Ogled vira Neenačba

'''Neenačba''' (redko tudi '''neenakost''') je simbolični zapis sestavljen iz dveh [[matematični izraz|matematičnih izrazov]], med katerima stoji neenačaj. Neenačaj je lahko katerikoli od znakov za relacijo urejenosti: <math><,~ >,~ \leqslant,~ \geqslant </math>  (včasih dopuščamo za neenačaj  tudi znak <math>\ne</math>). Izraza, ki nastopata v neenačbi,  imenujemo leva stran in desna stran neenačbe.

Spremenljivke, ki nastopajo v neenačbi, imenujemo [[neznanka|neznanke]]. Primer preproste neenačbe z eno neznanko:

: <math>x + 1 \leqslant 2 \; . </math>

== Rešitev neenačbe ==

Če neenačba vsebuje samo eno neznanko, je rešitev neenačbe tista vrednost neznanke, pri kateri neenačaj velja (tj. tista vrednost neznanke, pri kateri je neenačba kot [[izjavna forma]] pravilna). Če neenačba vsebuje ''n'' neznank, je rešitev tista ''n''-terica vrednosti neznank, pri kateri neenačaj velja. Neenačba ima lahko tudi več rešitev, pogosto kar neskončno mnogo (tj. več vrednosti neznanke oziroma več ''n''-teric, pri katerih neeenačaj velja). Neenačbe po navadi rešujemo v množici [[realno število|realnih števil]]. Množico rešitev lahko pogosto zapišemo z [[interval]]om ali z [[unija množic|unijo]] intervalov.

Zgled: neenačba <math>x + 1 \leqslant 2 \; </math> ima za rešitev vsako realno število, ki je manjše ali enako 1, torej: <math>x\leqslant 1</math> oziroma <math>x\in(-\infty,1]</math>.

Neenačbi, ki imata enaki množici rešitev, sta med seboj enakovredni ali ekvivalentni. Zgled enakovrednih neenačb: 3''x''&nbsp;+&nbsp;1&nbsp;<&nbsp;''x''&nbsp;+&nbsp;7 in 2''x''&nbsp;<&nbsp;6.

== Reševanje neenačbe ==

Reševanje neenačbe pomeni iskanje rešitev. Reševanje poteka običajno tako, da neenačbo preoblikujemo v drugo obliko, ki pa je prvotni enakovredna. Pri tem lahko uporabimo naslednje postopke:
*preoblikujemo samo levo ali pa samo desno stran po pravilih za preoblikovanje izrazov (odpravljanje oklepajev, ureditev členov ipd)
*na levi in desni strani lahko prištejemo isto število
*na levi in desni strani lahko odštejemo isto število
*levo in desno stran lahko pomnožimo z istim ''pozitivnim'' številom
*če levo in desno stran pomnožimo z istim ''negativnim'' številom, se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno)
*levo in desno stran lahko delimo z istim ''pozitivnim'' številom
*če levo in desno stran delimo z istim ''negativnim'' številom, se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno)
*na levi in desni strani lahko izvedemo isto matematično funkcijo, ki pa mora biti povsod ''strogo rastoča''
*če na levi in desni strani izvedemo isto matematično funkcijo, ki je povsod ''strogo padajoča'', se neenačaj obrne (tj. znak < se spremeni v > in obratno) 

==Neenakosti med potenčnimi sredinami==
{{see also|Neenakost med aritmetično in geometrično sredino}}

Obstaja veliko neenakosti med sredinami. Na primer za katerakoli pozitivna števila ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, …, ''a''<sub>''n''</sub> velja {{nowrap|''H'' ≤ ''G'' ≤ ''A'' ≤ ''Q'',}} kjer je

:{| style="height:200px"
|-
|<math>H = \frac{n}{1/a_1 + 1/a_2 + \cdots + 1/a_n}</math>   || ([[harmonična sredina]]),
|-
|<math>G = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} </math>             || ([[geometrična sredina]]),
|-
|<math>A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}</math>              || ([[aritmetična sredina]]),
|-
|<math>Q = \sqrt{\frac{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}{n}}</math> || ([[kvadratična sredina]]).
|}

==Cauchy–Schwarzova neenakost==
{{see also|Cauchy–Schwarzova neenakost}}

Cauchy-Schwarzova neenakost pravi, da za vse vektorje ''u'' in ''v'' v [[Prehilbertov prostor|prehilbertovem prostoru]] velja
: <math>|\langle \mathbf{u},\mathbf{v}\rangle| ^2 \leq \langle \mathbf{u},\mathbf{u}\rangle \cdot \langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle,</math>

kjer je <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> [[inner product|notranji produkt]]. Primeri notranjega produkta so realni in kompleksni [[dot product|skalarni produkt]]. V [[Euclidean space|Evklidskem prostoru]] ''R''<sup>''n''</sup> s standardnim notranjim produktom se Cauchy-Schwarzova neenakost preoblikuje v
: <math>\left(\sum_{i=1}^n u_i v_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n u_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n v_i^2\right)</math>

== Glej tudi ==

* [[matematični izraz]]
* [[formula]]
* [[enačba]]

[[Kategorija:Matematika]]
{{normativna kontrola}}