Ogled vira Nefroida

[[Slika:EpitrochoidOn2.gif|thumb|446px|right|Nefroida je krivulja v rdeči barvi.]]
[[Slika:CardioidInCoffeeGlass.jpg|right|thumb|270px|Polovica nefroide v kozarcu kave.]]
'''Nefroida''' je [[ravnina|ravninska]] [[krivulja]], ki ima obliko [[ledvica|ledvic]] Ime krivulje pomeni ''oblikovana kot ledvice'' (primerjaj tudi z [[nefrologija]]). 

Nefroida je [[epicikloida]] s k = 2.

== Parametrična oblika enačbe ==
[[Parametrična enačba|parametrična enačba]] nefroide je 
:<math>x=a(3\cos t-\cos3t),\quad y=a(3\sin t-\sin3t).</math> 

Vrhovi krivulje ležijo na [[ordinatna os|osi-x]]. Kadar pa ležijo vrhovi krivulja na [[abscisna os|osi-y]] je parametrična oblika enačbe nefroide 
:<math>x=a(3\cos t+\cos3t),\quad y=a(3\sin t+\sin3t).</math>

== Kartezična oblika enačbe ==
V [[kartezični koordinatni sistem|kartezičnem koordinatnem sistemu]] je enačba nefroide
<math>(x^2+y^2-4a^2)^3=108a^4y^2</math>.

== Lastnosti nefroide ==
[[Dolžina loka]] nefroide je enaka 
:<math>l=24a </math>. 

[[Ploščina]] pa se izračuna po obrazcu
: <math> P=12\pi a^2.</math>

[[Polmer ukrivljenosti]] se dobi po obrazcu
:<math>\rho=|3a\sin t|.</math>

== Nefroida kot kavstika krožnice ==
Nefroido lahko imamo za [[kavstika (matematika)|kavstiko]] krožnice za vzporedne žarke. To lahko tudi  povemo, da odbiti vzporedni žarki tvorijo ovojnico nefroide. 

== Nefroida kot ovojnica krožnic ==
[[Slika:Neph1.svg|250px|thumb|left|Nefroida kot ovojnica krožnic.]]
Nefroida se lahko kreira kot ovojnica krožnic. To naredimo na naslednji način: pričnemo z osnovno krožnico (modra). Nato izberemo točko na tej krožnici (rdeča točka). S to točko kot središčem, narišemo krožnico (rdeče) tako, da je tangenta na [[ordinatna os|os-y]]. Če narišemo večje število krožnic, dobimo nefroido.

== Nefroida kot ovojnica premic ==
Nefroido lahko kreiramo tudi kot ovojnico premic. Postopek je naslednji: Pričnemo s krožnico, ki ima polmer <math> a \,</math>. Za različne vrednosti <math> t \,</math> povežemo točke, ki so na <math> t \,</math> in <math> 3t \,</math> stopinjah okoli po krožnici (to pomeni, da povežemo točke (<math> a\cos t,  a\sin t) </math> s točkami (<math> a\cos 3t, a\sin 3t) </math>. Premice, ki jih dobimo, tvorijo ovojnico nefroide.   

== Nefroida kot epicikloida z dvema konicama ==
Nefroida je tudi [[epicikloida]] z dvema vrhovoma (konicama). 

== Evoluta nefroide ==
[[Slika:Neph4.svg|250px|thumb|left|Evoluta nefroide. Dve pritisnjeni krožnici imata modro barvo. Središča teh krožnic se vidijo kot, ležijo na evoluti (rdeče) (manjša nefroida).]]
[[Evoluta]] nefroide je druga za polovico manjša nefroida, ki pa je zavrtena za 90°. Originalna nefroida se vidi  kot, da je ovojnica [[pritisnjena krožnica|pritisnjenih krožnic]]

== Involuta nefroide ==
Ker je evoluta nefroide druga nefroida, je tudi [[involuta]] nefroide druga nefroida. 

== Inverzna krivulja nefroide ==
[[Slika:Neph1inv.png|250px|thumb|right|Nefroidi inverzna krivulja.]]
[[Inverzna krivulja]] glede na originalno nefroido (rdeče) je krivulja, ki je ovojnica krožnic (črno).

V kartezičnih koordinatah je glede na krožnico c polmerom <math> a \,</math> je v kartezičnih koordinatah enačba inverzne krivulje
:<math>(a^2-4(x^2+y^2))^3=108a^2x^2(x^2+y^2).</math>

== Glej tudi ==
* [[seznam krivulj]]

== Zunanje povezave ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Nephroid.html Nefroida na MathWorld] {{ikona en}}
* [http://www.gap-system.org/~history/Curves/Nephroid.html Nefroida na Mactutor of Mathematical Archive] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20101226121716/http://www.gap-system.org/~history/Curves/Nephroid.html |date=2010-12-26 }} {{ikona en}}
* [http://xahlee.org/SpecialPlaneCurves_dir/Nephroid_dir/nephroid.html Nefroida na Xah Lee Web] {{ikona en}}
* [http://curvebank.calstatela.edu/nephroid/nephroid.htm Nefroida v National Curve of Bank] {{ikona en}}

{{ravninske krivulje}}
[[Kategorija: Krivulje šeste stopnje]]
[[Kategorija:Krivulje]]