Ogled vira Moskovski matematični papirus

{{Infopolje Knjiga 
| name          = Moskovski matematični papirus 
| image         = [[Slika:Moskou-papyrus.jpg |300px]]  
| image_caption = 14. matematični problem Moskovskega matematičnega papirusa (V. Struve, 1930) 
| author        = 
| title_orig    =  
| translator    =  
| illustrator   =  
| cover_artist  =  
| country       = [[Tebe, Egipt|Tebe]], [[Stari Egipt]] 
| language      = [[Hieratika|hieratski]] 
| publisher     =  
| release_date  = [[Trinajsta dinastija]], [[Drugo vmesno obdobje Egipta]] 
| slo_pub_date  =  
| subject       =  
| genre         = [[matematika]] 
| media_type    = [[papirus]] 
| pages         = Dolžina: 5,5 m<br>Širina:  3,8 – 7,6 cm 
}}

'''Moskovski matematični papirus''', imenovan tudi '''Golemiščevov matematični papirus''' po njegovem prvem neegipčanskem lastniku, [[Egiptologija|egiptologu]] Vladimirju Golemiščevu, je starodavni egipčanski matematični papirus, ki vsebuje več problemov iz [[Aritmetika|aritmetike]], [[Geometrija|geometrije]] in [[Algebra|algebre]]. Goleniščev je papirus kupil leta 1892 ali 1893 v [[Tebe, Egipt|Tebah]]. Kasneje je papirus prišel v zbirko [[Puškinov muzej|Puškinovega državnega muzeja lepih umetnosti]] v [[Moskva|Moskvi]], kjer je še danes. 

Besedilo  je bilo najverjetneje zapisano v [[Trinajsta egipčanska dinastija|Trinajsti egipčanski dinastiji]] na podlagi starejšega gradiva, verjetno iz [[Dvanajsta egipčanska dinastija|Dvanajste egipčanske dinastije]] okoli leta 1850 pr. n. št.<ref name="Clagett">Clagett, Marshall. 1999. Ancient Egyptian Science: A Source Book. Volume 3: Ancient Egyptian Mathematics. Memoirs of the American Philosophical Society 232. Philadelphia: American Philosophical Society. {{ISBN|0-87169-232-5}}</ref> Dolg je približno 5,5 m in širok od  3,8 in 7,6 cm. Sovjetski orientalist Vasilij Vasiljevič Struve<ref>[http://www.encspb.ru/en/article.php?kod=2804014273 Struve V.V., (1889–1965), orientalist:: ENCYCLOPAEDIA OF SAINT PETERSBURG<!-- Bot generated title -->]</ref> ge je leta 1930 <ref>Struve, Vasilij Vasil'evič, and Boris Turaev. 1930. ''Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau''. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer</ref> razdelil na 25 problemov z rešitvami. 

Moskovski matematični papirus se običajno omenja skupaj z [[Rhindov matematični papirus|Rhindovim matematičnim papirusom]]. Moskovski je starejši od Rhindovega, slednji pa je veliko obsežnejši.<ref>Папирусы математические in the Great Soviet Encyclopedia, 1969–1978 (v ruščini)</ref> 

== Problemi iz Moskovskega papirusa==
Problemi v Moskovskem papirusu ne sledijo kakšnemu posebnemu vrstnemu redu, rešitve pa vsebujejo mnogo manj podrobnosti kot tiste v Rhindovem. Papirus je znan predvsem po nekaterih geometrijskih problemih. Problema 10 in 14 izračunavata površino oziroma prostornino prisekane piramide. Preostali problemi so povezani z naravo.<ref name="Clagett"/> 

===Problemi z deli ladje=== 
Problema 2 in 3 sta povezana z ladijskimi deli. Prvi od njiju izračuna dolžino ladijskega krmila, drugi pa dolžino ladijskega jambora. Slednji bo dolg 1/3 + 1/5 dolžine hloda cedrovine, ki je bil prvotno dolg 30 komolcev.<ref name="Clagett"/>  

===Problemi z neznanko (aha)=== 
{{Hiero|1=ꜥḥꜥ (aha)|2=<hiero>P6-a:M35</hiero>|align=left|era=nk}} 

Problemi z neznanko (aha) vključujejo iskanje neznanih količin (aha, "kup"), če je podana vsota in njenih delov. Štiri tovrstne probleme vsebuje tudi Rhindov matematični papirus. Problemi z neznanko so 1., 19. in 25. problem Moskovskega papirusa. Naloga 19 zahteva, da se izračuna količina, ki se poveča 1+1⁄2 krat in se ji doda 4, da je rezultat enak 10.<ref name="Clagett"/> V sodobnem matematičnem zapisu bi se problem zapisal kot <br><math>\frac{3}{2}x + 4 = 10</math>. 

===Problemi pefsu=== 

Večina problemov, 10 od 25, je problemov pefsu. Pefsu računa velikost štruc kruha ali jakost piva, proizvedenega iz hekata žita: 

: <math> \mbox{pefsu} = \frac{\mbox{število štruc kruha (ali vrčkov piva)}}{\mbox{število hekatov žita}}</math> 

Višje število pefsu pomeni manjše štruce kruha ali šibkejše pivo. Številka pefsu je omenjena v številnih ponudbah.  

===Problemi baku=== 
Problema 11 in 23 sta problema baku, ki računata produktivnost delavcev. Problem 11 sprašuje, koliko predmetov z dimenzijami 4 krat 4, ustreza 100 predmetom z dimenzijami 5 krat 5. Problem 23 računa produktivnost čevljarja, če mora izrezati in okrasiti sandale.<ref name="Clagett"/> 

===Geometrijski problemi=== 
Sedem od petindvajsetih problemov je geometrijskih in segajo od računanja [[Ploščina|ploščine]] [[trikotnik]]ov do iskanja [[Površina|površine]] [[Polobla|poloble]] (problem 10) in iskanja [[Prostornina|prostornine]] prisekane [[Piramida|piramide]].<ref name="Clagett"/>

==Geometrijska problema== 
===Problem št. 10=== 
10. problem Moskovskega matematičnega papirusa zahteva izračun površine polkrogle (Struve, Gillings) ali morda površine polvalja (Peet). V nadaljevanju se predpostavlja, da se nanaša na polkrogle. 

Besedilo problema 10 se glasi: "Dobil si (okroglo) košaro z odprtino 4 1/2. Kakšna je njena površina?"  

Vzemi 1/9 od 9, ker je košara polovica jajčne lupine. Če vzameš, da je to enako 1, je ostanek enak 8. Izračunaj 1/9 od 8 in dobiš 2/3 + 1/6 + 1/18. Ostanek od 8 dobiš z odštevanjem 2/3 + 1/6 + 1/18. Rezultat je 7 + 1/9. Z množenjem  7 + 1/9 s 4 + 1/2 dobiš 32, kar je enako površini košare.<ref name="Clagett"/><ref>Williams, Scott W. [http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egypt_geometry.html#moscow10 Egyptian Mathematical Papyri]</ref> 

Izračun bi se lahko zapisal z naslednjo enačbo: 

: <math> \text{Površina} = (((2 \times \text{premer}) \times \frac{8}{9}) \times \frac{8}{9}) \times \text{premer} = \frac{128}{81} (\text{premer})^2</math> 

V formuli za računanje površine polkrogle je pisar Moskovskega papirusa uporabil faktor <math> \frac{256}{81} \approx 3,16049</math>, kar ja približno enako [[Pi (črka)|π]].

===Problem št. 14=== 
[[Slika:Pyramide-tronquée-papyrus-Moscou 14.jpg|thumb|left |Prisekana piramida]] 

Štirinajsti problem Moskovskega matematičnega papirusa obravnava prostornino prisekane piramide. 

Piramida je prisekana tako, da je zgornja ploskev kvadrat s stranico 2 enoti, spodnja pa kvadrat s stranico 4 enote. Višina meri 6 enot. Izračunana prostornina meri 56 kubičnih enot, kar je pravilno.<ref name="Clagett"/> Besedilo problema se glasi: 
 
: ''Če vam rečejo, da je prisekana piramida visoka 6, stranici kvadratov pa 4 na dnu in 2 na vrhu, morate kvadrirati 4, kar da 16. Nato morate podvojiti 4, kar da 8. Seštejte 16, 8 in 4, kar da 28. Rezultat se mora pomnožiti z 1/3 od 6, kar da končni rezultat.'' 

Rešitev problema kaže, da so Egipčani poznali pravilno formulo za izračun prostornine prisekane piramide: 

:<math>V = \frac{1}{3} h(a^2 + a b +b^2)</math> 

V kateri sta <math>a</math> in <math>b</math> dolžini spodnje iz zgornje stranice prisekane piramide, <math>h</math> pa njena višina. 

Raziskovalci ugibajo, kako so Egipčani prišli do formule za prostornino prisekane piramide, ker  izpeljava formule v papirusu ni navedena.<ref>{{citation|last = Gillings | first = R. J.| issue = 8 | journal = The Mathematics Teacher | jstor = 27957144 | pages = 552–555 | quote = | title = The volume of a truncated pyramid in ancient Egyptian papyri 
| volume = 57 | year = 1964| doi = 10.5951/MT.57.8.0552 }}.</ref>

==Povzetek== 
Richard J. Gillings je površno povzel vsebino papirusa,<ref name="Gillings">{{cite book |last=Gillings |first=Richard J. |title=Mathematics in the Time of the Pharaohs |publisher=Dover Publications |isbn=9780486243153 |pages=246–247}}</ref> ki je prikazana v naslednji preglednici. Zapis <math>\bar{4}</math>
pomeni [[enotski ulomek]] s števcem 4. Enotski ulomki so bili običajen predmet preučevanja staroegipčanske matematike. 

{| class="wikitable"
|+ Vsebina Moskovskega matematičnega papirusa<ref>Gillings, ''Mathematics in the Time of the Pharaohs'', pp.&nbsp;246–247.</ref> 
! Št.
! Opis
|-
| 1
| Poškodovan in nečitljiv.
|-
| 2
| Poškodovan in nečitljiv.
|-
| 3
| Jambor iz cedrovine.<math>\bar{3} \; \bar{5}</math> of <math>30 = 16</math>. Nejasen.
|-
| 4
| Ploščina trikotnika. <math>\bar{2}</math> od <math>4 \times 10 = 20</math>.
|-
| 5
| Pefsu štruc kruha. Enak problemu št. 8.
|-
| 6
| Ploščina pravokotnika <math>= 12, b = \bar{2} \; \bar{4}l</math>. Najdi<math>l</math> in <math>b</math>.
|-
| 7
| Ploščina trikotnika <math>= 20, h = 2 \; \bar{2}b</math>. Najdi <math>h</math> in <math>b</math>.
|-
| 8
| Pefsu štruc in kruha.
|-
| 9
| Pefsu štruc in kruha.
|-
| 10
| Ploščina ukrivljene površine in polkrogle (ali valja).
|-
| 11
| Štruce in košara. Nejasen.
|-
| 12
| Pefsu piva. Nejasen.
|-
| 13
| Pefsu štruc in piva. Enak kot št. 9.
|-
| 14
| Prostornina prisekane piramide. <math>V = (h/3) (a^2 + ab + b^2)</math>.
|-
| 15
| Fefsu piva.
|-
| 16
| Fefsu piva. Podoben št. 15.
|-
| 17
| Ploščina trikotnika <math>= 20, b = (\bar{3} \; \bar{15})h</math>. Najdi <math>h</math> in <math>b</math>.
|-
| 18
| Merjenje blaga v komolcih.Nejasen.
|-
| 19
| Reši enačbo <math>1 \; \bar{2}x + 4 = 10</math>. Jasen.
|-
| 20
| Pefsu 1000 štruc. Ulomki Horovega očesa.
|-
| 21
| Mesenje posvečenega kruha.
|-
| 22
| Pefsu štruc in piva. Zamenjava.
|-
| 23
| Računanje dela čevljarja. Nejasen in zelo težak.
|-
| 24
| Zamenjava štruc in piva. 
|-
| 25
| Reševanje enačbe <math>2x + x = 9</math>. Elementaren in jasen.
|}

==Sklici==    
{{reflist|20em}}

==Viri== 
===Celotno besedilo Moskovskega matematičnega papirusa===
{{refbegin|2}} 
* Struve, Vasilij Vasil'evič, Boris Turaev. 1930. ''Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste in Moskau''. Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Berlin: J. Springer
{{refend}} 

===Drugi viri===
{{refbegin|2}}
* Allen, Don.  April 2001.  [http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node4.html ''The Moscow Papyrus''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180327213929/http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node4.html |date=2018-03-27 }} and [http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node5.html ''Summary of Egyptian Mathematics''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20010527042535/http://www.math.tamu.edu/~don.allen/history/egypt/node5.html |date=2001-05-27 }}.
* Annette Imhausen, Ägyptische Algorithmen. Eine Untersuchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten, Wiesbaden 2003.
* Mathpages.com.  [http://www.mathpages.com/home/kmath189/kmath189.htm ''The Prismoidal Formula''].
* O'Connor and Robertson, 2000. [http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Egyptian_papyri.html ''Mathematics in Egyptian Papyri''].
* Truman State University, Math and Computer Science Division.  ''Mathematics and the Liberal Arts:'' [https://web.archive.org/web/20130218031510/http://math.truman.edu/~thammond/history/AncientEgypt.html ''Ancient Egypt''] and [https://web.archive.org/web/20130218031843/http://math.truman.edu/~thammond/history/MoscowPapyrus.html ''The Moscow Mathematical Papyrus''].
* Williams, Scott W. [http://www.math.buffalo.edu/mad/index.html ''Mathematicians of the African Diaspora''], containing a page on [http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_ancient_egyptpapyrus.html ''Egyptian Mathematics Papyri''].
* Zahrt, Kim R. W. [http://www.iusb.edu/~journal/static/volumes/2000/zahrt.html ''Thoughts on Ancient Egyptian Mathematics''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110927141339/http://www.iusb.edu/~journal/static/volumes/2000/zahrt.html |date=2011-09-27 }}.
{{refend}} 

{{Normativna kontrola}} 

[[Kategorija:Egipčanska matematika]]