Ogled vira Mengerjeva spužva

'''Méngerjeva spúžva''' je v [[matematika|matematiki]] vrsta [[fraktal]]ne [[krivulja|krivulje]]. Je [[univerzalna krivulja]] v smislu, da je njena [[topološka razsežnost]] enaka 1. Vsaka krivulja ali [[Graf relacije|graf]] je [[homeomorfizem|homeomorfna]] neki [[podmnožica|podmnožici]] Mengerjeve spužve. Včasih jo imenujejo ''spužva Mengerja in Sierpińskega'' ali nepravilno ''spužva Sierpińskega''. Mengerjeva spužva je [[razsežnost|trirazsežni]] [[analogon]] [[Cantorjeva množica|Cantorjeve množice]] in [[preproga Sierpińskega|preproge Sierpińskega]]. Prvi jo je opisal avstrijski matematik [[Karl Menger]] leta [[1926]].

== Konstrukcija ==

Konstrukcijo Mengerjeve spužve si lahko predstavimo na naslednji način:

[[Slika:Menger sponge (Level 0-3).jpg|600px|Prvi štirje koraki konstrukcije Mengerjeve spužve.]]

* Začnemo s [[kocka|kocko]], (''prva slika'').
* Skrčimo kocko na <math>1/27</math> velikosti in naredimo 20 njenih ustreznih kopij.
* Postavimo kopije, da tvorijo kocko iste velikosti, in odstranimo srednje dele, (''naslednja slika'').
* Ponovimo postopek od koraka 2 za vsako preostalo majhno kocko.
* ''Po neskončnem številu iteracij preostane Mengerjeva spužva.''

Število kock se povečuje s faktorjem <math>20^n</math>. Tu je <math>n</math> število iteracij izvedenih na prvi kocki:

{| class="wikitable"
! '''Iteracije'''
! '''Kocke'''
! '''Vsota'''
|-
| align="center"| 0
| align="left"| 1
| align="left"| 1
|-
| align="center"| 1
| align="left"| 20
| align="left"| 21
|-
| align="center"| 2
| align="left"| 400
| align="left"| 421
|-
| align="center"| 3
| align="left"| 8000
| align="left"| 8421
|-
| align="center"| 4
| align="left"| 160.000
| align="left"| 168.421
|-
| align="center"| 5
| align="left"| 3.200.000
| align="left"| 3.368.421
|-
| align="center"| 6
| align="left"| 64.000.000
| align="left"| 67.368.421
|}
''V prvem koraku ni iteracij'' (<math>20^{0} = 1</math>).

[[Slika:Menger sponge (IFS).jpg|thumb|right|350px|Mengerjeva spužva]]

== Značilnosti ==

Vsaka stran Mengerjeve spužve je [[preproga Sierpińskega]]. Velja še naprej, da je vsak presek Mengerjeve spužve z [[diagonala|diagonalo]] ali [[središčnica|središčnico]] prvotne množice ''M''<sub>0</sub> [[Cantorjeva množica]]. Mengerjeva spužva je [[zaprta množica]]. Ker je tudi omejena, [[Heine-Borelov izrek]] zatrjuje, da je [[kompaktna množica|kompaktna]]. Mengerjeva množica je [[neštevna množica|neštevna]] in njena [[Lebesguova mera]] je enaka 0.

[[Topološka razsežnost]] Mengerjeve spužve je enaka ena. Spužvo je Menger skonstruiral med raziskovanjem pojma topološke razsežnosti. Topološka razsežnost vsake krivulje je ena. To pomeni, da so krivulje [[topologija|topološko]] enorazsežne. Menger je v svoji konstrukciji pokazal, da je Mengerjeva spužva ''univerzalna krivulja'', tako da je vsaka poljubna enorazsežna krivulja [[homeomorfizem|homeomorfna]] kakšni podmnožici Mengerjeve spužve. Pri tem je krivulja vsakršen objekt z razsežnostjo ena. To so tudi [[drevo (teorija grafov)|drevesa]] in [[graf (matematika)|graf]]i s poljubno [[števna množica|števno]] mnogo povezavami.

Podobno je preproga Sierpińskega univerzalna krivulja za vse krivulje, ki jih lahko vložimo na dvorazsežno ravnino. Mengerjeva spužva konstruirana v treh razsežnostih je razširitev te zamisli na neravninske grafe, ki jih lahko vložimo v poljubno mnogo razsežnosti. Vsako geometrijo [[zančna kvantna gravitacija|zančne kvantne gravitacije]] lahko v hudomušnem primeru vložimo v Mengerjevo spužvo.

[[Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost]] Mengerjeve spužve je enaka <math>\frac{\ln{20}}{\ln{3}} \approx 2.726833</math>.

Mengerjeva spužva ni [[geometrijsko telo|telo]]. Njena [[površina]] je sicer neskončna, njena [[prostornina]] pa je enaka nič.

== Stroga definicija ==

Mengerjevo spužvo strogo definiramo kot:

:<math>M := \bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n</math>

kjer je ''M<sub>0</sub>'' [[enotska kocka]] in

:<math>M_{n+1} := \left\{\begin{matrix}
(x,y,z)\in\mathbb{R}^3: & 
\begin{matrix}\exists i,j,k\in\{0,1,2\}: (3x-i,3y-j,3z-k)\in M_n
\\ \mbox{le en od }i,j,k\mbox{ je enak 1}\end{matrix}
\end{matrix}\right\}</math>

== Mengerjeva spužva v naravi ==

Popolne Mengerjeve spužve seveda v [[narava|naravi]] ni moč videti. Nekatere oblike pa spominjajo nanje. [[diatomeja|Diatomeje]] imajo takšne hišice in tudi lahki [[aerogel]]i imajo v majhni prostornini veliko površino.

== Glej tudi ==

* [[trikotnik Sierpińskega]]

[[Kategorija:Fraktali]]
[[Kategorija:Krivulje]]