Ogled vira Obseg

{{drugipomeni2|obseg}}

'''Obseg''' je v geometriji dolžina zaprte krivulje, po navadi  dvorazsežne ravninske krivulje. Največkrat se govori o obsegu pri geometrijskih likih, čeprav pridejo v poštev tudi druge krivulje, kroga, srčnica. V takšnih primerih se še posebej obravnava dolžina loka krivulje.

== Mnogokotniki ==

Obseg [[mnogokotnik]]a je [[vsota]] dolžin vseh njegovih [[stranica|stranic]].

Obseg [[trikotnik]]a s stranicami dolžin ''a'', ''b'' in ''c'' je:

: <math> o = a + b + c \,\! . </math>

Obseg [[štirikotnik]]a s stranicami dolžin ''a'', ''b'', ''c'' in ''d'' je:

: <math> o = a + b + c + d \,\! . </math>

Obseg [[enakokraki trikotnik|enakokrakega trikotnika]] z osnovnico dolžine ''b'' in krakoma dolžine ''a'' ter [[pravokotnik]]a s stranicama dolžin ''a'' in ''b'' je:

: <math> o = 2a + b \,\! , </math>
: <math> o = 2(a + b) \,\! . </math>

Obseg [[pravilni mnogokotnik|pravilnega mnogokotnika]] z ''n'' stranicami dolžine ''a'' je:

: <math> o = na\,\! . </math>

Obseg [[enakostranični trikotnik|enakostraničnega trikotnika]] in [[kvadrat (geometrija)|kvadrata]] s stranicami dolžine ''a'' je tako:

: <math> o = 3a \,\! , </math>
: <math> o = 4a \,\! . </math>

== Krožnica ==

Obseg [[krožnica|krožnice]] je dan z njenim [[premer]]om ''d'' ali s [[polmer]]om ''r'':

: <math> o = \pi d = 2\pi r \,\! ,</math>

oziroma s [[ploščina|ploščino]] [[krog]]a ''S'':

: <math> o = 2 \sqrt {\pi S} \approx 3,544908 \sqrt{S} \,\! .</math>

Tu je π [[matematična konstanta]] [[pi]].

== Elipsa ==

Približki za obseg [[elipsa|elipse]] z glavnima polosema ''a'' in ''b'':

: <math> o \approx 2\pi \sqrt{ab} \,\! </math> ([[Johannes Kepler|Kepler]], 1609)

: <math> o \approx \pi (a+b) \,\! , </math>

: <math> o \approx \pi \sqrt{2(a^2+b^2)} \,\! </math> ([[Leonhard Euler|Euler]], 1773)

: <math> o \approx \pi \left[ \frac{a+b}{2} + \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \right] \,\! , </math>

: <math> o \approx \pi \left[ \frac{3}{2} (a+b)-\sqrt{ab} \right] \,\! </math>

ali:

: <math> o \approx \pi \sqrt{2(a^2 + b^2) - \frac{1}{2}(a-b)^2} \,\! . </math>

Vsak približek je [[točnost in natančnost|točnejši]] od predhodnega.

Dobra približka je leta 1914 dal [[Srinivasa Ajangar Ramanudžan|Ramanudžan]]:

: <math> o \approx \pi \left[ 3(a+b) - \sqrt{(3a+b)(a+3b)} \right] = 
        \pi (a+b) \left[ 3 - \sqrt{4-h} \right] \,\! , </math>

: <math> o \approx \pi (a+b) \left[1+\frac{3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2} {10+\sqrt{4-3\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2}} \right] =
        \pi \left(a+b\right)\left[1+\frac{3h} {10+\sqrt{4-3h}}\right] \,\! . </math>

kjer je ''h'' parameter:

: <math> h = \lambda^2 \,\! , \qquad \lambda = \frac{a-b}{a+b} \,\! . </math>

Tudi tukaj je drugi približek točnejši. Malo manj točen približek je med letoma 1904 in 1920 dal Lindner:

: <math> o \approx \pi (a+b) \left[1 + \frac{h}{8} \right]^2 \,\! . </math>

Obseg elipse s parametrom λ je:

: <math> o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{\lambda^2}{4} + \frac{\lambda^4}{64} + \frac{\lambda^6}{256} + \cdots \right] = \pi(a+b) \left[1 + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(2n-2)!}{n!(n-1)!2^{2n-1}}\right)^2 \lambda^{2n}\right] \,\! , </math>

oziroma s parametrom ''h'':

: <math> o = \pi(a+b)\left[1 + \frac{h}{4} + \frac{h^2}{64} + \frac{h^3}{256} + \frac{25h^4}{16384} + \frac{49h^5}{65536} + \cdots \right] = \pi(a+b) \sum_{n=0}^{\infty} {{1\over 2} \choose n}^2 h^n \,\! , </math>

približek pa (Hudsonova enačba, 1917):

: <math> o \approx \pi (a+b) \frac{64-3h^2}{64-16h} \,\! . </math>

Hudsonovo enačbo po navadi pišejo s parametrom ''L'':

: <math> L = \frac{h}{4} = \frac{(a-b)^2}{(2(a+b))^2} \,\! </math>

: <math> o \approx \frac{\pi}{4} (a+b) \left[ 3(1+L) + \frac{1}{1-L}\right] \,\! . </math>

== Glej tudi ==

* [[obseg (algebra)]]
* [[Zemljin polmer]] (obseg Zemlje)
* [[obseg (teorija grafov)]]

== Zunanje povezave ==
{{Wikislovar|obseg|Obseg}}
* {{MathWorld|urlname=Perimeter|title=Perimeter}}
* {{MathWorld|urlname=Semiperimeter|title=Semiperimeter}}

{{-}}

{{mnogokotniki}}

{{math-stub}}

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Geometrija]]