Ogled vira Leonhard Euler

{{infopolje Znanstvenik
|box_width         = 300px
|name              = Leonhard Euler
| image             = Leonhard Euler - edit1.jpg
| caption           = Eulerjev portret. [[Jakob Emanuel Handmann]],&nbsp;1753.
|birth_date        = <!-- WD -->
|birth_place       = <!-- WD -->
|death_date        = <!-- WD -->
|death_place       = <!-- WD -->
|residence         = [[Slika:Flag of Switzerland.svg|22px]] [[Stara švicarska konfederacija|Švica]] <br />[[Slika:Flag of Russia.svg|22px]] [[Ruski imperij]] <br /> [[Slika:Flag of Prussia (1892-1918).svg|22px]] [[Prusko kraljestvo|Prusija]]
|citizenship       = 
|nationality       = {{ikonazastave|Švica}} [[Švicarji|švicarska]]
|ethnicity         = 
|field             = [[matematika]], [[fizika]]
|work_institutions = [[Ruska akademija znanosti|Imperialna ruska akademija znanosti]] <br /> [[Pruska akademija znanosti|Berlinska akademija]]
|alma_mater        = [[Univerza v Baslu]]
|doctoral_advisor  = [[Johann Bernoulli I.]]
|doctoral_students = [[Joseph-Louis de Lagrange]]
|known_for         = [[e (matematična konstanta)|Eulerjevo število]] <br /> [[Eulerjevo število|Eulerjeva števila]] <br /> [[Euler-Mascheronijeva konstanta]] <br /> [[Eulerjeva enačba]] <br /> [[Eulerjeva enačba četrte stopnje]] <br /> [[Eulerjeva enakost štirih kvadratov]] <br /> [[Eulerjeva premica]] <br /> [[Eulerjev trikotnik]] <br /> [[krožnica devetih točk|Eulerjeva krožnica]] <br /> [[Eulerjevi koti]] <br /> [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjeva funkcija φ(·)]] <br /> [[Eulerjev produkt]] <br /> [[Eulerjev obhod]] <br /> ... 
|influences        = 
|influenced        = 
|prizes            = 
|religion          = [[kalvinizem|kalvinist]]<ref>{{sktxt|Graves|1996|pp=85–8}}6.</ref><ref>{{sktxt|Bell|1953|pp=155}}.</ref>
|footnotes         = Oče [[Johann Euler|Johanna Eulerja]]
|signature         = <!-- WD -->
}}
{{Splošna geometrija}}
'''Leonhard Paul Euler''' [léonhart pául ôjler], [[Švicarji|švicarski]] [[matematik]], [[fizik]] in [[astronom]], * [[15. april]] [[1707]], [[Basel]], [[Stara švicarska konfederacija]] (sedaj [[Švica]]), † [[18. september]] (7. september, [[ruski koledar]]) [[1783]], [[Sankt Peterburg]], [[Ruski imperij]] (sedaj [[Rusija]]).

Euler je objavil kar približno 530 [[knjiga|knjig]], razprav in člankov. Po njegovi smrti je naraslo število objav njegovih del na skoraj 900. Njegova izbrana dela obsegajo od 60 do 80 zvezkov v [[četverka (besedilo)|četverkah]].<ref name="finkel_1897">{{sktxt|Finkel|1897}}.</ref> Velja za enega najpomembnejših matematikov 18. stoletja kot tudi vseh časov. Njegova odkritja sežejo na različna področja matematike, na primer v [[infinitezimalni račun]], [[teorija števil|teorijo števil]] in [[teorija grafov|teorijo grafov]]. Poleg tega je uvedel veliko sodobnih matematičnih pojmov in oznak, še posebej v [[matematična analiza|matematični analizi]], na primer pojem [[funkcija|funkcije]].<ref name="dunham_1999_p_17">{{sktxt|Dunham|1999|pp=17}}.</ref> Zelo pomembna so tudi njegova dela iz [[mehanika|mehanike]], [[dinamika tekočin|dinamike tekočin]], [[optika|optike]] in [[astronomija|astronomije]].

== Življenje ==
=== Mladost in šolanje ===
[[Slika:Leonhard Euler 2.jpg|thumb|Leonhard Euler, portret [[Jakob Emanuel Handmann]], 1756(?)]]
Bil je sin [[protestantizem|protestantskega]] [[duhovnik]]a Paula Eulerja, ki je tudi sam negoval precejšnjo naklonjenost do [[matematika|matematike]]. Njegova mati je bila Marguerite Brucker, duhovnikova hči. Imel je dve mlajši sestri, Anno Mario in Mario Magdaleno. Kmalu po njegovem rojstvu se je družina iz Basla preselila v [[Riehen]], kjer je preživel večino svoje mladosti. Njegov oče je bil prijatelj družine [[Bernoulliji|Bernoullijev]]. Euler je imel srečo, da je v Baslu tedaj živel [[Johann Bernoulli I.]], tedaj eden najpomembnejših evropskih matematikov. Euler se je začel šolati v Baslu, kamor so ga poslali živeti k babici po materini strani. S trinajstimi leti se je leta 1720 vpisal na [[Univerza v Baslu|Univerzo v Baslu]] in tam leta 1723 prejel naziv magistra filozofije z dizertacijo o primerjavi [[René Descartes|Descartesove]] in [[Isaac Newton|Newtonove]] filozofije. V tem času ga je ob sobotah popoldan poučeval Johann Bernoulli, ki je hitro opazil mladeničevo izredno nadarjenost in ni mu bilo težko bdeti nad trojico izredno obetavnih mladeničev, nad svojima sinovoma [[Nicholas Bernoulli II.|Nicholasom]] in [[Daniel Bernoulli|Danielom]] ter Eulerjem.<ref name="james_2000">{{sktxt|James|2000|pp=2}}.</ref> Vsi trije so kmalu postali vodilni matematiki tedanjega časa. Euler je tedaj na očetovo prigovarjanje, da bi postal duhovnik, študiral [[teologija|teologijo]], [[grščina|grščino]] in [[hebrejščina|hebrejščino]], vendar je Bernoulli prepričal očeta, da je njegovemu sinu usojeno postati velik matematik.

V letu 1726 je Euler končal svojo [[doktorat|doktorsko]] dizertacijo o [[hitrost zvoka|širjenju]] [[zvok]]a z naslovom ''O zvoku'' (''De Sono'').<ref>Bruce, Ian. {{PDF-povezava|[http://www.17centurymaths.com/contents/euler/e002tr.pdf Prevod Eulerjeve doktorske dizertacije v angleščino]|232&nbsp;[[kibibajt|KiB]]}}</ref> Leta 1727 se je udeležil tekmovanja [[Francoska akademija znanosti|Francoske akademije znanosti]] o problemu optimalne postavitve [[jambor]]a na [[ladja|ladji]]. Zasedel je drugo mesto za [[Pierre Bouguer|Bouguerom]]. Euler je kasneje dvanajstkrat osvojil to ugledno letno nagrado.<ref name="calinger_1996_p_156">{{sktxt|Calinger|1996|=156}}.</ref>

=== Sankt Peterburg ===

Euler je 17. maja 1727 pripotoval v Rusijo na [[Univerza v Sankt Peterburgu|Univerzo v Sankt Peterburgu]]. Takrat sta na njej od leta 1725 predavala Daniel in Nicholas Bernoulli, ki sta Eulerja tudi priporočila vodstvu novoustanovljene [[Ruska akademija znanosti|Akademije]]. Julija 1726 je umrl Nicholas, njegovo mesto pa je zasedel Daniel. Novembra je Euler sprejel ponudbo, da bi zasedel Danielovo mesto predavatelja fiziologije. Pot v Rusijo je odložil, medtem pa so mu zavrnili mesto profesorja fizike na Univerzi v Baslu.<ref name="calinger_1996_p_125">{{sktxt|Calinger|1996|pp=125}}.</ref> Eulerjevo namero je tedaj preprečila smrt carice [[Katarina I.|Katarine I.]], ki je po moževi smrti naprej podpirala delo na akademiji. V Rusijo je Euler prispel na dan njene smrti. Od začetnega mesta na medicinskem oddelku akademije je prešel na matematični oddelek. Nastanil se je pri Danielu in z njim pogosto skupaj delal. Obvladal je ruščino in začel živeti življenje v Sankt Peterburgu. Poleg službe na akademiji je sprejel tudi službo kot zdravnik v Ruski mornarici.<ref name="calinger_1996_p_127">{{sktxt|Calinger|1996|pp=127}}.</ref>

Sanktpeterburška akademija, ki jo je ustanovil [[Peter Veliki]], naj bi izboljšala izobraževanje v Rusiji in zmanjšala prepad v znanosti z Zahodno Evropo. Zaradi tega je postala zelo zanimiva za tuje znanstvenike, kot je bil Euler. Imela je veliko denarnih sredstev in obsežno knjižnico, zbrano iz zasebnih knjižnic Petra Velikega in plemstva. Da bi zmanjšali breme profesorjem, se je vpisalo zelo malo študentov, akademija pa je poudarjala raziskovanje in učnemu osebju ponudila čas in svobodo za reševanje znanstvenih problemov.<ref name="calinger_1996_p_124">{{sktxt|Calinger|1996)|pp=124}}.</ref> Rusko plemstvo je tedaj pridobilo moč nad dvanajstletnim [[Peter II. Ruski|Petrom II.]] Do tujih znanstvenikov je bilo sumničavo in je prekinilo z denarno podporo, Eulerju in njegovim tovarišem pa je povzročilo več težav.

Razmere so se malo popravile po smrti Petra II. leta 1730. Euler je na akademiji kmalu napredoval in je leta 1731 postal profesor fizike. Ko se je kasneje Daniel Bernoulli, naveličan tamkajšnjih nevzdržnih razmer, cenzure in sovražnosti, leta 1733 vrnil v Basel, je Euler istega leta postal na univerzi glavni predavatelj matematike.<ref name="calinger_1996_p_128">{{sktxt|Calinger|1996|pp=128-129}}.</ref>

7. januarja 1734 se je Euler poročil s Katharino Gsell (1707–1773), hčerjo [[Georg Gsell|Georga Gsella]], slikarja z Akademske gimnazije, ki ga je Peter Veliki povabil iz [[Holandija|Holandije]].<ref>{{sktxt|Gekker|Euler|2007|pp=402}}.</ref> Mladi par je kupil hišo ob [[Neva|Nevi]]. Od njunih trinajstih otrok je otroštvo preživelo le pet.<ref name="fuss">{{sktxt|Fuss|1783}}.</ref>

Akademija znanosti v [[Pariz]]u je leta 1735 razpisala nagrado za izdelavo metode določanja natančnega [[čas]]a s pomočjo opazovanja višine [[Sonce|Sonca]]. Eulerju je uspelo izračunati potrebne tabele po svoji novi metodi v vsega treh dneh. Žal je pri tem zaradi pretiranega dela zbolel za hudo živčno mrzlico in skoraj oslepel na desno oko. To pa ni prekinilo njegovega raziskovalnega dela in silovitega toka izdajanja matematičnih del. Za slabo stanje je sam krivil skrbno [[kartografija|kartografsko]] delo, ki ga je opravljal za sanktpeterburško akademijo.

=== Berlin ===

19. junija 1741 je na povabilo [[Friderik II. Veliki|Friderika II. Velikega]] odšel v [[Berlin]] in na pruski univerzi prevzel vodstvo matematičnega oddelka. Čeprav je tam preživel kar četrt stoletja in v tem obdobju napisal precej svojih pomembnejših del (več kot 380 člankov), se na Friderikovem dvoru ni nikoli popolnoma vživel. Dvorni blišč mu je bil tuj. Friderik ga je sicer podpiral in mu dajal v izvedbo številna pomembna javna dela, a so osebna nasprotja med njima kljub temu naraščala iz leta v leto.

Tu je objavil dve deli, po katerih je najbolj znan: ''Uvod v neskončno analizo'' (''[[Introductio in analysin infinitorum]]''), besedilo o funkcijah, objavljeno leta 1748, in ''Osnove diferencialnega računa'' (''[[Institutiones calculi differentialis]]''), o [[diferencialni račun|diferencialnem računu]], objavljeno leta 1755.<ref>{{navedi splet|title=E212 -- Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum|publisher=Dartmouth|url=http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E212.html}}</ref><ref name="dunham_1999_p_xxiv">{{sktxt|Dunham|1999|pp=xxiv–xxv}}.</ref> Leta 1755 so ga izbrali za zunanjega člana [[Švedska kraljeva akademija znanosti|Švedske kraljeve akademije znanosti]].

Poleg obveznosti na univerzi so ga prosili, naj poučuje anhalt-dessausko princeso, Friderikovo nečakinjo. Napisal ji je več kot 200 pisem in so jih kasneje zbrali v dobro prodajani knjigi ''Eulerjeva pisma o različnih temah iz naravoslovja naslovljena nemški princesi''. To delo vsebuje Eulerjevo razlago različnih tem iz fizike in matematike, ter ponuja tudi pomemben vpogled v njegovo osebnost in religijska prepričanja. Knjigo so več brali kot katerokoli drugo njegovo matematično delo, objavljena pa je bila večkrat v Evropi in ZDA. Priljubljenost ''Pisem'' priča o Eulerjevi zmožnosti podajanja znanstvene snovi nepoznavalcem, redki zmožnosti predanega raziskovalnega znanstvenika.<ref name="dunham_1999_p_xxiv" />

Navkljub Eulerjevemu ogromnemu prispevku k ugledu Akademije je moral nazadnje zapustiti Berlin. Friderik ga je imel za preprostega človeka, še posebej glede na krog filozofov, ki jih je pruski kralj pripeljal na Akademijo. Med njimi je bil [[Voltaire]], ki je v kraljevem družbenem okolju užival odličen položaj. Euler je bil kot preprost pobožen in priden mož, zelo običajen v svojih prepričanjih in nagnjenjih. V mnogočem je bil pravo nasprotje Voltairu. Ni imel kakšne posebne izobrazbe v retoriki, rad pa je razpravljal o stvareh, ki jih je slabo poznal, tako da je bil pogosta tarča Voltairove duhovitosti.<ref name="dunham_1999_p_xxiv" /> Friderik je tudi izrazil nezadovoljstvo z Eulerjevimi praktičnimi tehniškimi zmožnostmi:

:: »Na svojem vrtu sem želel imeti vodni curek: Euler je izračunal potrebno silo koles za dvig vode do zbiralnika, od koder naj bi skozi kanale padla nazaj in na koncu brizgnila ven v [[Sanssouci]]ju. Ko so geometrično izdelali moj mlin, ni mogel dvigniti niti kančka vode bližje od petdeset korakov od zbiralnika. Ničevost vseh ničevosti! Ničevost geometrije!«<ref>Friderik II. Veliki, pismo H 7434, 25. januar 1778.</ref>

V Berlinu se mu je vid na desnem očesu še poslabšal, tako da ga je Friderik klical »[[Kiklop]]«.

=== Vrnitev v Rusijo ===

Euler se je tako leta 1766 na povabilo [[Katarina Velika|Katarine II. Velike]] vrnil v priljubljeni Sankt Peterburg in ostal tam do smrti. Po Katarinini zasedbi prestola se je stanje v Rusiji zelo izboljšalo. Dobri dve leti po prihodu v Rusijo je zaradi [[siva mrena|sive mrene]] oslepel še na levo oko. Kljub popolni slepoti pa je v teh zadnjih letih s pomočjo pisarja še povečal svoje delo pri izdajanju matematičnih del. Njegov dober [[fotografski spomin]] mu je omogočal, da je svoja odkritja zasnoval kar v mislih in članke narekoval na pamet. Poleg tega je tudi računal na pamet.
:: »Računal je, kot dihamo ljudje, kot orli sebe ohranjajo v zraku.« —[[François Jean Dominique Arago|François Arago]]

Lahko je na primer ponovil [[Vergilij]]evo ''[[Eneida|Eneido]]'' od začetka do konca brez prestanka, ter za vsako stran v izdaji lahko povedal katera vrstica je bila prva in katera zadnja. Leta 1775 je v povprečju napisal en matematični članek na teden.<ref name="finkel_1897" />

[[Slika:Leonhard Euler.jpeg|thumb|Leonhard Euler]]
[[Slika:Euler Grave at Alexander Nevsky Monastry.jpg|thumb|Eulerjev grob v [[Samostan Aleksandra Nevskega|Samostanu Aleksandra Nevskega]] v [[Sankt Peterburg]]u]]
Leta 1771 je njegovo hišo zajel požar, mu uničil večji del rokopisov in ga skoraj stal življenja. Kasneje mu jih je večina uspelo obnoviti in celo izboljšati. Dve leti zatem mu je leta 1773 umrla žena, na katero je bil zelo navezan in srečno poročen z njo 39 let. Tri leta po ženini smrti se je poročil z njeno polsestro Salome Abigail Gsell (1723-1794). Z njo je bil poročen do smrti.<ref>{{sktxt|Gekker|Euler|2007|pp=405}}.</ref>

Zadnji problem, s katerim se je ukvarjal, je bil povezan s [[tir]]om tedaj novo odkritega [[planet]]a [[Uran (planet)|Urana]].

Umrl je sredi dela zaradi [[možganska krvavitev|možganske krvavitve]]. Pokopali so ga ob prvi ženi na luteranskem pokopališču na [[Otok Vasiljevskega|Otoku Vasiljevski]]. V času Sovjetske zveze so pokopališče uničili in prenesli njegove ostanke v [[Samostan Aleksandra Nevskega]]. Ob njegovi smrti je matematik in filozof [[Markiz de Condorcet|de Condorcet]] izjavil: »''...et il cessa de calculer et de vivre''« (»''in prenehal je računati in živeti''«).<ref name="condorcet">Markiz de Condorcet.</ref>

== Delo ==
=== Matematika ===

Nekateri največji Eulerjevi dosežki se nanašajo na analitične rešitve resničnih problemov in opise številnih uporab [[Bernoullijevo število|Bernoullijevih števil]], [[Fourierova vrsta|Fourierovih vrst]], [[Eulerjevo število|Eulerjevih števil]], konstant ''[[e (matematična konstanta|e]]'' in [[pi|''π'']], [[verižni ulomek|verižnih ulomkov]] in [[integral]]ov. Integriral je [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizev]] [[diferencialni račun]] z [[Isaac Newton|Newton]]ovo [[Metoda fluksij|metodo fluksij]] in razvil orodja, ki so olajšala rabo [[infinitezimalni račun|infinitezimalnega računa]] pri fizikalnih problemih. Naredil je velike korake pri izboljšanju [[numerična matematika|numeričnih približkov]] [[integral]]ov in izumil, kar je danes znano kot [[Eulerjeva metoda|Eulerjeve aproksimacije]]. Najbolj znani od teh sta [[Eulerjeva metoda]] in [[Euler-Maclaurinova formula]]. Poenostavil je tudi rabo [[diferencialna enačba|diferencialnih enačb]], še posebej je uvedel [[Euler-Mascheronijeva konstanta|Euler-Mascheronijevo konstanto ''γ'']].

Leta 1911, skoraj 130 let po Eulerjevi smrti, je [[Alfred James Lotka|Lotka]] uporabil Eulerjevo delo iz leta 1760 pri izpeljavi [[Euler-Lotkova enačba|Euler-Lotkove enačbe]] za izračunavanje hitrosti rasti populacije za zastarane populacije v matematični [[demografija|demografiji]], osnovno metodo, ki se pogosto rabi v populacijski biologiji in ekologiji.

Euler je leta 1741 odkril prvo [[minimalna ploskev|minimalno ploskev]] za [[ravnina|ravnino]] [[katenoid]].<ref>{{sktxt|Euler|1969}}.</ref>

Leta 1744 je objavil svoje najpomembnejše delo ''Teorija o gibanju planetov in kometov'' (''[[Theoria motuum planetarum et cometarum]]''). Leta 1748 je objavil delo ''Uvod v neskončno analizo'' (''Introductio in analysin infinitorum''). To delo imajo za eno najvplivnejših del sodobnega časa. V njem se prvič pojavi [[funkcija]] v vlogi temeljnega pojma [[matematična analiza|matematične analize]] in hkrati univerzalnega povezovalca različnih matematičnih poglavij. Obsega 2 knjigi in obravnava več matematičnih področij. 1. knjiga je zbirka besedil, ki jih danes uvrščamo v [[algebra|algebro]], [[teorija enačb|teorijo enačb]] in [[trigonometrija|trigonometrijo]]. V algebri je obravnaval neskončne [[vrsta (matematika)|vrste]] in razvoj funkcij v vrste. Tako srečamo v tem delu vrste za <math>e^x</math>, <math>\sin x</math>, <math>\cos x</math> in podobno. Tudi poglavje, namenjeno [[verižni ulomek|verižnim ulomkom]], je v tesni povezavi z razvoji v vrste. V poglavjih iz trigonometrije mu je uspelo prenesti trigonometrijo s področja [[astronomija|astronomije]] in [[geometrija|geometrije]] v domeno matematične analize. [[kotna funkcija|Kotne funkcije]] je kot prvi prenehal opisovati le s številskimi razmerji. V poglavjih o trigonometriji srečamo njegovo znamenito enačbo, ki jo je našel že leta 1740. Enačba povezuje med drugim dve do tedaj nevede znani [[transcendentno število|transcendentni števili]]; [[e (matematična konstanta)|osnovo naravnih logaritmov ''e'']] in [[pi|Ludolfovo število]] <math>\pi</math>:

: <math> e^{i x} = \cos x + i \sin x \!\, </math>

ali:

: <math> e^{i \pi} = -1 \!\, . </math>

Z enačbo je bilo mogoče povezati [[eksponentna funkcija|eksponentno funkcijo]] <math>e^x</math> s [[trigonometrična funkcija|trigonometričnimi funkcijami]]. To povezavo izražata Eulerjevi enačbi:

: <math> \sin x = {e^{i x} - e^{-i x} \over 2i} \; , \; \cos x = {e^{i x} +
     e^{-i x} \over 2} \!\, . </math>

Velja še na primer:

: <math> i^i = e^{-\pi /2} \!\, . </math>

2. knjiga je namenjena [[analitična geometrija|analitični geometriji]]. Že v uvodu je med krivulje uvedel razdelitev na [[algebrska krivulja|algebrske]] in [[transcendentna krivulja|transcendentne]]. Potem je podrobneje obravnaval algebrske krivulje 2. stopnje s splošno enačbo:

: <math> ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 \!\, . </math>

Izdelal je še razporeditev algebrskih krivulj višjih stopenj. Tudi [[ploskev|ploskve]] je podobno obravnaval in pri tem uvedel pomembno novost, pojem [[ukrivljenost ploskve|ukrivljenosti ploskve]]. Zaradi tega ga štejemo za začetnika [[diferencialna geometrija|diferencialne geometrije]].

Leta 1755 je objavil svojo drugo veliko knjigo ''Osnove diferencialnega računa''. Predhodni ''Uvod'' si je zamislil le kot uvod za to delo. To je sploh prvi obsežnejši učbenik [[diferencialni račun|diferencialnega računa]]. Sledili so mu trije deli ''Osnove integralnega računa'' (''[[Institutionum calculi integralis]]''), ki so izhajali od leta 1768 do 1770. V poglavjih o diferencialnem in [[integralni račun|integralnem računu]] je podal mnogo novih integracijskih metod. Podobno je tudi v teoriji diferencialnih enačb, kjer je prispeval nove tehnike za reševanje enačb. Večina poglavij je bogato opremljena s slikami in s praktičnimi primeri iz matematike in [[fizika|fizike]]. Uvedel je posplošitev pojma [[fakulteta (funkcija)|fakultete]] s [[funkcija gama|funkcijo Γ]]:

: <math> \Gamma (x) = \left\{\begin{matrix} \int_0^{\infty} t^{x-1}
     e^{-t} {\rm d} t, & x > 0 \\ \lim_{n\to \infty} \; {n! \; n^{x-1}\over x (x+1) (x+2) ... (x+n-1) }, & x \in \mathbb{R} \end{matrix}\right. \!\, , </math>

kjer se zgornji [[Eulerjev integral|integral]] imenuje po njem. Nepopolna funkcija <math>\Gamma</math> je določena z:

: <math> \Gamma (a,x) = \int_0^\infty t^{a-1} e^{-t} {\rm d} t \!\, , </math>

posplošena nepopolna funkcija <math>\Gamma</math> pa z:

: <math> \Gamma (a, x_0) - \Gamma (a, x_1) = \int_{x_0}^{x_1} t^{a-1} e^{-t}
     {\rm d} t \!\, . </math>

Osnovne značilnosti funkcije <math>\Gamma</math> so:

: <math> \Gamma (x + 1) = x \Gamma (x) \!\, , </math>
: <math> \Gamma (n) = (n-1)! \; ; \; n \in {}^{+}\!\mathbb{Z} \!\, , </math>
: <math> \Gamma (n+1) = n! \; ; \; n \in {}^{+}\!\mathbb{Z} \!\, , </math>
: <math> \Gamma (1) = 1 \!\, , </math>
: <math> \Gamma (x) \Gamma (1 - x) = {\pi \over \sin \pi x} \!\, , </math>
: <math> \Gamma (x) \Gamma \left( x + {1\over 2} \right) = {\sqrt{\pi} \over
     2^{2x - 1} } \Gamma (2x) \!\, , </math>
: <math> \Gamma (x) {d^2 \Gamma (x) \over dx^2 } > \left( { d\Gamma (x)\over dx}
     \right) ^2 \!\, . </math>

Znane so njegove [[funkcija beta|funkcije β]], definirane kot:

: <math> B (x,y) = {\Gamma (x) \Gamma (y) \over \Gamma (x + y) } = \int_0^1
     t^{x-1} (1 - t)^{y-1} {\rm d} t \!\, </math>

in še nepopolna funkcija <math>\beta</math>;

: <math> B_z (x,y) = \int_0^z t^{x-1} (1 - t)^{y-1} {\rm d} t \!\, , </math>

ter posplošena nepopolna funkcija <math>\beta</math>:

: <math> {}_{0} B_z (x,y) = \int_{z_0}^{z_1} (1 -t)^{y-1} {\rm d} t \!\, . </math>

Leta 1735 je določil [[Euler-Mascheronijeva konstanta|Euler-Mascheronijevo konstanto ''γ'']] kot:

: <math> \gamma = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + {1\over 2} + {1\over 3} + ... +
     {1\over n} - \ln n \right) \equiv \lim_{n\to \infty} \left( H_{n} - \ln n \right) \cong 0,577215665 \!\, , </math>
[[Slika:EulerianPolynomialsByEuler1755.png|thumb|right|200px|[[Eulerjev polinom|Eulerjevi polinomi]] iz njegovega dela ''[[Institutiones calculi differentialis|Osnove diferencialnega računa]]'' iz leta 1755]]

kjer je <math> H_{n} \!\, </math> ''n''-to [[harmonično število]]. Ni znano ali <math> \gamma \!\, </math> spada v [[množica|množico]] transcendentnih števil ali v množico [[iracionalno število|iracionalnih števil]]. Danes se jo lahko izračuna na približno <math> 10^{6} \!\, </math> števk točno. Z veliko manjšo točnostjo pa se lahko izračuna [[Meissel-Mertensova konstanta|Meissel-Mertensovo konstanto ''M''<sub>1</sub>]] ali [[Brunova konstanta|Brunovo konstanto]] za praštevilske dvojčke <math> B_{2} \!\, </math> ali Brunovo konstanto za praštevilske bratrance (četvorčke) <math> B_{4} \!\, </math>. Tega leta je rešil [[baselski problem]], ki ga je leta 1644 postavil [[Pietro Mengoli|Mengoli]], in našel točno vrednost vsote obratnih vrednosti kvadratov naravnih števil:

: <math> \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdots = \zeta (2) = \frac{\pi^{2}}{6} = 1,644934 \ldots \!\, . </math>

Leta 1741 je zanj podal strogi dokaz.

Znani so njegovi [[Eulerjev polinom|Eulerjevi polinomi]], določeni z:

: <math> \frac{2 e^{xt}}{e^{t} + 1} = \sum_{i=0}^{\infty} E_{i} (x) {t^{i}}{i!} \!\, , </math>

kjer so <math> E_{n} \!\, </math> [[Eulerjevo število|Eulerjeva števila]].

V [[teorija števil|teoriji števil]] je uvedel [[aritmetična funkcija|aritmetično]] [[Eulerjeva funkcija fi|Eulerjevo funkcijo φ(''n'')]], ki pove koliko je [[naravno število|naravnih števil]], ki so manjša od ''n'' in so številu ''n'' [[tuje število|tuja]], ali drugače, ki so manjša od ''n'' in so ''n'' relativno [[praštevilo|praštevila]]. Na primer <math> \phi (6)=2 \!\, </math>, ker sta števili 1 in 5 številu 6 tuji; <math> \phi (8) = 4 \!\, </math>; <math> \phi (15)=8 \!\, </math>
in

: <math> \phi (E_{10}) = \phi (370371188237525) = 296289850611840 = 2^7 \cdot 
      3 \cdot 5 \cdot 37 \cdot 41 \cdot 47 \cdot 251 \cdot 8623 \!\, . </math>

Če je ''n'' sámo praštevilo ''p'', velja <math> \phi (p) = p-1 \!\, </math>. Če je <math> n = p^{m} \!\, </math> [[potenciranje|potenca]] kakega praštevila, je <math> \phi (n) = \phi (p^m) = p^{m-1} (p-1) \!\, </math>. Če sta si ''a'' in ''b'' tuji števili, za funkcijo velja:

: <math> \phi (ab) = \phi (a) \phi (b) \!\,  . </math>

Leta 1732 je Euler ovgel [[Pierre de Fermat|de Fermatovo]] domnevo iz leta 1640, da so vsa števila oblike <math> F_{n} = 2^{2^n} + 1 \!\, </math> [[Fermatovo praštevilo|Fermatova praštevila]]. Z razcepom:

: <math> F_5 = 2^{2^5} = 2^{32} + 1 = 641 \cdot 6700417 = (2^7 \cdot 5 +1)(2^7 \cdot 3 \cdot 17449 +1)  = 4294967297 \!\, </math>

je dokazal, da je <math> F_{5} \!\, </math> [[sestavljeno število|sestavljeno]]. Razcep <math> F_{6} \!\, </math> je našel šele leta 1880 F. Landry, razcep <math> F_{7} \!\, </math> sta našla leta 1971 Brillhart in Morrison z [[računalnik]]om IBM 360-91, razcep <math> F_{8} \!\, </math> sta našla leta 1981 Brent in Pollard z računalnikom Univac. Leta 1990 pa sta A. Lenstra iz družbe DEC iz [[New Jersey]]ja in M. Menejs iz [[Kalifornija|Kalifornije]] razcepila <math> F_{9} \!\, </math>, po nekaj tednih dela na mreži 1000 računalnikov s pomočjo 200 matematikov. Euler je prišel do svoje ugotovitve preko testa z deljenjem. Posebna ironija se skriva v dejstvu, da sam [[Fermatov mali izrek|mali Fermatov izrek]] pokaže, da <math> F_{5} \!\, </math> ni praštevilo. To se preveri takole: če je ''p'' praštevilo, je <math> 3^{p-1}\;\hbox{mod}\; p=1 \!\, </math>. Za <math> p=F_{5} \!\, </math> se dobi <math> 3^{p-1}\;\hbox{mod}\; p = 3029026160 \!\, </math>, in tako <math> F_{5} \!\, </math> ne more biti praštevilo. [[Evklid]] je v 9. knjigi '' Elementov'' dokazal, če je [[Evklid-Mersennovo število]] <math> M_{n}=2^{n} - 1 \!\, </math> praštevilo, je število <math> 2^{n-1} M_{n} \!\, </math> [[popolno število|popolno]]. Euler je leta 1770 v svojem delu ''Algebra'' naprej pokazal, da je takšne oblike vsako [[sodo število|sodo]] popolno število. S tem je odkril tesno povezavo med [[Mersennovo število|Mersennovimi praštevili]] in popolnimi števili. Iz nje takoj izhaja, da je sedaj poznano točno 48 sodih popolnih števil. Niso pa našli še nobenega [[liho število|lihega]] popolnega števila. Domnevajo, da so vsa popolna števila le soda. ([[Marin Mersenne|Mersenne]], [[Nikomah]]). Ve se, da mora biti vsako liho popolno število, če obstaja, večje od <math> 10^{300} \!\, </math> in mora vsebovati najmanj 11 različnih [[prafaktor]]jev.

Leta 1747 je Euler objavil seznam 30 parov [[prijateljsko število|prijateljskih števil]]. (glej [[al-Baghdadi]], [[Pitagora]], [[Tabit ibn Kora]]). Par največjih dveh prijateljskih števil v seznamu je bil:

: <math> 1084730902983 = 3^5 \cdot 7^2 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 53 \cdot 6959 \; , </math>
: <math> 1098689026617 = 3^5 \cdot 7^2 \cdot 19 \cdot 179 \cdot 2087 \!\, . </math>

Od leta 1747 do 1750 je prijateljskim številom namenil 3 članke. S svojo novo metodo mu je uspelo poiskati kar 66 novih parov prijateljskih števil. Ob vsem svojem trudu in sistematičnem iskanju je spregledal 2. najmanjši par prijateljskih števil 1184 in 1210, ki ga je kasneje leta 1866 našel [[Nicolo Paganini|Paganini]].

Euler je posplošil mali Fermatov izrek: za vsak modul ''n'' in poljuben [[celo število|cel]] ''a'', ki je tuj ''n'' (''n'' in ''a'' nimata skupnega faktorja), velja <math> a^{\phi(n)} = 1\;\hbox{mod}\; n \!\, </math>, kjer je <math> \phi(n) \!\, </math> Eulerjeva aritmetična funkcija. Na ta izrek se lahko gleda kot posledico Lagrangeovega izreka, uporabljenega na multiplikativno [[grupa (matematika)|grupo]], ki vsebuje vse razrede ostankov pri deljenju po modulu ''n'', ki so ''n'' tuji. Lahko se ga dokaže tudi neposredno: [[množenje]] z ''a'' [[permutacija|permutira]] razrede ostankov pri deljenju po modulu ''n'', ki so ''n'' tuji. Ali z drugimi besedami, če se označi z ''R'' množico vseh takšnih razredov, sta množici <math> \lbrace x: x \in R\rbrace \!\, </math> in <math> \lbrace ax: x \in R\rbrace \!\, </math> enaki. Zatorej sta tudi njuna produkta enaka. Tako je <math> P=a^{\phi(n)} = 1 (\hbox{mod}\; n) \!\, </math>.

Leta 1749 je Euler po 7. letih trdega dela dokazal Fermatovo trditev, da je vsako praštevilo oblike <math> 4n+1 \!\, </math> vsota dveh [[kvadrat (algebra)|kvadratov]] kot na primer: <math> 4 \cdot 1+1=1^{2}+2^{2} \!\, </math>, <math> 4 \cdot 3+1=2^{2}+3^{2} \!\, </math>, <math> 4 \cdot 9+1=1^{2}+6^{2}=37 \!\, </math>, <math> 4 \cdot 10+1=4^{2}+5^{2}=41 \!\, </math> ali <math> 4 \cdot 25+1=1^{2}+10^{2}=101 \!\, </math>. Če število oblike <math> 4n+1 \!\, </math> ni praštevilo, to seveda ne velja kot na primer <math> 4 \cdot 2+1=3^{2}=9 \!\, </math> ali <math> 4 \cdot 5+1=3 \cdot 7=21 \!\, </math>. Kot osnova [[naravni logaritem|naravnih logaritmov]] in [[eksponentna funkcija|eksponentne funkcije]] <math> e^{x} \!\, </math> je znano Eulerjevo število, določeno z:

: <math> e = \lim_{n\to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} = \lim_{n\to 0}
     (1 + n)^{1/n} \cong 2,71828 \!\, . </math>

Prvič se je konstanta pojavila leta 1736 v njegovem delu ''Mechanica'', kjer je <math> e^{x} \!\, </math> določil kot:

: <math> e^{x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} = \lim_{n\to \infty} \left( \frac{1}{0!} + \frac{x}{1!} + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \cdots + \frac{x^{n}}{n!} \right) \!\, . </math>

Leta 1737 je Euler dokazal, da je ''e'' iracionalno število. V manj kot 80. urah je izračunal 128 decimalk <math> \pi \!\, </math>-ja in je prvi uporabil [[grščina|grško]] črko <math> \pi \!\, </math> za oznako razmerja [[obseg]]a in [[premer]]a [[krog|krožnice]], oziroma razmerja [[površina|površine]] in kvadrata [[polmer]]a kroga, kot začetno črko grške besede ''periferia'', kar pomeni obseg ali tudi kot začetno črko besede ''perimeter'' kot polmer. Pred njim so to stalnico označevali s <math> \pi / \rho \!\, </math> kot začetni črki besed ''perimetros'' in ''diametros'' - premer.

Leta 1748 je trdil, da je [[logaritem]] števila ''b'' z osnovo ''a'' (''a'' in ''b'' sta [[racionalno število|racionalna]]) ali racionalno število ali ni [[Korenjenje|koren]], ker:

: <math> \frac{a}{\sqrt{n} } = b \!\, </math>

ne more veljati. [[Johann Heinrich Lambert|Lambert]] je, opirajoč se na Eulerjevo delo, leta 1761 dokazal, da za racionalni ''x'', števili <math> e^x \!\, </math> in <math> \textrm{tg}\; x \!\, </math> ne moreta biti racionalni. S tem je pokazal, da sta posebej ''e'' in <math> \pi \!\, </math> iracionalni števili.

V [[topologija|topologiji]] je znan [[Eulerjev izrek o poliedrih|njegov izrek o pravilnih poliedrih]] izleta 1750, kjer za vsak pravilen konveksni [[polieder]] ali po zvezni deformaciji konveksni polieder, če je ''e'' število oglišč, ''k'' število robov in ''f'' število mejnih ploskev poliedra, velja:

: <math> e - k + f = 2 \!\, . </math>

Postavil je trditev, da ne obstajajo rešitve enačbe:

: <math> u^{6} + v^{6} + w^{6} + x^{6} + y^{6} = z^{6} \!\, </math>

v pozitivnih celih številih. Trivialna rešitev je, ko so vsaj štirje členi enaki 0.

Leta 1769 je postavil [[Eulerjeva domneva|trditev]], da nobena od enačb oblike:

: <math> x_{1}^{n} + x_{2}^{n} + \cdots + x_{n-1}^{n} = x_{n}^{n} \!\, </math>

nima nobene trivialne rešitve za <math> n \ge 3 \!\, </math>. Trditev sta ovrgla leta 1966 Leon J. Lander in Thomas R. Parkin s [[protiprimer]]om z <math> n=5 \!\, </math>:

: <math> 27^{5} + 84^{5} +110^{5} + 133^{5} = 144^{5} \!\, . </math>

Vpeljal je oznake ''e'' za osnovo naravnih logaritmov, ''i'' za <math> \sqrt{-1} \!\, </math>, <math> f(x) \!\, </math> za funkcijo spremenljivke ''x'', ''a'', ''b'', ''c'' za stranice [[trikotnik]]a, ''r'', ''R'' za polmera trikotniku [[včrtani krog|včrtanega]] in [[očrtani krog|očrtanega kroga]], sin, cos, tg, ctg za kotne funkcije, <math> \Sigma \!\, </math> za vsoto.

Euler se je zanimal tudi za uporabo matematičnih zamisli in orodij v [[glasba|glasbi]]. Leta 1739 je napisal delo ''Tentamen novae theoriae musicae'', z namenom, da bo nekoč [[teorija glasbe]] postala del matematike. Delo ni bilo deležno kakšne posebne pozornosti, in so ga celo opisali kot preveč matematično za glasbenike, in preveč glasbeno za matematike.<ref name="calinger_1996_p_144">{{sktxt|Calinger|1996|pp=144-145}}.</ref>

=== Logika ===

Euler je s pomočjo sklenjenih [[krivulja|krivulj]] prikazal [[silogizem|silogistično]] sklepanje. (1768). Takšni prikazi so postali znani kot [[Eulerjev diagram|Eulerjevi diagrami]].<ref name="baron_1969">{{sktxt|Baron|1969}}.</ref>

=== Fizika ===
==== Mehanika ====

Leta 1744 je zasledoval podobno [[načelo najmanjše akcije]], ki ga je razvil tudi [[Pierre-Louis Moreau de Maupertuis|de Maupertuis]], in imel težave zaradi nerazumevanja nekaterih matematikov in Voltairovega posmeha. Euler je sodil, da izhaja načelo iz zakona [[gibanje|gibanja]] in v njem ni iskal globljega pomena. Iz zakona o gibanju je pri [[met]]u ugotovil, da je najmanjše <math>\int z^{1/2} {\rm d} s</math>, pri [[centralno gibanje|centralnem gibanju]] pa <math> \int v \ {\rm d} s \!\, </math>. Tako je dobil uporabno načelo:

: <math> \delta \int v(\vec\mathbf{v} {\rm d} s) = 0 \!\, . </math>

Načelo je zapisal še z [[živa sila|živo silo]], ki jo je izrazil z naporom:

: <math> \frac{V}{T} = \; \hbox{konst.} \; - V \!\, . </math>

Tedaj [[delo|dela]] in [[potencialna energija|potencialne energije]] še niso poznali. V zadnji enačbi vidimo danes [[izrek o ohranitvi kinetične energije|izrek o ohranitvi kinetične]] in [[izrek o ohranitvi potencialne energije|potencialne energije]] in v [[fizikalna konstanta|konstanti]] [[polna energija|polno energijo]]. Tako je mogoče dati načelu tudi obliko:

: <math> \delta \int T {\rm d} t = - \delta \int V {\rm d} t = 0 \!\, . </math>

Velja namreč:

: <math> \frac{1}{2} mv^{2} {\rm d} t = mv \frac{{\rm d} s}{{\rm d} t} {\rm d} t = mv {\rm d} s \!\, . </math>

Če ima [[kinetična energija]] maksimum, ima potencialna energija minimum. Euler je uvidel, da je mogoče iz druge oblike načela ugotoviti tudi [[ravnovesna lega|ravnovesne lege]] [[telo (fizika)|telesa]]. V ravnovesni legi ima potencialna energija minimum. Obstaja tudi ravnovesna lega, v kateri ima potencialna energija maksimum. Ta ustreza [[stožec|stožcu]], ki stoji na konici, če ustreza prva stožcu, ki stoji na osnovni ploskvi. Prva je stabilna, druga labilna. Če pa je stožec zvrnjen vzdolž roba plašča je v indiferentni legi. Euler se je zavzel za de Maupertuisa, ko se je znašel v težavah. Leta 1753 je potrdil, da je on odkril načelo najmanjše akcije. De Maupertuis pa mu je priznal zasluge za njegovo obliko načela.

Začetke [[variacijski račun|variacijskega računa]] je Euler podal leta 1744 v delu ''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes''. V njem je podal posplošene rešitve nekaterih že znanih in rešenih problemov, povezanih z iskanjem [[izoperimetrična krivulja|izoperimetričnih krivulj]], in našel še veliko primerov njihove uporabe. Euler se je na splošno zavzel za raziskovanje variacijske naloge. To ime je dobilo s časom iskanje funkcije <math>x(t)</math>, za katero [[integral]] <math>\int f dt</math> doseže ekstrem, če so funkcija <math>f = f(x, dx/dt, t)</math> in spodnja in zgornja meja integrala <math>x_1</math> in <math>x_2</math> dane. Za izbrane primere, na primer za [[brahistokrona|brahistokrono]], so nalogo rešili Jakob Bernoulli in drugi. Splošno nalogo za brahistokrono je rešil Euler leta 1774.

Leta 1757 je objavil pomembne enačbe za [[neviskozni tok]] [[tekočina|tekočine]], sedaj znane kot [[Eulerjeve enačbe (dinamika tekočin)|Eulerjeve enačbe]].<ref>{{sktxt|Euler|1757}}.</ref> V diferencialni obliki so zapisane kot:

: <math> \begin{align}
& \frac{\partial\rho}{\partial t}+
\nabla\cdot(\rho \vec\mathbf{u})=0 \\ [1.2ex]
& \frac{\partial(\rho \vec\mathbf{u})}{\partial t}+
\nabla\cdot(\vec\mathbf{u} \otimes(\rho \vec\mathbf{u}))+\nabla p=\vec\mathbf{0} \\ [1.2ex]
& \frac{\partial W}{\partial t}+\nabla\cdot(\vec\mathbf{u}(W+p))=0,
\end{align} </math>

kjer je:
* ''ρ'' [[masna gostota]] tekočine,
* <math>\vec\mathbf{u}\, </math> [[vektor hitrosti]] tekočine s komponentami ''u'', ''v'' in ''w'',
* ''W'' = ''ρ'' ''W''<sub>n</sub> + ½ ''ρ'' ( ''u''<sup>2</sup> + ''v''<sup>2</sup> + ''w''<sup>2</sup> ) [[polna energija]] na enoto [[prostornina|prostornine]], kjer je ''W''<sub>n</sub> [[notranja energija]] na enoto mase tekočine,
* ''p'' [[tlak]] tekočine,
* <math>\otimes\, </math> [[tenzorski produkt]], in
* <math>\vec\mathbf{0}\, </math> [[ničelni vektor]].

==== Teorija elastičnosti ====

Skupaj z Danielom Bernoullijem je leta 1750 pomagal razviti poenostavitev linearne [[elastomehanika|teorije elastičnosti]], ki je omogočila računanje obremenitev in značilnosti [[uklon]]a prečnih [[nosilec|nosilcev]]. V njej ima osrednjo vlogo Euler-Bernoullijeva enačba:

: <math> \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(EI \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\right) = w \!\, , </math>

ki opisuje zvezo med uklonom (enorazsežnega) nosilca in porazdeljeno obremenitvijo ''w'' ([[sila|silo]] na enoto [[dolžina|dolžine]]). V Eulerjevem času sta bili znanost in tehnika precej vsaka sebi, saj so menili, da matematična dognanja v akademijah niso varna za praktično rabo.

==== Optika ====

Euler je pomembno prispeval tudi na področje [[optika|optike]]. Ni se strinjal z Newtonovo [[korpuskularna teorija svetlobe|korpuskularno teorijo svetlobe]] v njegovem delu ''Optika'', ki je bila tedaj prevladujoča teorija. Njegovi članki iz 1740-ih so pomagali razvoju [[valovna teorija svetlobe|valovne teorije svetlobe]], ki jo je predlagal [[Christian Huygens]]. Valovna teorija svetlobe je kasneje postala glavna teorija [[svetloba|svetlobe]], vsaj do razvoja [[delčnovalovna dualnost|kvantne teorije svetlobe]].<ref name="home_1988">{{sktxt|Home|1988}}.</ref>

=== Astronomija ===

Poleg uspešne rabe svojih analitičnih orodij pri problemih iz [[klasična mehanika|klasične mehanike]] je z njimi raziskoval tudi probleme v [[nebesna mehanika|nebesni mehaniki]]. Njegovo delo v astronomiji je večkrat nagradila Francoska akademija znanosti. Z veliko [[točnost]]jo je določil tire [[komet]]ov in drugih [[nebesno telo|nebesnih teles]]. Razumel je naravo kometov in računal [[Sonce|Sončevo]] [[paralaksa|paralakso]]. Njegovi izračuni so prispevali k razvoju točnih tablic za [[zemljepisna dolžina|dolžino]], uporabnih v [[navigacija|navigaciji]].<ref>{{sktxt|Youschkevitch|1970-1990}}.</ref>

Leta 1772 je pri raziskovanju [[problem treh teles|problema treh teles]] uvedel sinodski vrteči koordinatni sistem, še posebej za [[Luna|Luno]]. Če bi tu nadaljeval z delom, bi verjetno odkril konstanto gibanja, ki jo je kasneje leta 1836 v drugačni obliki za siderični nepomični koordinatni sistem odkril [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]], in je znana kot [[Jacobijev integral]].

== Osebna filozofija in verska prepričanja ==

Euler in Daniel sta bila nasprotnika [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibnizevega]] [[monadologija|monadizma]] in filozofije [[Christian Wolff (filozof)|Christiana Wolffa]]. Euler je vztrajal, da je temelj [[znanje|znanja]] med drugim v natančnih kvantitativnih zakonih, kar monadizem in wolffovska znanost nista mogla potrditi. Morda so se Eulerjeva verska nagnenja naslanjala tudi na njegovo preziranje [[doktrina|doktrine]]. Šel je celo tako daleč, da je označil Wolffove ideje kot »poganske in ateistične.«<ref name="wolff">{{sktxt|Calinger|1996|pp=153–154}}.</ref>

Veliko, kar je znanega o Eulerjevih verskih prepričanjih, lahko razberemo iz njegovih ''Pisem nemški princesi'', in njegovega zgodnejšega dela ''Obramba božjega razodetja pred ugovori svobodomislecev'' (''Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister''). Ti deli kažeta Eulerja kot vdanega [[kristjan]]a, ki je verjel, da je [[Sveto pismo]] vir navdiha. ''Obramba'' je bila v prvi vrsti zagovor božjega svetopisemskega navdiha.<ref name="theology">{{sktxt|Euler|1960}}.</ref>

Obstaja znana anekdota, ki so jo navdihnile Eulerjeve debate s posvetnimi filozofi o veri v času njegovega drugega službovanja na sanktpeterburški akademiji. [[Denis Diderot|Diderot]] je na povabilo Katarine Velike obiskal ruski dvor. Ker so Diderotovi argumenti za [[ateizem]] močno vplivali na Katarinine dvorjane, so zaprosili Eulerja, naj se sooči s francoskim filozofom. Diderota so kasneje obvestili, da je učeni matematik razdelal algebrski dokaz o [[obstoj boga|obstoju boga]]. Pristal je na izvajanje dokaza pred celotnim dvorom. Euler se je pojavil in pred Diderotom samozavestno dejal: »Gospod, <math>(a+b^{n})/z = x\!\,</math>, kar pomeni, da bog obstaja. Odgovorite!« Diderot glede na anekdoto ni dobro znal matematike in je ob Eulerjevi izjavi onemel, množica pa se je začela krohotati. Eulerjeva trditev je delovala resnično in je Diderot ni mogel pobiti. Moč Eulerjeve izjave lahko bolj razumemo, če upoštevamo, da današnje matematične pisave tedaj še niso poznali, enačbe pa so bile izražene z besedami, verjetno v latinščini. Diderot je bil v zadregi in je Katarino zaprosil, če lahko takoj odpotuje iz Rusije, kar mu je ljubeznivo tudi odobrila. Čeprav je anekdota zabavna, verjetno ni resnična, saj je Diderot precej dobro znal matematiko in je celo objavil več matematičnih razprav.<ref name="diderot">{{sktxt|Brown|1942}}.</ref><ref name="gillings_1954">{{sktxt|Gillings|1954}}.</ref> Zgodbo je prvi zapisal Dieudonné Thiébaut (1733-1807) in jo objavil leta 1804 v svojem delu ''Souvenirs de vingt ans de séjour à Berlin''. Thiébaut je dobro poznal Eulerja iz Berlina, vendar zgodbi sam ni bil priča. Kasneje jo je leta 1872 z nekaj dodatki povzel [[Augustus De Morgan|De Morgan]] v svojem delu ''Zaloga paradoksov'' (''A Budget of paradoxes'').<ref name="diderot" /><ref name="gillings_1954" /><ref name="de_morgan_1872">{{sktxt|De Morgan|1872}}.</ref><ref>{{sktxt|Bell|1953|pp=146}}.</ref>

== Priznanja ==
=== Poimenovanja ===

Po njem se imenuje [[asteroid]] [[asteroidni pas|glavnega pasu]] [[2002 Euler]], krater [[Euler (krater)|Euler]] na [[Luna|Luni]] in [[Eulerjeva medalja]].

== Izbrana dela ==
[[Slika:Methodus inveniendi - Leonhard Euler - 1744.jpg|thumb|right|200px|Naslovnica Eulerjevega dela ''Metoda iskanja krivulj'' (''Methodus inveniendi lineas curvas'') iz leta 1744.]]

Eulerjeva najbolj znana izdana dela so:
* ''[http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ Novodilo za algebro] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110413234352/http://web.mat.bham.ac.uk/C.J.Sangwin/euler/ |date=2011-04-13 }}'' (''Anleitung zur Algebra''; 1770),
* ''Uvod v neskončno analizo'' (''[[Introductio in analysin infinitorum]]''; 1748),
* ''Osnove diferencialnega računa'' (''[[Institutiones calculi differentialis]]''; 1755),
* ''Osnova integralnega računa'' (''[[Institutionum calculi integralis]]''; 1768–1770),
* ''Pisma nemški princesi'' (''Lettres à une Princesse d'Allemagne''; 1768–1772),
* ''Metoda iskanja krivulj s pomočjo maksimuma ali minimuma, oziroma rešitev izoperimetričnih problemov v najširšem sprejetem pomenu'' (''Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti''; 1744).

== Glej tudi ==

{{refbegin|2}}
* [[Euler-Booleova vsota]]
* [[Euler-Darbouxjeva enačba]]
* [[Euler-Lotkova enačba]] (1760)
* [[Euler-Maclaurinova formula]] (okoli 1735)
* [[Euler-Poisson-Darbouxjeva enačba]]
* [[Eulerjev disk]]
* [[Eulerjev izrek (geometrija)]]
* [[Eulerjev izrek o poliedrih]] (1750)
* [[Eulerjev izrek za vrtenje]] (Eulerjev rotacijski izrek)
* [[Eulerjev kriterij]]
* [[Eulerjev kvader]]
* [[Eulerjev obhod]]
* [[Eulerjev produkt]]
* [[Eulerjev sistem]]
* [[Eulerjeva enačba]]
* [[Eulerjeva enačba četrte stopnje]] (1772)
* [[Eulerjeva enakost štirih kvadratov]] (1750)
* [[Eulerjeva karakteristika]]
* [[Eulerjeva premica]]
* [[Eulerjeva sila]]
* [[Eulerjeva transformacija]]
* [[Eulerjeva vsota]] (Eulerjeva sumacijska metoda)
* [[Eulerjeve enačbe (dinamika tekočin)|Eulerjeve enačbe]] (dinamika tekočin, 1757)
* [[Eulerjevi koti]]
* [[Evklid-Eulerjev izrek]]
* [[Goldbach-Eulerjev izrek]]
* [[krog devetih točk]] (Eulerjev krog, Feuerbachova krožnica)
* [[Newton-Eulerjeve enačbe]]
{{refend}}

== Sklici ==

{{sklici|3}}

== Viri ==

{{refbegin|2}}
* {{navedi revijo|last1= Baron|first1= M. E.|title= A Note on The Historical Development of Logic Diagrams|journal= The Mathematical Gazette: The Journal of the Mathematical Association|volume= LIII|issue= 383|pages= 521–533|date= maj 1969}}
* {{navedi knjigo|last1= Bell|first1= Eric Temple|authorlink1= Eric Temple Bell|title= Men of Mathematics, Vol. 1|year= 1953|location= London|publisher= Penguin|url= http://www.archive.org/details/MenOfMathematics}}
* {{navedi revijo|last1= Brown|first1= B. H.|date= maj 1942|title= The Euler-Diderot Anecdote|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 49|issue= 5|pages= 302–303|doi= 10.2307/2303096 |issn=0002-9890 }}
* {{navedi revijo|last1= Calinger|first1= Ronald|year= 1996|title= Leonhard Euler: The First St. Petersburg Years (1727–1741)|journal= Historia Mathematica|volume= 23|issue= 2|doi= 10.1006/hmat.1996.0015}}
* {{navedi splet|author= [[Markiz de Condorcet]]|url= http://www.math.dartmouth.edu/~euler/historica/condorcet.html|title= Eulogy of Euler - Condorcet|accessdate= 2006-08-30|language=en}}
* {{navedi knjigo|last1= De Morgan|first1= Augustus|authorlink1= Augustus De Morgan|title= A Book of Paradoxes|year= 1872|location= New York|publisher= Dover|url= http://www.gutenberg.org/etext/23100}}
* {{navedi knjigo|last1= Dunham|first1= William|authorlink1= William Dunham|title= Euler: The Master of Us All|year= 1999|publisher= The Mathematical Association of America}}
* {{navedi revijo|last1= Euler|first1= Leonhard|title= 'Principes g'en'eraux de l'´etat d'´equilibre d'un ﬂuide|journal= Acad'emie Royale des Sciences et des Belles-Lettres de Berlin, M'emoires|year= 1757|volume= 11|pages= 217–273|url= http://arxiv-web3.library.cornell.edu/pdf/0802.2383.pdf}}
* {{navedi revijo|last1= Euler|first1= Leonhard|authorlink= |editor= Orell-Fussli|year= 1960|title= Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister|journal= Leonhardi Euleri Opera Omnia (series 3)|volume= 12}}
* {{navedi knjigo|last1= Euler|first1= Leonhard|authorlink= |title= Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive propietate gaudeates sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti|publisher= Harvard University Press|location= Cambridge, MA|year= 1969}}
* {{navedi revijo|last1= Finkel|first1=B. F.|year= 1897|title= Biography- Leonard Euler|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 4|issue= 12|pages= 300|doi= 10.2307/2968971}}
* {{navedi knjigo|title= Letters of Voltaire and Frederick the Great|author= [[Friderik II. Veliki]]|others= [[Richard Aldington]]|publisher= Brentano's|location= New York|year= 1927}}
* {{navedi splet|last1= Fuss|first1= Nicolas|authorlink1= Nicolaus Fuss|url= http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Euler_Fuss_Eulogy.html|title= Eulogy of Euler by Fuss|year= 1783|accessdate= 2006-08-30|language=en}}
* {{navedi knjigo|last1= Gekker|first1= I. R.|last2= Euler|first2= A. A.|contribution= Leonhard Euler's family and descendants|editor1-first= N. N.|editor1-last= Bogoliubov|editor2-first= G. K.|editor2-last= Mikhaĭlov|editor3-first= A. P.|editor3-last= Yushkevich|title= Euler and modern science|publisher= Mathematical Association of America|year= 2007|isbn= 088385564X}}
* {{navedi revijo|last1= Gillings|first1= R. J.|date= februar 1954|title= The So-Called Euler-Diderot Incident|journal= The American Mathematical Monthly|volume= 61|issue= 2|pages= 77–80|doi= 10.2307/2307789}}
* {{navedi knjigo|last1= Graves|first1= Dan|title= Scientists of Faith|url= https://archive.org/details/scientistsoffait00grav|location= Grand Rapids, MI|year= 1996|publisher= Kregel Resources}}
* {{navedi knjigo|last1= James|first= Ioan|title= Remarkable Mathematicians: From Euler to von Neumann|url= https://archive.org/details/remarkablemathem0000jame|publisher= Cambridge|year= 2002|isbn= 0-521-52094-0}}
* {{navedi revijo|last1= Home|first1= R. W.|year= 1988|title= Leonhard Euler's 'Anti-Newtonian' Theory of Light|journal= Annals of Science|volume= 45|issue= 5|pages= 521–533|doi= 10.1080/00033798800200371}}
* {{navedi knjigo|last1= Struik|first1= Dirk Jan|authorlink1= Dirk Jan Struik|year= 1978|title= Kratka zgodovina matematike|edition= Knjižnica Sigma (št. 27)|publisher= Državna založba Slovenije|location= Ljubljana|cobiss= 1533185}}
* {{navedi knjigo|last1= Youschkevitch|first1= A. P.|chapter= Življenjepis|title= Dictionary of Scientific Biography|publisher= |location= New York|year= 1970–1990}}
{{refend}}

== Zunanje povezave ==
{{zbirka|Leonhard Euler}}
* [http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html Stran o Leonhardu Eulerju Univerze svetega Andreja] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090319165740/http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Euler.html |date=2009-03-19 }} {{ikona en}}
* {{Projekt Matematična genealogija|id=38586}}
* [http://www.math.dartmouth.edu/~euler/ Eulerjeva dela na spletu] {{ikona en}}

{{portal|Astronomija}}

{{zvezdica}}

{{normativna kontrola}}

{{DEFAULTSORT:Euler, Leonhard}}
[[Kategorija:Švicarski astronomi]]
[[Kategorija:Švicarski fiziki]]
[[Kategorija:Švicarski matematiki]]
[[Kategorija:Švicarski akademiki]]
[[Kategorija:Člani Kraljeve švedske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Člani Švicarske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Člani Ruske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Člani Pruske akademije znanosti]]
[[Kategorija:Ljudje, po katerih so poimenovali krater na Luni]]
[[Kategorija:Leonhard Euler| ]]
[[Kategorija:Balistiki]]
[[Kategorija:Ljudje, po katerih so poimenovali nagrado]]