Ogled vira Lagrangeeva formulacija gibalnih enačb

Z '''Lagrangeevimi enačbami''' je mogoče poiskati [[diferencialna enačba|diferencialne enačbe]], ki  opisujejo obnašanje [[mehanski sistem|mehanskega sistema]], prek energijskih konceptov. Precej se jih uporablja v [[robotika|robotiki]].

== Posplošene koordinate ==

Enačbe so izražene v posplošenih [[koordinata]]h, ki precej olajšajo obravnavo pri omejitvah v gibanjih (npr. [[gibanje]] je mogoče le po neki omejeni [[množica|množici]] [[Točka (geometrija)|točk]]) in jih je mogoče zlahka preračunati v katerikoli [[koordinatni sistem]]. Te posplošene koordinate <math>q_{i}\left( t\right) </math> so časovne [[funkcija|funkcije]], njihovo število je enako številu [[Prostostna stopnja (mehanika)|prostostnih stopenj]] sistema, končni rezultat Lagrangeevega postopka pa so diferencialne  enačbe, kjer so po [[časovni odvod|času odvajane]] te posplošene koordinate.

== Energije in Lagrangeeva funkcija ==

Najprej se izračuna [[kinetična energija]] celotnega mehanskega sistema in se jo izrazi s posplošenimi koordinatami:

: <math> W_{\rm k}\left( q_{1},\dot{q_{1}},q_{2},\dot{q_{2}},\ldots ,q_{n},\dot{q_{n}}\right) \!\, . </math>

Kinetična energija je zagotovo odvisna od časovnih [[odvod]]ov posplošenih koordinat (se pravi, od hitrosti v smereh teh koordinat), v nekaterih primerih pa še od samih posplošenih koordinat.

Nato se s posplošenimi koordinatami izrazi še [[potencialna energija]] sistema:

: <math> W_{\rm p}\left( q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}\right) \!\, . </math>

Potencialna energija je odvisna le od posplošenih koordinat, nikoli od njihovih časovnih odvodov. Izračuna se jo iz sil, ki so posledica [[potencial]]nih ([[konservativna sila|konservativnih]]) [[polje (fizika)|polj]], to je tistih polj, pri katerih je delo odvisno le od začetne in končne točke, neodvisno pa od opravljene poti med njima (posledično je [[delo]] vzdolž sklenjene poti enako nič). Zgledi potencialnih sil so [[težnost]], [[električna sila]], [[sila|sile]] v [[prožnost|prožnih]] [[vzmet]]eh itd.

Preostale [[nepotencialna sila|nepotencialne sile]] (npr. [[trenje]], [[upor sredstva|upor]], zunanje sile itd.) se bodo upoštevale nekoliko kasneje.

Razlika tako izražene kinetične in potencialne energije se imenuje [[Lagrangeeva funkcija]] (tudi »lagranžijan« ali »Lagrangiana«), po navadi se jo označi s črko ''L'':

: <math> \mathcal{L}=W_{\rm K}-W_{\rm P} \!\, . </math>

== Lagrangeeva enačba ==

Po nekoliko daljšem izpeljevanju se izkaže, da se dobijo diferencialne enačbe mehanskega sistema
z naslednjimi Lagrangeevimi enačbami:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q_{i}}}\right) -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_{i}}=\sum F_{\rm s} \!\, , </math>

kjer desna stran predstavlja vsoto vseh sil, ki delujejo v smeri posplošene koordinate <math>q_{i}</math> in še niso bile upoštevane pri računanju potencialne energije. Postopek se ponavlja za vse posplošene koordinate, na koncu se torej dobi toliko diferenecialnih enačb, kolikor je posplošenih koordinat.

== Uporabnost ==

Metoda je uporabna le pri sorazmerno enostavnih mehanskih sistemih z ne preveč posplošenimi oordinatami, sicer postane zapleteno že »peš« račuanje energij, odvajanja pa še toliko bolj. V takšnih primerih se lahko pomaga le s programskimi paketi za simbolično računanje, pa še pri teh bo računaje trajalo kar nekaj časa.

== Zgledi ==
=== Prosti pad brez zračnega upora ===

[[Točkasto telo]] z maso ''m'' [[prosti pad|prosto pada]]. Na maso navpično navzdol deluje [[gravitacijska sila]]:

: <math> F_{\rm g} = mg \!\, . </math>

Pri tem zaradi točkastega telesa, ki nima razsežnosti, [[zračni upor]] se zanemari, tako da nanj ne delujejo druge sile. ''x'' je navpična koordinata, na začetku pada enaka 0, s pozitivno smerjo navzgor. Med [[gibanje]]m je [[težni pospešek]] ''g'' konstanten. Lagrangeeva funkcija je:

: <math>\mathcal{L}=W_{\rm k} - W_{\rm p} = \frac{1}{2} m \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^{2} - mgx \!\, </math>

in enačba prostega pada:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = m \frac{\mathrm{d} (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)}{\mathrm{d} t} - (- mg) = 0 \!\, , </math>

kar se lahko nazadnje zapiše z nehomogeno linearno diferencialno enačbo:

: <math> \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d}t^{2}} + g = 0 \!\, . </math>

Hitrost je:

: <math> \int \mathrm{d}(\mathrm{d}x/\mathrm{d}t) = \int \mathrm{d}v = - g \int \mathrm{d}t \!\, , </math>

: <math> v = -gt + v_{0} \!\, , </math>

kjer je <math>v_{0}\!\,</math> začetna hitrost. Trenutna lega je:

: <math> \int \mathrm{d}x = \int (- gt + v_{0}) \mathrm{d}t \!\, , </math>

: <math> x = -\frac{1}{2}gt^{2} + v_{0}t + x_{0} \!\, , </math>

kjer je <math>x_{0}\!\,</math> začetna višina, kot rečeno, enaka 0.

=== Prosti pad z newtonskim uporom ===

Lagrangeeva funkcija je enaka kot pri prostemu padu brez zračnega upora, enačba prostega pada s [[upor sredstva|kvadratnim zakonom zračnega upora]], kjer je na desni strani [[sila upora]], pa je:

: <math> \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)} \right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = m \frac{\mathrm{d} (\mathrm{d}x/\mathrm{d}t)}{\mathrm{d} t} - (- mg) = F_{\rm u} \!\, , </math>

kar da nehomogeno nelinearno enačbo [[Riccatijeva enačba|Riccatijevega tipa]]:

: <math> m \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d}t^{2}} - k \left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \right)^{2} + mg = 0 \!\, , </math>

kjer je:

: <math> k = \frac{1}{2} c_{\rm u} \rho S \!\, </math>

in pri tem:

: <math> c_{\rm u} \!\,</math> ... [[koeficient upora]],
: <math> \rho \!\,</math> ... [[gostota]] sredstva ([[zrak]]a),
: <math> S \!\,</math> ... čelni presek telesa.

Hitrost je:

: <math> v = - v_{\rm m} \operatorname{th} \left( \frac{g t}{v_{\rm m}} - \operatorname{Arth} \frac{v_{0}}{v_{\rm m}} \right) \!\, , </math>

trenutna lega pa:

: <math> x = -\frac{v_{\rm m}^{2}}{g} \ln\left[ \operatorname{ch}\left( \frac{g t}{v_{\rm m}} - \operatorname{Arth} \frac{v_{0}}{v_{\rm m}} \right) \right] + x_{0} \!\, . </math>

Telo doseže konstantno [[mejna hitrost|mejno hitrost]] (oznaki <math>v_{\rm m}\!\,</math> ali <math>v_{\infty}\!\,</math>):

: <math> v_{\rm m} = \sqrt{\frac{2mg}{c_{\rm m} \rho S}} = \sqrt{\frac{mg}{k}} \!\, , </math>

ko pojemek zaradi zračnega upora postane enako velik kot težni pospešek.<ref name="breuer_1993">{{sktxt|Breuer|1993|pp=35}}.</ref>

=== Točkasto nihalo ===

Zgled za uporabo Lagrangeevih enačb na preprostem primeru [[matematično nihalo|točkastega nihala]], kot je prikazano na sliki.
[[Slika:tockasto nihalo.png|thumb|right|200px|]]

Na neraztegljivi vrvici dolžine ''l'' naj visi dovolj majhna utež z maso ''m'', da se jo lahko obravnava kot točko. Poleg sile v vrvici naj bo edina sila na utež sila [[težnost]]i, ki s [[težni pospešek|težnim pospeškom]] ''g'' deluje navpično navzdol. Zračni upor in vse ostale sile se zanemarijo. Predpostavi se, da je vrvica ves čas napeta.

Sistem ima le eno prostostno stopnjo, zasuk <math>\varphi </math>, ki naj bo tako tudi edina posplošena koordinata. 

Kinetična energija točkaste uteži je enaka:

: <math> W_{\rm k}=\frac{mv^{2}}{2}=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2} \!\, . </math>

Pri računanju potencialne energije je treba najprej poznati dogovorjeno vrednost potencialne energije v neki dogovorjeni točki. Končni rezultat je sicer neodvisen od teh dogovorjenih vrednosti, bodo pa vmesni izračuni precej enostavnejši, če se privzame, da naj bo potencialna energija v povsem navpični legi nihala (pri <math>\varphi =0</math>) enaka nič. Višinske razlike točkaste uteži v odvisnosti
od naklonskega kota <math>\varphi </math> ni težko izračunati, na koncu pa se dobi naslednja zveza za potencialno energijo:

: <math> W_{\rm p}=mgl\left( 1-\cos \varphi \right) \!\, . </math>

Lagrangiana je tako enaka:

: <math> \mathcal{L}=W_{\rm k}-W_{\rm p}=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2}-mgl\left( 1-\cos \varphi \right)=\frac{1}{2}ml^{2}\dot{\varphi }^{2}-mgl+mgl\cos \varphi \!\, . </math>

Odvaja se jo najprej po časovnem odvodu zasuka <math>\varphi </math>:

: <math> \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}=ml^{2}\dot{\varphi } \!\, . </math>

dobljeni vmesni rezultat pa še po času:

: <math> \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\varphi }}\right) =ml^{2}\ddot{\varphi } \!\, . </math>

Lagrangiano se odvaja še po zasuku <math>\varphi </math>, pri tem se upošteva [[zasuk]] in njegov časovni odvod kot dve neodvisni spremenljivki:

: <math> \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \varphi }=-mgl\sin \varphi \!\, . </math>

[[zunanja sila|Zunanjih sil]] ni, ravno tako se je zanemaril zračni upor.

Če se vse delne rezultate združi v Lagrangeevi enačbi, se dobi naslednja homogena nelinearna 
diferencialna enačba, ki opisuje nihanje točkastega nihala:

: <math> ml^{2}\ddot{\varphi }+mgl\sin \varphi =0 \!\, . </math>

=== Točkasto nihalo na gibljivi podpori ===
[[Slika:PendulumWithMovableSupport.svg|right|200px|thumb|]]

Podobno sta enačbi, če je nihalo obešeno na gibljivo podporo z maso ''M''.

: <math>  (M + m) \ddot x + m l \ddot\varphi\cos\varphi-m l \dot\varphi ^2 \sin\varphi = 0 \!\, </math>

: <math> \ddot\varphi + \frac{\ddot x}{l} \cos\varphi + \frac{g}{l} \sin\varphi = 0 \!\, . </math>

== Hamiltonovo načelo ==

[[akcija (fizika)|Akcija]], označena s <math>\mathcal{S}</math>, je časovni [[integral]] Lagrangeeve funkcije:

: <math> \mathcal{S} = \int \mathcal{L}\,\mathrm{d}t \!\, . </math>

Naj sta ''q''<sub>0</sub> in ''q''<sub>1</sub> koordinati v začetnem in končnem času ''t''<sub>0</sub> in ''t''<sub>1</sub>. Z [[variacijski račun|variacijskim računom]] se da pokazati, da so Lagrangeeve enačbe enakovredne [[Hamiltonovo načelo|Hamiltonovemu načelu]]'':

: ''Sistem med t<sub>0</sub> in t<sub>1</sub> gre po [[tir]]u, katerega akcija je stacionarna vrednost.''

''Stacionarna'' pomeni, da se akcija ne spreminja do prvega reda za infinitezimalne deformacije tira z nepomičnima končnima točkama (''q''<sub>0</sub>, ''t''<sub>0</sub>) in (''q''<sub>1</sub>,''t''<sub>1</sub>). Hamiltonovo načelo se lahko zapiše kot:

: <math> \delta \mathcal{S} = 0 \!\, .</math>

Namesto, da bi se mislilo kako [[telo (fizika)|telesa]] ali delci zaradi na njih delujočih sil pospešujejo, se lahko misli, da si izberejo pot s stacionarno akcijo.

Hamiltonovo načelo se včasi imenuje [[načelo najmanjše akcije]]. Vendar je to napačno - akcija mora biti le stacionarna s poljubno variacijo h funkcionala, ki povečuje funkcionalni integral akcije. Pri tem ni nujno, kar velikokrat napačno navajajo, da je minimalna ali maksimalna za funkcional akcije.

To načelo se lahko namesto [[Newtonovi zakoni|Newtonovih zakonov]] uporabi kot osnovno načelo [[mehanika|mehanike]]. Newtonovi zakoni temeljijo na [[diferencialna enačba|diferencialnih enačbah]], tako da se lahko uporabi integralsko načelo za osnovo mehanike. Hamiltonovo načelo je variacijsko načelo s holonomnimi vezmi. Če se obravnava neholonomne sisteme, je treba variacijsko načelo zamenjati z [[d'Alembertovo načelo|d'Alembertovim načelom]] [[virtualno delo|virtualnega dela]] ([[načelo virtualnih premikov]]). Če se dela le s holonomnimi vezmi, je treba plačati ceno za elegantno variacijsko formulacijo mehanike.

== Sklici ==
{{sklici|2}}

== Viri ==

* {{navedi knjigo|last= Breuer|first= Hans|title= Atlas klasične in moderne fizike|location= Ljubljana|publisher= DZS|year= 1993|isbn= 86-341-1105-9|cobiss= 35693056}}
* {{navedi knjigo|last= Pahor|first= Sergej|authorlink= Sergej Pahor|year= 1989|title= Uvod v analitično mehaniko|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]] |location= Ljubljana|cobiss= 14926336}}

[[Kategorija:Mehanika]]
[[Kategorija:Joseph-Louis de Lagrange]]
[[Kategorija:1788 v znanosti]]
{{normativna kontrola}}