Ogled vira Levi-Civitajev simbol

'''Levi-Civitajev simbol''' ali tudi '''[[permutacija|permutacijski]] simbol''' je določen z:

[[Slika:Epsilontensor.svg|thumb|right|200px|Predstavitev Levi-Civitajevega simbola]]

: <math>\epsilon_{ijk} = \left\lbrace
\begin{matrix}
+1; & \mbox{pri } (i,j,k) \mbox{ je } (1,2,3), (2,3,1) \mbox{ ali } (3,1,2)\\
-1; & \mbox{pri } (i,j,k) \mbox{ je } (3,2,1), (1,3,2) \mbox{ ali } (2,1,3)\\
0;  & \mbox{ sicer: }i=j \mbox{ ali } j=k \mbox{ ali } k=i
\end{matrix} \right. </math>

Simbol je vpeljal [[Tullio Levi-Civita]]. Zapišejo ga tudi kot (ijk). Uporablja se na mnogih [[matematika|matematičnih]] in [[fizika]]lnih področjih. V [[linearna algebra|linearni algebri]] se lahko na primer [[vektorski produkt]] dveh [[vektor (matematika)|vektorjev]] zapiše kot: 

: <math> \mathbf{a \times b} =
  \begin{vmatrix} 
    \mathbf{e_1} & \mathbf{e_2} & \mathbf{e_3} \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
  = \sum_{i,j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} \mathbf{e_i} a_j b_k </math>

ali preprosteje:

: <math> \mathbf{a \times b} = \mathbf{c},\ c_i = \sum_{j,k=1}^3 \epsilon_{ijk} a_j b_k \; . </math>

Takšen zapis se lahko še poenostavi z [[Einsteinov zapis|Einsteinovim zapisom]]:

: <math> c_i = \epsilon_{ijk} a_j b_k \; . </math>

[[Tenzor]] katerega komponente so dane z Levi-Civitajevimi simboli (kovariantni tenzor ranga 3) se včasih imenuje '''permutacijski tenzor'''. 

Vedno, kadar se med seboj zamenja dva indeksa, se spremeni znak. Tako velja:

: <math> \epsilon_{ijk} = - \epsilon_{ikj} \; . </math>

Levi-Civitajev simbol se lahko posploši na višje [[razsežnost]]i:

: <math>\epsilon_{ijkl\dots} = \left\lbrace
\begin{matrix}
+1; & \mbox{pri }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je soda permutacija } (1,2,3,4,\dots) \\
-1; & \mbox{pri }(i,j,k,l,\dots) \mbox{ je liha permutacija } (1,2,3,4,\dots) \\
0;  & \mbox{sicer pri dveh enakih indeksih}
\end{matrix} \right. </math>

Za definicijo ''sode'' in ''lihe permutacije'' glej [[soda permutacija]] ali [[grupa simetrij]].

Simbol v tej zvezi je [[Kroneckerjeva delta]]. Med Levi-Civitajevim simbolom in Kroneckerjevo delta velja pomembna zveza:

: <math>\epsilon_{ijk} \epsilon_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{jn} \delta_{km} \; . </math>

== Glej tudi ==

* [['t Hooftov simbol]]

[[Kategorija:Linearna algebra]]