Ogled vira Kvadrik

'''Kvadrik''' (tudi '''ploskev drugega reda''') je poljubna <math>n\, </math>-razsežna [[hiperpovršina]] v <math> n - 1\, </math> razsežnem prostoru, ki je [[geometrijsko mesto točk|geometrijsko mesto]] [[ničla funkcije|ničel]] (korenov) [[kvadratni polinom|kvadratnega polinoma]].
 
Splošna oblika kvadrika je definirana z [[algebrska enačba|algebrsko enačbo]]:<ref name="geom">{{sktxt|Levy|1995}}.</ref>

: <math> \sum_{i,j=1}^{n+1} x_{i} Q_{ij} x_{j} + \sum_{i=1}^{n+1} P_{i} x_{i} + R = 0 \!\, , </math>

kjer so:
 
* <math> \{ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n+1} \} \, </math> koordinate.

Enačbo se lahko napiše s pomočjo vektorskega in matričnega zapisa:

: <math> x Q x^{T} + P x^{T} + R = 0 \!\, , </math>

kjer je:
 
* <math>x = \{ x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n +1} \}\, </math> [[vrstični vektor]]
* <math>x^{T}\, </math> [[transponirana matrika|transponirana oblika]] vrstičnega vektorja <math>x\, </math> (dobi se [[stolpični vektor]])
* <math>Q\, </math> [[matrika]] z [[razsežnost]]jo <math>(n+1) \times (n+1)\, </math>
* <math>P\, </math> vrstični vektor razsežnosti <math>n + 1\, </math>
* <math>R\, </math> [[skalar]]na [[konstanta]]

== Evklidska ravnina in Evklidski prostor ==

Kvadriki v [[evklidska ravnina|evklidski ravnini]] imajo razsežnost <math>n = 1\, </math> in se imenujejo [[krivulja|krivulje]]. Te vrste kvadriki so [[stožnice]], ki se včasih imenujejo tudi koniki.
[[Slika:Eccentricity.svg|sredina|sličica|280px|<span style="color: #ff0000;">Elipsa (''e''=1/2)</span>, <span style="color: #00cc00;">parabola (''e''=1)</span> in <span style="color: #0000ff;">hiperbola (''e''=2)</span> s stalnim [[gorišče (razločitev)|goriščem]] ''F'' in [[vodilka|vodilko]] (direkriso).]]

V [[evklidski prostor|evklidskem prostoru]] imajo kvadriki razsežnost <math>n = 2\, </math> in se imenujejo ''kvadrične površine'' (površine drugega reda).
  
V naslednjem pregledu so prikazani [[izrojenost (matematika)|izrojene]] (degenerirane) in neizrojene (nedegenerirane) kvadrične površine.
 
{| class="wikitable" style="background-color: white; margin: 1em auto 1em auto"
! colspan="3" style="background-color: white;" | Nedegenerirane kvadrične površine
|-
| [[elipsoid]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} + {z^2 \over c^2} = 1 \,</math>
|[[Slika:Ellipsoid Quadric.png|150px]]
|-
| [[sferoid]] (posebni primer elipsoida)
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over b^2} = 1 \,</math>
| [[Slika:Oblate Spheroid Quadric.png|75px]] [[Slika:Prolate Spheroid Quadric.png|75px]]
|-
| [[sfera]] (posebni primer sferoida)
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} + {z^2 \over a^2} = 1 \,</math>
| [[Slika:Sphere Quadric.png|150px]]
|-
| eliptični [[paraboloid]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - z = 0 \,</math>
|[[Slika:Paraboloid Quadric.Png|150px]]
|-
| krožni [[paraboloid]] (posebni primer eliptičnega paraboloida)
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - z = 0  \,</math>
| [[Slika:Circular Paraboloid Quadric.png|150px]]
|-
| hiperbolični [[paraboloid]]
| <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} - z = 0  \,</math>
|[[Slika:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png|150px]]
|-
| enodelni [[hiperboloid]] 
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 1 \,</math>
|[[Slika:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png|150px]]
|-
| dvodelni [[hiperboloid]] 
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = - 1 \,</math>
|[[Slika:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|150px]]
|-
! colspan="3" style="background-color: white;" | Degenerirane kvadrične površine
|-
| [[stožec]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,</math>
|[[Slika:Elliptical Cone Quadric.Png|150px]]
|-
| krožni [[stožec]] (posebni primer stožca)
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} - {z^2 \over c^2} = 0 \,</math>
| [[Slika:Circular Cone Quadric.png|150px]]
|-
| eliptični [[valj]]
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over b^2} = 1 \,</math>
|[[Slika:Elliptic Cylinder Quadric.png|150px]]
|-
| krožni [[valj]] (posebni primer eliptičnega valja)
| <math>{x^2 \over a^2} + {y^2 \over a^2} = 1  \,</math>
| [[Slika:Circular Cylinder Quadric.png|150px]]
|-
| hiperbolični [[valj]]
| <math>{x^2 \over a^2} - {y^2 \over b^2} = 1 \,</math>
|[[Slika:Hyperbolic Cylinder Quadric.png|150px]]
|-
| parabolični [[valj]]
| <math>x^2 + 2ay = 0 \,</math>
|[[Slika:Parabolic Cylinder Quadric.png|150px]]
|}

== Glej tudi ==

* [[superkvadrik]]i
* [[Kleinov kvadrik]]

== Sklici ==

{{sklici|1}}

== Viri ==

* {{navedi splet |last1= Levy|first1= Silvio|url= http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html|title= Quadrics|work= Geometry Formulas and Facts, excerpted from 30th Edition of CRC Standard Mathematical Tables and Formulas |publisher=CRC Press, The Geometry Center, Univerza Minesote |date= 1995|accessdate= |language= en}}

== Zunanje povezave ==

* {{MathWorld|id=Quadric|title=Quadric}}
* [http://www.geom.uiuc.edu/docs/reference/CRC-formulas/node61.html Kvadriki] {{ikona en}}

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Geometrija]]
[[Kategorija:Ploskve]]
[[Kategorija:Kvadriki| ]]
[[Kategorija:Algebrske ploskve]]
[[Kategorija:Analitična geometrija]]