Ogled vira Obstoj in gladkost rešitev Navier-Stokesovih enačb

{{Short description|problemi tisočletne nagrade|problem tisočletne nagrade]]}}
[[slika:False color image of the far field of a submerged turbulent jet.jpg|thumb|right|Vizualizacija toka [[turbulentni tok|turbulentnega]] curka, narejena z [[ravninska lasersko inducirana fluorescenca|lasersko inducirano fluorescenco]]. [[Curek]] ima širok razpon [[dolžina|dolžinskih]] lestvic, kar je pomembna značilnost turbulentnih [[tok]]ov.]]
'''Obstoj in gladkost rešitev Navier-Stokesovih enačb''' je [[matematični problem|problem]], ki obravnava [[matematika|matematične]] značilnosti rešitev [[Navier-Stokesove enačbe|Navier-Stokesovih enačb]], sistema [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačb]], ki opisuje [[gibanje]] [[tekočina|tekočine]] v [[prostor]]u. Rešitve Navier-Stokesovih enačb se rabijo v mnogih praktičnih uporabah. Vendar je teoretično razumevanje rešitev teh enačb nepopolno. Rešitve Navier-Stolesovih enačb velikokrat še posebej vsebujejo [[turbulentni tok|turbulenco]], ki ostaja ena od največjih [[nerešeni problemi v fiziki|nerešenih problemov v fiziki]], navkljub njenemu izjemnemu pomenu v znanosti in tehniki.

Nikoli niso [[matematični dokaz|dokazali]] še bolj osnovne (in na videz intuitivne) značilnosti rešitev Navier-Stokesovih enačb. Za [[trirazsežni prostor|trirazsežni]] sistem enačb in glede na nekatere [[začetni pogoj|začetne pogoje]] matematiki niso dokazali, da vedno obstajajo [[gladka funkcija|gladke rešitve]], niti niso našli [[protiprimer|nasprotnih primerov]]. To se imenuje problem ''obstoja in [[gladkost]]i rešitev Navier-Stokesovih enačb''.

Ker razumevanje Navier-Stokesovih enačb velja za prvi korak k razumevanju izmuzljivega [[fenomen]]a turbulence, je [[Clayjev matematični inštitut]] maja 2000 uvrstil ta problem med svojih sedem [[problemi tisočletne nagrade|problemov tisočletne nagrade]] v matematiki. Ponudil je nagrado v višini 1.000.000 ameriških dolarjev tistemu, ki bi prvi ponudil rešitev za določeno izjavo problema:{{r|spl0}}

{{citatni blok|
''Dokažite ali navedite nasprotni primer naslednje izjave:'' <br />
V treh prostorskih razsežnostih in času, glede na začetno hitrostno polje, obstajata vektorska hitrost in skalarno tlačno polje, ki sta oba gladka in globalno definirana, ter rešujeta Navier-Stokesove enačbe.}}

== Navier-Stokesove enačbe ==
{{glavni|Navier-Stokesove enačbe}}

Navier-Stokesove enačbe so v matematiki sistem [[nelinearni sistem|nelinearnih]] [[parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačb]] za abstraktna [[vektorsko polje|vektorska polja]] poljubne velikosti. V fiziki in tehniki so sistem enačb, ki modelirajo gibanje tekočin ali [[razredčenost|nerazredčenih]] [[plin]]ov (v katerih je [[srednja prosta pot]] dovolj kratka, da se jih lahko obravnava kot zvezne in ne kot zbirko delcev) s pomočjo [[mehanika kontinuumov|mehanike kontinuumov]]. Enačbe so izjava [[drugi Newtonov zakon|drugega Newtonovega zakona]] s [[sila]]mi, modeliranimi glede na sile v [[viskoznost|viskozni]] [[newtonska tekočina|newtonski tekočini]] – kot vsota prispevkov [[tlak]]a, viskozne [[mehanska napetost|napetosti]] in [[zunanja sila|zunanje]] telesne sile. Ker je postavitev problema, ki jo je predlagal Clayjev matematični inštitut, v treh razsežnostih za [[nestisljiva tekočina|nestisljivo]] in homogeno tekočino, je v nadaljevanju obravnavan le ta primer.

Naj je <math> \mathbf{v}(\boldsymbol{x},t) \!\, </math> trirazsežno vektorsko polje – [[hitrost]] tekočine, in naj je <math> p(\boldsymbol{x},t) \!\, </math> tlak tekočine.{{efn|Točneje, <math> p(\boldsymbol{x}, t) \!\, </math> je tlak deljen z [[gostota|gostoto]] tekočine, gostota pa je za takšno nestisljivo in homogeno tekočino konstantna.}} Navier-Stokesove enačbe so:

: <math> \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t) \!\, , </math>

kjer je <math> \nu > 0 \!\, </math> [[kinematična viskoznost]], <math> \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t) </math> zunanja [[volumetrična sila]], <math> \nabla \!\, </math> operator [[gradient]]a in <math> \displaystyle \Delta \!\, </math> [[Laplaceov operator]], ki se označuje tudi kot <math> \nabla\cdot\nabla \!\, </math> ali <math> \nabla^{2} \!\, </math>. To je vektorska enačba – ima tri [[skalar]]ne enačbe. Če se zapišejo koordinate hitrosti in zunanje sile:

: <math> \mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big) \!\, , </math>

potem za vsak <math> i=1,2,3 \!\, </math> obstaja odgovarjajoča skalarna Navier-Stokesova enačba:

: <math> \frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial v_i}{\partial x_j}v_j= -\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t) \!\, . </math>

Neznani količini sta hitrost <math> \mathbf{v}(\boldsymbol{x},t) \!\, </math> in tlak <math> p(\boldsymbol{x},t) \!\, </math>. Ker gre za tri razsežnosti, obstajajo tri enačbe in štiri neznane količine (tri skalarne hitrosti in tlak), tako da je potrebna dodatna enačba. Ta dodatna enačba je [[kontinuitetna enačba]] za [[nestisljiva tekočina|nestisljive tekočine]], ki opisuje [[zakon o ohranitvi mase|ohranitev mase]] tekočine:

: <math> \nabla\cdot \mathbf{v} = 0 \!\, . </math>

Zaradi te zadnje značilnosti se rešitve za Navier-Stokesove enačbe iščejo v množici [[solenoidno vektorsko polje|solenoidnih]] (»[[divergenca|brezdivergenčnih]]«) funkcij. Za tak tok homogenega sredstva sta gostota in viskoznost konstantni.

Ker se pojavi le njegov gradient, se lahko tlak <math> p \!\, </math> odpravi tako, da se vzame [[rotor]] obeh strani Navier-Stokesovih enačb. V tem primeru se Navier-Stokesove enačbe reducirajo na [[enačba vrtinčenja|enačbe vrtinčenja in transporta]].

== Dve postavitvi: neomejeni in periodični prostor ==

Obstajata dve različni postavitvi za enomilijonsko nagrado problema obstoja in gladkosti rešitev Navier-Stokesovih enačb. Izvirni problem je v celotnem prostoru <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math>, ki potrebuje dodatne pogoje za obnašanje rasti začetnega pogoja in rešitve. Da bi se izključile težave v neskončnosti, se lahko Navier-Stokesove enačbe postavi v periodični okvir, kar pomeni, da ne delujejo več na celotnem prostoru <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math> ampak v trirazsežnem [[svitek|svitku]] <math> \mathbb{T}^{3} = \mathbb{R}^{3}/\mathbb{Z}^{3} \!\, </math>. Vsak primer bo obravnavan posebej.

== Izjava problema v celotnem prostoru ==

=== Domneve in pogoji rasti ===

Predpostavi se, da je začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> takšna [[gladka funkcija]] brez divergence, da za vsak multiindeks <math> \alpha \!\, </math> (glej [[multiindeksni zapis]]) in vsak <math> K > 0 \!\, </math> obstaja takšna konstanta <math> C=C(\alpha,K) > 0 \!\, </math>, da velja:

: <math> \vert \partial^{\alpha} \mathbf{v}_{0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^{K}}\qquad \!\, </math> za vse <math> \qquad x\in\mathbb{R}^{3} \!\, . </math>

Za zunanjo silo <math> \mathbf{f}(x,t) \!\, </math> se prav tako predpostavi, da je gladka funkcija in zanjo velja zelo podobna neenakost (zdaj multiindeks vključuje tudi [[časovni odvod|odvode po času]]):

: <math> \vert \partial^{\alpha} \mathbf{f}(x,t)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^{K}}\qquad \!\, </math> za vse <math> \qquad (x,t)\in\mathbb{R}^{3}\times[0,\infty) \!\, . </math>

Za fizikalno sprejemljive pogoje so pričakovane vrste rešitev gladke funkcije, ki ne rastejo več kot <math> \vert x\vert\to\infty \!\, </math>. Točneje, podane so naslednje predpostavke:

# <math> \mathbf{v}(x,t)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{3}\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^{\infty}(\mathbb{R}^{3}\times[0,\infty)) \!\, </math>
# obstaja takšna konstanta <math> E\in (0,\infty) \!\, </math>, da velja <math> \int_{\mathbb{R}^{3}} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^{2} \, \mathrm{d} x < E \!\, </math> za vse <math> t\ge 0 \!\, </math>.

Pogoj 1 pomeni, da so funkcije gladke in globalno definirane, pogoj 2 pa pomeni, da je [[kinetična energija]] rešitve globalno omejena.

=== Domneve tisočletne nagrade v celotnem prostoru ===

'''(A) Obstoj in gladkost rešitev Navier-Stokesovih enačb v <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math>'''

Naj je <math> \mathbf{f}(x,t)\equiv 0 \!\, </math>. Za kateri koli začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math>, ki zpolnjuje zgornje domneve, obstajajo gladke in globalno definirane rešitve Navier-Stokesovih enačb – obstajata vektor hitrosti <math> \mathbf{v}(x,t) \!\, </math> in tlak <math> p(x,t) \!\, </math>, ki izpolnjujeta zgornja pogoja 1 in 2.

'''(B) Zlom rešitev Navier-Stokesovih enačb v <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math>'''

Obstajata takšen začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> in zunanja sila <math> \mathbf{f}(x,t) \!\, </math>, da ne obstajata nobeni rešitvi <math> \mathbf{v}(x,t) \!\, </math> in <math> p(x,t) \!\, </math>, ki izpolnjujeta zgornja pogoja 1 in 2.

== Izjava periodičnega problema ==

=== Domneve ===

Zdaj iskane funkcije so periodične v prostorskih spremenljivkah s periodo 1. Točneje, naj bo <math> e_{i} \!\, </math> [[enotski vektor]] v smeri <math> i \!\, </math>:

: <math> e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1) \!\, </math>.

Potem je <math> \mathbf{v}(x,t) </math> periodična v prostorskih spremenljivkah, če za kateri koli <math> i=1,2,3 \!\, </math> potem velja:

: <math> \mathbf{v}(x+e_{i},t)=\mathbf{v}(x,t) \qquad \!\, </math> za vse <math> \qquad (x,t) \in \mathbb{R}^{3}\times[0,\infty) \!\, </math>.

Pri tem se upoštevajo koordinate [[decimalni del|mod 1]]. To omogoča delo ne na celotnem prostoru <math> \mathbb{R}^{3} \!\, </math>, ampak na [[kvocientni prostor (topologija)|kvocientnem prostoru]] <math> \mathbb{R}^{3}/\mathbb{Z}^{3} \!\, </math>, ki se izkaže za trirazsežni svitek:

: <math> \mathbb{T}^{3} = \{(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3}): 0\le \theta_{i} < 2\pi\,,\quad i=1,2,3\} \!\, </math>.

Sedaj se lahko domneve pravilno postavijo. Predpostavi se, da je začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> gladka funkcija brez divergence, zunanja sila <math> \mathbf{f}(x,t) \!\, </math> pa se tudi predpostavi kot gladka funkcija. Vrsta rešitev, ki so fizikalno pomembne, so tiste za katere veljajo naslednji pogoji: {{ordered list|
| start=3
| <math> \mathbf{v}(x,t)\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{3}\times[0,\infty)),\qquad p(x,t)\in C^{\infty}(\mathbb{T}^{3}\times[0,\infty)) \!\, </math>
| obstaja takšna konstanta <math> E\in (0,\infty) \!\, </math>, da velja <math> \int_{\mathbb{T}^{3}} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^{2} \, \mathrm{d} x <E \!\, </math> za vse <math> t\ge 0 \!\, </math>.
}}

Tako kot v prejšnjem primeru pogoj 3 pomeni, da so funkcije gladke in globalno definirane, pogoj 4 pa pomeni, da je kinetična energija rešitve globalno omejena.

=== Periodični izreki tisočletne nagrade ===

'''(C) Obstoj in gladkost rešitev Navier-Stokesovih enačb v <math> \mathbb{T}^{3} \!\, </math>'''

Naj je <math> \mathbf{f}(x,t)\equiv 0 \!\, </math>. Za kateri koli začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math>, ki izpolnjuje zgornje domneve, obstajajo gladke in globalno definirane rešitve Navier-Stokesovih enačb – obstajata vektor hitrost <math> \mathbf{v}(x,t) \!\, </math> in tlak <math> p(x,t) \!\, </math>, ki zpolnjujeta zgornja pogoja 3 in 4.

'''(D) Zlom rešitev Navier-Stokesovih enačb v <math> \mathbb{T}^{3} \!\, </math>'''

Obstajata takšen začetni pogoj <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> in zunanja sila <math> \mathbf{f}(x,t) \!\, </math>, da ne obstajata nobeni rešitvi <math> \mathbf{v}(x,t) \!\, </math> in <math> p(x,t) \!\, </math>, ki izpolnjujeta zgornja pogoja 3 in 4.

== Delni rezultati ==

# Navier–Stokesov problem v dveh razsežnostih je bil rešen v 1960-ih: obstajajo gladke in globalno definirane rešitve.{{r|lady_1969}}
# če je začetna hitrost <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> dovolj majhna, potem velja izjava: obstajajo gladke in globalno definirane rešitve Navier-Stokesovih enačb.{{r|spl0}}
# glede na začetno hitrost <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math> obstaja takšen končni čas <math> T \!\, </math>, odvisen od <math> \mathbf{v}_{0}(x) \!\, </math>  da imajo Navier-Stokesove enačbe na <math> \mathbb{R}^{3}\times(0,T) \!\, </math> gladke rešitve <math> \mathbf{v}(x,t) \!\, </math> in <math> p(x,t) \!\, </math>. Ni znano, ali rešitve obstajajo po tistem »razstrelitvenem  času« <math>\!\, </math>.{{r|spl0}}
# [[Jean Leray]] je leta 1934 dokazal obstoj takoimenovanih [[šibka rešitev|šibkih rešitev]] Navier-Stokesovih enačb, ki izpolnjujejo enačbe v [[srednja vrednost|srednji vrednosti]] in ne točkovno.{{r|lera_1934}}
# [[Terence Tao]] je leta 2016 objavil rezultat s končnim razstrelitvenim časom za povprečno različico trirazsežne Navier-Stokesove enačbe. Zapisal je, da rezultat formalizira »prepreko superkritičnosti« za problem globalne pravilnosti za prave Navier-Stokesove enačbe, in trdil, da metoda dokazovanja namiguje na možno pot do vzpostavitve razstrelitve za prave enačbe.{{r|tao__2016}}

== V popularni kulturi ==

Nerešene probleme so uporabili za prikaz redke matematične nadarjenosti v leposlovju. Navier-Stokesov problem je predstavljen v knjigi ''The Mathematician's Shiva'' iz leta 2014, o prestižni, pokojni, izmišljeni matematičarki po imenu Rachela Karnokovitch, ki v znak protesta proti akademski sferi odnese dokaz v svoj grob.{{r|detu_2017}}{{r|spl1}}

Ameriški film ''[[Nadarjena (film, 2017)|Nadarjena]]'' (''Gifted'') iz leta 2017 se je skliceval na probleme tisočletne nagrade in se ukvarjal z matematično nadarjenostjo sedemletne deklice Mary in njene pokojne matere matematičarke Diane Adler, ki je rešila Navier-Stokesov problem.{{r|chan_2017}}

== Glej tudi ==

* [[nerešeni matematični problemi]]
* [[nerešeni problemi v fiziki]]

== Opombe ==

{{notelist}}

== Sklici ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
{{sklici|refs=
<ref name="chan_2017">{{sktxt|Chang|2017}}.</ref>
<ref name="detu_2017">{{sktxt|DeTurck|2017}}.</ref>
<ref name="lady_1969">{{sktxt|Ladyzhenskaya|1969}}.</ref>
<ref name="lera_1934">{{sktxt|Leray|1934}}.</ref>
<ref name="spl0">{{navedi splet|url= https://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf|title= Official statement of the problem|publisher= [[Clayjev matematični inštitut]]|language= en|accessdate= 2022-08-16|archive-date= 2020-11-14|archive-url= https://web.archive.org/web/20201114191149/http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf|url-status=dead}}</ref>
<ref name="spl1">{{navedi splet|last1= Rojstaczer|first1= Stuart|title= MathFiction: The Mathematician's Shiva|website= kasmana.people.cofc.edu|url= http://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf1154|access-date= 11. septembra 2018|language= en}}</ref>
<ref name="tao__2016">{{sktxt|Tao|2016}}.</ref>
}}
{{refend}}

== Viri ==

{{refbegin|4|normalfont=yes}}
* {{citat|last1= Chang|first1= Justin|title= Chris Evans raises a young math prodigy in the clever but overly calculating 'Gifted'|website= [[Los Angeles Times]]|date= 6. april 2017|url= http://www.latimes.com/entertainment/movies/la-et-mn-gifted-review-20170406-story.html|access-date= 11. septembra 2018|language= en}}
* {{citat|last1= DeTurck|first1= Dennis|title= The Mathematician's Shiva|journal= [[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]]|date= oktober 2017|volume= 64|issue= 9|pages= 1043–1045|url= https://www.ams.org/publications/journals/notices/201709/rnoti-p1043.pdf}}
* {{citat|last1= Kuščer|first1= Ivan|authorlink1= Ivan Kuščer|last2= Kodre|first2= Alojz|authorlink2= Alojz Kodre|date= 1994|title= Matematika v fiziki in tehniki|id= |publisher= [[Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije|DMFA]]|location= Ljubljana|pages= |isbn= 961-212-033-1|cobiss= 41287936}}
* {{citat|last1= Ladyzhenskaya|first1= Olʹga Aleksandrovna|authorlink1= Olga Aleksandrovna Ladiženska|title= The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows|date= 1969|edition= 2.|publisher= Gordon and Breach, Science Publishers|location= New York-London-Pariz|series= Mathematics and its Applications|volume= 2|mr= 0254401|others= Prevod iz ruščine Richard A. Silverman in John Chu}}
* {{citat|last1= Leray|first1= Jean|authorlink1= Jean Leray|title= Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace|journal= [[Acta Mathematica]]|date= 1934|volume= 63|issue= 1|pages= 193–248|doi= 10.1007/BF02547354|language= fr|mr= 1555394|doi-access= free}}
* {{citat|last1= Tao|first1= Terence|authorlink1= Terence Tao|title= Finite time blowup for an averaged three-dimensional Navier–Stokes equation|journal= [[Journal of the American Mathematical Society]]|date= 2016|volume= 29|issue= 3|pages= 601–674|doi= 10.1090/jams/838|arxiv= 1402.0290|mr= 3486169|s2cid= 119650746}}
{{refend}}

== Nadaljnje branje ==

* {{citat|last1= Constantin|first1= Peter|title= Mathematics Unlimited — 2001 and Beyond|date= 2001|location= Berlin|publisher= Springer|isbn= 3-642-63114-2|pages= 353–360|chapter= Some Open Problems and Research Directions in the Mathematical Study of Fluid Dynamics|doi= 10.1007/978-3-642-56478-9_15}}

== Zunanje povezave ==

* {{navedi splet|last1=Aizenman|first1=Michael|author-link=Michael Aizenman|title=Navier Stokes equations global existence and uniqueness|url=https://web.math.princeton.edu/~aizenman/OpenProblems_MathPhys/9804.NavierStokes.html }} Contributed by: [[Yakov Sinai]]
* [https://www.claymath.org/millennium-problems/navier%E2%80%93stokes-equation The Clay Mathematics Institute's Navier–Stokes equation prize]
* [https://terrytao.wordpress.com/2007/03/18/why-global-regularity-for-navier-stokes-is-hard/ Why global regularity for Navier–Stokes is hard] — Possible routes to resolution are scrutinized by [[Terence Tao]].
* [https://vimeo.com/18185364 Navier–Stokes existence and smoothness (Millennium Prize Problem)] A lecture on the problem by [[Luis Caffarelli]].
* {{navedi splet |title=Navier Stokes Equation – A Million-Dollar Question in Fluid Mechanics |work=Aleph Zero |date=June 3, 2020 |via=[[YouTube]] |url=https://www.youtube.com/watch?v=XoefjJdFq6k  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211219/XoefjJdFq6k |archive-date=2021-12-19 |url-status=live}}{{cbignore}}

{{DEFAULTSORT:obstoj in gladkost Navier-Stokesovih enačb}}
[[Kategorija:Dinamika tekočin]]
[[Kategorija:Problemi tisočletne nagrade]]
[[Kategorija:Parcialne diferencialne enačbe]]
[[Kategorija:Nerešeni matematični problemi]]
[[Kategorija:Nerešeni fizikalni problemi]]