Ogled vira L'Hôpitalovo pravilo

{{mala začetnica}}

'''L'Hôpitalovo pravilo''' (tudi '''l'Hospitalovo pravilo''') je v [[matematična analiza|matematični analizi]] pravilo za računanje [[limita funkcije|limit funkcij]] z [[nedoločeni izraz|nedoločenimi izrazi]] s pomočjo [[odvod]]ov. Z zaporednim odvajanjem je pogosto moč nedoločene izraze prevesti na določene in tako lažje izračunati limite. Pravilo se imenuje po francoskem matematiku [[Guillaume de l'Hôpital|Guillaumeu de l'Hôpitalu]], ki je ga je leta [[1696]] objavil v svojem učbeniku [[diferencialni račun|diferencialnega računa]] ''Analiza neskončno majhnih količin za razumevanje krivulj'' (''l'Analyse des infiniments petits pour l'intelligence des lignes courbes'').

V preprostih primerih l'Hôpitalovo pravilo pravi da, če za dve funkciji ''f''(''x'') in  ''g''(''x'') velja <math>\lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)=0</math> ali <math>\infty</math>, potem:

: <math> \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math>
kjer je (') prvi odvod funkcij.

Da pravilo velja, mora limita <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> obstajati, in v okolici točke ''c'' mora veljati <math>g'(x)\ne 0</math>. Če limita <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> ne obstaja, ni zadosten pogoj, da tudi limita <math>\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}</math> ne obstaja.

L'Hôpitalovo pravilo velja tudi za enostranske limite.

Osnovna nedoločena izraza, na katera lahko prevedemo vse ostale, sta:

: <math>{0\over 0}\qquad {\infty\over\infty}</math>

Drugi nedoločeni izrazi pa so:

: <math>{\infty\qquad 0\cdot\infty \qquad 0^0 \qquad \infty^{0} \qquad 1^{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad }</math>

Limita <math>\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> pri tem mora obstajati. Odvajanje limit teh oblik lahko vodi do limit, ki ne obstajajo. V teh primerih l'Hôpitalovega pravila ne moremo uporabiti. Če sta na primer funkciji <math>f(x)=x+\sin x</math> in <math>g(x)=x</math>, potem da l'Hôpitalovo pravilo:

: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}(1+\cos x)</math>

limito, ki ne obstaja, čeprav limita obstaja in velja:

: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1. </math>

== Zgledi ==

=== Izrazi z 0/0 ===

: <math>\lim_{x \to 0} \mathrm{sinc}(x)\ 
  = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x}
  = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
  = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = \frac{1}{1} = 1\,</math>

: <math> \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^{2}+3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2x + 3} 
  = \frac{1}{3} \, </math>

Če v naslednjem zgledu uporabimo pravilo enkrat, dobimo spet nedoločen izraz. Pravilo uporabimo trikrat:

:{|
|-
|<math> \lim_{x\to 0} {2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}</math>
|<math> = \lim_{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x} 
        = \lim_{x\to 0}{-2\sin x +4\sin 2x \over \sin x}</math>
|-
|
|<math> = \lim_{x\to 0}{-2\cos x +8\cos 2x \over \cos x}
        ={-2\cos 0 +8\cos 0 \over \cos 0} = 6 \, </math>
|}

V naslednjem zgledu pravilo uporabimo dvakrat:
: <math>\lim_{x\to 0}{e^x-1-x \over x^2}
=\lim_{x\to 0}{e^x-1 \over 2x}
=\lim_{x\to 0}{e^x \over 2}={1 \over 2}</math>

=== Izrazi z ∞/∞ ===

: <math> \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln x}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}\ }{\frac{1}{x}}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{2}
  = \infty </math>

: <math> \lim_{x \to \infty} \frac{x^{n}}{\ln{x}}
  = \lim_{x \to \infty} \frac{nx^{n-1}}{\frac{1}{x}} 
  = n\lim_{x \to \infty}{x^{n}} = \infty \qquad (n>0)</math>

: <math> \lim_{x \to \infty}{x^n \over e^x}
  = \lim_{x \to \infty}{nx^{n-1} \over e^x}
  = n\lim_{x \to \infty}{x^{n-1} \over e^x} = \cdots = 0 \qquad (n>0) </math>

: <math>\lim_{x \to \infty}{\frac{e^{x}}{x^{n}}}
  = \lim_{x \to \infty}{\frac{e^{x}}{n x^{n-1}}} 
  = \ldots 
  = \lim_{x \to \infty}{\frac{e^{x}}{n!}}
  = \infty</math>

{{math-stub}}

[[Kategorija:Matematična analiza]]