Ogled vira Nihanje

'''Níhanje''' (s [[tujka|tujko]] '''oscilacija''') je periodično [[gibanje]], ki se ga lahko opredeli z [[amplituda|amplitudo]] ter [[frekvenca|frekvenco]] ali [[nihajni čas|nihajnim časom]]. Navadno se obravnava '''sinusno nihanje''', pri katerem se odmik ali odklon [[sinus (matematika)|sinusno]] spreminjata s [[čas]]om.

[[Slika:nihanje-razlaga-pojmov.png|thumb|250px|Pojmi pri nihanju]]

''Amplituda nihanja'' je največji odmik ali odklon, ''nihajni čas'' ali ''perioda'' je čas, ki ga [[nihalo]] potrebuje za gibanje med dvema zaporednima ustreznima odmikoma ali odklonoma (npr. med dvema zaporednima obiskoma ene od skrajnih leg), ''frekvenca'' pa je število nihajev na sekundo.

== Matematično ozadje ==

Sinusno nihanje lahko opišemo z [[diferencialna enačba|diferencialno enačbo]]

: <math> \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A_0 \cos\omega t \!\, . </math>

Pri tem je ''x'' odmik ali druga nihajoča količina, ''t'' čas, β [[konstanta dušenja]], ω<sub>0</sub> karakteristična [[krožna frekvenca]], člen ''A''<sub>0</sub>cosω''t'' pa opisuje vsiljeno nihanje z amplitudo ''A''<sub>0</sub> in krožno frekvenco ω.

=== Nedušeno nihanje ===
[[Slika:Simple harmonic oscillator.gif|thumb|Nedušeno nihanje sistema vzmet-utež]]
Nedušeno nihanje lahko opišemo z enačbo

: <math> \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0 \!\, . </math>

Rešitev takšne enačbe je

: <math> x(t) = x_0 \cos(\omega_0 t + \delta) \!\, . </math>

Pri tem je ''x''<sub>0</sub> [[amplituda]], ω<sub>0</sub> ''lastna [[krožna frekvenca]]'' in δ [[fazni premik]] nihanja. Celotnemu [[argument]]u [[kosinus]]ne funkcije pravimo ''[[faza valovanja]]''.

Za zgled lahko izpeljemo gibalno enačbo za [[nihalo|vzmetno nihalo]]. Za vzmet velja [[Hookov zakon]], po drugi strani pa [[Newtonovi zakoni gibanja|2. Newtonov zakon]] povezuje silo s pospeškom. Oba izraza za silo izenačimo:

: <math> -kx = F = ma \!\, . </math>

Vemo tudi, da je pospešek drugi [[odvod]] lege po [[čas]]u, zatorej lahko enačbo prepišemo v obliko
:<math>\frac{d^2 x}{dt^2} = -\frac{k}{m} x</math>

Če oba člena prenesemo na isto stran, vidimo, da ima enačba obliko enačbe za nedušeno nihanje. Rešimo jo lahko z nastavkom

: <math> x(t) = A \cos(\omega t + \delta) \!\, . </math>

Lastna [[krožna frekvenca]] takega nihala je enaka:

: <math> \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} \!\, . </math>

Nedušeno nihanje je idealizacija, saj imamo pri realnih sistemih navadno opravka z [[upor sredstva|uporom]] ali [[trenje]]m. Kot nedušeno nihanje lahko približno opišemo nihanje [[nihalo|matematičnega nihala]], [[nihajni krog|nihajnega kroga]] ali [[kvantna mehanika|kvantnomehanskega]] [[harmonični oscilator|harmoničnega oscilatorja]].

=== Dušeno nihanje ===

Pri dušenem nihanju se energija nihanja zaradi upora ali trenja s časom manjša. Če je izguba energije premo sorazmerna energiji nihanja, lahko takšno dušeno nihanje opišemo z enačbo

: <math> \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x =0 \!\, . </math>

Rešitev takšne enačbe je

: <math> x(t) = x_0 e^{-\beta t} \cos(\omega'_0 t + \delta) \!\, . </math>

Pri tem je lastna krožna frekvenca dušenega nihala enaka

: <math> \omega'_0 = \sqrt{\omega_0^2 - \beta^2} \!\, . </math>

Lastna krožna frekvenca dušenega nihala je torej manjša od lastne krožne frekvence nedušenega nihala. Dušenje je ''podkritično'', če velja ω<sub>0</sub> > β, in ''nadkritično'', če velja ω<sub>0</sub> < β. V slednjem primeru nihalo ne niha, ampak se neperiodično približuje ravnovesni legi. Dušeno nihanje lahko približno opišemo kot nedušeno, če je čas opazovanja majhen v primerjavi z 1/β

Zgled za dušeno nihanje je [[nihalo na vijačno vzmet]], ki niha v [[viskoznost|viskozni]] [[tekočina|tekočini]].

=== Vsiljeno nedušeno nihanje ===

Pri vsiljenem nihanju nihalu od zunaj vsiljujemo gibanje z dano frekvenco. Takšno nihanje lahko opišemo z enačbo

:<math> \frac{d^2 x}{dt^2} + \omega_0^2 x = A_0 \cos\omega t \!\, </math>

Takšno nihanje lahko primerjamo z nihanjem [[sestavljeno nihalo|sestavljenega nihala]].

Zgled za vsiljeno nedušeno nihanje je [[nihajni krog]], ki mu od zunaj vsiljujemo [[izmenična napetost|izmenično napetost]].

=== Vsiljeno nihanje ===

Pri realnem nihanju dušenega nihala, ki mu od zunaj vsiljujemo nihanje z neko frekvenco, opazimo, da lastno nihanje s časom izzveni, nihalo pa začne nihati z vsiljeno frekvenco. Za opis takšnega nihanja potrebujemo splošno obliko enačbe,

: <math> \frac{d^2 x}{dt^2} + 2\beta\frac{dx}{dt} + \omega_0^2 x = A_0 \cos\omega t \!\, . </math>
[[Slika:resonancna-krivulja.png|thumb|right|250px|Resonančna krivulja]]

Amplituda nihanja takega nihala je največja, če je vsiljena frekvenca enaka lastni frekvenci. Tedaj pravimo, da je nihalo v [[resonanca|resonanci]]. [[Resonančna krivulja|Resonančno krivuljo za različne vrednosti]] opišemo z enačbo

: <math> f(\omega) = \frac{1}{\sqrt{(1 - \xi^2)^2 + \left(\frac{2\beta}{\omega_0}\right)^2\xi^2}} \!\, . </math>

Pri tem je ξ razmerje med vsiljeno in lastno frekvenco, ξ = ω/ω<sub>0</sub>.

Zgled za vsiljeno nihanje je [[nihajni krog z uporom]].

== Zunanje povezave ==
{{Wikislovar|nihanje|Nihanje}}

{{-}}

{{gibanje}}

[[Kategorija:Nihanje in valovanje| ]]
{{normativna kontrola}}