Ogled vira Parcialni odvod

{{Infinitezimalni račun}}
V [[Matematika|matematiki]] je '''parcialni odvod''' [[Funkcija|funkcije]] z več spremenljivkami je njen [[odvod]] po le eni od teh spremenljivk, kjer ostale jemljemo kot konstante (nasprotno kot v [[Popolni odvod|popolnem odvodu]], kjer se lahko spreminjajo vse spremenljivke). Parcialni odvodi se uporabljajo v [[Vektorska analiza|vektorski analizi]] in [[Diferencialna geometrija|diferencialni geometriji]].

Parcialni odvod funkcije <math>f(x, y, \dots)</math> po spremenljivki <math>x</math> je lahko označen z naštetim:

:<math>f'_x, f_x, \partial_x f,\ D_xf, D_1f, \frac{\partial}{\partial x}f \text{ ali } \frac{\partial f}{\partial x}.</math>

Včasih je za <math>z=f(x, y, \ldots)</math> parcialni odvod od <math>z</math> po spremenljivki <math>x</math> označen z <math>\tfrac{\partial z}{\partial x}.</math> Ker ima na splošno parcialni odvod enake argumente kot izvorna funkcija, se funkcionalna odvisnost včasih eksplicitno označi s spodnjim zapisom:

: <math>f_x(x, y, \ldots), \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, \ldots).</math>

Simbol, ki označuje parcialni odvod je [[∂]]. Eno izmed prvih uporab tega simbola v matematiki si lasti [[Marquis de Condorcet]] iz leta 1770, ko ga je uporabljal za parcialne razlike. Moderni parcialni simbol je naredil [[Adrien-Marie Legendre]] (1786), a ga je kasneje nehal uporabljati. Leta 1841 ga je ponovno vpeljal [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Carl Gustav Jacob Jacobi]].<ref name="jeff_earliest">{{Navedi splet|url=http://jeff560.tripod.com/calculus.html|title=Earliest Uses of Symbols of Calculus|first=Jeff|last=Miller|date=2009-06-14|website=Earliest Uses of Various Mathematical Symbols|accessdate=2009-02-20}}</ref>

== Uvod ==
Predpostavimo, da je ''f'' funkcija več spremenljivk. Na primer

: <math>z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2.</math>
{{Več slik
| align = right
| direction = vertical
| width = 250
| image1 = Partial func eg.svg
| caption1 = Graf od {{nowrap|''z'' {{=}} ''x''<sup>2</sup> + ''xy'' + ''y''<sup>2</sup>}}. Za parcialni odvod na {{nowrap|(1, 1)}}, ki pusti ''y'' konstanten, je pripadajoča [[tangenta]] vzporedna ravnini ''xz''.
| image2 = X2+X+1.svg
| caption2 = Kos grafa zgoraj kaže funkcijo na ravnini ''xz'' na {{nowrap|''y'' {{=}} 1}}. Dve osi sta tukaj narisani v različnih merilih. Naklon tangente je enak 3.
| total_width = 
| alt1 = 
}}[[Graf funkcije|Graf]] te funkcije oriše [[ploskev]] v [[Evklidski prostor|evklidskem prostoru]]. Skozi vsako točko na tej ravnini gre neskončno [[Tangenta|tangent]]. Parcialna diferenciacija je dejanje izbire ene od teh črt in izračunanje njenega naklona. Po navadi največ pozornosti pritegnejo črte, ki so vzporedne na ravnino <math>xz</math> in te, ki so pravokotne na ravnino ''yz.'' (kar privede do računanja z eno konstantno spremenljivko: ''y'' ali pa ''x.'').

Da odkrijemo naklon tangente funkcije na <math>P(1, 1)</math> in vzporednico na ravnino <math>xz</math>, potem moramo <math>y</math> obravnavati kot konstanto. Na desni sta prikazana graf in ta ravnina. Spodaj vidimo, kako izgleda funkcija na ravnini <math>y=1</math> . Z iskanjem [[Odvod|odvoda]] enačbe, medtem ko predpostavimo, da je <math>y</math> konstanten, odkrijemo, da je naklon funkcije ''<math>f</math>'' na točki <math>(x, y)</math> enak:

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.</math>

Torej je na <math>(1, 1)</math> naklon s substitucijo enak 3. Iz tega sledi:

<br />

: <math>\frac{\partial z}{\partial x} = 3</math>

na točki <math>(1, 1)</math>. Torej je parcialni odvod od <math>z</math> po <math>x</math> na <math>(1, 1)</math> enak 3, kot je tudi prikazano na grafu.

== Definicija ==

=== Osnovna definicija ===
Funkcija ''f'' se lahko spremeni v družino funkcij ene spremenljivke, ki je indeksirana z ostalimi spremenljivkami:

<math>f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

Z drugimi besedami, vsaka vrednost ''y'' definira funkcijo, označeno z ''f<sub>y</sub>'' , ki je funkcija ene spremenljivke ''x''.{{Efn|To se lahko izrazi tudi kot [[sosednji funktor|sosednjost]] med [[topologija produkta|produktom prostora]] in [[funkcijski prostor|funkcijskim prostorom]].}} To je

<math>f_y(x) = x^2 + xy + y^2.</math>

V tem razdelku podpisana notacija ''f<sub>y</sub>'' označuje funkcijski kontingent na stalno vrednost ''y'' in ne parcialnega odvoda.

Ko je vrednost ''y'' izbrana, recimo da je enaka ''a'', potem ''f''(''x'',''y'') označuje funkcijo ''f<sub>a</sub>'' ki izriše krivuljo ''x''<sup>2</sup> + ''ax'' + ''a''<sup>2</sup> na ravnini <math>xz</math>:

<math>f_a(x) = x^2 + ax + a^2. </math>

V tem izrazu je ''a'' ''konstanta'', ne spremenljivka, torej je ''f<sub>a</sub>'' funkcija le ene realne spremenljivke, ki se imenuje ''x''. Sočasno se spremeni tudi definicija odvoda funkcije za eno spremenljivko:

<math>f_a'(x) = 2x + a.</math>

Zgornji postopek se lahko naredi za katerikoli ''a''. Če združimo skupaj odvode v eno funkcijo, nastane funkcija, ki opiše spremembe od ''f'' v smeri ''x'':

<math>\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y.</math>

To je parcialni odvod od ''f'' po ''x''. Tukaj je ∂ zaobljen ''d'', ki se imenuje '''parcialno-odvodni simbol'''. Da ga ločimo od črke ''d'', se ∂ pogosto imenuje "parcial".

V splošnem je '''parcialni odvod''' [[Arnost|n-arne]] funkcije ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') v smeri ''x<sub>i</sub>'' na točko (''a''<sub>1</sub>, ..., ''a<sub>n</sub>'') definiran kot:

<math>\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1, \ldots, a_n) = \lim_{h \to 0}\frac{f(a_1, \ldots, a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots, a_i, \dots,a_n)}{h}.</math>

V zgornjem diferenčnem kvocientu so vse spremenljivke razen ''x<sub>i</sub>'' stalne. Ta izbira stalne vrednosti določi funkcijo ene spremenljivke

<math>f_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}(x_i) = f(a_1,\ldots,a_{i-1},x_i,a_{i+1},\ldots,a_n),</math>

in po definiciji,

<math>\frac{df_{a_1,\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_n}}{dx_i}(a_i) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1,\ldots,a_n).</math>

Z drugimi besedami različne diferenčne izbire od ''a'' indeksirajo družino funkcij z eno spremenljivko kot v zgornjem primeru. Ta izraz nam tudi pokaže, da je čas izračunavanja parcialnih odvodov veliko manjši kot odvodov ene spremenljivke.

Pomemben primer funkcije več spremenljivk je primer [[Skalarno polje|funkcije s skalarno vrednostjo]] ''f''(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x<sub>n</sub>'') na intervalu v Evklidskem prostoru <math>\R^n</math> (tj. na <math>\R^2</math> ali <math>\R^3</math>). V tem primeru ima ''f'' parcialni odvod ∂''f''/∂''x<sub>j</sub>'' glede na vsako spremenljivko ''x<sub>j</sub>''. Na točki ''a'' te parcialni odvodi definirajo vektor

<math>\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).</math>

Ta vektor se imenuje '''[[gradient]]''' od ''f'' na ''a''. Če je ''f'' diferenciabilen na vsaki točki na nekem intervalu, potem je gradient funkcija ∇''f'' z vektorsko vrednostjo, ki zavzame točko ''a'' do vektorja ∇''f''(''a''). Sočasno gradient ustvari [[vektorsko polje]].

Pogosto se malo [[Nepravilen zapis|nepravilno]] zaradi poenostavitve definira [[Laplaceov operator|operator delta]] (∇) v tridimenzionalnem [[Evklidski prostor|evklidskem prostoru]] <math>\R^3</math> z [[Enotski vektor|enotskimi vektorji]] <math>\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}</math> tako, kot sledi:

<math>\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}</math>

Ali bolj splošno za ''n''-dimenzionalni evklidski prostor <math>\R^n</math> s koordinatami <math>x_1, \ldots, x_n</math> in enotskimi vektorji<math>\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n</math>:

<math>\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \ldots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n</math>

=== Formalna definicija ===
Kot navadni odvodi je tudi parcialni odvod definiran z [[Limita funkcije|limito]]. Naj bo ''U'' [[Odprta množica|odprta podmnožica]] od <math>\R^n</math> in naj bo <math>f:U\to\R</math> funkcija. Parcialni odvod funkcije ''f'' na točki <math>\mathbf{a}=(a_1, \ldots, a_n) \in U</math> glede na ''i''-to spremenljivko ''x<sub>i</sub>'' je definiran kot:

<math>\frac{\partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots , a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \ldots ,a_n) -
f(a_1, \ldots, a_i, \dots ,a_n)}{h}</math>

Tudi če vsi parcialni odvodi ∂''f''/∂''x<sub>i</sub>''(''a'') obstajajo na dani točki ''a'', ni nujno, da je funkcija tukaj [[Zvezna funkcija|zvezna]]. A če vsi parcialni odvodi obstajajo v [[Okolica (matematika)|bližini]] ''a''-ja in so tam zvezni, potem je ''f'' popolnoma [[Odvod|diferenciabilna]] v okolici in popolni odvod je zvezen. V tem primeru se reče, da je ''f'' enak C<sup>1</sup> funkcije. To se lahko uporabi za posplošitev vektorskih vrednosti funkcij <math>f:U \to \R^m,</math> s pazljivo uporabo sestavnega dela argumenta.

Parcialni odvod <math>\frac{\partial f}{\partial x}</math> se lahko uporabi kot druga funkcija, ki je definirana na ''U'' in se lahko ponovno delno odvaja. Če so vsi mešani parcialni odvodi drugega reda zvezni na točki (ali množici), potem je ''f'' definiran kot C<sup>2</sup> funkcije na tej točki (ali na tej množici); v takem primeru se lahko parcialni odvodi izmenjajo po [[Clairautov izrek|Clairautovem izreku]]:

<math>\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j \partial x_i}.</math>

== Primeri ==

=== Geometrija ===
[[Slika:Cone_3d.png|sličica|Prostornina stožca je odvisna od višina in polmera.]]
[[Prostornina]] ''V'' [[Stožec|stožca]] je odvisna od njegove [[Višina|višine]] ''h'' in [[Polmer|polmera]] ''r,'' kar je v skladu s formulo:

: <math>V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.</math>

Parcialni odvod od ''V'' po spremenljivki ''r'' je

: <math>\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},</math>

kar predstavlja hitrost spremembe stožčeve prostornine, če se spreminja njegov polmer, višina pa ostaja konstantna. Parcialni odvod po spremenljivki <math>h</math> je enak <math>\frac{\pi r^2}{3},</math> kar predstavlja, s kakšno pogostostjo se spreminja prostornina stožca, če spreminjamo višino, polmer pa ostaja konstanten.

Za razliko od navedenega, je popolni odvod od ''V'' zaporedoma po spremenljivkah ''r'' in ''h'' takšen

: <math>\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}</math>

in

: <math>\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}</math>

Razlika med popolnim in parcialnim odvodom je odprava posrednih odvisnosti med spremenljivkami v parcialnih odvodih.

Če morajo (zaradi raznih razlogov) razmerja v stožcu ostajati enaka, torej je razmerje med višino in polmerom v stalnem razmerju ''k'',

: <math>k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.</math>

Kar nam poda popolni odvod po spremenljivki ''r''.

: <math>\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k</math>

kar poenostavimo v:

: <math>\frac{dV}{dr} = k \pi r^2</math>

Podobno je tudi popolni odvod po ''h'' enak:

: <math>\frac{dV}{dh} = \pi r^2</math>

Popolni odvod prostornine po ''obeh'' spremenljivkah ''r'' in ''h'' kot skalarna funkcija obeh spremenljivk je podana v [[Gradient|gradientu]]

: <math>\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right)</math>.

=== Optimizacija ===
Parcialni odvodi se pojavijo v kateremkoli analiznem [[Optimizacija (matematika)|optimizacijskem]] problemu z izbiro več kot ene spremenljivke. Na primer, v [[Ekonomija|ekonomiji]] si želi podjetje povečati [[dobiček]] π(''x'', ''y'') na maksimalno vrednost s spremembo dveh različnih spremenljivk ''x'' in ''y'' kot vnos. [[Pogoj prvega reda|Pogoji prvega reda]] za optimizacijo so π<sub>''x''</sub> = 0 = π<sub>''y''</sub>. Ker bosta oba parcialna odvoda π<sub>''x''</sub> in π<sub>''y''</sub> oba funkciji obeh argumentov ''x'' in ''y'', bosta oba pogoja prvega reda oblikovala [[sistem dveh enačb z dvema neznankama]].

=== Termodinamika, kvantna mehanika in matematična fizika ===
Parcialni odvodi se pojavijo tudi v termodinamičnih enačbah kot recimo [[Gibbs-Duhemova enačba]], v kvantni mehaniki Schrödingerjeva valovna enačba in v ostalih enačbah [[Matematična fizika|matematične fizike]]. Tukaj so konstantne spremenljivke v parcialnih odvodih lahko razmerja preprostih spremenljivk, kot recimo [[molski delež]] ''x<sub>i</sub>'' v sledečem primeru Gibbsovih energij v ternarnem mešalnem sistemu:

<math>\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac{{\partial G}}{{\partial x_2}}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} </math>

Izraženi [[Molski delež|molski deleži]] komponent funkcij od ostalih molskih deležev in binarnih molskih deležev komponent:

<math>x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}</math>

<math>x_3 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}</math>

Diferencialne kvociente lahko oblikujemo kot konstantna razmerja (kot prej navedene):

<math>\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_1}{1-x_2}</math>

<math>\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_3}{1-x_2}</math>

Razmerja X, Y, Z molskih deležev se lahko zapišejo za ternarne in multikomponentne sisteme.

<math>X = \frac{x_3}{x_1 + x_3}</math>

<math>Y = \frac{x_3}{x_2 + x_3}</math>

<math>Z = \frac{x_2}{x_1 + x_2}</math>

ki se lahko uporabijo za rešitev [[Parcialna diferencialna enačba|parcialnih diferencialnih enačb]], kot:

<math>\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial n_1}\right)_{n_2, n_3} = \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial n_2}\right)_{n_1, n_3}</math>

Ta enakost se lahko preoblikuje tako, da so diferencialni kvocienti molskih deležev na eni strani.

=== Sprememba velikosti slike ===
Parcialni odvodi so tudi ključnega pomena pri algoritmih za spremembo velikosti slike. Splošno znani kot [[rezbarjenje šivov]], morajo te algoritmi vsakemu [[Piksel|pikslu]] prirediti določeno numerično 'energijo', da opišejo nepodobnost med ortogonalnimi piksli. [[Algoritem]] kasneje progresivno odstrani vrste ali stolpce z najnižjo energijo. Formula, ki opiše pikslovo energijo (velikost [[Gradient|gradienta]] na pikslu) je zelo odvisna od parcialnih odvodov.

=== Ekonomija ===
Parcialni odvodi igrajo ključno vlogo tudi v [[Ekonomija|ekonomiji]], kjer večino funkcij opiše več spremenljivk. Na primer [[funkcija družbene potrošnje]] je definirana s spremenljivkami: znesek, ki je porabljen za potrošniško blago, dohodek, bogastvo ... [[Mejna nagnjenost k porabi]] je potem parcialni odvod potrošniške funkcije glede na prihodek.

== Zapis ==
Za navedene primere, naj bo <math>f</math> funkcija v <math>x, y</math> in <math>z</math>.

Parcialni odvodi prvega reda:

<math>\frac{ \partial f}{ \partial x} = f_x = \partial_x f.</math>

Parcialni odvodi drugega reda:

<math>\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f_{xx} = \partial_{xx} f = \partial_x^2 f.</math>

[[Hessova matrika|Mešani odvodi]] drugega reda:

<math>\frac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = (f_{x})_{y} = f_{xy} = \partial_{yx} f = \partial_y \partial_x f.</math>

Parcialni in mešani odvodi višjih redov:

<math>\frac{\partial^{i+j+k} f}{\partial x^i \partial y^j \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.</math>

Ko imamo opravka s funkcijami z več spremenljivkami in so te spremenljivke odvisne druga od druge, je treba določiti, katere spremenljivke bodo ostale konstantne. Na področjih, recimo pri [[Statistična mehanika|statistični mehaniki]], je parcialni odvod od <math>f</math> glede na <math>x</math>, kjer sta <math>y</math> in <math>z</math> konstantna, pogosto izražen:

<math>\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z}.</math>

Zaradi jasnosti in preprostosti zapisa se včasih [[Napačni matematični zapis|napačno]] ''funkcija'' parcialnega odvoda in ''vrednost'' funkcije na določeni točki zapiše zraven funkcijskih argumentov v Leibnizovem zapisu. Torej se izraz

<math>\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}</math>

uporablja za funkcijo, medtem ko se

<math>\frac{\partial f(u,v,w)}{\partial u}</math>

uporablja za vrednost funkcije na točki <math>(x,y,z)=(u,v,w)</math>. A problem nastane, ko želimo zapisati parcialni odvod na točki <math>(x,y,z)=(17, u+v, v^2)</math>. V takšnem primeru pa se mora funkcija izraziti

<math>\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}(17, u+v, v^2)</math>

ali

<math>\left. \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\right |_{(x,y,z)=(17, u+v, v^2)}</math>

da bi upoštevali Leibnizov zapis. A v takšnem primeru je bolj priporočljivo, če uporabimo Eulerjev zapis z diferencialnim operatorjem <math>D_i</math> za simbol parcialnega odvoda glede na ''i''-to spremenljivko. Na primer lahko zapišemo <math>D_1 f(17, u+v, v^2)</math> za zgornji opisan primer, medtem ko izraz <math>D_1 f</math> predstavlja parcialni odvod ''funkcije'' glede na 1. spremenljivko.<ref>{{Navedi knjigo|url=https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|title=Calculus on Manifolds|last=Spivak|first=M.|publisher=W. A. Benjamin, Inc.|year=1965|isbn=9780805390216|location=New York|pages=44}}</ref>

Za parcialne odvode višjih redov se funkcija parcialnega odvoda <math>D_i f</math> glede na ''i''-to spremenljivko zapiše <math>D_j(D_i f)=D_{i,j} f</math>. To je enako <math>D_j\circ D_i =D_{i,j}</math>, saj so spremenljivke zapisane v vrstnem redu, kot so vzeti odvodi in torej v obratnem redu kot so v kompoziciji. Seveda Clairautojev izrek pravi, da velja <math>D_{i,j}=D_{j,i}</math> takrat, ko so v funkciji ''f'' zmerni pogoji.

== Parcialni odvodi višjih redov ==
Parcialni odvodi drugih in višjih redov so definirani analogno z odvodi višjih redov nespremenljivih funkcij. Za funkcijo <math>f(x, y, ...)</math> je "lasten" parcialni odvod drugega reda glede na ''x'' preprosto parcialni odvod parcialnega odvoda (oba glede na ''x''):<ref>[[Alpha Chiang|Chiang, Alpha C.]] ''Fundamental Methods of Mathematical Economics'', McGraw-Hill, third edition, 1984.</ref>

{{Rp|316–318}}<math>\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac{{\partial f /  \partial x}}{{\partial x}} \equiv \frac{{\partial f_x }}{{\partial x }} \equiv f_{xx}.</math>Križni parcialni odvod glede na ''x'' in ''y'' se določi z odvzemom parcialnega odvoda funkcije ''f'' glede na ''x'' in kasneje z odvzemom parcialnega odvoda rezultata glede na ''y'', da dobimo:

<math>\frac{{\partial ^2 f}}{{\partial y\, \partial x}} \equiv \partial \frac{{\partial f / \partial x}}{{\partial y}} \equiv \frac{{\partial f_x}}{{\partial y}} \equiv f_{{xy}}.</math>

[[Schwarzov izrek]] pravi: Če so odvodi drugega reda zvezni, potem izraz za križni parcialni odvod ne vpliva, glede na katero spremenljivko se računa parcialni odvod. Torej,

<math>\frac {{\partial ^2 f}}{{\partial x\, \partial y}} = \frac{{\partial ^2 f}}{{\partial y\, \partial x}}</math>

oziroma ekvivalentno <math>f_{{xy}}=f_{{yx}}.</math>

Lastni in križni parcialni odvodi se pojavijo v [[Hessova matrika|Hessovi matriki]], ki se uporablja v [[Pogoj drugega reda|pogojih drugega reda]] v [[Optimizacija (matematika)|optimizacijskih]] problemih.

== Glej tudi ==
{{Div col|colwidth=27em}}
*[[d'Alembertianov operator]]
*[[Verižno pravilo]]
*[[Kodri (matematika)]]
*[[Smerni odvod]]
*[[Divergenca]]
*[[Zunanji odvod]]
*[[Iterirani integral]]
*[[Jacobijeva matrika in determinanta]]
*[[Laplacian]]
*[[Analiza več spremenljivk]]
*[[Simetrija sekundarnih odvodov]]
*[[Pravilo trojnega produkta]], znano tudi kot ciklično verižno pravilo.
{{Div col end}}

== Opombe ==
{{Notelist}}

== Viri ==
{{Sklici}}

== Zunanje povezave ==

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Partial derivative", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, <nowiki>ISBN 978-1-55608-010-4</nowiki>
* [http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html Parcialni odvodi] na [[MathWorld]]

{{normativna kontrola}}
[[Kategorija:Matematična analiza]]