Ogled vira Necentralna porazdelitev t

{| align=right class="toccolours" style="margin-left: 40px; text-align:center; background: #FFFFFF; border: 1px #aaa solid; border-collapse: collapse;" border="2" cellpadding="1" cellspacing="0"
! bgcolor=#ccccff colspan="3" | '''Necentralna t porazdelitev''' 
|-colspan="2"
|-align="center"
| oznaka ||  ||
|-align="center"
| [[parameter|parametri]] || <math>\nu \!</math> [[prostostna stopnja (statistika)|prostostne stopnje]] ([[realno število]]) </br><math>\mu\!</math> [[parameter necentralnosti]] (realno število)
|-align="center"
| [[interval]] || <math>x \in (-\infty; +\infty)\!</math>
|-align="center"
| [[funkcija gostote verjetnosti]] </br> (pdf)|| <math>
\frac{\nu^{\nu/2} \exp\left\{-\frac{\nu\mu^2}{2(t^2+\nu)} \right\} }
{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}}
</math>
:::<math>\times\int\limits_0^\infty
x^\nu\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right\}dx
</math>
|-align="center"
| [[zbirna funkcija verjetnosti]] </br> (cdf)|| 
|-align="center"

| [[pričakovana vrednost]]  ||  
<math>
\mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}
\text { za } \nu > 1 \! </math></br>
<math>\text{ za } \nu\le1 \text{ ne obstoja }
 \! </math>

|-align="center"
| [[mediana]]  || 

|-align="center"
| [[modus (statistika)|modus]]  || 
|-align="center"

|  [[varianca]]  || <math>
\frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2}
-\frac{\mu^2\nu}{2}
\left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2
\text { za } \nu > 2 \! </math>
<math>\text{ za } \nu\le2 \text{ ne obstoja }
 \! </math>

|-align="center"
 | [[koeficient simetrije|simetrija]] || 
|-align="center"
 | [[sploščenost]]  || 
|-align="center"
 |  [[entropija (informatika)|entropija]] || 
|-align="center"
|  [[funkcija generiranja momentov]] </br>(mgf) || 
|-align="center"
|  [[karakteristična funkcija verjetnostne porazdelitve|karakteristična funkcija]] || 
|-align="center"
|}

'''Necentralna t porazdelitev''' je [[zvezna porazdelitev|zvezna]] [[verjetnostna porazdelitev|verjetnostna porazdelitev]], ki je posplošitev [[Študentova t porazdelitev|Študentove t porazdelitve]].

== Definicija ==
Študentova t porazdelitev je verjetnostna porazdelitev razmerja 
:<math> \frac{Z + \mu}{\sqrt{V/\nu\ }} = Z \sqrt{\nu / V} </math>

kjer je

* <math>Z \!</math> [[normalna porazdelitev|normalno porazdeljena]] [[slučajna spremenljivka]] s [[pričakovana vrednost|pričakovano vrednostjo]] <math>0 \!</math> in [[varianca|varianco]] <math>1 \!</math>
* <math>V \!</math> slučajna spremenljivka, ki ima porazdelitev [[porazdelitev hi-kvadrat]] z <math> \nu \!</math> [[prostostna stopnja (statistika)|prostostnimi stopnjami]]
* <math>Z \!</math>  and <math>V \!</math>  sta [[neodvisnost (statistika)|statistično neodvisni]] [[slučajna spremenljivka|slučajni spremenljivki]].

== Lastnosti  necentralne t porazdelitve ==
=== Funkcija gostote verjetnosti ===
[[Funkcija gostote verjetnosti]] za necentralno t porazdelitev je <ref>L. Scharf, Statistical Signal Processing, (Massachusetts: Addison-Wesley, 1991), p.177.</ref> 
:<math>
f(t)
=\frac{\nu^{\nu/2} \exp\left\{-\frac{\nu\mu^2}{2(t^2+\nu)} \right\} }
{\sqrt{\pi}\Gamma(\nu/2)2^{(\nu-1)/2}(t^2+\nu)^{(\nu+1)/2}}
</math>
:::<math>\times\int\limits_0^\infty
x^\nu\exp\left\{-\frac{1}{2}\left(x-\frac{\mu t}{\sqrt{t^2+\nu}}\right)^2\right\}dx
</math> 

=== Pričakovana vrednost ===
[[Pričakovana vrednost]] je za <math>\nu > 1 \! </math> enaka
: <math>
\mu\sqrt{\frac{\nu}{2}}\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)} \! </math> ,
: za <math> \nu\le1  \! </math> ne obstoja

=== Varianca <ref>{{Navedi splet |url=http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/stats/nctstat.html |title=nctstat (Statistics Toolbox) |accessdate=2010-03-03 |archive-date=2009-02-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090228134752/http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/toolbox/stats/nctstat.html |url-status=dead }}</ref> ===
[[Varianca]] je za <math>\nu > 2 \! </math> enaka 
: <math>
\frac{\nu(1+\mu^2)}{\nu-2}
-\frac{\mu^2\nu}{2}
\left(\frac{\Gamma((\nu-1)/2)}{\Gamma(\nu/2)}\right)^2 \! </math> ,
: za <math> \nu\le 2 \! </math> ne obstoja

== Momenti <ref>(Hogben D, Pinkham RS and Wilk MB. The moments of the non-central t-distribution. Biometrika, 1961, 48, 465-468)</ref>==
K-ti [[moment (matematika)|moment]] je za <math> \nu> k \!</math> enak
:<math>
\left(\frac{\nu}{2}\right)^{\frac{k}{2}}\frac{\Gamma\left(\frac{\nu-k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\mbox{exp}\left(-\frac{\mu^2}{2}\right)\frac{d^k}{d \mu^k}\mbox{exp}\left(\frac{\mu^2}{2}\right) \! </math>
: za <math> \nu \le k \ \!</math> ne obstoja.

== Povezave z drugimi porazdelitvami ==
* Kadar je <math> \mu = 0\!</math> postane necentralna t porazdelitev enaka [[Študentova t porazdelitev|Študentovi t porazdelitvi]].
* Kadar ima [[slučajna spremenljivka]] <math>Z = T^2 \!</math> [[necentralna F porazdelitev|necentralno F porazdelitev]], potem ima <math>T \!</math> necentralno t porazdelitev.
* Slučajna spremenljivka <math>Z \!</math> ima [[normalna porazdelitev|normalno porazdelitev]], če velja <math> Z = \lim_{\nu \to \infty}T\!</math>, kjer pa ima <math>T \!</math> necentralno t porazdelitev.

== Opombe in sklici ==
{{opombe}}

== Zunanje povezave ==

* [http://keisan.casio.com/has10/SpecExec.cgi Vzorčni primeri in simulacija] {{ikona en}}

== Glej tudi ==
* [[seznam verjetnostnih porazdelitev]]

{{DEFAULTSORT:Necentralna t porazdelitev }}

[[Kategorija:Zvezne porazdelitve]]