Ogled vira Okolica (matematika)

[[Slika:Neighborhood illust1.svg|thumb|Množica ''V'' je okolica tokče ''p'', ker odprta množica (krog okoli ''p'') v celoti leži v ''V'']]
[[Slika:Neighborhood illust2.svg|thumb|Množica ''V'' ni okolica tokče ''p'', ker nobena odprta množica (krog) okoli ''p'' ne leži v celoti v ''V'']]
'''Okólica''' je eden od osnovnih pojmov [[matematika|matematične]] [[topologija|topologije]]. Intuitivni pomen je razviden že iz besede same: okolica točke ''p'' je množica vseh točk, ki so v nekem smislu blizu točke ''p''.

== Definicija ==

Natančna definicija pojma ''okolica'' je odvisna od topološke zgradbe [[topološki prostor|prostora]], ki ga opazujemo. V vsakem topološkem prostoru obstaja družina množic, ki jim pravimo [[odprta množica|odprte množice]] (tej družini pravimo [[topologija prostora]]). Množica ''V'' je okolica točke ''p'', če obstaja vsaj ena odprta množica, ki vsebuje točko ''P'' in v celoti leži v množici ''V''.

== Okolice v metričnem prostoru ==

V [[metrični prostor|metričnem prostoru]] je definirana [[metrika]] ([[razdalja]]) med poljubnima dvema točkama. To nam omogoča, da v metričnem prostoru definiramo '''sistem bazičnih okolic''' dane točke ''p'':

Za poljuben pozitiven ''ε'' obstaja ''ε''-okolica (beri: ''epsilonska okolica''), ki jo označimo
:<math>\mathcal{O}_\varepsilon (p)=\{x; d(x,p)<\varepsilon\}</math>

To pomeni, da je ''ε''-okolica točke ''p'' množica vseh točk, ki so od ''p'' oddaljene za manj kot ''ε''. Vse tako definirane okolice točke ''p'' (za različne vrednosti ''ε'') skupaj sestavljajo ''sistem bazičnih okolic''. Vsaka druga okolica točke ''p'' mora vsebovati vsaj eno bazično okolico te točke.

 
Najpreprostejši zgled za metriko je kar običajna razdalja, ki jo imenujemo tudi evklidska metrika. Če tako razdaljo uporabimo v ravnini, je bazična okolica točke ''p'' kar odprt [[krog]] (tj. krog brez roba) okoli točke ''p''. Analogno je v prostoru bazična okolica odprta [[krogla]] okoli točke ''p''. Če isti princip uporabimo na premici, ugotovimo, da je 
''ε''-okolica točke ''p'' odprta daljica oziroma odprti [[interval (matematika)|interval]] (''p''&nbsp;−&nbsp;''ε'',''p''&nbsp;+&nbsp;''ε'').

== Glej tudi ==
* [[odprta množica]]
* [[topologija prostora]]

[[Kategorija:Topologija]]