Ogled vira Newtonov potencial

{{short description|matematični operator v vektorski analizi, ki se obnaša kot inverz negativnega Laplaceovega operatorja}}
'''Newtonov potenciál''' (ali '''newtonovski potenciál''') [njútnov ~ / njútonovski ~] je v [[matematika|matematiki]] [[operator (matematika)|operator]] v [[vektorska analiza|vektorski analizi]], ki se obnaša kot [[inverzna funkcija|inverz]] negativnega [[Laplaceov operator|Laplaceovega operatorja]] na [[zvezna funkcija|zveznih]] in v neskončnosti dovolj hitro razpadajočih [[funkcija (matematika)|funkcijah]]. Kot tak je osnovni predmet preučevanja v [[teorija potenciala|teoriji potenciala]]. V svoji splošni naravi je to [[singularni integral|singularni integralski operator]], definiran prek [[konvolucija|konvolucije]] s funkcijo, ki ima [[matematična singularnost|matematično singularnost]] v izvoru, newtonsko jedro <math> \Gamma \!\, </math>, ki je [[fundamentalna rešitev]] [[Laplaceova enačba|Laplaceove enačbe]]. Imenuje se po [[Isaac Newton|Isaacu Newtonu]], ki ga je prvi odkril in [[matematični dokaz|dokazal]], da je [[harmonična funkcija]] v [[Greenova funkcija za Laplaceovo enačbo s tremi spremenljivkami|posebnem primeru treh spremenljivk]], kjer je služil kot osnovni [[gravitacijski potencial]] v Newtonovem [[splošni gravitacijski zakon|splošnem gravitacijskem zakonu]]. V moderni teoriji potenciala se Newtonov potencial namesto tega obravnava kot [[elektrostatični potencial]].

Newtonov potencial [[nosilec funkcije|kompaktno podprte]] [[integrabilna funkcija|integrabilne funkcije]] <math> f \!\, </math> je definiran kot konvolucija:

: <math> u(x) = \Gamma * f(x) = \int_{\mathbb{R}^{d}} \Gamma(x-y)f(y) \, \mathrm{d} y \!\, , </math>

kjer je newtonovsko jedro <math> \Gamma \!\, </math> v [[razsežnost]]i <math> d \!\, </math> definirano kot:

: <math> \Gamma(x) = \begin{cases} 
\frac{1}{2\pi} \log{ | x | } &  d=2 \\
\frac{1}{d(2-d)\omega_{d}} | x | ^{2-d} &  d \neq 2 \!\, . \end{cases} </math>

Tu je <math> \omega_{d} \!\, </math> [[prostornina]] [[enotska sfera|enotske]] <math> d \!\, </math>-[[hipersfera|krogle]]. Včasih so lahko dogovori o predznakih različni – primerjaj {{sktxt|Evans|1998}} in {{sktxt|Gilbarg|Trudinger|1983}}. Za <math> d = 3 \!\, </math> je na primer <math> \Gamma(x) = -1/(4\pi |x|) \!\, </math>.

Newtonov potencial <math> w \!\, </math> funkcije <math> f \!\, </matH> je rešitev [[Poissonova enačba|Poissonove enačbe]]:

: <math> \Delta w = f \!\, , </math>

kar pomeni, da je operacija nad Newtonovim potencialom funkcije delni inverz Laplaceovega operatorja. Potem bo <math> w \!\, </math> klasična rešitev, ki je dvakrat [[odvedljiva funkcija|odvedljiva]], če je <math> f \!\, </math> omejena in krajevno [[Hölderjev pogoj|zvezna po Hölderju]], kakor je pokazal [[Otto Ludwig Hölder]]. Bilo je odprto vprašanje, ali zadostuje tudi [[zveznost]] sama. [[Henrik Petrini]] je pokazal, da je to napačno, in je podal primer zvezne <math> f \!\, </math>, za katero <math> w \!\, </math> ni dvakrat odvedljiv. Rešitev ni edinstvena, saj dodatek katere koli harmonične funkcije k <math> w \!\, </math> ne bo vplival na enačbo. To dejstvo je mogoče uporabiti za dokazovanje obstoja in edinstvenosti rešitev [[Dirichletov problem|Dirichletovega problema]] za Poissonovo enačbo v ustrezno regularnih domenah in za ustrezno dobro obnašajoče se funkcije <math> f \!\, </math>. Najprej se uporabi Newtonov potencial, da se dobi rešitev, nato pa se prilagodi z dodajanjem harmonične funkcije za pridobitev pravilnih mejnih podatkov.

Newtonov potencial je širše definiran kot konvolucija:

: <math> \Gamma * \mu(x) = \int_{\mathbb{R}^{d}} \Gamma(x-y) \, \mathrm{d} \mu(y) \!\, , </math>

ko je <math> \mu \!\, </math> kompaktno podprta [[Radonova mera]]. Zanj velja Poissonova enačba:

: <math> \Delta w = \mu \!\, </math>

v smislu [[porazdelitev (matematika)|porazdelitev]]. Poleg tega, ko je mera [[pozitivna mera|pozitivna]], je Newtonov potencial [[podharmonična funkcija|podharmoničen]] na <math> \R_{d} \!\, </math>.

Če je <math> f \!\, </math> kompaktno podprta [[zvezna funkcija]] (ali, splošneje, končna mera), ki je [[vrtenje|rotacijsko invariantna]], potem za konvolucijo <math> f \!\, </math> z <math> \Gamma \!\, </math> za <math> x \!\, </math> zunaj nosilca <math> f \!\, </math> velja:

: <math> f * \Gamma(x) = \lambda \Gamma(x), \quad \lambda = \int_{\mathbb{R}^{d}} f(y) \, \mathrm{d} y \!\, . </math>

V razsežnosti <math> d = 3 \!\, </math> se to prevede na [[izrek o lupini|Newtonov izrek o lupini]], da je potencialna energija majhne mase zunaj veliko večje sferično simetrične porazdelitve mase enaka, kot če bi bila vsa masa večjega telesa skoncentrirana v njegovem središču.

Ko je mera <math> \mu \!\, </math> povezana z masno porazdelitvijo na dovolj gladki hiperploskvi <math> S \!\, </math> ([[ploskev Ljapunova]] [[Hölderjev prostor|Hölderjevega razreda]] <math> C_{1, \alpha} \!\, </math>), ki deli <math> \R_{d} \!\, </math> na dve območji <math> D_{+} \!\, </math> in <math> D_{-} \!\, </math>, se newtonski potencial <math> \mu \!\, </math> '''[[enostavnoplastni potencial]]'''. Enostavnoplastni potenciali so zvezni in rešujejo Laplaceovo enačbo, razen na <math> S \!\, </math>. Naravno se pojavljajo pri študiju [[elektrostatika|elektrostatike]] v kontekstu [[elektrostatični potencial|elektrostatičnega potenciala]], povezanega s porazdelitvijo [[električni naboj|električnega naboja]] na zaprti ploskvi. Če je <math> \mathrm{d} \mu = f \, \mathrm{d} H \!\, </math> produkt zvezne funkcije na <math> S \!\, </math> z <math> (d - 1) \!\, </math>-razsežno [[Hausdorffova mera|Hausdorffovo mero]], potem je v točki <math> y \!\, </math> od <math> S \!\, </math> [[normalni odvod]] podvržen skokoviti nezveznosti <math> f(y) \!\, </math>, ko prečka plast. Poleg tega je normalni odvod <math> w \!\, </math> dobro definirana zvezna funkcija na <math> S \!\, </math>. Zaradi tega so enostavne plasti posebej primerne za preučevanje [[Neumannovo mejni pogoj|Neumannovega problema]] za Laplaceovo enačbo.

== Glej tudi ==

{{div col|colwidth=27em}}
* [[dvoplastni potencial]]
* [[Greenova funkcija]]
* [[Rieszov potencial]]
* [[Greenova funkcija za Laplaceovo enačbo s tremi spremenljivkami]]
{{div col end}}

== Sklici ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|1|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Evans|first1= Lawrence Craig|authorlink1= Lawrence Craig Evans|title= Partial Differential Equations|date= 1998|publisher= [[Ameriško matematično društvo]]|location= Providence|isbn= 0-8218-0772-2}}
* {{citat|last1= Gilbarg|first1= D.|last2= Trudinger|first2= Neil|authorlink2= Neil Trudinger|title= Elliptic Partial Differential Equations of Second Order|date= 1983|publisher= Springer|location= New York|isbn= 3-540-41160-7}}
* {{springerEOM|id=n/n066580|title=Newton potential|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič}}
* {{springerEOM|id=s/s085260|title=Simple-layer potential|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič}}
* {{springerEOM|id=s/s091400|title=Surface potential|last1= Solomencev|first1= Jevgenij Dimitrijevič}}
* {{citat|last1= Suhadolc|first1= Anton|authorlink1= Anton Suhadolc|title= Potencialna teorija|date= 1994|pp= 81&ndash;87|publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije]]|location= Ljubljana|series= (Izbrana poglavja iz matematike in računalništva)|volume= 31|isbn= 961-212-024-2|cobiss= 38561280}}
{{refend}}

[[Kategorija:Harmonične funkcije]]
[[Kategorija:Isaac Newton]]
[[Kategorija:Parcialne diferencialne enačbe]]
[[Kategorija:Teorija potenciala]]
[[Kategorija:Singularni integrali]]
[[Kategorija:Potenciali]]