\!\,</math>, <math>\sqrt{174}\!\,</math>, <math>\sqrt{201}\!\,</math>, <math>\sqrt{231}\!\,</math>, ...,

* s 6 {{OEIS|id=A065009}}: <math>\sqrt{10}\!\,</math>, <math>\sqrt{38}\!\,</math>, <math>\sqrt{84}\!\,</math>, <math>\sqrt{103}\!\,</math>, <math>\sqrt{148}\!\,</math>, <math>\sqrt{173}\!\,</math>, <math>\sqrt{230}\!\,</math>, ...,

* s 7 {{OEIS|id=A065010}}: <math>\sqrt{51}\!\,</math>, <math>\sqrt{124}\!\,</math>, <math>\sqrt{200}\!\,</math>, <math>\sqrt{229}\!\,</math>, <math>\sqrt{329}\!\,</math>, <math>\sqrt{366}\!\,</math>, <math>\sqrt{447}\!\,</math>, ..., 

* z 8 {{OEIS|id=A065011}}: <math>\sqrt{17}\!\,</math>, <math>\sqrt{66}\!\,</math>, <math>\sqrt{147}\!\,</math>, <math>\sqrt{172}\!\,</math>, <math>\sqrt{260}\!\,</math>, <math>\sqrt{293}\!\,</math>, <math>\sqrt{405}\!\,</math>, ...,

* z 9 {{OEIS|id=A065012}}: <math>\sqrt{83}\!\,</math>, <math>\sqrt{199}\!\,</math>, <math>\sqrt{328}\!\,</math>, <math>\sqrt{365}\!\,</math>, <math>\sqrt{534}\!\,</math>, <math>\sqrt{581}\!\,</math>, <math>\sqrt{735}\!\,</math>, ...

=== Dvočlene oblike ===

Druga kvadratna iracionalna števila, kjer <math>c\, </math> ni kvadratno število:

: <math> (1+\sqrt{2})/2 = 1,2071 \ldots = [1;4,1,\ldots] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{3})/2 = 1,3660 \ldots = [1;2,1,\ldots] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/2 = 1,6180 \ldots = [1;1,\ldots] \equiv [1;\overline{1}] \!\, </math> ([[število zlatega reza]]),

: <math> (1+\sqrt{2})/3 = 0,8047 \ldots = [0;1,\overline{4,8}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{3})/3 = 0,9106 \ldots = [0;1,\overline{10,5}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/3 = 1,0786 \ldots = [1;\overline{12,1,2,2,2,1}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{2})/5 = 0,4828 \ldots = [0;2,\overline{1,4}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{3})/5 = 0,5464 \ldots = [0;1,\overline{1,4,1,7}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/5 = 0,6472 \ldots = [0;1,\overline{1,1,1,5,22,5}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/6 = 0,5393 \ldots = [0;1,\overline{1,5}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/7 = 0,4622 \ldots = [0;2,\overline{6,7,1,1,1,30,1,1,1,7}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/8 = 0,4045 \ldots = [0;2,\overline{2,8}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/9 = 0,3595 \ldots = [0;2,\overline{1,3,1,1,3,9}] \!\, , </math>

: <math> (1+\sqrt{5})/10 = 0,3236 \ldots = [0;3,\overline{11}] \!\, , </math>

: <math> (2+\sqrt{5})/2 = 2,1180 \ldots = [2;\overline{8,2}] \!\, , </math>

: <math> (42+\sqrt{2})/42 = 1,0336 \ldots = [1;29,\overline{1,2,3,6,3,2,1,58}] \!\, , </math>

: <math> (42+\sqrt{42})/42 = 1,1543 \ldots = [1;6,\overline{2,12}] \!\, , </math>

: <math> (4242+\sqrt{4242})/4242 = 1,0153 \ldots = [1;65,\overline{7,1,1,1,8,1,1,1,7,130}] \!\, ... </math>

Če je <math>c\, </math> kvadratno število in <math>d > 1\, </math>, je dano število [[racionalno število|racionalno]], njegov verižni ulomek pa je seveda končen. Na primer:

: <math> (2+\sqrt{4})/5 = 4/5 = 0,8 = [0;1,4] \!\, , </math>

: <math> (41+\sqrt{1764})/42 = 83/42 = 1,9\overline{761904} = [1;1,41] \!\, . </math>

To dejstvo periodičnosti členov verižnih ulomkov sta dokazala [[Joseph-Louis de Lagrange|Lagrange]] ([[1770 v znanosti|1770]]) in [[Adrien-Marie Legendre|Legendre]], pred njima pa je obrat dokazal [[Leonhard Euler|Euler]] z analizo popolnih količnikov periodičnih verižnih ulomkov – če je ζ pravi periodični verižni ulomek, je ζ kvadratno iracionalno število. Iz samega verižnega ulomka je moč konstruirati kvadratno enačbo s celimi koeficienti, za katere velja ζ.

=== Splošne oblike ===

: <math> (1+2\sqrt{2})/2 = 1,9142 \ldots = [\overline{1;1,10,1}] \!\, , </math>
: <math> (1+2\sqrt{3})/2 = 2,2320 \ldots = [2;\overline{4,3}] \!\, , </math>
: <math> (1+2\sqrt{2})/3 = 1,2761 \ldots = [\overline{1;3,1,1,1,1}] \!\, , </math>
: <math> (1+2\sqrt{3})/3 = 1,4880 \ldots = [\overline{1;2,20,2,1,1,4,1}] \!\, , </math>
: <math> (1+3\sqrt{2})/2 = 2,6213 \ldots = [2;\overline{1,1,1,1,1,3}] \!\, , </math>
: <math> (1+3\sqrt{3})/2 = 3,0980 \ldots = [3;\overline{10,5}] \!\, , </math>
: <math> (1+3\sqrt{2})/3 = 1,7475 \ldots = [1;\overline{1,2,1,24,1,2,1,2,12,2}] \!\, , </math>
: <math> (1+3\sqrt{3})/3 = 2,0653 \ldots = [2;\overline{15,3,2,1,1,30,1,1,2,3}] \!\, , </math>
: <math> (1+2\sqrt{3})/4 = 1,1160 \ldots = [\overline{1;8,1,1,1,1,1,1}] \!\, , </math>
: <math> (2+3\sqrt{5})/7 = 1,2440 \ldots = [\overline{1;4,10,4,1,1,2,18,2,1}] \!\, ... </math>

=== Druge oblike ===

Poseben primer kvadratnih iracionalnih števil so rešitve [[Pellova enačba|Fermat-Pellove enačbe]].

== Glej tudi ==

* [[obseg algebrskih števil]]
* [[periodični verižni ulomek]]
* [[omejeni delni količniki]]
* [[kvadratno celo število]]

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|urlname=QuadraticSurd|title=Quadratic Surd}}
* [http://www.numbertheory.org/php/surd.html Računalo verižnih ulomkov za kvadratna iracionalna števila] {{ikona en}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/EIsIrrational.html Dokaz, da ''e'' ni kvadratno iracionalno število] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20050324110521/http://planetmath.org/encyclopedia/EIsIrrational.html |date=2005-03-24 }} na [[PlanetMath]] {{ikona en}}

{{-}}

{{iracionalno število}}

{{algebrska števila}}

{{math-stub}}

[[Kategorija:Teorija števil]]
[[Kategorija:Algebrska števila]]