Ogled vira Logaritem

[[Slika:Graf logaritemske funkcije.PNG|thumb|right|250px|Grafi funkcij <math>\ln x\, </math> (modra), <math>\log x\, </math> (rdeča) in <math>\log_{1/2} x\, </math> (vijolična) ]]
[[Slika:Logarithm chart.svg|thumb|right|250px|Logaritem števil 0-10. Na ''x''-osi so argumenti logaritmov, na ''y''-osi so vrednosti po enačbi <math>y=\frac{1}{\log_{a} x} = \frac{\log a}{\log x}\, </math>, krivulje pa označujejo osnove ''a'']]

'''Logarítem''' ({{jezik-grc|[[:en:wikt:λόγος|λόγος]]}}: lógos - ''[[beseda]]'' + {{jezik-el2|[[:en:wikt:ἀριθμός|ἀριθμός]]}}: aritmós - ''[[število]]''<ref name="wikislovar_logarithm">{{navedi splet |url=http://en.wiktionary.org/wiki/logarithm|title=logarithm|publisher=[[Wikislovar]]|language=en |accessdate=2013-04-09}}</ref>) oziroma '''logaritemska funkcija''' je v [[matematika|matematiki]] [[funkcija]], ki iz eksponentne [[enačba|enačbe]] <math>a^y = x</math> vrne [[eksponent]] <math>y</math>. Zapiše se jo v obliki <math>y = \log_a x</math>, kjer sta <math>a, x \in \R^+</math>. To se bere ''logaritem x z osnovo a''. <math>x</math> se imenuje logaritmand ali pa [[argument]].

'''Algebrska definicija logaritma''': <math>\log_a x = y \Longleftrightarrow a^y=x</math>

Logaritemska funkcija je definirana le za [[pozitivno število|pozitivna števila]], njena [[zaloga vrednosti]] pa so vsa [[realno število|realna števila]]:

: <math> \log_a: \R^+ \longrightarrow \R \!\, . </math>

Zgledi:

: <math> \log_2 8 = 3, \log_5 125 = 3, \log_2 \left (\frac{1}{16} \right ) = -4 \!\, . </math>

: <math> \log_3 \sqrt {27} = \log_3 3^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2} \!\, . </math>

'''Antilogaritmiranje''' je postopek, s katerim se zapletenejši logaritemski izraz predela v eksponentno enačbo. To omogoča lažje reševanje.

Zgleda: 
{| cellspacing="5" |
| valign="top" | <math> \log_2 \sqrt 2  = x \!\, </math> <br />
<math> 2^x = \sqrt 2 \!\, </math> <br />
<math> 2^x = 2^{\frac{1}{2}} \!\, </math>

<math>x = \frac{1}{2}</math>
| width="50" | 
| valign="top" | <math> \log_x (x + 2)  = 2 \!\, </math> <br />
<math> x^2 = x + 2 \!\, </math> Dobimo kvadratno enačbo.<br />
<math> x^2 - x - 2 = 0 \!\, </math><br />
<math> (x - 2) (x + 1) = 0 \!\, </math> 

<math> x_1 = 2 \!\, </math> <br />
<math> x_2 = -1 \!\, </math> Ta rešitev odpade, ker je osnova pri eksponentni funkciji definirana kot pozitivno število. <br />

<math> R = \{ 2 \} \!\, </math>
|}

Vrednosti logaritmov so pred pojavom [[računalnik]]ov prebirali iz logaritemskih tablic. Slovenski matematik [[Jurij Vega]] je bil avtor znanega logaritmovnika ''Thesaurus Logarithmorum Completus''.

== Pravila za računanje z logaritmi ==
=== Vsota logaritmov ===

: <math> \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \!\, . </math>

Dokaz:

: <math> \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\, </math>

: <math> xy=a^d\cdot a^e=a^{d+e} /\log_a \!\, </math>

: <math> \log_a(xy)=\log_a a^{d+e}=d+e=\log_a x + \log_a y \!\, </math>

=== Razlika logaritmov ===

: <math> \log_a x - \log_a y = \log_a \left (\frac{x}{y} \right ) \!\, </math> 

Dokaz:

: <math> \log_a x = d; \log_a y = e \Longrightarrow a^d=x; a^e=y \!\, </math>

: <math> \frac{x}{y}=\frac{a^d}{a^e}=a^{d-e} /\log_a \!\, </math>

: <math> \log_a\frac{x}{y}=\log_a a^{d-e}=d-e=\log_a x - \log_a y \!\,  </math>

=== Množenje logaritma s konstanto ===

: <math> r \log_a x = \log_a x^r</math>; <math>r\in\R \!\, </math>

Dokaz:

: <math> \log_a x=b \Longrightarrow a^b=x \!\, </math>

: <math> x^y=(a^b)^y=a^{by} /\log_a \!\, </math>

: <math> \log_a x^y=\log_a a^{by}= by=y\log_a x \!\, </math>

== Logaritmi z različnimi osnovami ==

Pogosto se pojavi potreba, da se znan logaritem izrazi z drugačno logaritemsko osnovo. [[kalkulator|Žepni računalnik]]i znajo računati samo z dvema osnovama ('''[[10 (število)|10]]''' in '''''[[E (matematična konstanta)|Eulerjevo število]]''''') razen če imate TI-36X PRO, ki lahko računa s katerokoli osnovo. Glede na to se loči '''desetiške''' ali '''[[Henry Briggs|Briggsove]] logaritme''' ter '''[[naravni logaritem|naravne logaritme]]'''. 

Če logaritemska osnova ni podana, gre za desetiški logaritem: <math>\log x = \log_{10} x</math>.

Naravne logaritme se označuje z drugo oznako: <math>\ln x = \log_e x</math>.

Med logaritmi z različnimi osnovami se pretvarja po pravilu <math>\log_a x = \frac {\log_b x}{\log_b a}</math>. Logaritem z osnovo ''a'' se je pretvoril v izraz z logaritmi z osnovo ''b''. Če je ''b'' = 10 ali ''e'', se lahko izračuna iskano vrednost <math>\log_a x</math> kar z žepnim računalnikom: <math>\frac {\log x}{\log a}</math> (oziroma <math>\frac {\ln x}{\ln a}</math>).

Iz pravil za pretvarjanje osnov logaritmov tudi sledi izrek: produkt dveh logaritmov z zamenjanima osnovama in argumentoma je 1. <math>\log_a b\cdot\log_b a =1</math>

Dokaz:

: <math> \log_a b = \frac{\log_b b}{\log_b a} \!\, </math>

: <math> \log_a b = \frac{1}{\log_b a} \!\, </math>

: <math> \log_a b\cdot\log_b a =1 \!\, </math>

== Zgodovina ==
Zgodovina logaritmov v Evropi sedemnajstega stoletja se je začela z odkritjem nove [[Funkcija|funkcije,]] ki je področje analize razširila izven dosega algebrskih metod. Metodo logaritmov je javno predstavil [[John Napier]] leta 1614 v knjigi z naslovom ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio'' (''Opis čudovitega pravila logaritmov'').<ref>{{Citat|first=John|last=Napier|author-link=John Napier|title=Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio|trans-title=The Description of the Wonderful Rule of Logarithms|language=la|place=Edinburgh, Scotland|publisher=Andrew Hart|year=1614|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN527914568&DMDID=DMDLOG_0001&LOGID=LOG_0001&PHYSID=PHYS_0001}}</ref><ref>{{Citat|first=Ernest William|last=Hobson|title=John Napier and the invention of logarithms, 1614|year=1914|publisher=The University Press|place=Cambridge|url=https://archive.org/details/johnnapierinvent00hobsiala}}</ref> Pred Napierjevim izumom so obstajale še druge tehnike podobnega obsega, na primer metoda [[Prostafareza|prostafereza]] ali uporaba tabel zaporedij, ki jih je obširno razvil [[Joost Bürgi|Jost Bürgi]] okoli leta 1600.<ref name="folkerts">{{Citat|last=Folkerts|first=Menso|last2=Launert|first2=Dieter|last3=Thom|first3=Andreas|arxiv=1510.03180|doi=10.1016/j.hm.2016.03.001|number=2|journal=[[Historia Mathematica]]|mr=3489006|pages=133–147|title=Jost Bürgi's method for calculating sines|volume=43|year=2016}}</ref><ref>{{mactutor|id=Burgi|title=Jost Bürgi (1552 – 1632)}}</ref> Napier je izraz za logaritem skoval v srednji latinščini, "logarithmus", ki izhaja iz grščine, dobesedno pomeni "razmerje-število", iz ''logos'' "delež, razmerje, beseda" + ''aritmos'' "število".

Okoli leta 1730 je [[Leonhard Euler]] definiral exponentno funkcijo in naravni logaritev<ref name="Whitley2009">{{Harvard citations|last1=Maor|year=2009|nb=yes|loc=sections 1, 13}}</ref><ref>{{Citation|last1=Eves|first1=Howard Whitley|author1-link=Howard Eves|title=An introduction to the history of mathematics|publisher=Saunders|location=Philadelphia|edition=6th|series=The Saunders series|isbn=978-0-03-029558-4|year=1992}}, section 9-3</ref><ref>{{Citation|last1=Boyer|first1=Carl B.|author1-link=Carl Benjamin Boyer|title=A History of Mathematics|publisher=[[John Wiley & Sons]]|location=New York|isbn=978-0-471-54397-8|year=1991|url-access=registration|url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye}}, p. 484, 489</ref>

: <math>
\begin{align}
e^x & = \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac x n \right)^n, \\[6pt]
\ln(x) & = \lim_{n \rightarrow \infty} n(x^{1/n} - 1).
\end{align}
</math>

V učbeniku z leta 1748 pristopi do logaritmov kot inverzne funkcije <math>y = a^z .</math> Saj inverzna oblika je:

: ''z'' = log<sub>''a''</sub> ''y''.

=== Tabele logaritmov ===
[[Slika:Logarithmorum_Chilias_Prima_page_0-67.jpg|sličica|Stran iz knjige ''Logarithmorum Chilias Prima'' [[Henry Briggs|Henryja Briggsa]] iz leta 1617 prikazuje logaritem osnove 10 (navadni) celih števil od 1 do 67 na štirinajst decimalnih mest.]]
[[Slika:Abramowitz&Stegun.page97.agr.jpg|sličica|Del tabele navadnih logaritmov iz 20. stoletja v referenčni knjigi ''Abramowitz in Stegun''.]]
[[Slika:APN2002-table3-30deg.tiff|sličica|Stran iz tabele logaritmov trigonometričnih funkcij iz publikacije ''American Practical Navigator'' iz leta 2002. Za pomoč pri interpolaciji so vključeni stolpci razlik.]]
Matematične tabele logaritmov desetiškega sistema so bile velikokrat zelo koristno orodje pri računanju, saj so pred prihodom računalnikov bolj zapleteno množenje in deljenje spremenili v lažje funkcije seštevanja in odštevanja. Vsako število se je tako izrazilo kot seštevek enostavnih zmnožkov desetiške eksponentne funkcije.

=== Zgodnje tabele ===
[[Michael Stifel]] je objavil ''Arithmetica integra'' v [[Nürnberg|Nürnbergu]] leta 1544, ki je vsebovala tabelo faktorjev s potencami števila 2. <ref>{{Citation|first=Michaele|last=Stifelio|publisher=Iohan Petreium|location=London|year=1544|title=Arithmetica Integra|url=https://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=RA1-PT419}}</ref><ref name="ReferenceA">{{springer  | title=Arithmetic  | id= A/a013260 | last=Bukhshtab  | first=A.A.   | last2=Pechaev | first2=V.I.}}</ref><ref name="Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley 1972 182">{{Citation|title = Precalculus mathematics|author = Vivian Shaw Groza and Susanne M. Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = https://books.google.com/books?id=yM_lSq1eJv8C&q=stifel&pg=PA182}}</ref>

Angleški matematik [[Henry Briggs (mathematician)|Henry Briggs]] je objavil leta 1617 ''Logarithmorum Chilias Prima'' ("Prvih tisoč logaritmov"), ki so vsebovali preprost pregled nad logaritmi in tabelo za prvih 1000 celih števil, izračunanih do 14 decimalnega mesta.

Izboljšava leta 1624, Briggsova ''Arithmetica Logarithmica, je vsebovala logaritemske tabele 30 000 naravnih števil'' (1-20,000 in 90,001 to 100,000). To tabelo je razširil [[Adriaan Vlacq|Adrian Vlacq]], a za 10 decimalnih mest natančno. Hiter pregled natisnjenih tabel:<ref>{{citation|title=Orbital Motion|first=A. E.|last=Roy|edition=4th|publisher=CRC Press|year=2004|isbn=9781420056884|page=236|url=https://books.google.com/books?id=Hzv7k2vH6PgC&pg=PA236|quote=In G. Darwin's day, logarithm tables came in different sizes}}</ref>
{| class="wikitable"
!Leto
!Avtor
!Obseg
!Decimalna mesta
!Pripis
|-
|1614
|[[John Napier]], ''Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio''
|0°–90°, minute
|7
|sin(Θ) & ln(sin(Θ)), 
|-
|1617
|[[Henry Briggs (mathematician)|Henry Briggs]], ''Logarithmorum Chilias Prima''
|1–1000
|14
|
|-
|1624
|Henry Briggs ''Arithmetica Logarithmica''
|1–20,000, 90,000–100,000
|14
|
|-
|1628
|[[Adriaan Vlacq]]
|20,000–90,000
|10
|contained only 603 errors<ref>"this cannot be regarded as a great number, when it is considered that the table was the result of an original calculation, and that more than 2,100,000 printed figures are liable to error.", ''Athenaeum,'' 15 June 1872.  See also Glaisher,  in ''Monthly Notices of the Royal Astronomical Society'' for May 1872, pp255-262.</ref>
|-
|1792–94
|[[Gaspard de Prony]] ''Tables du Cadastre''
|1–100,000 and 100,000–200,000
|19/24 
|"17 ogromnih pol rokopisa",<ref name="Pronybio">''English Cyclopaedia, Biography,'' Vol. IV., article "Prony."</ref> nikoli objavljeni, znanstveni arhiv
|-
|1794
|[[Jurij Vega]] ''Thesaurus Logarithmorum Completus'' ([[Leipzig]])
|
|
|popravki dela Adriana Vlacqa
|-
|1795
|François Callet ([[Paris]])
|100,000–108,000
|7
|
|-
|1871
|Edward Sang
|1–200,000
|7
|
|}
[[Slika:Oughtred.jpg|desno|sličica|[[William Oughtred]] (1575–1660), izumitelj [[Logaritemsko računalo|logaritemskega računala]]]]
[[Slika:Slide_rules_-_Museum_of_the_History_of_Science,_Oxford_-_England.jpg|sličica|Zbirka tabel v Muzeju zgodovine znanosti v Oxfordu]]
Poleg tabelic je vredno omeniti [[logaritemsko računalo]]. Leta 1624 je [[Edmund Wingate]] (1593–1656) omenil možnost dvojne mere, torej dveh metrov, ki bi primerjali dimenzije. Leta 1630 je [[William Oughtred]] izumil okroglo računalo. Leta 1821 je [[Nathaniel Bowditch]] opisal napravo v ''[[American Practical Navigator]],'' kjer drsi meter, ki na eni strani opisuje fukcije trigonometrije in logaritemske vrednosti tangent in sinusov. Naprava naj bi olajšala računanje navigacije''.''<ref>"Cameron's Nautical Slide Rule", The Practical Mechanic and Engineer's Magazine, April 1845, p187 and Plate XX-B</ref>

== Glej tudi ==

* [[dvojiški logaritem]]
* [[logaritemsko računalo]]
* [[eksponentna funkcija]]
* [[Taylorjeva vrsta]]

== Sklici ==
{{sklici|1}}

== Viri ==
* {{navedi knjigo|last1= Stöcker|first1= Horst|authorlink1= Horst Stöcker|title= Matematični priročnik z osnovami računalništva|year= 2006|publisher= [[Tehniška založba Slovenije]]|location= Ljubljana|isbn= 86-365-0587-9|cobiss= 229576192}}

== Zunanje povezave ==
{{Wikislovar|logaritem|Logaritem}}
*{{Commons category-inline|Logarithm|Logaritem}}
* [http://www.praktik.si/ShowGroups.aspx?categoryID=48 Praktik.si: Video razlaga logaritma] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070929103023/http://www.praktik.si/ShowGroups.aspx?categoryID=48 |date=2007-09-29 }}
* {{MathWorld|urlname=Logarithm|title=Logarithm}}

[[Kategorija:Elementarne funkcije]]
[[Kategorija:Logaritmi| ]]
{{normativna kontrola}}